σ x σ y σ z σ z, Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Równania fizyczne.

Transkrypt

1 Ada Bodnar: Wtrałość Materiałów. Równania ficne. 7. RÓWNANIA FIZCZN 7.. Zwiąki ięd stane odkstałcenia i naprężenia. I i II postać równań Hooke a Zależność deforacji brł od obciążeń ewnętrnch naruca istnienie ależności ięd odkstałceniai i naprężeniai. Będie się starali ustalić te ależności dla prestrennch stanów odkstałcenia i naprężenia. Jest recą powsechnie naną, że konstrukcje o tej saej geoetrii, obciążeniach i więach, wkonane różnch ateriałów, donają różnch deforacji więc jest ocwiste, że posukiwane ależności usą bć oparte na doświadceniach. Z Wobraź sobie dowolnie ał seścian o ściankach równoległch do płascn układu współrędnch i poddaj go diałaniu naprężenia noralnego, równoiernie rołożonego na dwóch preciwległch ściankach. Doświadcenia pokaują, że w prpadku ateriału sprężstego i iotropowego naprężenia te nie wwołają żadnch odkstałceń kątowch seścianu, a odkstałcenia X liniowe będą iał wartości: Rs. 7., ν ν gdie: ora ν stałe ateriałowe nosące odpowiednio naw oduł sprężstości (oduł ounga) i licba Poissona. Jeżeli nas seścian podda diałaniu jednie naprężenia noralnego, równoiernie rołożonego na dwóch preciwległch ściankach to wwoła ono jednie odkstałcenia liniowe:, ν ν. I analogicnie, pr diałaniu równoiernie rołożonego naprężenia noralnego otra:, ν ν. Nasuwa się tera ptanie, c w prpadku jednocesnego diałania tch trech naprężeń liniowe odkstałcenia w dan kierunku będie ożna predstawić jako suę algebraicną odkstałceń pr oddieln diałaniu tch naprężeń (tn. jako dodanie do siebie efektów trech jednoosiowch stanów naprężenia). Odpowiedź na to ptanie jest potwna, potwierdają ją doświadcenia i forułuje asada superpocji: skutek w określon kierunku, wwołan pre espół prcn diałającch równoceśnie jest równ algebraicnej suie skutków wwołanch w t kierunku pre każdą prcn diałającch oddielnie. Należ w t iejscu podkreślić, że stosowalność asad superpocji ogranicona jest dwoa warunkai:, 6

2 Ada Bodnar: Wtrałość Materiałów. Równania ficne. warunkie proporcjonalności wagając, ab poscególne skutki bł liniowo ależne od prcn, które je wwołał, warunkie nieależności diałania wagając, ab żaden e skutków nie wpłwał na sposób diałania poostałch prcn. Prjęte pre nas ałożenia odnośnie ateriału ora ałości preiesceń i odkstałceń prowadą do spełnienia tch warunków. Tak więc, wkorstując asadę superpocji oże apisać: [ ν ( )] [ ν ( )] [ ν ( )] (7.) Powżse równania pokaują, że wiąki ięd odkstałceniai liniowi i naprężeniai noralni określone są popre dwie stałe ateriałowe i ν. Do określenia wiąków ięd odkstałceniai kątowi i naprężeniai stcni ogą również służć te sae stałe. Ab tego dowieść roważ stan naprężenia określon acierą : T. Jest to płaski stan naprężenia w płascźnie (, Z) i - jak pokaano na rs na płascnach nachlonch pod kąte 45 do osi (, Z) wstępują jednie naprężenia stcne (por. prkład 5.4.). Z Rs. 7. o Odkstałcenia liniowe w kierunkach osi układu wnosą: ν, ν a kątowe jest rowne eru. Odkstałcenie kątowe osi obróconch o kąt 45 wnosą: o ν sin ( ), ale stąd: ( ν ). Onacając pre, ostatecnie oże ν ( ) apisać wiąek ięd odkstałcenie kątow i naprężenie stcn w forie: 6

3 Ada Bodnar: Wtrałość Materiałów. Równania ficne., (7.) gdie stała ateriałowa nawana jest odułe ścinania lub Kirchhoffa albo odułe sprężstośći poprecnej. X Z Rs. 7.3 Powracając do roważanego na pocątku seścianu poddaj go tera kolejno diałaniu równoiernie rołożonch naprężeń stcnch pokaanch na rs W prpadku sprężstego ciała iotropowego nie wwołają one odkstałceń liniowch a kątowe będą równe:,, (7.3). Równania (7.) i (7.3) określające wiąki ięd odkstałceniai i naprężeniai nawają się równaniai Hooke a lub wiąkai konsttutwni lub ficni. Tę postać równań ficnch w którch odksałcenia są funkcjai naprężeń nawie I postacią równań Hooke a. Ponieważ roważa ateriał ałoenia iotropowe to wstępują w nich tlko dwie stałe ateriałowe które należ wnacć doświadcalnie. Sposób ich wnacenia podan ostanie w toku dalsch wkładów. Udowodni tera ważne twierdenie: w ciele sprężst i iotropow kierunki naprężeń głównch pokrwają się kierunkai odkstałceń głównch. Dowód: niech osie X, i Z to osie głównch naprężeń. Jeśli tak to naprężenia stcne a dalej (7.3) co dowodi, że te osie są osiai odkstałceń głównch. Ab wprowadić wiąki ięd naprężeniai i odkstałceniai należ odwrócić równania (7.) i (7.3). Odwrócenie tch drugich jest sprawą bardo prostą. Pierwse odwróci kolejno wkonując: ( ) ν, ( ) ν, ( ) ν. Dodanie stronai tch trech równań daje ależność: ( ) ( ) ν. (7.4) Prekstałca pierwse równanie dodając i odejując po prawej stronie: ( ) ν ν ( ν ) ν ( ) ν Wstawienie (7.4) daje: 6

4 Ada Bodnar: Wtrałość Materiałów. Równania ficne. ( ) ν i postępując analogicnie następni naprężeniai ν ν noralni dostaje równania wiążące je odkstałceniai liniowi. II postać równań ficnch Hooke a : ν ν ν ( ) ν ν ν ( ) (7.5) ν ν ν ( ),, 7.. III postać równań Hooke a - prawo ian objętości i prawo ian postaci Prjij na oc definicji: def, 3 def (7.6) 3 jako odkstałcenie średnie i naprężenie średnie. Pr tch onaceniach wór (7.4) oże apisać w forie: 3 K (7.7) gdie: K jest stałą ateriałową i nawana jest odułe objętościowej 3( ν ) ściśliwości sprężstej lub odułe Helholta. Dokonaj rokładu acier naprężeń na dwie cęści Τ Α D gdie: Α - aksjator naprężeń, D - dewiator naprężeń; i analogicnie acier odkstałceń: Τ Α D 63

5 Ada Bodnar: Wtrałość Materiałów. Równania ficne. gdie: Α - aksjator odkstałceń, D - dewiator odkstałceń. Łatwo sprawdić, że achodą poniżse wiąki ięd aksjatorai i dewiatorai naprężeń i odkstałceń: Α 3K, (7.8) Α D D, (7.) które stanowią III postać równań Hooke a i nosą naw prawa ian objętości i prawa ian postaci. Uasadnienie tch naw nie jest trudne. Diałanie aksjatora naprężeń wwołuje jednie ianę objętości, a odkstałcenia postaciowe są równe eru. Natoiast pod diałanie dewiatora naprężeń powstają odkstałcenia postaciowe, a sua odkstałceń liniowch na prekątnej dewiatora odkstałceń jest równa eru, co dowodi, że nie a ian objętości. Wróć jesce do równania (7.7). Wkorstując, że iana objętości jest równa: D 3, oże apisać: ν D 3. Jeśli >, to ocwiście D>, a więc usi achodić: -ν >, cli ν. Maksalna iana objętości będie achodić dla ateriału którego ν, ateriał którego ν jest nieściśliw. ua a licbę Poissona bliską.5, a korek bliską Prkład Prkład Jakie obciążenie seścianu o boku a wkonanego ateriału spełniającego równania Hooke a, powoduje preiescenia dowolnego jego punktu określone funkcjai: Z u C, v C, w C, jeśli stałe ateriałowe są równe i ν. a a X a 64

6 Ada Bodnar: Wtrałość Materiałów. Równania ficne. Rowiąanie Z równań Cauch ego łatwo wnacć, że odkstałcenia liniowe są równe a odkstałcenia kątowe równają się eru C Odpowiadające i współrędne tensora naprężeń są równe BC gdie : B. ( ν ) Obciążenie ścianek seścianu wnac e statcnch warunków bregowch. Ścianki ± a, współrędne wersora noralnego ewnętrnego l ±, n. q BC, q q. v v v Ścianki ± a, współrędne wersora noralnego ewnętrnego ±, l n. q BC, q q. v v v Ścianki ± a, współrędne wersora noralnego ewnętrnego n ±, l. q BC, q q. v v v Tak więc ścianki seścianu obciążone są równoiernie rołożon obciążenie ściskając o intenswności BC. Prkład Dane są funkcje preiesceń w konstrukcji wkonanej ateriału liniowo sprężstego: u ( 5.) *, (.) * v, ( )* w, wnacć acier odkstałceń i naprężeń w punkcie A(,, ) 5 Pa i licba Poissona ν.3. Rowiąanie, jeśli oduł ounga Z równań geoetrcnch Cauch ego wnac funkcje odkstaceń a po wstawieniu do nich wspólrędnch punktu A otra wartości wstępującch w ni odkstałceń: u v. *. *, (..) *.*, w *. *, 65

7 Ada Bodnar: Wtrałość Materiałów. Równania ficne. u v (..) *.3*, u w v w *. *,. w Macier odkstałceń a postać: T *... Naprężenia wnac korstając II postaci równań Hooke a: ν ν ν ( ) 5* *.3 (...) * 5. 5 MPa, ν ν ν ( ) 5* *.3 (...) *. 67 MPa, ν ν ν ( ) 5* *.3 (...) * MPa, 5* MPa, ( ) ( ).3.3 * * MPa,. ( ) ( ).3. * Macier naprężeń predstawia się więc następująco: T MPa