METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ

Transkrypt

1 METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1

2 Analiza pól Uwagi wstępne Bardzo ważnym pojęciem w fizyce a także inżynierii chemicznej jest pojęcie pola. Polem nazywamy pewną funkcję wielu zmiennych, w której argumentami są położenie i czas. pole f (połż o enie, czas) Za pomocą pól opisuje się różne procesy zachodzące w przestrzeni i czasie. W zależności od rodzaju wielkości jaką opisuje dane pole rozróżniamy pola skalarne, wektorowe i tensorowe. Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 2

3 Analiza pól Uwagi wstępne Stosunkowo prostą zmienną jest czas, który często identyfikowany jest ze zbiorem nieujemnych liczb rzeczywistych R +. Najczęściej czas jest oznaczany literą t. Zatem tєr+tzn. 0 t<. 0 t Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 3

4 Analiza pól Uwagi wstępne Znacznie bardziej złożone jest zagadnienie opisu położenia. Przyjmuje się, że procesy zachodzą w przestrzeni trójwymiarowej a zatem do opisu położenia potrzebne są 3 składowe. W zależności od geometrii opisywanego zjawiska stosowane mogą być różne układy współrzędnych przestrzennych. Najczęściej stosowane są trzy rodzaje układów współrzędnych przestrzennych: - kartezjański układ prostokątny, - układ cylindryczny, - układ sferyczny. Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 4

5 Analiza pól Układy współrzędnych przestrzennych 1. Układ kartezjański. Ustalenie położenia polega na wyborze w przestrzeni trzech wzajemnie prostopadłych i przecinających się w jednym punkcie prostych określanych tradycyjnie jako osie współrzędnych x,y,z. Położenie u danego punktu w przestrzeni określa trójka liczb x,y,z będących rzutami punktu u na odpowiednie osie. Możemy to zapisać: u=[u x,u y,u z ] Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 5

6 Analiza pól Układy współrzędnych przestrzennych u z z u O u y y u x u xy x Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 6

7 Analiza pól Układy współrzędnych przestrzennych 1. Układ kartezjański. Współrzędne układu kartezjańskiego są dowolnymi liczbami rzeczywistymi x,y,z: - <x< - <y< - <z< u z z u O u y y u x u xy x Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 7

8 Analiza pól Układy współrzędnych przestrzennych 2. Układ cylindryczny. Podstawową rolę w układzie cylindrycznym odgrywa płaszczyzna z wyróżnioną półprostą Ox oraz prostopadła do tej płaszczyzny i przechodząca przez punkt O oś z. Położenie punktu u określamy za pomocą trójki liczb rzeczywistych u=[r c,φ,u z ]=[r c,φ,z] gdzie: u z z O φ r c u r c odległość punktu u będącego rzutem punktu u na płaszczyznę od punktu O, czyli długość odcinka u O. r c 0 φ kąt między półprostą Ox a odcinkiem Ou. 0 φ<2π u z =z współrzędna rzutu punktu u na oś z. - <z< x u Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 8

9 Analiza pól Układy współrzędnych przestrzennych 3. Układ sferyczny. Podstawową rolę w układzie sferycznym odgrywa płaszczyzna z wyróżnioną półprostą Ox oraz prostopadła do tej płaszczyzny i przechodząca przez punkt O oś z. Położenie punktu u określamy za pomocą trójki liczb rzeczywistych u=[r s,φ,θ] gdzie: z θ O φ r s u r s odległość punktu u będącego od punktu O, czyli długość odcinka uo. r s 0 φ kąt między półprostą Ox a odcinkiem Ou. 0 φ<2π x u θ kąt między dodatnim kierunkiem osi z a odcinkiem Ou. 0 θ π Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 9

10 Analiza pól Przeliczanie współrzędnych Współrzędne w różnych układach można wzajemnie przeliczać. Szczególnie ważne są wzory przeliczeniowe między układem kartezjańskim a cylindrycznym i sferycznym. Wzory te można otrzymać na podstawie elementarnych relacji geometryczno trygonometrycznych. Układ cylindryczny > układ kartezjański: x r y r z z c c cos sin u z z Układ kartezjański > układ cylindryczny: u r x y c 2 2 y arctan 0 x z z gdzie. O φ r c u Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 10 y 0 dla x 0 i y 0 0 dla x 0 2 dla x 0 i y 0

11 Analiza pól Przeliczanie współrzędnych Układ kartezjański > układ sferyczny: Układ sferyczny > układ kartezjański: x rs y rs z r s cos sin sin sin cos. x u z z. θ O φ r s r s u u y r x y z s arctan arctan gdzie y x 0 x dla x 0 i y 0 0 dla x 0 2 dla x 0 i y 0 z 0 dla z 0 0 dla z 0 y 0 Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 11

12 Analiza pól Pole skalarne Polem skalarnym nazywamy funkcję rzeczywistą położenia i czasu. s f ( u, t) s R Pole skalarne jest więc funkcją 4 zmiennych: 3 przestrzennych i czasu. Zmienne przestrzenne zależą od stosowanego układu współrzędnych: s f ( x, y, z, t) K s f ( r,, z, t) C c s f ( r,,, t) S s Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 12

13 Pole skalarne powierzchnia ekwiskalarna Powierzchnią ekwiskalarną nazywamy zbiór punktów przestrzennych dla których wartości funkcji s w określonym czasie są stałe. s f ( u, t) s R u A ( t) s f ( u, t) const s Przykład Niech s będzie polem określonym za pomocą wzoru: s x y z Powierzchniami ekwiskalarnymi dla tego pola są powłoki kuliste (sfery) dla których odległości od początku układu są stałe. Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 13

14 Analiza pól Pole wektorowe Polem wektorowym nazywamy funkcję wektorową położenia i czasu. w f ( u, t) w R Ponieważ wektor w przestrzeni R 3 ma 3 składowe, więc funkcja f musi w sposób niezależny określać te składowe. Rodzaj tych składowych zależy od rodzaju stosowanego układu współrzędnych: w [ w, w, w ] x y z w [ w, w, w ] r c w [ w, w, w ] r s z 3 Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 14

15 Analiza pól Pole wektorowe Pole wektorowe jest zatem równoważne trzem funkcjom rzeczywistym czterech zmiennych. W zależności od rodzaju układu funkcje te mają różne postacie: w f ( u, t) [ w ( x, y, z, t), w ( x, y, z, t), w ( z, y, z, t)] K x y z w f ( u, t) [ w ( r,, z, t), w ( r,, z, t), w ( r,, z, t)] C r c c z c w f ( u, t) [ w ( r,,, t), w ( r,,, t), w ( r,,, t)] S r s s s Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 15

16 Analiza pól Pole tensorowe Polem tensorowym nazywamy funkcję tensorową położenia i czasu. T f ( u, t) W przypadku tensorów drugiego rzędu określonych w przestrzeni trójwymiarowej tensor ma 9 składowych, więc funkcja f musi w sposób niezależny określać te składowe. Każda ze składowych jest funkcją 4 zmiennych. Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 16

17 Analiza pól Pole tensorowe Pole tensorowe jest zatem równoważne 9 - ciu funkcjom rzeczywistym czterech zmiennych. W układzie kartezjańskim popularny jest macierzowy zapis tensorów: f ( u, t) f ( u, t) f ( u, t) xx xy xz T f ( u, t) f ( u, t) f ( u, t) yx yy yz f ( u, t) f ( u, t) f ( u, t) zx zy zz Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 17

18 Analiza pól Różniczkowanie Pola jako funkcje można różniczkować. Ponieważ jednak są to funkcje dosyć złożone więc również różniczkowanie nie jest proste. Ogólnie różniczkowanie jest operatorem. Istnieją różne operatory różniczkowania pól noszące różne nazwy. Najważniejsze z nich to: -gradient pola skalarnego - dywergencja pola wektorowego - rotacja pola wektorowego - laplasjan (operator Laplace a nie mylić z transformatą Laplace a) pola skalarnego Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 18

19 Analiza pól Różniczkowanie Formalne definicje poszczególnych operatorów są niezależne od rodzaju układu współrzędnych przestrzennych, jednakże nie nadają się one do obliczeń praktycznych (podobnie jak formalna definicja zwykłej pochodnej czy całki). W praktyce stosuje się wzory, których postać zależy od rodzaju układu współrzędnych. Z reguły najprostsze są wzory dla układu kartezjańskiego i te wzory przedstawię poniżej. Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 19

20 Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 20 Analiza pól Gradient pola skalarnego Operację gradientu wykonuje się na polu skalarnym. Wynikiem jest pole wektorowe. Dla układu kartezjańskiego mamy: z f y f x f s grad t z y x f s,, ) ( ),,, ( Odpowiednie wzory określające gradient w innych układach współrzędnych można znaleźć w podręcznikach lub poradnikach matematycznych.

21 Właściwości gradientu pola skalarnego Można wykazać że: 1. Operator gradientu jest liniowy tzn. obowiązuje wzór grad( s s ) grad( s ) grad( s ) gdzie α i β dowolne liczby rzeczywiste, s 1 i s 2 dowolne pola skalarne 2. Wektor gradientu wskazuje kierunek, w którym wartość pola rośnie najszybciej. 3. Wektor gradientu jest prostopadły do powierzchni ekwiskalarnej. Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 21

22 Analiza pól Dywergencja pola wektorowego Operację dywergencji wykonuje się na polu wektorowym. Wynikiem jest pole skalarne. Inne określenie tego operatora to rozbieżność. w [ w ( x, y, z, t), w ( x, y, z, t), w ( x, y, z, t)] x y z div( w) f f x y f x y z z Odpowiednie wzory określające dywergencję w innych układach współrzędnych można znaleźć w podręcznikach lub poradnikach matematycznych. Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 22

23 Niektóre właściwości operatora dywergencji pola wektorowego Można wykazać że: 1. Dywergencja jest operatorem liniowym tzn. div( w w ) div( w ) div( w ) gdzie α i β dowolne liczby rzeczywiste, w 1 i w 2 dowolne pola wektorowe 2. Zachodzi wzór: div( s w) s div( w) grad( s) w gdzie s dowolne pole skalarne, w - dowolne pole wektorowe Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 23

24 Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 24 Analiza pól Rotacja pola wektorowego Operację rotacji wykonuje się na polu wektorowym. Wynikiem jest pole wektorowe. Polskie określenie tego operatora to wirowość. [ (,,, ), (,,, ), (,,, )] ( ) [,, ] x y z x y z y z x x z y y x z w w x y z t w x y z t w x y z t rot w r r r gdzie w w r y z w w r z x w w r x y

25 Analiza pól Laplasjan pola s skalarnego Laplasjan jest operatorem złożonym składającym się z operatorów gradientu i diwergencji. Laplasjanem działamy na pole skalarne w wyniku otrzymując inne pole skalarne: f ( x, y, z, t) ( s) div[ grad( s)] Dla układu kartezjańskiego operator Laplace a jest sumą drugich pochodnych cząstkowych pola skalarnego względem współrzędnych przestrzennych: ( s) 2 x f 2 2 y f 2 2 z f 2 Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 25

26 Analiza pól Operator Hamiltona W celu uporządkowania i łatwego zapisu powyższych pojęć czasami jest stosowany tzw. operator Hamiltona oznaczony symbolem nabla. W układzie kartezjańskim jest to symboliczny wektor, którego składowymi są operatory różniczkowania względem zmiennych przestrzennych: x, y, z Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 26

27 Analiza pól Operator Hamiltona Za pomocą operatora nabla można otrzymać wszystkie do tej pory zdefiniowane pojęcia: grad() s s s div( w), w w 2 ( s) div grad( s) ( s) s rot( w) w Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 27

28 Analiza pól Pola potencjalne Operacją odwrotną do różniczkowania jest całkowanie. W przypadku pola wektorowego odpowiednikiem całki nieoznaczonej (czyli tzw. funkcji pierwotnej) może być pojęcie potencjału. Pojęcie to można definiować tylko dla tzw. pól potencjalnych. Dane pole wektorowe w nazywamy polem potencjalnym, jeżeli istnieje pole skalarne U, którego gradientem jest dane pole w. Czyli w U U U grad( U ),, x y z Potencjał danego pola (podobnie jak całka nieoznaczona) jest określony z dokładnością do pewnej stałej addytywnej. Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 28

29 Analiza pól Pola potencjalne Warunkiem koniecznym i wystarczającym aby dane pole wektorowe w było polem potencjalnym jest jego bezwirowość tzn. że jego rotacja musi być równa 0: rot( w) rot[ grad( U )] 0 Warunek ten w układzie kartezjańskim można zapisać za pomocą 3 równań: w w z y w w x w z y w y z z x x y x Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 29

30 Analiza pól Całkowanie W analizie pól rozpatruje się również operacje analogiczne do całki oznaczonej. Najważniejsze są tzw. całki objętościowe i całki powierzchniowe. Dla pola skalarnego s w zamkniętym obszarze przestrzennym Ω definiuje się całkę objętościową jako granicę: sdv u n lim s( u ) V ( ) n i 1 i i i i i i i j V( ) 0 W dowolnym układzie przestrzennym dla odpowiednio zdefiniowanego zbioru Ω można całkę objętościową zapisać za pomocą całki potrójnej W odpowiednich granicach. Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 30

31 Analiza pól Całkowanie Dla pola wektorowego w i ograniczonej powierzchni zorientowanej A definiuje się całkę powierzchniową drugiego rodzaju jako granicę: A n wd A lim ( w( u ) n) A( a ) A a a a n i 1 u a A( ) 0 i i i i i i i j W dowolnym układzie przestrzennym dla odpowiednio zdefiniowanej powierzchni A można całkę powierzchniową zapisać za pomocą całki podwójnej w odpowiednich granicach. Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 31

32 Analiza pól Twierdzenie Gaussa W szczególnym przypadku, gdy mamy dane pole wektorowe w zdefiniowane w zamkniętym obszarze Ω, którego brzegiem jest powierzchnia zorientowana na zewnątrz A całkę powierzchniową tego pola po tej powierzchni można wyrazić za pomocą całki objętościowej. Umożliwia to tzw. twierdzenie Gaussa: wd A div( w) dv A Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 32

33 Na tym kończymy dzisiejszy wykład Dziękuję bardzo Państwu za uwagę Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej