3. Metody rozwiązywania zagadnień polowych

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "3. Metody rozwiązywania zagadnień polowych"

Transkrypt

1 3. Metod rowiąwania agadnień polowch 3.. Dokładne metod anali pola Dokładne metod anali pola powalają na uskanie dokładnego rowiąania równania róŝnickowego lub całkowego w dowolnm punkcie obsaru diałania pola. Do metod dokładnch najpowsechniej stosowanch w analiie pól naleŝą: metoda bepośredniego całkowania (dla aleŝności od jednej miennej), metoda rodielania miennch (MRZ), metoda odbić wierciadlanch (MOZ), metoda prekstałceń całkowch (MPC), metoda prekstałceń konforemnch (MPK). Cęść tch metod ostanie omówiona w dalsch rodiałach. Metodami dokładnmi dają się rowiąać bardo nielicne agadnienia polowe, charakterujące się wkle nieskomplikowanm kstałtem obsaru diałania pola (np. prostokąt, koło, kula, walec, prostopadłościan), jednorodnością materiału w obsare diałania pola, specficnmi warunkami bregowmi itp. Warunki te nie są spełnione w ogromnej więksości praktcnch agadnień polowch, dla którch metod dokładnch nie da się astosować, gdŝ po prostu nie wiadomo, jakie operacje matematcne wkonać, ab uskać uŝtecn wnik. Dlatego stosuje się sereg róŝnch metod prbliŝonch. Prkład 3.. Wokół roległej blach panuje harmonicne (tj. sinusoidalnie mienne w casie) pole magnetcne, którego składowa stcna do powierchni blach wnosi H (rs. 3.a). ω H H ka = H µ γ H ka = x ka = x Rs. 3.. Prekrój blach (a) ora pole magnetcne w jej wnętru (b) dla róŝnch wartości k

2 3. Metod rowiąwania agadnień polowch W tch warunkach dala od bregów blach pole magnetcne aleŝ jednie od współrędnej x-owej, a składowa -owa natęŝenia pola magnetcnego spełnia równanie gdie d H ( x) Γ H ( x) =, (a) dx Γ = jωµγ, Γ = k + jk, k = ωµγ, (b) pr cm j jest jednostką urojoną, ω pulsacją pola H, µ prenikalnością magnetcną blach, γ jej konduktwnością elektrcną. PowŜse równanie jest róŝnickowm równaniem wcajnm drugiego rędu. Jego rowiąanie moŝna łatwo uskać be uciekania się do metod specjalnch. Po uwględnieniu warunków bregowch H ( a) = H (a) = H dostajem coshγx x) = H, (c) coshγa H ( pr cm cosh onaca kosinus hiperbolicn (cosh = (e + e )/). Rokład pola dla róŝnch wartości k obraowano na rs. 3.a i b. Prkład 3.. Pre prostokątną płtkę prepłwa prąd o natęŝeniu I. Płtka ma wmiar a b h, a elektrod dostarcające i odbierające prąd mają wmiar d h i umiescone są smetrcnie na obdwu końcach płtki (rs. 3.a). Konduktwność płtki wnosi γ. W tch warunkach potencjał elektrcn spełnia równanie Laplace a V V + x Metoda rodielania miennch prowadi do wraŝenia na potencjał ora restancję płtki I V x = x + (, ) bhγ d n= =. (a) sinλn d sinhλ x n cosλn, λn = λn coshλna n= nπ b a b sin λnd R = + tanhλ 3 na. (c) bhγ hγ d ( nπ) Prkładow rokład potencjału pokaano na rs. 3.b. (b) a h I b γ d I x b d a Rs. 3.. Płtka prądem (a) ora prkładow rokład pola dla a = b = 4d (b)

3 3.. Dokładne metod anali pola Prkład 3.3. Równolegle do roległej powierchni ferromagnetcnej o prenikalności wględnej µ r w odległości d od niej umiescono równolegle długi prewód o nikomo małm prekroju poprecnm, wiodąc prąd stał o natęŝeniu I (rs. 3.3a). Metoda odbić wierciadlanch prowadi do następującch wraŝeń opisującch potencjał wektorow pola magnetcnego: A µ I µ r ln + ln π + + x ( d) µ r x + ( + d) ( x, ) = µ I µ r ln dla <. π µ + r x + ( d) dla, Linie pole magnetcnego dla prkładowej wartości µ r pokaano na rs. 3.3b i c. c) (a) d I µ r Rs Metoda odbić wierciadlanch: a) prewód prądem stałm nad powierchnią ferromagnetcną, b) i c) linie pola magnetcnego dla µ r = (b) i µ r = (c), jaśniejse kolor wskaują obsar o duŝej energii pola Prkład 3.4. Na osi uiemionej rur metalowej o promieniu R najduje się ładunek elektrcn q (rs. 3.4a). Metoda prekstałceń całkowch prowadi do następującego wraŝenia na potencjał elektrostatcn wewnątr rur (rs. 3.4b) ( λr) ( λr) + q K V ( r, ) = I( λr) cosλ dλ, (a) 4πε r + π I gdie I (x) ora K (x) są modfikowanmi funkcjami Bessela pierwsego i drugiego rodaju rędu. q R Rs Ładunek punktow w uiemionej rure (a) ora obra pola elektrcnego (b) 3

4 3. Metod rowiąwania agadnień polowch Prkład 3.5. Dan jest kondensator clindrcn niewspółosiowmi okładinami o promieniach R, R (rs. 3.5a). Osie okładin presunięte są o wartość d, wewnętrna okładina ma potencjał U, a ewnętrna. Metoda prekstałceń konforemnch powala naleźć rokład potencjału międ okładinami (rs. 3.5b) gdie + xx + a = d + R x =, R U x + j Ra ( x, ) = Re ln V (a) ln R ax + ja R ( x x + x x )( x ), d R =, R jak równieŝ pojemność ropatrwanego kondensatora: xx + R = πεε ln R ( x )( x x x ), (b) r C =. (c) ε r R d R Rs Kondensator clindrcn niewspółosiow: a) prekrój, b) obra pola elektrcnego 3.. PrbliŜone metod anali pola 3... Metod analitcne Jednm podstawowch problemów podcas analitcnego rowiąwania agadnień polowch jest wnacenie postaci analitcnej rowiąania. Jak juŝ wŝej wspomniano, nie awse wiadomo, jakie operacje wkonać, ab uskać wraŝenie o uŝtecnej postaci. PrbliŜone metod analitcne omijają ten problem popre pewne ałoŝenia dotcące postaci rowiąania lub sposobu rowiąwania agadnienia. Do metod tego rodaju moŝna alicć m.in.: metodę kolejnch prbliŝeń, metodę Rita, 4

5 3.. PrbliŜone metod anali pola metodę Treffa, metodę Bubnova-Galerkina. Pierwsa nich polega na polega na sukceswnm najdowaniu prbliŝonch worów wraŝającch rowiąanie cora to więksą dokładnością. W scególnch prpadkach moŝliwe jest naleienie rowiąania dokładnego popre jego odgadnięcie na podstawie ciągu kolejnch prbliŝeń, ale na cęsto poostaje się tlko pr drugim lub trecim prbliŝeniu, które w praktce okauje się wstarcająco dokładne. Tr poostałe metod polegają na prjęciu, Ŝe rowiąanie naleŝ do pewnej klas funkcji awierającej pewne parametr, które następnie wnaca się tak, ab uskać jak najdokładniejse rowiąanie. Jednak i takie podejście jest w wielu prpadkach niewstarcające, gdŝ naleienie funkcji wstarcająco dokładnie prbliŝającej posukiwane rowiąanie jest bardo cęsto praktcnie niewkonalne, własca w prpadku bardiej łoŝonch kstałtów obsaru diałania pola. Poostaje wted korstanie innch metod prbliŝonch. Prkład 3.6. Wróćm do prkładu 3., w którm równanie (a) dla H uskano równań Maxwella. Z uwagi na prjęte tam onacenia i uproscenia równania Maxwella moŝna apisać jako H x które moŝna prekstałcić do = J E, E = γj, = x H dx, H ( x) = jωµh, (a) J ( x) = jωµγ J ( x) dx. (b) Metoda kolejnch prbliŝeń, wana w tm prpadku metodą kolejnch reakcji prądów wirowch, astosowana do tch równań pocątkową wartością H = H prowadi do ( Γx) + ( Γx) + ( Γx) +... H ( x) = H 4 7. (c) ( Γa) + ( Γa) + ( Γa) Łatwo auwaŝć, Ŝe seregi w licniku i mianowniku są rowinięciami w sereg Talora coshγx ora coshγa, a stąd otrmuje się aleŝność (c) prkładu 3.. JeŜeli nie da się odgadnąć postaci końcowej, to cęsto kilka wraów daje wstarcająco dokładn w praktce wnik (rs. 3.6). Prkład 3.7. Stosując metodę Rita próbnm rowiąaniem prkładu 3. w postaci H 4 4 ( x) = H + C ( a x ) + C ( a ), (a) x dostajem rowiąanie automatcnie spełnione warunki bregowe H (a) = H ( a) = H, pr cm wartości nienanch pocątkowo stałch C i C wnacam minimaliując funkcjonał agadnienia. W efekcie dostajem (rs. 3.6) C 7 Γ a 8 4 = Γ H 4 4, C = Γ H. (b) 4 4 4Γ a + 8Γ a Γ a + 8Γ a

6 3. Metod rowiąwania agadnień polowch Rs RóŜnica międ rowiąaniem uskanch metodą kolejnch prbliŝeń (linia fioletowa, tr wra) i metodą Rita (linia niebieska) a rowiąaniem dokładnm prkładu 3.: a) ka =, b) ka = Metod numercne Metod numercne sprowadają rowiąwanie równania róŝnickowego lub całkowego do rowiąwania układu liniowch równań algebraicnch. Rowiąanie generowane pre numercne metod rowiąwania równań ma atem postać bioru licb określającch wartość funkcji pola w wbranch punktach obsaru diałania pola. Powoduje to, Ŝe kaŝda miana parametrów wmiarowch, materiałowch lub źródłowch powoduje koniecność ponownego rowiąwania problemu, gdŝ dla róŝnch wartości parametrów rowiąaniem numercnm będie inn estaw licb. Poostaje to w kontraście do metod analitcnch ra naleione rowiąanie analitcne opisuje awcaj całą klasę rowiąań dla róŝnej sił źródeł pola (np. napięcia), wartości parametrów materiałowch (np. konduktwności obsaru) c wmiarów prestrennch obsaru diałania pola. Zmiana wartości parametru sprowada się atem do podstawienia we wore jogo nowej wartości. Metod numercne pobawione są tej alet, a poa tm awse obarcone są pewnmi błędami wnikającmi astąpienia orginalnego agadnienia jego numercnm odpowiednikiem. Do najcęściej stosowanch metod numercnch naleŝą: metoda elementów skońconch (MES), metoda róŝnic skońconch (MRS), metoda elementów bregowch (MEB), metoda kolokacji (scególn prpadek ogólniejsej metod momentów). Niektóre nich ostaną omówione w dalsej cęści ksiąŝki. Prkład 3.8. Prkład 3. rowiąan metodą róŝnic skońconch dla 6 węłów umiejscowionch równomiernie wdłuŝ grubości prewodu dla k = 3 prowadi do wników pokaanch na rs Ze wględu na smetrię uwględniono jednie prawą połowę obsaru. 6

7 i x i H i/h MRS 3.. PrbliŜone metod anali pola H dok(x i)/h wór (c) prkładu 3.,,89 j,,98 j,4,,8 j,54,9 j,49 3,4,35 j,44,45 j,48 4,6,5 j,6,9 j,7 5,8,45 j,93,455 j,36 6,,, Rs Metoda róŝnic skońconch rowiąanie prkładu 3. dla ka = 3 i 6 węłów Prkład 3.9. Jak prkład dla MES, rowaŝm obsar o kstałcie pokaanm na rs. 3.8a, któr predstawia pewną płtkę prewodącą warunkami bregowmi. W obsare płtki potencjał elektrcn spełnia dwuwmiarowe równanie Laplace a. Do dolnej krawędi prłoŝono potencjał V, a do górnej krawędi otworu potencjał V. W efekcie popłnie prąd, którego linie wnacone a pomocą MES pokaano na rs. 3.8b. Widocne są na nim równieŝ linie ekwipotencjalne (kolorowe), strałki wskaujące kierunek prepłwu prądu, ich długość jest proporcjonalna do gęstości prądu w danm punkcie. Zanacono takŝe końcow podiał na element skońcone. 5 5,5,5 7,5 D: D: 7,5 5 5,5,5 7,5 7,5 5 5,5,5 D: D: D: D:,5 5 7,5,5 5 7,5,5 5,5 5 7,5,5 5 7,5,5 5 Rs Metoda elementów skońconch: a) obsar warunkami bregowmi, b) linie pola prądu (carne), linie ekwipotencjalne (kolorowe), pole gęstości prądu (strałki), w tle podiał na element skońcone Prkład 3.. PoniŜej amodelowano pole magnetcne wtworone pre cewkę prądem nawiniętą na rdeniu ferromagnetcnm w kstałcie liter C (rs. 3.9a). Potencjał wektorow spełnia tutaj równanie Poissona w obsare cewki ora równanie Laplace a w poostałm obsare. Rowiąanie wgenerowane pre metodę elementów bregowch pokaano na rs. 3.9b. 7

8 3. Metod rowiąwania agadnień polowch Rs Metoda elementów bregowch: a) geometria agadnienia podiałem na element bregowe i obsarowe, b) linie pola magnetcnego naniesionm podiałem Prkład 3.. Z powodu indukcji elektromagnetcnej prąd nie płnie całm prekrojem poprecnm prewodu równomiernie, lec jest wpieran na ewnątr. Jest to tw. efekt wpierania. Gęstość prądu w prpadku długiego prostoliniowego prewodnika ma tlko składową wdłuŝną, dla której moŝna ułoŝć równanie całkowe o postaci U J (, ) j (, )ln d d x + k J x x + γ π ( x x ) + ( ) l Ω =, (a) gdie J (x, ) jest gęstością prądu w punkcie (x, ), k = ωµγ/, ω pulsacja prądu, µ prenikalność magnetcna prewodu, γ konduktwność prewodu, U napięcie na odcinku o długości l. PowŜse równanie moŝna rowiąać m.in. metodą kolokacji. Wkres pokaane na rs. 3. predstawiają moduł wględnej gęstości prądu ora presunięcie faowe wględem całkowitego natęŝenia prądu płnącego w prewodie o prekroju kwadratowm dla pewnej cęstotliwości. Rs. 3.. Rokład modułu (a) i fa (b) gęstości prądu w prewodie o prekroju kwadratowm wiodącm prąd sinusoidalnie mienn dla ka = 5, gdie a bok kwadratu; wniki uskane metodą kolokacji, anacono dskretację 8

9 3..3. Metod analogowe 3.. PrbliŜone metod anali pola Metod numercne wmagają na ogół ułoŝenia układu równań i jego rowiąania. Problem w tm, Ŝe są to bardo duŝe układ równań, w którch licba niewiadomch to cęsto kilkaset, kilka tsięc, a nawet setki tsięc. Jest jasne, Ŝe tak ogromne układ równań mogą bć rowiąane tlko pre odpowiednio sbkie komputer, a i to wmaga niera długotrwałch obliceń. Wad tej moŝna uniknąć w metodach analogowch. Polegają one na astąpieniu orginalnego równania układem równań dskretnch, dla którch buduje się następnie schemat blokow operacji analogowch (tj. niecfrowch). Schemat ten realiuje się następnie popre budowanie odpowiedniego układu elektronicnego, mechanicnego lub popre smulowanie na komputere. Prkładem moŝe bć modelowanie linii długiej a pomocą cwórników. Niektóre metod analogowch wkorstują analogie pomięd róŝnmi jawiskami, np. prepłwem prądu stałego i nieturbulentnm prepłwem nieściśliwej ciec. Wted rowiąwanie orginalnego problemu astępuje się rowiąwaniem innego, opisanego analogicnmi równaniami, lec prostsego w realiacji pomiarowej. Do metod tego rodaju naleŝą metod modelowania pól a pomocą siatek restorów, tkanin prewodącch lub wanien elektrolitcnch. Prkład 3.. Ropatrm równanie Laplace a V V + x =. (a) Metoda róŝnic skońconch dla równomiernej siatki węłów (rs. 3.a) prowadi do postaci dskretnej tego równania 4 i, j i, j i+, j i, j i, j+ = V V V V V. (b) Identcne równanie dostaniem dla węła na precięciu i-tej kolumn i j-tego wiersa prostokątnej sieci restorów (rs. 3.b). Onaca to, Ŝe dskretna postać równania Laplace a moŝe bć rowiąwana analogowo a pomocą siatki restorów. j=j i i, j+ i, j+ i, j i, j i+, j i, j i, j i+, j j j= h h i, j j= i= i= i=i i, j R R Rs. 3.. Siatkowe modelowanie pól: a) siatka MRS dla obsaru dwuwmiarowego, b) fragment siatki restorów modelującej agadnienia opisane równaniem Laplace a (wróŝniono jeden węłów wra jego sąsiadami wstępującmi w równaniu (b)) 9

10 3. Metod rowiąwania agadnień polowch Metod hbrdowe Istnieją agadnienia, wkle bardiej łoŝone, które trudno jest rowiąać wŝej omówionmi metodami. Wted stosuje się metod hbrdowe (miesane), tn. w pewnej cęści obsaru diałania pola stosuje się jedną metodę, np. MES, a w poostałej cęści inna metodę, np. MEB lub MRZ. Do najcęściej stosowanch metod hbrdowch naleŝą: MES + MEB, MES + MRZ. Prkład 3.3. Dwuwarstwowa brła (tutaj kula) dielektrcna (rs. 3.a) najduje się w ewnętrnm równomiernm polu elektrcnm. Jest to tw. agadnienie bregiem otwartm, tn. obsar diałania rociąga się teoretcnie do nieskońconości. W prpadku brł o dowolnm kstałcie nie da się astosować metod analitcnej, więc poostają metod prbliŝone numercne. Zastosowanie tw. metod obsarowch (np. MES lub MRS) jest utrudnione e wględu na nieogranicon obsar diała pola. Dobre nadawałab się MEB, ale utrudnia to niejednorodność brł (dwie warstw o róŝnch właściwościach elektrcnch). Zatem sensowne jest astosowanie MES dla obsaru brł i MEB dla obsaru ewnętrnego. Rsunki 3.a i b pokaują obra pola w wbranch prekrojach brł x x Rs. 3.. Prkładowe agadnienie rowiąwane hbrdową metodą MES/MEB: a) geometria obsaru (róŝne kolor odpowiadają róŝnm właściwościom elektrcnm brł), anacono podiał na element skońcone (cworościan) ora bregowe (trójkąt) ora do celu wiualiacjnch usunięto cęść brł w celu uwidocnienia wewnętrnej struktur brł, b) wkres kombinowan obrau pola: kontur ekwipotencjalne, natęŝenie pola elektrcnego (strałki), połowa brł usunięta wiualiacji Zastosowanie procesu iteracjnego Proces iteracjn polega na sukceswnm poprawianiu uskanego wceśniej rowiąania, pr cm poprawianie to odbwa się pre powtaranie procesu rowiąwania jedną wceśniej omówionch metod, wkle jednej metod numercnch. Ogóln schemat metod iteracjnej jest pokaan na rs. 3.3.

11 3.. PrbliŜone metod anali pola START Znajdź rowiąanie startowe Znajdź kolejne prbliŝenie C dokładność wstarcająca? N C wkonano maks. licbę iteracji? N T T STOP Rs Schemat procesu iteracjnego Wnika niego, Ŝe najpierw prjmuje się pewne rowiąanie startowe, które później poprawia się sukceswnie aŝ do uskania wmaganej dokładności lub teŝ po wkonaniu gór adanej licb iteracji. Proces iteracjn moŝe dotcć róŝnch metod i agadnień, np.: wnacania kolejnego prbliŝenia rowiąania analitcnego w metodie kolejnch prbliŝeń, wnacania kolejnego prbliŝenia rowiąania równania lub układu równań w metodie numercnej, wnacania kolejnego prbliŝenia rowiąania numercnego agadnienia nieliniowego. Prkład 3.4. Dla ilustrowania procesu iteracjnego rowaŝm następując równanie x = cos x. Rowiąania tego równania nie da wraić się w postaci skońconej. Jest to tw. równanie prestępne. Z rs. 3.4 wnika, Ŝe rowiąanie istnieje i najduje się w prediale [, ]. Prjmując atem pewne x (), moŝem wnacć x () = cosx (). Ogólnie, w k-tej iteracji mam x (k) = cosx (k ). W ten sposób otrmujem ciąg kolejnch prbliŝeń rowiąania, któr w pewnch warunkach jest bieŝn do rowiąania dokładnego. k x (k),543 3, ,6549 5, ,73985 Dokładne rowiąanie (do 6 cfr),73985 Rs Ilustracja iteracjnego rowiąwania równania nieliniowego x = cosx.

12 3. Metod rowiąwania agadnień polowch Z powŝsego prkładu wnika, Ŝe kolejne prbliŝenie rowiąania wnaca się na podstawie popredniego, co moŝna dość ogólnie apisać jako ( k ) ( k ) x = f ( x ), (3.) gdie k onaca numer iteracji, a f jest prekstałceniem wnacającm nową wartość rowiąania na podstawie popredniej. W ostatnim prkładie prekstałcenie f bło opisane funkcją kosinus. Proces taki moŝe bć dość wolno bieŝn, jak to bło widać w prkładie. MoŜna go prspiesć, stosując tw. metodę relaksacji, w której k-te prbliŝenie wnaca się jako gdie x jest poprawką równą x ( k ) = x ( k ) + x, (3.) ( k ) ( k ) x = ω[ f ( x ) x ]. (3.3) Parametr ω nosi nawę współcnnika relaksacji i aleŝnie od agadnienia prjmuje wartości prediału (, ). Najwięks kłopot polega na tm, Ŝe wartość ω dobiera się wkle ekspermentalnie dla danego agadnienia. Jednak dla wielu tpów agadnień wartość ta jest nana. Jako krterium uskania wmaganej dokładności moŝna prjąć max dla miennej skalarnej ora jego odpowiednik ( k) x δ x (3.4) x j δ j max j ( k ) j ( x ) (3.5) dla miennej wektorowej, pr cm δ max jest maksmalnm dopuscalnm błędem wględnm, np. δ max = 5. Prkład 3.5. W ostatnim prkładie mieliśm do cnienia osclacjnm procesem iteracjnm (tn. kolejne prbliŝenia osclował wokół rowiąania dokładnego). Rowiąanie dokładnością do 6 cfr otrmaliśm dopiero po 37 iteracjach. Prjmując ω =,8 otrmam Ŝądaną dokładność juŝ po 4 iteracjach, dla ω =,6 po 6 iteracjach: ;.6;,735;,73998;,73985;, Nieodpowiednie wartości ω mogą wdłuŝć proces bieŝności (np. dla ω =, potreba 8 iteracji) lub spowodować robieŝność procesu iteracjnego (np. ω =,3) Metod rowiąwania agadnień odwrotnch Rowiąwania agadnienia odwrotnego polega wkle na minimaliacji pewnej funkcji, wanej funkcją celu. Minimaliacja ta odbwa się cęsto w ten sposób, Ŝe prjmuje się pewne rowiąanie wstępne, a następnie metodą iteracji

13 3.3. Metod rowiąwania agadnień odwrotnch poprawia się je, pr cm poprawianie to odbwać się moŝe na róŝne sposob, które moŝna ogólnie podielić na deterministcne ora stochastcne Metod deterministcne Do metod deterministcnch naleŝą m.in.: metoda najwięksego spadku, metoda gradientów spręŝonch, metoda Newtona i jej odmian (metod quasi-newtonowskie). Metod deterministcne posukują minimum lokalnego funkcji celu w analiowanm prediale mienności posukiwanch parametrów. JeŜeli funkcja celu jest wpukła, to minimum lokalne jest równieŝ minimum globalnm i metod deterministcne diałają dobre. W prpadku funkcji celu o wielu minimach lokalnch astosowanie metod deterministcnch moŝe doprowadić do jednego minimów, które niekoniecnie będie minimum globalnm. Pomaga tutaj odpowiedni dobór pocątkowej postaci rowiąania, pr którm nieodowna jest duŝa wieda i doświadcenie inŝniera Metod stochastcne Metod deterministcne cechują się na ogół stosunkowo duŝą łoŝonością matematcną i mogą łatwo doprowadić do utknięcia w minimum lokalnm. Wad tch nie mają metod stochastcne, do którch naleŝą: metoda Monte Carlo, metoda algortmów genetcnch, metoda smulowanego wŝarania. O ile w metodach deterministcnch kolejne prbliŝenie rowiąania wnacane jest w ścisłm powiąaniu dotchcasowo uskanm rowiąaniem, o tle metodach stochastcnch kolejne prbliŝenie wnaca się na drode pewnej losowości. Dięki temu istnieje moŝliwość wrwania się minimum lokalnego, lec uskanie wstarcająco dokładnego rowiąania okupione jest na ogół bardo duŝą licbą iteracji. Iteracje te są jednak stosunkowo proste, a dodatkowo metod stochastcne nie wmagają ciągłości ani róŝnickowalności funkcji celu, jak ma to miejsce w prpadku metod deterministcnch Metod hbrdowe Metod deterministcne wmagają na ogół nacnie mniejsej licb iteracji niŝ metod stochastcne, ale mają tę wadę, Ŝe mogą prowadić do minimum lokalnego, a nie globalnego. Metod stochastcne są nacnie wolniej bieŝne, ale powalają na ucieckę minimum lokalnego. Dlatego celowe jest połącenie obdwu metod. Zawcaj w pierwsej faie stosuje się metodę stochastcną w celu lokaliowania okolic minimum globalnego, a kied efektwność metod 3

14 3. Metod rowiąwania agadnień polowch stochastcnej spada, co objawia się bardo powolną bieŝnością, prechodi się do astosowania metod deterministcnej, która sbko daje dokładne połoŝenie minimum. Do scególnie chętnie stosowanch metod naleŝą: metoda smulowanego wŝarania i metoda spręŝonch gradientów, metoda algortmów genetcnch i jedna metod deterministcnch Metoda pochodnej materiałowej Metoda pochodnej materiałowej stosowana jest do projektowania kstałtu obsaru. Polega ona na prjęciu pewnego wjściowego kstałtu i prekstałcenia mieniającego ten kstałt wra upłwem casu. Następnie sukam takiego casu, w którm funkcja celu osiągnie minimum. Powala to naleźć kstałt optmaln wśród tch, które dopusca prjęte prekstałcenie Wkorstanie sieci neuronowch Stucne sieci neuronowe to struktur budowane na wór sieci neuronowch mógu, jednak o nacnie mniejsej łoŝoności. Tpowa sieć składa się pewnej licb wejść, na które podaje się dane wejściowe, ora pewnej licb wjść, którch odctuje się sgnał interpretowane jako wniki obliceń. Pomięd wejściami a wjściami najduje się sereg neuronów ułoŝonch wkle w warstw. Stucne sieci neuronowe stosuje się do rowiąwania róŝnego rodaju adań, w tm odwrotnch agadnień polowch. W pierwsej faie sieć naleŝ naucć poprawnego podawania wników dla nanch prpadków, co polega na podawaniu na wejścia danch, odctwaniu wników wjść i porównwaniu ich wnikami poprawnmi, a następnie korgowaniu tw. wag neuronów (pewnch parametrów determinującch ich diałanie). Proces ten powtara się iteracjnie i końc, gd wniki otrmwane wjść są stosunkowo poprawne. W dalsm etapie na wejścia moŝna podać dane, dla którch rowiąanie nie jest nane, a wniki odctane wjść traktuje się jako rowiąanie agadnienia. Zaletą takiego postępowania jest sbkość uskania rowiąania, jeŝeli dsponujem juŝ naucona siecią. Podstawową wadą jest to, Ŝe nie ma Ŝadnego dowodu na poprawność wników dawanch pre sieci. Z praktki wiadomo, Ŝe sieci tego rodaju diałają dobre dla danch wejściowch podobnch do tch, na którch sieć ucono. Dla danch nacnie odbiegającch od tego worca wniki generowane pre sieć mogą (choć nie musą) bć całkowicie absurdalne. 4

Przestrzeń liniowa R n.

Przestrzeń liniowa R n. MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Prestreń liniowa R n. Element (wektor) prestreni R n będiem onacać [,,, ] Element erow [,, L, ]. Diałania. a) ilocn element pre licbę: b) sma elementów [ c, c, ] c L, c

Bardziej szczegółowo

napór cieczy - wypadkowy ( hydrostatyczny )

napór cieczy - wypadkowy ( hydrostatyczny ) 5. apór hdrostatcn i równowaga ciał płwającch Płn najdując się w stanie równowagi oddiałwuje na ścian ogranicające ropatrwaną jego objętość i sił te nawane są naporami hdrostatcnmi. Omawiana problematka

Bardziej szczegółowo

ANALIZA KONSTRUKCJI POWŁOKOWEJ. CIENKOŚCIENNY ZBIORNIK CIŚNIENIOWY

ANALIZA KONSTRUKCJI POWŁOKOWEJ. CIENKOŚCIENNY ZBIORNIK CIŚNIENIOWY Cw3_biornik.doc ANALIZA KONTRUKCJI POWŁOKOWEJ. CIENKOŚCIENNY ZBIORNIK CIŚNIENIOWY 1. W P R O W A D Z E N I E Ciało utworone pre dwie akrwione powierchnie nawane jest powłoką, jeśli preciętna odlełość pomięd

Bardziej szczegółowo

4.2.1. Środek ciężkości bryły jednorodnej

4.2.1. Środek ciężkości bryły jednorodnej 4..1. Środek ciężkości rł jednorodnej Brłą jednorodną nawam ciało materialne, w którm masa jest romiescona równomiernie w całej jego ojętości. Dla takic ciał arówno gęstość, jak i ciężar właściw są wielkościami

Bardziej szczegółowo

ZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE

ZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE KOMISJA BUDOWY MASZYN PAN ODDZIAŁ W POZNANIU Vol. 6 nr Archiwum Technologii Masn i Automatacji 6 ROMAN STANIEK * ZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE W artkule predstawiono ależności matematcne

Bardziej szczegółowo

J. Szantyr - Wykład 7 Ruch ogólny elementu płynu

J. Szantyr - Wykład 7 Ruch ogólny elementu płynu J. Santr - Wkład 7 Rch ogóln element płn Rch ogóln ciała stwnego można predstawić jako smę premiescenia liniowego i obrot. Ponieważ płn nie mają stwności postaciowej, w rch płn dochodi dodatkowo do odkstałcenia

Bardziej szczegółowo

P K. Położenie punktu na powierzchni kuli określamy w tym układzie poprzez podanie dwóch kątów (, ).

P K. Położenie punktu na powierzchni kuli określamy w tym układzie poprzez podanie dwóch kątów (, ). Materiał ddaktcne Geodeja geometrcna Marcin Ligas, Katedra Geomatki, Wdiał Geodeji Górnicej i Inżnierii Środowiska UKŁADY WSPÓŁZĘDNYCH NA KULI Pierwsm prbliżeniem kstałtu Ziemi (ocwiście po latach płaskich

Bardziej szczegółowo

Postać Jordana macierzy

Postać Jordana macierzy Rodiał 8 Postać Jordana macier 8.1. Macier Jordana Niech F = R lub F = C. Macier J r () F r r postaci 1. 1... J r () =..........,.... 1 gdie F, nawam klatką Jordana stopnia r. Ocwiście J 1 () = [. Definicja

Bardziej szczegółowo

Strukturalne elementy symetrii. Krystalograficzne grupy przestrzenne.

Strukturalne elementy symetrii. Krystalograficzne grupy przestrzenne. Uniwerstet Śląski Insttut Chemii Zakład Krstalografii Laboratorium Krstalografii Strukturalne element smetrii. Krstalograficne grup prestrenne. god. Cel ćwicenia: aponanie się diałaniem elementów smetrii

Bardziej szczegółowo

Graficzne modelowanie scen 3D. Wykład 4

Graficzne modelowanie scen 3D. Wykład 4 Wkład 4 Podstawowe pojęcia i definicje . Modelowanie. Definicja Model awiera wsstkie dane i obiekt ora wiąki pomięd nimi, które są niebędne do prawidłowego wświetlenia i realiowania interakcji aplikacją,

Bardziej szczegółowo

Transformator Φ M. uzwojenia; siła elektromotoryczna indukowana w i-tym zwoju: dφ. = z1, z2 liczba zwojów uzwojenia pierwotnego i wtórnego.

Transformator Φ M. uzwojenia; siła elektromotoryczna indukowana w i-tym zwoju: dφ. = z1, z2 liczba zwojów uzwojenia pierwotnego i wtórnego. Transformator Φ r Φ M Φ r i i u u Φ i strumień magnetycny prenikający pre i-ty wój pierwsego uwojenia; siła elektromotorycna indukowana w i-tym woju: dφ ei, licba wojów uwojenia pierwotnego i wtórnego.

Bardziej szczegółowo

DryLin T System prowadnic liniowych

DryLin T System prowadnic liniowych DrLin T Sstem prowadnic liniowch Prowadnice liniowe DrLin T ostał opracowane do astosowań wiąanch automatką i transportem materiałów. Chodiło o stworenie wdajnej, beobsługowej prowadnic liniowej do astosowania

Bardziej szczegółowo

ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE

ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE P O L I T E C H N I K A W A R S Z A W S K A WYDZIAŁ BUDOWNICTWA, MECHANIKI I PETROCHEMII INSTYTUT INŻYNIERII MECHANICZNEJ ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE Optymaliacja transportu wewnętrnego w akładie mechanicnym

Bardziej szczegółowo

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH ZADANIA ZAMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0 B. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa B. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba

Bardziej szczegółowo

Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL)

Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL) arek isyński BO UŁ 007 - Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) -. Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) Zadaniem WPL naywamy następująe adanie optymaliaji liniowej: a a m L O L L O L L a a n n

Bardziej szczegółowo

Informacje uzupełniające: Wyboczenie z płaszczyzny układu w ramach portalowych. Spis treści

Informacje uzupełniające: Wyboczenie z płaszczyzny układu w ramach portalowych. Spis treści S032a-PL-EU Informacje uupełniające: Wybocenie płascyny układu w ramach portalowych Ten dokument wyjaśnia ogólną metodę (predstawioną w 6.3.4 E1993-1-1 sprawdania nośności na wybocenie płascyny układu

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu miennch wkład MATEMATYKI Automatka i robotka studia niestacjonarne sem II, rok ak 2009/2010 Katedra Matematki Wdiał Informatki Politechnika Białostocka Niech R ndef ={( 1, 2,, n ): 1 R 2

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie funkcji inżynierskich w arkuszach kalkulacyjnych zadania z rozwiązaniami

Zastosowanie funkcji inżynierskich w arkuszach kalkulacyjnych zadania z rozwiązaniami Tadeus Wojnakowski Zastosowanie funkcji inżynierskich w arkusach kalkulacyjnych adania rowiąaniami Funkcje inżynierskie występują we wsystkich arkusach kalkulacyjnych jak Excel w MS Office Windows cy Gnumeric

Bardziej szczegółowo

Document: Exercise-03-manual --- 2014/12/10 --- 8:54--- page 1 of 8 INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 3. Optymalizacja wielowarstwowych płyt laminowanych

Document: Exercise-03-manual --- 2014/12/10 --- 8:54--- page 1 of 8 INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 3. Optymalizacja wielowarstwowych płyt laminowanych Document: Exercise-03-manual --- 2014/12/10 --- 8:54--- page 1 of 8 PRZEDMIOT TEMAT KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydiał Mechanicny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 3 1. CEL ĆWICZENIA Wybrane

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9. Baza Jordana

Rozdział 9. Baza Jordana Rodiał 9 Baa Jordana Niech X będie n wmiarową prestrenią wektorową nad ciałem F = R lub F = C Roważm dowoln endomorfim f : X X Wiem, że postać macier endomorfimu ależ od wboru ba w prestreni X Wiem również,

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 5 BADANIE ZASILACZY UPS

ĆWICZENIE 5 BADANIE ZASILACZY UPS ĆWICZENIE 5 BADANIE ZASILACZY UPS Cel ćwicenia: aponanie budową i asadą diałania podstawowych typów asilacy UPS ora pomiar wybranych ich parametrów i charakterystyk. 5.1. Podstawy teoretycne 5.1.1. Wstęp

Bardziej szczegółowo

PRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE. WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) ŚLIMAKOWE HIPERBOIDALNE. o zebach prostych. walcowe. o zębach.

PRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE. WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) ŚLIMAKOWE HIPERBOIDALNE. o zebach prostych. walcowe. o zębach. CZOŁOWE OWE PRZEKŁADNIE STOŻKOWE PRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) HIPERBOIDALNE ŚLIMAKOWE o ebach prostych o ębach prostych walcowe walcowe o ębach śrubowych o

Bardziej szczegółowo

25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx

25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx 5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.

Bardziej szczegółowo

Metody dokładne w zastosowaniu do rozwiązywania łańcuchów Markowa

Metody dokładne w zastosowaniu do rozwiązywania łańcuchów Markowa Metody dokładne w astosowaniu do rowiąywania łańcuchów Markowa Beata Bylina, Paweł Górny Zakład Informatyki, Instytut Matematyki, Uniwersytet Marii Curie-Skłodowskiej Plac Marii Curie-Skłodowskiej 5, 2-31

Bardziej szczegółowo

Analiza transformatora

Analiza transformatora ĆWICZENIE 4 Analia transformatora. CEL ĆWICZENIA Celem ćwicenia jest ponanie bodowy, schematu astępcego ora ocena pracy transformatora.. PODSTAWY TEORETYCZNE. Budowa Podstawowym adaniem transformatora

Bardziej szczegółowo

Rozważa się dwa typy odwzorowań: 1. Parametryzacja prosta

Rozważa się dwa typy odwzorowań: 1. Parametryzacja prosta WYKŁAD MODELOWANIE I WIZUALIZACJA TEKSTURY. Co to jest tekstra obiekt T(,, (,, t( =... tn(,,,, Plan wkład: Co to jest tekstra? Generowanie worów tekstr Wialiaja tekstr Filtrowanie tekstr Co może oiswać

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH LICZBY ZESPOLONE

ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH LICZBY ZESPOLONE . Oblicyć: ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH a) ( 7i) ( 9i); b) (5 i)( + i); c) 4+3i ; LICZBY ZESPOLONE d) 3i 3i ; e) pierwiastki kwadratowe 8 + i.. Narysować biór tych licb espolonych, które spełniają warunek:

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA OGÓLNA. Semestr: II (Mechanika I), III (Mechanika II), rok akad. 2013/2014

MECHANIKA OGÓLNA. Semestr: II (Mechanika I), III (Mechanika II), rok akad. 2013/2014 MECHANIKA OGÓLNA Semestr: II (Mechanika I), III (Mechanika II), rok akad. 2013/2014 Licba godin: sem. II *) - wkład 30 god., ćwicenia 30 god. sem. III *) - wkład 30 god., ćwicenia 30 god., ale dla kier.

Bardziej szczegółowo

Część 1 2. PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH 1 2. PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH Wstęp

Część 1 2. PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH 1 2. PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH Wstęp Cęść 1. PRC SIŁ WEWNĘTRZNYCH 1.. PRC SIŁ WEWNĘTRZNYCH.1. Wstęp Na wstępie prpomnijm, że gd premiescenie danego eementu jest funkcją diałającej nań sił Δ = f(p), to praca sił na tm premiesceniu jest równa:

Bardziej szczegółowo

Automatyczna kompensacja mocy biernej z systemem monitorowania kopalnianej sieci 6 kv

Automatyczna kompensacja mocy biernej z systemem monitorowania kopalnianej sieci 6 kv dr inż MARIAN HYLA Politechnika Śląska w Gliwicach Automatycna kompensacja mocy biernej systemem monitorowania kopalnianej sieci 6 kv W artykule predstawiono koncepcję, realiację ora efekty diałania centralnego

Bardziej szczegółowo

Global Positioning System (GPS) zasada działania

Global Positioning System (GPS) zasada działania Global Positioning Sstem GPS asada diałania Metoda wnacania pocji GPS apewnia pocję 3D -,, H. Parametr nawigacjn odległość odbiornika od SV. Odległość od SV wlicana na podstawie pomiaru casu podcas prebtej

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASACH I - III GIMNAZJUM. Rok szkolny 2015/16

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASACH I - III GIMNAZJUM. Rok szkolny 2015/16 WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASACH I - III GIMNAZJUM Rok skolny 2015/16 POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: (2) - ocena dopscająca (2); (3) - ocena dostatecna (3); (4) - ocena dobra (4);

Bardziej szczegółowo

Wykład 4: Fraktale deterministyczne i stochastyczne

Wykład 4: Fraktale deterministyczne i stochastyczne Wykład 4: Fraktale deterministycne i stochastycne Fiyka komputerowa 005 Kataryna Weron, kweron@ift.uni.wroc.pl Co to jest fraktal? Złożona budowa dowolnie mały jego fragment jest równie skomplikowany jak

Bardziej szczegółowo

1. Podstawy rachunku wektorowego

1. Podstawy rachunku wektorowego 1 Postaw rachunku wektorowego Wektor Wektor est wielkością efiniowaną pre ługość (mouł) kierunek iałania ora wrot Dwa wektor o tm samm moule kierunku i wrocie są sobie równe Wektor presunięt równolegle

Bardziej szczegółowo

Mechanika Robotów. Wojciech Lisowski. 2 Opis położenia i orientacji efektora Model geometryczny zadanie proste

Mechanika Robotów. Wojciech Lisowski. 2 Opis położenia i orientacji efektora Model geometryczny zadanie proste Katedra Robotki i Mechatroniki Akademia Górnico-Hutnica w Krakowie Mechanika Robotów Wojciech Lisowski Opis położenia i orientacji efektora Model geometrcn adanie proste Mechanika Robotów KRIM, AGH w Krakowie

Bardziej szczegółowo

Fale skrętne w pręcie

Fale skrętne w pręcie ae skrętne w ręcie + -(+) eement ręta r π ) ( 4 Lokane skręcenie o () moment skręcając moduł stwności r romień ręta r 4 ) ( π Pod włwem wadkowego momentu eement ręta uskuje rsiesenie kątowe i sełnion jest

Bardziej szczegółowo

Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli

Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli napisał Michał Wierzbicki Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli Rozważmy kulę o promieniu R, wykonaną z materiału ferromagnetycznego o stałej magnetyzacji M = const, skierowanej wzdłuż osi z. Gęstość

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie środka ścinania w prętach o przekrojach niesymetrycznych

Wyznaczanie środka ścinania w prętach o przekrojach niesymetrycznych Insttut Mechaniki i Inżnierii Obliceniowej Wdiał Mechanicn echnologicn Politechnika Śląska www.imio.polsl.pl LBORORIUM WYRZYMŁOŚCI MERIŁÓW Wnacanie środka ścinania w prętach o prekrojach niesmetrcnch WYZNCZNIE

Bardziej szczegółowo

Księgarnia PWN: David J. Griffiths - Podstawy elektrodynamiki

Księgarnia PWN: David J. Griffiths - Podstawy elektrodynamiki Księgarnia PWN: David J. Griffiths - Podstawy elektrodynamiki Spis treści Przedmowa... 11 Wstęp: Czym jest elektrodynamika i jakie jest jej miejsce w fizyce?... 13 1. Analiza wektorowa... 19 1.1. Algebra

Bardziej szczegółowo

2.3.1. Iloczyn skalarny

2.3.1. Iloczyn skalarny 2.3.1. Ilon sklrn Ilonem sklrnm (sklrowm) dwóh wektorów i nwm sklr równ ilonowi modułów ou wektorów pre kosinus kąt wrtego międ nimi. α O Rs. 2.8. Ilustrj do definiji ilonu sklrnego Jeżeli kąt międ wektormi

Bardziej szczegółowo

BADANIE CYFROWYCH UKŁADÓW ELEKTRONICZNYCH TTL strona 1/7

BADANIE CYFROWYCH UKŁADÓW ELEKTRONICZNYCH TTL strona 1/7 BADANIE CYFROWYCH UKŁADÓW ELEKTRONICZNYCH TTL strona 1/7 BADANIE CYFROWYCH UKŁADÓW ELEKTRONICZNYCH TTL 1. Wiadomości wstępne Monolitcne układ scalone TTL ( ang. Trasistor Transistor Logic) stanowią obecnie

Bardziej szczegółowo

Przykład: Nośność na wyboczenie słupa przegubowego z stęŝeniami pośrednimi

Przykład: Nośność na wyboczenie słupa przegubowego z stęŝeniami pośrednimi 3,0 ARKUSZ OBLICZEIOWY Dokument Ref: SX00a-E-EU Strona 1 4 Ttuł Prkład: ośność na wbocenie słupa pregubowego e Dot. Eurokodu E 1993-1-1 Wkonał Matthias Oppe Data cerwiec 00 Sprawdił Christian Müller Data

Bardziej szczegółowo

Laboratorium grafiki komputerowej i animacji. Ćwiczenie III - Biblioteka OpenGL - wprowadzenie, obiekty trójwymiarowe: punkty, linie, wielokąty

Laboratorium grafiki komputerowej i animacji. Ćwiczenie III - Biblioteka OpenGL - wprowadzenie, obiekty trójwymiarowe: punkty, linie, wielokąty Laboratorium grafiki komputerowej i animacji Ćwicenie III - Biblioteka OpenGL - wprowadenie, obiekty trójwymiarowe: punkty, linie, wielokąty Prygotowanie do ćwicenia: 1. Zaponać się ogólną charakterystyką

Bardziej szczegółowo

Wydawnictwo Wyższej Szkoły Komunikacji i Zarządzania w Poznaniu

Wydawnictwo Wyższej Szkoły Komunikacji i Zarządzania w Poznaniu CMYK ISBN 98-8-888-- Wdanicto Wżsej Skoł Komunikacji i Zarądania - Ponań, ul Różana a tel 8 9, fa 8 9 skiedu danicto@skiponanpl analia89indd Wdanicto Wżsej Skoł Komunikacji i Zarądania Ponaniu 9--8 ::

Bardziej szczegółowo

Ruch kulisty bryły. Kinematyka

Ruch kulisty bryły. Kinematyka Ruch kulist bł. Kinematka Ruchem kulistm nawam uch, w casie któego jeden punktów bł jest stale nieuchom. Ruch kulist jest obotem dookoła chwilowej osi obotu (oś ta mienia swoje położenie w casie). a) b)

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 361 Badanie układu dwóch soczewek

Ćwiczenie 361 Badanie układu dwóch soczewek Nazwisko... Data... Wdział... Imię... Dzień tg.... Godzina... Ćwiczenie 36 Badanie układu dwóch soczewek Wznaczenie ogniskowch soczewek metodą Bessela Odległość przedmiotu od ekranu (60 cm 0 cm) l Soczewka

Bardziej szczegółowo

Katedra Geotechniki i Budownictwa Drogowego. WYDZIAŁ NAUK TECHNICZNYCH Uniwersytet Warmińsko-Mazurski

Katedra Geotechniki i Budownictwa Drogowego. WYDZIAŁ NAUK TECHNICZNYCH Uniwersytet Warmińsko-Mazurski Katedra Geotechniki i Budownictwa Drogowego WYDZIAŁ NAUK TECHNICZNYCH Uniwersytet Warmińsko-Maurski Mechanika Gruntów dr inż. Ireneus Dyka http://pracownicy.uwm.edu.pl/i.dyka e-mail: i.dyka@uwm.edu.pl

Bardziej szczegółowo

PRAWA ZACHOWANIA Prawa zachowania najbardziej fundamentalne prawa:

PRAWA ZACHOWANIA Prawa zachowania najbardziej fundamentalne prawa: PRW ZCHOWNI Pawa achowania nabadie fundamentalne pawa: o ewnętne : pawo achowania pędu, pawo achowania momentu pędu, pawo achowania enegii; o wewnętne : pawa achowania np. całkowite licb nukleonów w eakci

Bardziej szczegółowo

A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)!

A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)! Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycnej MAP037 wykład dr hab. A. Jurlewic WPPT Fiyka, Fiyka Technicna, I rok, II semestr Prykłady - Lista nr : Prestreń probabilistycna. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie reakcji dynamicznych oraz wyważanie ciała w ruchu obrotowym wokół stałej osi 8

Wyznaczanie reakcji dynamicznych oraz wyważanie ciała w ruchu obrotowym wokół stałej osi 8 Wnacanie reakcji dnaicnch ora wważanie ciała w ruchu oroow wokół sałej osi 8 Wprowadenie Jeśli dowolne ciało swne o asie jes w ruchu oroow wokół osi, o na podporach powsają reakcje A i B. Składowe ch reakcji

Bardziej szczegółowo

PITAGORAS ARYSTOTELES ERATOSTENES. Wprowadzenie. O kulistości Ziemi. Starożytni postulatorzy kulistości Ziemi

PITAGORAS ARYSTOTELES ERATOSTENES. Wprowadzenie. O kulistości Ziemi. Starożytni postulatorzy kulistości Ziemi O kulistości Ziemi Starożtni postulator kulistości Ziemi Wprowaenie PITAGOAS sugerował, iż Ziemia jest kstałtu kulistego. Jenak postulat ten opierał się racej na tm, iż kula bła uważana a figurę oskonałą,

Bardziej szczegółowo

( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił

( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił 3.7.. Reducja dowolego uładu sił do sił i par sił Dowolm uładem sił będiem awać uład sił o liiach diałaia dowolie romiescoch w prestrei. tm pucie ajmiem się sprowadeiem (reducją) taiego uładu sił do ajprostsej

Bardziej szczegółowo

SYNTHESIS OF MOTION FOR A FOUR-LEGGED ROBOT

SYNTHESIS OF MOTION FOR A FOUR-LEGGED ROBOT Dr inŝ. Maciej T. Trojnacki Premsłow Insttut Automatki i Pomiarów Al. Jeroolimskie 0, 0-486 Warsawa Telefon: +48 8740 341, email: mtrojnacki@piap.pl SYNTEZA UCHU OBOTA CZTEONOśNEO W prac predstawiono nowatorską

Bardziej szczegółowo

Linia dwuprzewodowa Obliczanie pojemności linii dwuprzewodowej

Linia dwuprzewodowa Obliczanie pojemności linii dwuprzewodowej Linia dwuprzewodowa Obliczanie pojemności linii dwuprzewodowej 1. Wstęp Pojemność kondensatora można obliczyć w prosty sposób znając wartości zgromadzonego na nim ładunku i napięcia między okładkami: Q

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 Równania różniczkowe liniowe Metoda przewidwań Metoda przewidwań całkowania równania niejednorodnego ' p( x) opiera się na następującm twierdzeniu. Twierdzenie f ( x) Suma

Bardziej szczegółowo

SZKOŁA GŁÓWNA SŁUŻBY POŻARNICZEJ KATEDRA TECHNIKI POŻARNICZEJ

SZKOŁA GŁÓWNA SŁUŻBY POŻARNICZEJ KATEDRA TECHNIKI POŻARNICZEJ SZKOŁA GŁÓWNA SŁUŻBY POŻARNICZEJ KATEDRA TECHNIKI POŻARNICZEJ ZAKŁAD ELEKTROENERGETYKI Ćwicenie: URZĄDZENIA PRZECIWWYBUCHOWE BADANIE TRANSFORMATORA JEDNOFAZOWEGO Opracował: kpt.dr inż. R.Chybowski Warsawa

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA BUDOWLI 2 PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH

MECHANIKA BUDOWLI 2 PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH Oga Kopac, am Łogowski, Wojciech Pawłowski, ichał Płotkowiak, Krstof mber Konsutacje naukowe: prof. r hab. JERZY RKOWSKI Ponań /3 ECHIK BUDOWI Praca sił normanch Siła normana prpomnienie (): Jest to siła

Bardziej szczegółowo

W przypadku przepływu potencjalnego y u z. nieściśliwego równanie zachowania masy przekształca się w równanie Laplace a: = + + t

W przypadku przepływu potencjalnego y u z. nieściśliwego równanie zachowania masy przekształca się w równanie Laplace a: = + + t J. Szantr Wkład nr 3 Przepłw potencjalne 1 Jeżeli przepłw płn jest bezwirow, czli wszędzie lb prawie wszędzie w pol przepłw jest rot 0 to oznacza, że istnieje fnkcja skalarna ϕ,, z, t), taka że gradϕ.

Bardziej szczegółowo

2.1. Określenie i rodzaje wektorów. Mnożenie wektora przez skalar

2.1. Określenie i rodzaje wektorów. Mnożenie wektora przez skalar 2.1. kreślenie i rodje wektorów. Mnożenie wektor pre sklr Wielkości ficne wstępujące w mechnice i innch diłch fiki możn podielić n sklr i wektor. A określić wielkość sklrną, wstrc podć tlko jedną licę.

Bardziej szczegółowo

Zwój nad przewodzącą płytą

Zwój nad przewodzącą płytą Zwój nad przewodzącą płytą Z potencjału A można też wyznaczyć napięcie u0 jakie będzie się indukować w pojedynczym zwoju cewki odbiorczej: gdzie: Φ strumień magnetyczny przenikający powierzchnię, której

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 6. MODELE OBIEKTÓW 3-D3 część 2. 1. Powierzchnie opisane parametrycznie. Plan wykładu: Powierzchnie opisane parametrycznie

WYKŁAD 6. MODELE OBIEKTÓW 3-D3 część 2. 1. Powierzchnie opisane parametrycznie. Plan wykładu: Powierzchnie opisane parametrycznie WYKŁAD 6. owierchnie opisane paraetrcnie MODELE OIEKÓW -D cęść (,v (,v (,v f (,v f (,v f (,v v in in v v a a lan wkład: owierchnie opisane paraetrcnie v a v Krwe paraetrcne w -D D (krwa Herite a v in (,v

Bardziej szczegółowo

CZĄSTECZKA (VB) Metoda (teoria) wiązań walencyjnych (VB)

CZĄSTECZKA (VB) Metoda (teoria) wiązań walencyjnych (VB) CZĄSTECZKA (VB) Metoda (teoria) wiąań walencjnch (VB) teoria VSEPR (ang. Valence Shell Electron Pair Repulsion), tj. odpchanie się par elektronów powłoki walencjnej teoria Sidgwicka i Powella (1940 r.)

Bardziej szczegółowo

Zwój nad przewodzącą płytą METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH

Zwój nad przewodzącą płytą METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH (2) (3) (10) (11) Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 1 Rozwiązania równań (10-11) mają ogólną postać: (12) (13) Modelowanie i symulacje obiektów w

Bardziej szczegółowo

5.7. Przykład liczbowy

5.7. Przykład liczbowy 5.7. Prład licbow onać oblicenia nośności beli podsuwnicowej e sali S75 pręsłami o długościach l m swobodnie podparmi na słupach esaad obsługiwanej pre dwie suwnice naorowe o jednaowch paramerach usuowanej

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie parametrów linii długiej za pomocą metody elementów skończonych

Wyznaczanie parametrów linii długiej za pomocą metody elementów skończonych napisał Michał Wierzbicki Wyznaczanie parametrów linii długiej za pomocą metody elementów skończonych Rozważmy tak zwaną linię Lechera, czyli układ dwóch równoległych, nieskończonych przewodników, o przekroju

Bardziej szczegółowo

TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI 10

TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI 10 W YKŁ ADY Z T EOII S ĘŻYSTOŚCI ZADANIE BOUSSINESQA I FLAMANTA olitechnika onańska Kopac, Kawck, Łodgowski, łotkowiak, Świtek, Tmpe Olga Kopac, Kstof Kawck, Adam Łodgowski, Michał łotkowiak, Agnieska Świtek,

Bardziej szczegółowo

CZĄSTECZKA (VB) Dogodną i użyteczną metodę przewidywania kształtu cząsteczki stanowi koncepcja hybrydyzacji.

CZĄSTECZKA (VB) Dogodną i użyteczną metodę przewidywania kształtu cząsteczki stanowi koncepcja hybrydyzacji. ZĄSTEZKA (VB) Dogodną i użtecną metodę prewidwania kstałtu cąstecki stanowi koncepcja hbrdacji YBRYDYZAJA - wmiesanie funkcji falowch, tworenie orbitali miesanch orbitali atomowch mającch najcęściej tę

Bardziej szczegółowo

14. Grupy, pierścienie i ciała.

14. Grupy, pierścienie i ciała. 4. Grup, pierścienie i ciała. Definicja : Zbiór A nazwam grupą jeśli jest wposaŝon w działanie wewnętrzne łączne, jeśli to działanie posiada element neutraln i kaŝd element zbioru A posiada element odwrotn.

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji Zwierciadła i obrazy w zwierciadłach

Scenariusz lekcji Zwierciadła i obrazy w zwierciadłach Scenariusz lekcji. Temat lekcji: Zwierciadła i obraz w zwierciadłach 2. Cele: a) Cele poznawcze: Uczeń wie: - co to jest promień świetln, - Ŝe światło rozchodzi się prostoliniowo, - na czm polega zjawisko

Bardziej szczegółowo

UZĘBIENIA CZOŁOWE O ŁUKOWO KOŁOWEJ LINII ZĘBÓW KSZTAŁTOWANE NARZĘDZIEM JEDNOOSTRZOWYM

UZĘBIENIA CZOŁOWE O ŁUKOWO KOŁOWEJ LINII ZĘBÓW KSZTAŁTOWANE NARZĘDZIEM JEDNOOSTRZOWYM MODELOWANIE INŻYNIESKIE ISSN 896-77X 40, s. 7-78, Gliwice 00 UZĘBIENIA CZOŁOWE O ŁUKOWO KOŁOWEJ LINII ZĘBÓW KSZTAŁTOWANE NAZĘDZIEM JEDNOOSTZOWYM PIOT FĄCKOWIAK Instytut Technologii Mechanicnej, Politechnika

Bardziej szczegółowo

V JURAJSKI TURNIEJ MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM FINAŁ 14 maja 2005 r.

V JURAJSKI TURNIEJ MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM FINAŁ 14 maja 2005 r. V JURAJSKI TURNIEJ MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM FINAŁ 4 maja 005 r. Przecztaj uważnie poniższą instrukcję: Test składa się z dwóch części. Pierwsza część zawiera 0 zadań wielokrotnego wboru. Tlko

Bardziej szczegółowo

Przykład 3.1. Projektowanie przekroju zginanego

Przykład 3.1. Projektowanie przekroju zginanego Prkład.1. Projektowane prekroju gnanego Na belkę wkonaną materału o wtrmałośc różnej na ścskane rocągane dałają dwe sł P 1 P. Znając wartośc tch sł, schemat statcn belk, wartośc dopuscalnego naprężena

Bardziej szczegółowo

V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny

V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny im. Stefana Banacha dla uczniów szkół średnich Zespół Szkół Nr 1 im. Adama Mickiewicza w Lublińcu 42-700 Lubliniec, ul. Sobieskiego 22 18. kwiecień 2011 rok 1. W trapezie

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY KONSTRUKCJI MASZYN

PODSTAWY KONSTRUKCJI MASZYN POLITECHNIA LUBELSA J. Banasek, J. Jonak PODSTAW ONSTRUCJI MASN WPROWADENIE DO PROJETOWANIA PREŁADNI ĘBATCH I DOBORU SPRĘGIEŁ MECHANICNCH Wydawnictwa Ucelniane 008 Opiniodawca: dr hab. inŝ. Stanisław rawiec

Bardziej szczegółowo

Atom wodoru. -13.6eV. Seria Lymana. od 91 nm to 122 nm. n = 2, 3,... Seria Paschena n = 4, 5,... n = 5, 6,... Seria Bracketta.

Atom wodoru. -13.6eV. Seria Lymana. od 91 nm to 122 nm. n = 2, 3,... Seria Paschena n = 4, 5,... n = 5, 6,... Seria Bracketta. Atom wodou -3.6eV Seia Lmana n 2, 3,... od 9 nm to 22 nm Seia Paschena n 4, 5,... Seia Backetta n 5, 6,... Ogólnie: n 2, 2, 3; n (n 2 + ), (n 2 + 2),... Atom wodou We współędnch sfecnch: metoda odielania

Bardziej szczegółowo

Belki złożone i zespolone

Belki złożone i zespolone Belki łożone i espolone efinicja belki łożonej siła rowarswiająca projekowanie połąceń prkła obliceń efinicja belki espolonej ałożenia echnicnej eorii ginania rokła naprężeń normalnch prkła obliceń Belki

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA WROCŁAWSKA WYDZIAŁ ELEKTRONIKI PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA

POLITECHNIKA WROCŁAWSKA WYDZIAŁ ELEKTRONIKI PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA POLITECHNIKA WROCŁAWSKA WYDZIAŁ ELEKTRONIKI KIERUNEK: Automatyka i Robotyka (AiR) SPECJALNOŚĆ: Robotyka (ARR) PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA Wyposażenie robota dwukołowego w cujniki ewnętrne Equipping a two

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI. Napisz równanie prostej przechodzącej przez początek układu i prostopadłej do prostej 3x-y+=0.. Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układy i prostą x+y-6=0. 3. Odcinek o

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 6 KWIETNIA 0 CZAS PRACY: 70 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE ( PKT.) Liczbę 5 7 zaokr aglam do liczb,6.

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi i schemat punktowania do próbnego zestawu egzaminacyjnego z zakresu przedmiotów matematyczno-przyrodniczych

Klucz odpowiedzi i schemat punktowania do próbnego zestawu egzaminacyjnego z zakresu przedmiotów matematyczno-przyrodniczych Klucz odpowiedzi i schemat punktowania do próbnego zestawu egzaminacjnego z zakresu przedmiotów matematczno-przrodniczch Z a d a n i a z a m k n i ę t e Numer zadania 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3

Bardziej szczegółowo

Zadania na IV etap Ligi Matematyczni-Fizycznej klasa II

Zadania na IV etap Ligi Matematyczni-Fizycznej klasa II Zadania na IV etap Ligi Matematczni-Fizcznej klasa II Zadanie. Oblicz długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnm równoramiennm, którego obwód jest równ cm. Zadanie. W trójkącie prostokątnm wsokość

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era

Bardziej szczegółowo

ROBOT Millennium wersja 20.1 - Podręcznik użytkownika strona: 371 9. ZAŁĄCZNIKI. Robobat www.robobat.com

ROBOT Millennium wersja 20.1 - Podręcznik użytkownika strona: 371 9. ZAŁĄCZNIKI. Robobat www.robobat.com ROBO Milleium wersja. - Podręcik użtkowika stroa: 37 9. ZAŁĄCZNIKI Robobat www.robobat.com stroa: 37 ROBO Milleium wersja. - Podręcik użtkowika 9.. Załącik - Elemet prętowe (ieliiowa aalia w programie

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji matematyki z wykorzystaniem komputera

Scenariusz lekcji matematyki z wykorzystaniem komputera Scenariusz lekcji matematki z wkorzstaniem komputera Temat: Wpłw współcznników a i b na położenie wkresu funkcji liniowej. (Rsowanie wkresów prz użciu arkusza kalkulacjnego EXCEL.) Czas zajęć: 9 min Cele:

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Automatyzacji Procesów

AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Automatyzacji Procesów AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA im. Stanisława Stasica w Krakowie Wydiał Inżynierii Mechanicnej i Robotyki Katedra Automatyacji Procesów ROZPRAWA DOKTORSKA Układy redukcji drgań tłumikami magnetoreologicnymi

Bardziej szczegółowo

Programowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych

Programowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych Ekonomia matematczna II Ekonomia matematczna II Prowadząc ćwiczenia Programowanie nieliniowe optmalizacja unkcji wielu zmiennch Modele programowania liniowego często okazują się niewstarczające w modelowaniu

Bardziej szczegółowo

Pole elektromagnetyczne

Pole elektromagnetyczne Pole elektromagnetyczne Pole magnetyczne Strumień pola magnetycznego Jednostką strumienia magnetycznego w układzie SI jest 1 weber (1 Wb) = 1 N m A -1. Zatem, pole magnetyczne B jest czasem nazywane gęstością

Bardziej szczegółowo

Wybrane stany nieustalone transformatora:

Wybrane stany nieustalone transformatora: Wybrane stany nieustalone transformatora: Założenia: - amplituda napięcia na aciskach pierwotnych ma wartość stałą nieależnie od jawisk achodących w transformatore - warcie występuje równoceśnie na wsystkich

Bardziej szczegółowo

1. Wprowadzenie... 2. 2. Oznaczenia... 4. 3. Model obliczeniowy i granice stosowania... 5

1. Wprowadzenie... 2. 2. Oznaczenia... 4. 3. Model obliczeniowy i granice stosowania... 5 Informaje uupełniająe: Projektowanie podstawy słupa utwierdonego W tym dokumenie predstawiono asady dotyąe projektowania podstaw słupów utwierdonyh. Zasady te ograniają się do symetrynyh, nieustywnionyh

Bardziej szczegółowo

Skrypt 23. Geometria analityczna. Opracowanie L7

Skrypt 23. Geometria analityczna. Opracowanie L7 Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 2 Geometria analityczna 1.

Bardziej szczegółowo

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I Zadanie 1 (4 pkt) n Odczytanie i zapisanie danych z wykresu: 100, 105, 100, 10, 101. n Obliczenie mediany: Mediana jest równa 101. n Obliczenie średniej

Bardziej szczegółowo

lim = 0, gdzie d n oznacza najdłuższą przekątną prostokątów

lim = 0, gdzie d n oznacza najdłuższą przekątną prostokątów 9. CAŁKA POWÓJNA 9.. Całka podwójna w prostokącie Niech P będzie prostokątem opisanm na płaszczźnie OXY nierównościami: a < < b, c < < d, a f(,) funkcją określoną i ograniczoną w tm prostokącie. Prostokąt

Bardziej szczegółowo

WYTRZYMAŁOŚĆ ZŁOŻONA

WYTRZYMAŁOŚĆ ZŁOŻONA TRAŁOŚĆ ŁOŻONA rpadki wtrmałości łożonej praktce inżnierskiej najcęściej spotka się łożone prpadki ociążeń konstrukcji. Do prawidłowego rowiąwania tc agadnień koniecna jest najomość wceśniej omówionc prostc

Bardziej szczegółowo

Ćw. 5. Określenie współczynnika strat mocy i sprawności przekładni ślimakowej.

Ćw. 5. Określenie współczynnika strat mocy i sprawności przekładni ślimakowej. Laboratorium Podstaw Konstrukcji Masyn - - Ćw. 5. Określenie współcynnika strat mocy i sprawności prekładni ślimakowej.. Podstawowe wiadomości i pojęcia. Prekładnie ślimakowe są to prekładnie wichrowate,

Bardziej szczegółowo

Pomiar bezpośredni przyrządem wskazówkowym elektromechanicznym

Pomiar bezpośredni przyrządem wskazówkowym elektromechanicznym . Rodzaj poiaru.. Poiar bezpośredni (prost) W przpadku poiaru pojednczej wielkości przrząde wskalowan w jej jednostkach wartość niedokładności ± określa graniczn błąd przrządu analogowego lub cfrowego

Bardziej szczegółowo

Elektrodynamika. Część 6. Elektrodynamika. Ryszard Tanaś. Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

Elektrodynamika. Część 6. Elektrodynamika. Ryszard Tanaś. Zakład Optyki Nieliniowej, UAM Elektrodynamika Część 6 Elektrodynamika Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/\~tanas Spis treści 7 Elektrodynamika 3 7.1 Siła elektromotoryczna.................. 3

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM Matematka Poziom rozszerzon Listopad W niniejszm schemacie oceniania zadań otwartch są prezentowane przkładowe poprawne odpowiedzi. W tego tpu ch

Bardziej szczegółowo

G:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\Fale wodnem.doc. Drgania i fale III rok Fizyki BC. Model: - długi kanał o prostokątnym przekroju i głębokości h,

G:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\Fale wodnem.doc. Drgania i fale III rok Fizyki BC. Model: - długi kanał o prostokątnym przekroju i głębokości h, 13-1-00 G:\AA_Wklad 000\FIN\DOC\Fale Fale wodne: Drgania i fale III rok Fiki BC Model: - długi kanał o prostokątnm prekroju i głębokości h, - ruch fali wdłuż, nieależn od x, wchlenia wdłuż, - woda nieściśliwa

Bardziej szczegółowo

Dział 1. Osądzeni wg rodzajów przestępstw i kar

Dział 1. Osądzeni wg rodzajów przestępstw i kar MINISTERSTWO SPRAWIEDLIWOŚCI, Al. Ujadowskie 11, 00-950 Warsawa SO w Opolu [WYDZIAL] Okręg Sadu Apelacyjnego w Apelacja Wrocławska Numer identyfikacyjny REGON Diał 1. Osądeni wg rodajów prestępstw i kar

Bardziej szczegółowo

Ochrona_pporaz_ISiW J.P. Spis treści:

Ochrona_pporaz_ISiW J.P. Spis treści: Spis treści: 1. Napięcia normaliowane IEC...2 1.1 Podstawy prawne 2 1.2 Pojęcia podstawowe 2 2. Zasilanie odbiorców niepremysłowych...3 2.1 kłady sieciowe 4 3. Zasady bepiecnej obsługi urądeń elektrycnych...8

Bardziej szczegółowo