I. Rachunek wektorowy i jego zastosowanie w fizyce.

Transkrypt

1 Blok 1: Rachunek wektorow i jego astosowanie w fice Podstawowe wielkości ficne w kinematce Opis ruchu w różnch układach odniesienia Ruch wględn I Rachunek wektorow i jego astosowanie w fice Wsstkie wielkości ficne są albo skalarami albo wektorami Skalar ma tlko wartość (podajem go jako licbę wra jednostką), natomiast wektor ma wartość (waną inacej długością wektora lub jego modułem, podawaną jako licba nieujemna wra jednostką), kierunek i wrot Każd wektor można predstawić w układie współrędnch, w którm osie są skalowane w tch samch jednostkach, co wartość wektora Prkład 11: siłę F 1 można predstawić na rsunku: Ogólnie wektor a możem apisać w dwojaki sposób: a a, a, a ; popre współrędne wektora Współrędne wektora mogą bć arówno dodatnie jak i ujemne ora prjmować wartość ero jako sumę wektorów składowch a, a, a : a a a a a î a ĵ a kˆ, gdie î, ĵ, kˆ są wersorami prostokątnego układu współrędnch, cli wektorami o jednostkowej długości, odpowiednio równoległmi do osi układu współrędnch i wróconmi godnie tmi osiami: Współcnniki stojące pr wersorach są równe współrędnm wektora F 1 można apisać: Zatem w Prkładie 1 siłę - popre współrędne F 1 3 N, 4 N, 0 N - jako sumę wektorów składowch: F 1 3 N î 4 N kˆ, gdie wektorami składowmi są: F 1 3 N î, F 1 4 N ĵ, F 1 0 kˆ Cęsto na jednm rsunku predstawiam różne wektorowe wielkości ficne (np premiescenia i prędkości) Wówcas nakładam na siebie wsstkie układ współrędnch tak, ab ich osie pokrwał się Dla uproscenia apisu wspóln układ współrędnch opisujem smbolami,, i skalujem be apisu jednostek ficnch Projekt jest współfinansowan Europejskiego Fundusu Społecnego w ramach programu operacjnego 4 4

2 Wartość (długość) wektora a onaca się a równa: a a a a a Wartość wektora jest awse dodatnia lub równa eru lub a Wartość wektora a a, a, a Wektorem preciwnm do wektora a jest wektor Oba te wektor mają tę samą wartość, ten sam kierunek, ale preciwne wrot a a, a, a a a, a, a Jeśli, to Sumą wektorów a i b jest wektor, któr można skonstruować, korstając : a jest dwa wektor metoda równoległoboku metoda wieloboku Jeśli a a, a, a i b b, b, b, to a b a b,a b,a b (a b) Długość wektora : 2 2 a b a b 2 a b cos, gdie jest miarą kąta pomięd wektorami a i b Różnicą wektorów b, cli: Jeśli a a, a, a b b, b, b, to a b a b,a a i b i b,a jest wektor będąc sumą wektora a b i wektora preciwnego do wektora Ilocnem wektora a pre licbę k nawam wektor, którego kierunek jest godn kierunkiem wektora a, a długość jest równa: k a k a, natomiast wrot jest: godn e wrotem wektora a, jeśli preciwn do wrotu wektora a, jeśli k 0 k 0 Ilocn skalarn wektorów a i b jest licbą, którą możem oblicć na dwa sposob: a pomocą współrędnch: a b a b a b a b a b a b cos, gdie jest miarą kąta pomięd tmi wektorami Projekt jest współfinansowan Europejskiego Fundusu Społecnego w ramach programu operacjnego 5 5

3 Ilocn wektorow wektorów a i b jest wektorem, którą możem oblicć na dwa sposob: î ĵ kˆ a pomocą wnacnika: a b a a a b b b oblicając jego długość: a b a b sin, gdie jest miarą kąta pomięd tmi wektorami i wiedąc, że kierunek tego wektora jest prostopadł do płascn wnaconej pre wektor i b (cli prostopadł arówno do, jak i do b ), a jego wrot można określić reguł śrub prawoskrętnej a a Dwa wektor nieerowe są do siebie równoległe, wted i tlko wted, gd ich ilocn wektorow jest równ eru: a b a b 0 Dwa wektor nieerowe są do siebie prostopadłe, wted i tlko wted, gd ich ilocn skalarn jest równ eru: a b a b 0 Równanie wektorowe W fice cęsto mam do cnienia równaniami wektorowmi Ab rowiąać takie równania, najcęściej musim prejść od postaci wektorowej do równań algebraicnch (współrędnch), korstając twierdenia o równości dwóch wektorów: Dla a a b a, a, a i b b, b, b, a b a b a b Nie można oblicać konkretnch wartości współrędnch ora długości wektorów bepośrednio równania wektorowego! Żeb ropisać równanie wektorowe na równania współrędnch, treba najpierw wbrać układ współrędnch; wbór jest dowoln, ale potem treba konsekwentnie się go trmać Z jednego równania wektorowego otrmujem tle równań algebraicnch, ile współrędnch prestrennch jest aangażowanch w adaniu (tn w ruchu po linii prostej jest aangażowana tlko jedna współrędna, w ruchu na płascźnie - dwie współrędne, w ruchu w prestreni wsstkie tr współrędne) Prkład 12: II asada dnamiki Newtona jest opiswana równaniem wektorowm F m a Jeśli ruch odbwa się w prestreni trójwmiarowej, to otrmujem tr równania algebraicne, które musą bć spełnione jednoceśnie: F m a F m a i F m a i F m a W równaniach tch F, F, F ora,a, a prjmować wartości arówno dodatnie jak i ujemne a są współrędnmi wektorów, mogą więc Projekt jest współfinansowan Europejskiego Fundusu Społecnego w ramach programu operacjnego 6 6

4 Najcęściej uprascam sobie rowiąwanie adań, gd apisując równanie we współrędnch, jawnie uwględnim ich naki Wówcas smbole lub licb wstawiane do tch równań onacają wartości, a nie współrędne składowch wektorów Znak plus wstawiam w równaniu współrędnch wted, gd wiem, że wrot osi układu współrędnch jest godn e wrotem odpowiedniej składowej wektora Znak minus wstawiam w równaniu współrędnch wted, gd wiem wrot osi układu współrędnch jest preciwn do wrotu odpowiedniej składowej wektora Prkład 13: Chłopiec ciągnie sanki po śniegu siłą o wartości Ropis II asadę dnamiki Newtona dla sanek, uwględniając tarcie pło o śnieg i oblic prspiesenie sanek Rowiąanie: R mg T F ma OX: F T m a, OY: R F m g m a 0, gdie: R siła sprężstości (reakcji) podłoża, - siła ciężkości diałająca na sanki, T - siła tarcia, a - prspiesenie sanek 2 2 F T Fcos T a a a m m mg F II Podstawowe wielkości ficne w kinematce Ruch polega na mianie położenia ciała wględem innego, dowolnie wbranego ciała lub układu ciał, wanego układem odniesienia Tor ruchu to linia, którą ciało akreśla w casie ruchu Smbol onaca w fice prrost (dodatni lub ujemn) albo inacej mówiąc - mianę wielkości ficnej W preważającej licbie prkładów prrost (miana) wielkości ficnej następuje w pewnm casie możem więc określić wielkość ficną w chwili pocątkowej (1) i w chwili końcowej (2) Prrost tej wielkości definiuje się wted jako: o X X 2 X1, jeśli ropatrwaną wielkością ficną jest skalar, X X X 2 X, jeśli ropatrwaną wielkością ficną jest wektor, X o 1 Projekt jest współfinansowan Europejskiego Fundusu Społecnego w ramach programu operacjnego 7 7

5 Droga to długość cęści toru, którą prebło ciało Sbkość średnia to wielkość skalarna definiowana worem: gdie s u śr s t - całkowita droga, którą prebło ciało w casie Sbkość chwilowa (cli po prostu sbkość) to wielkość skalarna definiowana jako ilora drogi prebtej pre ciało i casu, w którm ta droga ostała prebta, pr cm cas ten jest bardo krótki (miera do era): s u t, t0 t Wektorem położenia ciała (lub wektorem wodącm) jest wektor, którego pocątek najduje się w pocątku układu współrędnch, a koniec w punkcie w którm ciało najduje się w danej chwili Prkład 14: Na rsunku wektorami położenia są wektor i r 1 r 2 r Premiescenie jest wektorem opisującm mianę położenia ciała w casie ruchu od położenia pocątkowego, opiswanego wektorem położenia do położenia końcowego, opiswanego wektorem położenia r 1 r 2 : r r 2 r 1 Prędkość średnia jest wektorem definiowanm jako: r v śr, t gdie - całkowite premiescenie w casie Wartość prędkości średniej najcęściej nie jest równa sbkości średniej ciała r Prędkość chwilowa (cli po prostu prędkość) jest wektorem definiowanm jako ilora premiescenia ciała i casu, w którm to premiescenie nastąpiło, pr cm cas ten jest bardo krótki (miera do era): t0 Prędkość chwilowa jest w każdm punkcie stcna do toru Wartość prędkości chwilowej jest awse równa sbkości chwilowej ciała t r v t Projekt jest współfinansowan Europejskiego Fundusu Społecnego w ramach programu operacjnego 8 8

6 III Opis ruchu w różnch układach odniesienia Ruch wględn Opis ruchu tego samego ciała mogą się od siebie różnić, jeśli ropatrujem je punktu widenia różnch układów współrędnch Prkład 15: Po spokojnch wodach jeiora porusa się statek (C) W dnie jeiora akotwicono bojkę (B) Oblic prędkość bojki w układie odniesienia statku, jeśli prędkość statku wględem układu współrędnch wiąanego bregiem jeiora (A) wnosi v CA v BC Rowiąanie: Pokaane na rsunku układ współrędnch wiążem obiektami: układ współrędnch (A) spocwa wględem bregów jeiora, bojka nie porusa się w układie (B), statek nie porusa się w układie (C) Bojka nie porusa się także wględem układu A, ale wględem statku presuwa się w lewo prędkością v CA Podcas rowiąwania tego tpu adań najwgodniej jest skorstać metod mnemotechnicnej: Z każdm obiektów wróżnionch w adaniu wiążem jego własn układ współrędnch i onacam go literą Tą samą literą onacam sam obiekt Obiekt spocwają w swoich układach współrędnch Odpowiednie osie wsstkich układów współrędnch są do siebie równoległe i tak samo orientowane Prędkość dowolnie wbranego obiektu B w układie A onacam: Ważna jest kolejność liter! Obowiąuje v AA 0 dla każdego A; v AB vba Obowiąuje asada składania prędkości: vbc vba vac (awse suma wektorowa); dolne wskaźniki po prawej stronie równania wpisujem tak, ab powtarające się bł obok siebie, a nie powtarające się bł w tej samej kolejności, co po lewej stronie równania (tak jakbśm skreślali powtarające się liter stojące obok siebie, cli v BC v BA + v AC ) Kolejność liter w alfabecie nie ma tutaj nacenia v BA Wracając do Prkładu 15: vbc vba vac, ale bojka nie porusa się wględem układu A, więc v BA 0 Wiem także, że v AC vca Stąd: v BC vca - jak już wceśniej wdedukowano --- Zgodnie powżsą regułą, prędkość wględna ciała A wględem ciała B jest równa: vab va vb, gdie v A i v B są odpowiednio prędkością ciała A i prędkością ciała B w laboratorjnm (spocwającm wględem Ziemi) układie współrędnch Projekt jest współfinansowan Europejskiego Fundusu Społecnego w ramach programu operacjnego 9 9