W przypadku przepływu potencjalnego y u z. nieściśliwego równanie zachowania masy przekształca się w równanie Laplace a: = + + t

Transkrypt

1 J. Szantr Wkład nr 3 Przepłw potencjalne 1 Jeżeli przepłw płn jest bezwirow, czli wszędzie lb prawie wszędzie w pol przepłw jest rot 0 to oznacza, że istnieje fnkcja skalarna ϕ,, z, t), taka że gradϕ. Przepłw taki nazwam przepłwem potencjalnm, a fnkcję φ nazwam potencjałem prędkości. Mam: ϕ ϕ W przpadk przepłw potencjalnego z z płn nieściśliwego równanie zachowania mas przekształca się w równanie Laplace a: ρ ϕ ϕ div ρ divgradϕ ϕ t ϕ ϕ z ) 0 0 Pierre Laplace Równanie Laplace a jest liniowe, co oznacza, że sma jego rozwiązań jest również rozwiązaniem. W praktce więc można składać bardzo skomplikowane fnkcje potencjał, opisjące złożone przepłw, z fnkcji opisjącch tzw. przepłw elementarne.

2 Przepłw potencjalne szczególnie dobrze nadają się do modelowania matematcznego rch płn w obszarach poza warstwami przściennmi i śladami, gdzie wpłw lepkości płn na obraz przepłw jest pomijalnie mał. Sposób tworzenia złożonch przepłwów potencjalnch zostanie pokazan na przkładzie przepłwów płaskich czli dwwmiarowch). W tm przpadk mam: gdzie: ϕ, ) ϕ, ) ψ ψ, ), ) ϕ ψ - potencjał prędkości - linie ekwipotencjalne - fnkcja prąd - linie prąd ϕ ψ

3 Elementarne przepłw potencjalne 1. Przepłw jednorodn a ϕ b ϕ ) b a, ϕ Potencjał prędkości: Linie ekwipotencjalne: a b Fnkcja prąd: Linie prąd: ) b a, ψ a b

4 . Źródło dodatnie lb jemne) ±πr r lb: r ϕ ± r r Źródło jest pnktem osobliwm w pol przepłw, w którm następje wpłw płn o określonm natężeni objętościowm. Wpłw ten odbwa się jednakowo we wszstkich kiernkach. W przpadk źródła jemnego czli jścia), płn dopłwa do źródła i w nim znika. Mam więc: ± gdzie: r πr ϕ ± ln πr π r - prędkość promieniowa Stałe wartości potencjał φ wstępją dla stałch wartości promienia r, czli linie ekwipotencjalne są współśrodkowmi okręgami.

5 W kładzie współrzędnch prostokątnch mam: r cosθ i dalej mam: π różniczka zpełna potencjał: ) gdzie: r sinθ θ arctg π d d d ϕ π π ) ) ) różniczka zpełna fnkcji prąd: dψ d d π ) π ) i dalej, po scałkowani mam: ϕ 1 ln π ) ψ arctg π Linie prąd są półprostmi wchodzącmi ze źródła

6 Przkład: Sperpozcja przepłw jednorodnego i źródła Potencjał i fnkcja prąd przepłw wpadkowego są smami potencjałów składowch i składowch fnkcji prąd. Zakładam, że przepłw jednorodn jest równoległ do osi. Potencjał: Fnkcja prąd: Zerowa linia prąd: ϕ ln 4π ψ ψ ) arctg π 0 arctg π 0

7 Rozwiązanie dla zerowej linii prąd: π ctg Jeżeli na miejsce zerowej linii prąd wprowadzim sztwną ścianę, to obraz przepłw nie legnie zmianie i otrzmam opłw półciała. Składowe prędkości: π π ) ) Położenie pnkt spiętrzenia na osi : 0 π iśnienie p w dowolnm pnkcie przepłw możem obliczć z równania Bernolliego: p ρ 1 1 ρ p p p p ρ

8 Po podstawieni otrzmjem: p 1 π 4 ) π W pnkcie spiętrzenia otrzmjem: p π π π 1 Natomiast na zerowej linii prąd w pnkcie 0 mam: π ± czli: π 1,

9 3. Źródło podwójne dipol) Dipol jest efektem nałożenia źródła dodatniego i jemnego o takim samm modle natężenia wpłw. Miarą natężenia dipola jest tzw. moment dipola Ma. W odróżnieni od źródła dipol ma własności kiernkowe, gdż wrzca płn w określonm kiernk i wssa go z przeciwnej stron. Istotna jest więc orientacja dipola w przestrzeni. Dla dipola w 0, 0 skierowanego w dodatnim kiernk osi mam: Potencjał dipola: ϕ M π M Fnkcja prąd dipola: ψ π

10 Linie prąd dla dipola: 4 Linie prąd są okręgami o promieniach /, którch środki leżą na osi w pnktach /. Linie ekwipotencjalne dla dipola: 4 Linie ekwipotencjalne są okręgami o promieniach /, którch środki leżą na osi w pnktach /.

11 Przkład: opłw bezwirow bezcrklacjn) walca kołowego Sperpozcja: przepłw jednorodn dipol

12 W kładzie Orθ mam: M πa gdzie: a promień walca a a 1 r r 4 cos θ gdzie: θ arctg ρ p p 1 dla ra czli na powierzchni walca mam: ρ pθ p 1 4sin θ ) Można obliczć składowe sił działającej na walec: P P a a π pθ cosθdθ 0 0 π pθ sinθdθ 0 0 Jean d Alembert Jest to tzw. paradoks d Alemberta

13 Paradoks d Alemberta mówi, że w przepłwie potencjalnm sił oddziałwania płnącego płn na ciała w nim zanrzone są równe zero, co jest sprzeczne z potocznm doświadczeniem. Jest to bezpośrednią konsekwencją smetrii wznaczonego pola ciśnienia, które jest smetrczne zarówno względem osi jak i osi. W rzeczwistości pole ciśnienia wtworzone na walc jest asmetrczne względem osi, co pokazje rsnek na poprzednim slajdzie oraz poniższe porównanie opłw wznaczonego teoretcznie i zwizalizowanego ekspermentalnie. Różnice te widoczne są przede wszstkim po stronie spłwowej.