WYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład IV Twierdzenia całkowe

Transkrypt

1 4. Twierdenie Greena. Wykład IV Twierdenia całkowe Płascyną orientowaną będiemy określać płascynę wyróżnionym na nie obrotem, wanym obrotem dodatnim. Orientację płascyny preciwną wględem danej orientacji otrymujemy mieniając w płascyźnie pryjęty dodatni obrót na preciwny. Płascynę orientujemy na prykład wprowadając ortokartejański układ współrędnych (prostokątny łożony pary osi, y). Wtedy pre dodatni obrotów roumiemy ten obrotów, pry którym pierwsa oś pokryje się drugą (co do kierunku i wrotu) drugą osią pry obrocie o kąt mniejsy spośród dwu możliwych. Z punktu widenie geometrii płascyna predstawiona na rys. 3.a naywa się płascyną orientowaną w prawo. Jeżeli mienimy np. nawę osi na rys. 3.b tj. nawiemy oś osią y, aś oś y osią, to płascyna miałaby orientację lewą. Rys. 3. Orientacja układu współrędnych i obsaru amkniętego. Linia amknięta ogranicająca obsar jednospójny, wany wnętrem linii, leżąca na orientowanej płascyźnie może mieć jedno dwu skierowań. Dodatnim skierowaniem linii wględem jej wnętra (obsaru, którego jest ona bregiem) na orientowanej płascyźnie naywamy skierowanie godne orientacją płascyny: gdy płascyna ma prawą orientację (rys. 3..a) to cłowiek idący w dodatnim kierunku wdłuż linii (po bregu C obsaru D) ma lewą rękę nad obsarem, gdy płascyna ma lewą orientację (rys. 3..b) to prawą rękę. Na rys. 3. predstawiono prypadek ujemnego skierowania linii wględem jej wnętra, a dodatniego wględem obsaru będącego ewnętrem linii. Linie skierowaną dodatnio wględem swego wnętra naywamy konturem.

2 Twierdenie Greena. Rys. 3. Orientacja dodatnia Niech w jednospójnym obsare Ω na orientowanej płascyźnie (rys. 3..a)dana będie gładka, amknięta be punktów wielokrotnych linia C, skierowana dodatnio wględem swego wnętra D ora dwie funkcja P(M) i Q(M) ( M Ω ) klasy C. Wtedy: Dowód C Q P Pd + Qdy = dσ D (4.) Dla uproscenia dowodu powyżsego twierdenia Greena ałożymy, że obsar D jest normalny wględem obu osi układu. Obsarem normalnym wględem osi układu naywamy taki obsar, którego breg każda prosta równoległa do drugiej osi precina w jednym punkcie lub w dwu punktach, lub w kontinuum punktów, lub wrescie nie precina wcale. Równość Greena jest wynikiem dodawania stronami dwu nieależnych od siebie równości, w których występuję jedna funkcji P lub Q. Dowiediemy najpierw, że P d Pd y σ = (4.) D C

3 Rys. 3.3 chemat oblicania W tym celu amieńmy całkę podwójną w równości na całkę iterowaną. Otrymamy wtedy: y ( ) ( ) (, ) D a y a y b b y (, ( )) (, ( )) (, ) (, ) (, ) a a C C C ( ) b b P P y d σ = d dy = P (, y ) d = = P y d P y d = P y d P y d = P y d Dowód drugiej równości twierdenia Greena: ( ) D Q d σ = C Qdy można opreć na udowodnionej już poprednio równości, amieniając rolami mienne i y ora funkcje P i Q. Wtedy jednak, gdy mienna y unana ostaje a pierwsa, aś a drugą, płascyna mienia orientację. Linia C nie jest wtedy dodatnio skierowana wględem swego wnętra, lec preciwnie, co powoduje, że po prawej stronie równości na występuje nak minus. Cbdo. 4. Całka różnicki upełnej na płascyźnie. 3

4 Jak wiemy, warunkiem koniecnym na to, by wyrażenie P(, y) d (, ) + Q y dy było różnicką upełną w obsare, jest by w tym obsare była spełniona równość pochodnych cąstkowych: P Q = (4.3) Rys. 4.4 Całka różnicki upełnej Jeżeli powyżsa ależność jest spełniona to całka podwójna występująca w równaniu Greena (4.) po dowolnym obsare w nim awartym jest równa eru. Wtedy i całka liniowa, występująca w tym równaniu (4.) po dowolnej linii amkniętej jest równa eru, więc całka Pd + Qdy (4.4) AB Nie ależy od drogi całkowania, a ależy tylko od pocątku A i końca B. Warunek (4.3) jest nie tylko koniecny, ale i wystarcający by wyrażenie P(, y) d (, ) różnicką upełną. + Q y dy było w obsare jednospójnym 4.3 Twierdenie Gausa Ostrogradskiego w postaci analitycnej. Twierdenie. 4

5 Niech będie dany obsar V (rys. 4.5) ogranicony amkniętą gładką powierchnią, orientowaną ewnętrnie. Niech w obsare domkniętym V+ dane będą try funkcje P( M ), Q( M ), R( M ) klasy C. Wtedy achodi równość nosąca nawę Gausa Ostrogradskiego: P Q R Pd + Qdy + Rd = + + dv V (4.5) w której po lewej stronie najduje się orientowana całka powierchniowa. Dowód. Rys. 45 Całka powierchniowa na obsare Dla uproscenia dowodu ałóżmy, że obsar V jest normalny wględem każdej e ścian ortokartejańskiego układu współrędnych. Następnie auważymy, że równość (4.5) jest wynikiem dodawania stronami nieależnych od siebie równości. Jedna nich np. to: 5

6 R dv = Rddy (4.6) V W tym celu występująca w równości (4.6) całkę potrójną amienimy na całkę powierchniową (rys. 3.5): (, y) R (, y) dv d d R y d ( ) (,, ) (,, (, )) σ (,, (, )) ( ) V D, y D, y D = σ = σ = R y y d R y y dσ = Rddy + Rddy = Rddy D Gdie i onacone ostały odpowiednio dolna i górna cęść powierchni ; są to takie jej cęści, dla których normalna (ewnętrna) twory w pierwsym prypadku kąt rowarty osią, aś w drugim prypadku kąt ostry. Właśnie dlatego nak minus stojący pred jedną całek ostał astąpiony nakiem plus, gdyż kąt jaki twory normalna n 0do powierchni, osią jest rowarty. Analogicnie dowodimy równości: P Q dv = Pdyd, dv = Qdd V V Dodając je stronami do równości (4.6) otrymujemy teę twierdenia Gausa Ostrogradskiego. 4.4 Twierdenie tokesa w postaci analitycnej. Twierdenie. Niech będie dana w prestreni gładka powierchnia ogranicona gładką linią L (rys. 4.6), pry cym skierowanie linii L wra orientacją powierchni musą być godne pryjętą orientacją prestreni. Niech krywa wra powierchnią najduje się w obsare, w którym określone są funkcje klasy C P(M), Q(M), R(M) punktu M. Wtedy achodi równość nosąca nawę twierdenia tokesa: L Pd + Qdy + Rd = R Q P R Q P = dyd + dd + ddy (4.7) 6

7 Rys. 4.6 chemat do twierdenia tokesa Dowód. Dla uproscenia dowodu pryjmijmy, że linia L jest tak położona w prestreni, że je ruty na ściany 0y i 0 układu są gładkie i nie mają punktów wielokrotnych ora, że powierchnia wyraża się jednonacnie wględem tych ścian. W scególności niech jej równaniem będie =(,y), (, y) D + C gdie D+C jest rutem +L na ścianę 0y. Zauważymy, że równość (4.7) jest wynikiem sumowania trech nieależnych równości. Dowiediemy najpierw jednej nich: P P dd ddy = Pd (4.8) L W tym celu napisemy wiąki miedy elementami d (rys. 3.6) powierchni i elementami ora dσ rutu ds. na ściany 0 i 0y. Jeżeli onacymy n ( cos α,cos β,cosγ ) y wobec cego: dσ = d cos β, dσ = d cosγ y =, to: dσ 7

8 dσ cos β = dσ y (4.9) cosγ Wiemy, że wektorem normalnym do powierchni w danym punkcie, a wiec wektorem kolinearnym n w tym punkcie jest wektor: N =,, = grad (, y) Wobec cego miedy wektorami N i n achodi wiąek: : : = cos α : cos β : cosγ Korystając niego możemy ależność (4.9) apisać: dσ = dσ y (4.0) y Element dσ występujący w pierwsej całek (4.8) jest onacony dd, aś dσ y, występujący w drugiej całek pre ddy, wobec cego lewa strona ależności (4.8) dięki (4.0) pryjmie postać: P P + ddy W której funkcja podcałkowa jest pochodną funkcji łożonej: df * (,, (, )) (, ) P y y = P y (4.) wględem miennej y, a sama całka w której występuje mienna, jest całka podwójną w obsare D, a więc jest równa: D (, ) * P y ddy (4.) Prekstałcając całkę (4.) wg woru Greena (krywa C, będąca rutem L na 0y, jest skierowana dodatnio wględem swego wnętra), otrymamy: C P * (, ) y d a wracając do popredniego onacenia wg definicji (4.) i do linii L, której rutem jest C, otrymamy ostatecnie: Co końcy dowód równości (4.8). Dowód poostałych równości tj.: L Pd 8

9 Q Q ddy dyd = Qdy, L R R dyd dd = Rd L Można preprowadić stosując premianę cyklicna do równości (4.8). Dodając wsystkie te try równości stronami otrymujemy teę twierdenia tokesa. Cbdo. Twierdenie tokesa można apisać nieco inacej korystając ależności: wtedy równość (4.7) prybiere postać: dσ = d cos α, dσ = d cos β, dσ = d cosγ y y L Pd + Qdy + Rd = R Q P R Q P = cosα + cos β + cosγ d (4.3) Po lewej stronie tej równości najduje się całka liniowo skierowana, aś po prawej całka powierchniowa orientowana. 4.5 Całka różnicki upełnej w prestreni. W dalsym ciągu będiemy korystać własności całki krywoliniowej w prestreni, gdy jej wyrażenie podcałkowe jest różnicką upełną. Twierdenie. Warunkiem koniecnym na to, żeby wyrażenie różnickowe: Pd + Qdy + Rd (4.4) Gdie P, Q, R są funkcjami klasy C miennych, y, było w pewnym obsare różnicką upełna, jest achodenie następujących trech równości w tym obsare: R Q P R Q P =, =, = (4.5) Dowód. Dla udowodnienia ałóżmy, że (4.4) jest różnicką upełną funkcji φ ( M ) φ (, y, ) tego: φ φ φ dφ = d + dy + d I wyrażenia (4.4) dla dowolnych różnicek d, dy, d wynika, że =. Wobec 9

10 φ φ φ P =, Q =, R = (4.6) Funkcja φ jest klasy C. Tworąc wsystkie możliwe jej pochodne miesane drugiego rędu i korystając twierdenia o kolejności różnickowania, otrymamy sukane warunki (4.5). Cbdo. Twierdenie. W obsare jednospójnym (powierchniowo) całka liniowa różnicki upełnej wdłuż dowolnej gładkiej linii amkniętej, leżącej w tym obsare, jest równa eru. Dowód. W dowodie ogranicymy się jedynie do linii, pre które można presunąć powierchnię leżącą w tym obsare. Wystarcy wtedy astosować tokesa, w którego apisie (4.7) po prawej stronie pod całką powierchniowa najduje się wyrażenie równe tożsamościowo eru. Wynika to e spełnienia warunku koniecnego (4.5) różnicki upełnej. Wobec tego po lewej stronie równości (4.7) najduje się całka liniowa, która dla każdej linii jest równa eru. Cbdo. Twierdenie. W obsare powierchniowo jednospójnym całka liniowa różnicki upełnej nie ależy od drogi całkowania, lec tylko od pocątku i końca drogi. Dowód. 0

11 Rys. 4.7 Całka liniowa różnicki upełnej Aby to wykaać, poprowadźmy pre dwa punkty A i B (rys. 4.7 ) w obsare powierchniowo jednospójnym gładką linię amkniętą L, leżącą całkowicie w tym obsare. Jej skierowane łuki o pocątku A i końcu B nawijmy L i L. Wobec tego linia amknięta l może być skierowana np. godnie L i wtedy L = L L. Z poprednie go twierdenia wynika, że Cbdo. Twierdenie. = + = = 0 (4.7) L L L L L L Jeżeli całka liniowa wdłuż każdej drogi ależy tylko od jej pocątku i końca w obsare jednospójnym, to to wyrażenie podcałkowe jest różnicką upełną. Dowód. Dla udowodnienia pryjmijmy dowolny punkt M 0 (rys. 4.8) i połącmy go dwiema drogami dowolnym punktem M=(,y,), pry cym wsystkie narysowane linie, tn. M 0M, M 0M' i równoległy do osi odcinek MM ' leżą w całkowicie w ropatrywanym obsare. Punkt M ' jest punktem bliskim punktu M i o tych samych współrędnych y i.

12 Określmy funkcję ( M ) Rys. 4.8 chemat do dowodu φ jako całkę wyrażenia Pdξ + Qdη + Rdζ wdłuż dowolnej drogi łącącej ustalony punkt M 0 punktem M tn.. (,, ) = (,, ) + (,, ) + (,, ) φ y P ξ η ζ dξ Q ξ η ζ dη R ξ η ζ dζ (4.8) M 0M Gdie funkcje P,Q i R są ciągłymi funkcjami w ropatrywanym obsare. Aby wykaać, że wyrażenie podcałkowe w równości (4.8) jest różnicką upełną, wystarcy wykaać, że φ φ φ = P y = Q y = R y (,, ), (,, ), (,, ) (4.9) Dowiedź pierwsej równości (4.9). Z nieależności całki od drogi całkowania wynika, że Lub w innym apisie + = M 0M MM ' M 0M ' ( +,, ) (,, ) = = (,, ) MM ' + (4.0) φ y φ y Pdξ P ξ η ζ dξ gdie pre (, y, ) + onacony ostał punkt M. Dieląc obustronnie równość (4.0) pre i prechodąc do granicy, gdy 0, otrymujemy pierwsa równości (4.9). Analogicnie dowodimy poostałych równości.

13 4.6 Postać wektorowa twierdenia Gausa Ostrogradskiego. Niech w pewnym obsare Ω będie pole wektorowe = ( R, Ry, R ) R ora gładka powierchnia. Utwórmy następująca całkę powierchniowa po orientowanej powierchni : df ( R, ) = + y + = ( cos + y cos + cos ) ω R dyd R dd R ddy R α R β R γ d lub pamiętając, że = ( cos α,cos β,cosγ ) n jest jednostkowym wektorem normalnym do powierchni, leżącym po jej stronie wyróżnionej (gdy pocątek leży na ). (, ) Lub wrescie, pryjmując onacenie d = dn : Definicja. ( ) = ω R R n d ω R, = R d (4.) Całkę (4.) naywamy strumieniem pola wektorowego R pre orientowaną powierchnię. trumień ma ocywiście następujące własności: ( R, ) + ( R, ) = ( R + R,) ( R,) = ω ( CR,) ( R, ) + ( R, ) = ( R, + ) ω ω ω Cω ω ω ω Pry cym ta ostatnia równość achodi pod warunkiem, że obie powierchnie i nie mają cęści wspólnych ( wyjątkiem być może bregów). 3

14 Rys. 4.9 Hydromechanicna interpretacja strumienia pola wektorowego Hydromechanicna interpretacja strumienia pola wektorowego jest następująca: Jeżeli uważać R a pole wektorowe prędkości ciecy prepływającej pre orientowaną powierchnię, to wyrażenie podcałkowe w (4.) jest wględną objętością ciecy, która prepływa w jednostce casu pre element ds. (rys. 4.9), tn. jest wględną objętością walca o podstawie d i wysokości równej współrędnej (a wiec dodatniej lub ujemnej) wektora R wględem osi normalnej do powierchni, której wersorem jest n: Wobec tego strumień ( ) R d = R cos R, n d = Rnd ( R, ) n ω = R d Jest w tej interpretacji wględną objętością ciecy, która prepłynie w jednostce casu pre orientowaną powierchnię płynąc prędkością R. 4

15 Twierdenie. trumień pola wektorowego pre amkniętą i orientowaną ewnętrnie powierchnię jest równy całce objętościowej dywergencji tego pola, rociągniętej na obsar, którego bregiem jest ta powierchnia.: 4.7 Geometrycna postać definicji dywergencji. R d = divr dv (4.) V Wyobraźmy sobie, że gładka amknięta powierchnia maleje w ten sposób, że jej średnica dąży do era, a punkt M stale najduje się w obsare wypukłym V ograniconym pre. Jeżeli pole R jest klasy C, to jego dywergencja jest ciągła i wobec tego ma własność Darbou, * istnieje wtedy taki punkt M, w którym dywergencja jest równa średnie wartości całki występującej po prawej stronie woru (4.). Możemy do apisać następująco: Ocywiście gdy objętość V dąży do era, to Co możemy sformułować: ( ) divr M = R d V * M ( M ) = lim R * M, wobec cego; d div R (4.3) V M V Dywergencja pola wektorowego w danym punkcie jest granicą ilorau strumienia tego pola pre amkniętą, ewnętrne orientowaną powierchnię i objętości obsaru pre te powierchnię ograniconego, gdy średnica obsaru dąży do era, pry cym punkt, w którym definiujemy dywergencję stale najduje się w tym obsare. Dywergencja jest więc w obsare polem skalarowym, tn. nie ależy od układu współrędnych. Treść adania. Prykład obliceniowy Oblicyć strumień pola wektorowego R (, y, ) = pre ewnętrnie orientowaną sferę o środku w pocątku układu i promieniu równym a (rys.4.0). prawdić wynik a pomocą twierdenia Gausa Ostrogradskiego. Rowiąanie. trumień pola wektorowego oblicamy: ( cosα y cos β cosγ ) R d = R + R + R d 5

16 Rys. 4.0 chemat obliceniowy Zw wględu na to, że premiana cyklicna nie mienia wartości całek występujących po prawej stronie powyżsego woru, wiec: We współrędnych sferycnych: tąd II metoda: R d = 3 R cosγ d d = a sinθ dϕdθ cosγ = = cosθ a π π 3 3 R d = 3a dϕ cos θ sinθ dθ = 4a π 0 0 6

17 4.8 Pole wektorowe beźródłowe. V 3 divr dv = 3 dv = 4a π Równością div R=0 definiowaliśmy wektorowe pole beźródłowe. Posługując się twierdeniem Gaussa Ostrogradskiego, w postaci wektorowej (4.) możemy wysłowić równoważne tej definicji sformułowanie: Definicja Pole wektorowe jest w pewnym obsare beźródłowe, jeżeli strumień tego pola pre każdą powierchnię amkniętą, leżącą w tym obsare, jest równy eru. Można wykaać, że jeżeli o obsare jednospójnym pewne pole wektorowe R jest beźródłowe, to istnieje takie pole wektorowe Φ w tym obsare, którego rotacja jest identycna danym polem wektorowym R. [ div = 0] [ = rotφ] V R R (4.4) Pole wektorowe Φ występujące w tożsamości (4.4) naywamy potencjałem wektorowym beźródłowego pola wektorowego R. Wykażemy tera, że dodanie do potencjału wektorowego pola solenoidalnego dowolnego pola potencjalnego (tn. pola wektorowego mającego potencjał skalarowy) nie mienia samego pola solenoidalnego. Niech pole solenoidalne R ma potencjał wektorowy Φ tn.. że: R = rotφ Weźmy dowolne pole potencjalne Ω tn. takie, e: kładąc Mamy dięki liniowości operacji rot rotω = 0 Φ = Φ + Ω ( ) 4.9. Posukiwanie potencjału wektorowego. rotφ = rot Φ + Ω = rotφ + rotω = rotφ Niech w obsare jednospójnym dane będie pole wektorowe = ( R, Ry, R ) spełniając wektorowe równanie różnickowe: R R y R div R = + + = 0 (4.5) R beźródłowe, tn. ukamy takiego pola wektorowego Φ, które wiąane jest danym polem wektorowym równością 7

18 R = rotφ (4.6) Jak wiemy pole Φ może być naleione dokładnością do dowolnego pola potencjalnego, które można dodać do scególnego rowiąania równania (4.6). To powala narucić pewne warunki na posukiwaną całkę scególną równania (4.5). Załóżmy, że posukiwane pole Φ ma współrędną wględem osi tożsamościowo równą eru, tn., że Φ 0. Wtedy równość (4.6) da się ropisać analitycnie: Φ y Φ Φ y Φ R =, Ry =, R = Całki dwu pierwsych równań (4.7) pry onaceniu M (, y, ) obsaru, pryjmują postać: (4.7) = dowolnie ustalonego punktu (,, ) (, ), (,, ) (, ) Φ = R y d + f y Φ = R y d + g y y y 0 0 (4.8) Gdie f i g są do casu więcia pod uwagę treciego równania (4.7) dowolnymi funkcjami miennych i y. Żeby je wynacyć, najdźmy wiąek międy nimi, wstawiając prawe strony równości (4.8) do ostatniej równości (4.7). Będie wtedy: I wrescie R f g f g R (, y, ) = d + = R Pryjmijmy g (, y) 0. Wtedy R (, y, ) 0 f g = f = R (, y, ) 0 a następnie f, y R, y, d h y ( ) = ( ) + ( ) 0 Gdie h(y) jest funkcją dowolną. W celu naleienia rowiąania scególnego ucyńmy h( y) 0. Otrymaliśmy więc rowiąanie scególne agadnienia: 0 8

19 Φ = 0 (,, ) (,, ) (,, ) y Φ = 0 R y y d Φ = R y d R y d (4.9) Inne scególne rowiąania otrymamy dokonując dwukrotnie premiany cyklicnej we worach (4.9) i dodając do siebie otrymane pola wektorowe. Dostajemy ostatecnie: Φ = R (, y, ) + R (, y, ) d R (, y, ) dy y y y0 Φ = R (, y, ) + R (, y, ) d R (, y, ) d y y Φ = R (, y, ) + R (, y, ) dy R (, y, ) d 0 y 3 3 y0 y0 y y (4.30) Prykład obliceniowy Treść adania. Dane jest pole wektorowe = ( y + ), ( + ), ( + y) R. prawdić, cy jest ono solenoidalne i naleźć jego potencjał wektorowy. Rowiąanie. Onacmy: ( ) ( ) ( ) R = y +, R = +, R = + y y Oblicmy dywergencję pola R (, y, ) R R y R div R = + + = 0 Więc pole R jest beźródłowe w całej prestreni, tn. jest solenoidalne, więc R = rotφ. Onacając Φ = Φ Φ Φ posłużymy się worami (4.9). Niech M 0 = ( 0,0,0). Wtedy 0 ( ) Φ = + d = + ( ) ( ) Φ = + y d y + d = + y y y Φ = Ogólnym rowiąaniem adania jest potencjał wektorowy 9

20 φ, φ y y, φ Φ = φ jest dowolną funkcją skalarową klasy C. Niech: gdie (, y, ) ( ) φ = y y Wtedy: ( y,, y ) Φ = 4.0 Twierdenie Gaussa Ostrogradskiego dla pola potencjalnego. Niech pole wektorowe, występujące w twierdeniu Gaussa Ostrogradskiego (4.) będie potencjalne, wiec niech Wtedy wobec cego: R = grad φ φ R d = Rnd = d, div R = div grad φ = φ n φ d = φdv n (4.3) V 0