Aerodynamika I Efekty lepkie w przepływach ściśliwych.

Transkrypt

1 Aerodynamika I Efekty lepkie w przepływach ściśliwych. przepłw wokół profilu RAE-2822 (M = 0.85, Re = , α = 2 )

2 Efekty lepkie w przepływach ściśliwych

3 Równania ruchu lepkiego płynu ściśliwego Całkowe równania ruchu dla pewnej objętości Ω ograniczonej brzegiem Γ (pominięto pole sił objętościowych): Równanie ciągłości Równanie pędu ρ v dω + t Ω ρ dω + ρ v n dγ = 0 (1.1) t Ω Γ ρ v (v n) dγ = Γ Równanie energii całkowitej E = e + v2 2 t ρ E dω + Ω p n dγ + Γ ρ E v n dγ = κ T n dγ Γ Γ }{{} przewodnictwo cieplne praca sił ciśnieniowych praca sił tarcia T n dγ (1.2) Γ p v n dγ + (T v) n dγ + ρ q dω (1.3) Γ Γ Ω }{{}}{{}}{{} źrodła ciepła

4 Równania ruchu lepkiego płynu ściśliwego c.d. Tensor naprężeń lepkich dla płynu Newtonowskiego: T = µ ( v + ( v) ) + 1 λ v (1.4) µ wsólczynnik lepkości dynamicznej λ wsólczynnik lepkości objętościowej; zgodnie z teorią Stokesa λ = 2/3 µ Prawo Sutherlanda: ( ) 3 µ T 2 T + S µ T T + S gdzie: S = K (1.5) Współczynnik przewodnictwa cieplnego: κ = µ cp P r (1.6) P r liczba Prandtla

5 Równania ściśliwej warstwy przyściennej Równanie ciągłości Równanie pędu ρ (ρu) x + (ρv) y ( ) ( ) u u x + v u = p y x + µ u y y Równanie energii całkowitej H = h + U 2 ρ ( ) u H x + v H y = 0 (1.7) (1.8) p = 0 p = pe(x) (1.9) y ( ) ( = µ u u + y y y 2 κ T y ) (1.10)

6 Ściśliwa warstwa przyścienna - równanie energii Prawą stronę (1.10) można przekształcić: ( ) ( ) ( ) µ u u + κ T = µ cp T y y y y y P r y + µ u u y ( ( )) = µ h y P r y + µ u 2 y 2 ( = ( µ H y P r y + µ 1 1 ) ( )) u 2 P r y 2 Równanie energii można więc zapisać: ( ) ( ρ u H x + v H = ( µ H y y P r y + µ 1 1 ) ( )) u 2 P r y 2 Gdy liczba Prandtla P r = 1: ( ) ( ) ρ u H x + v H = µ H y y y (1.11) (1.12) (1.13)

7 Termiczna warstwa przyścienna P r < 1 to δ T > δ P r > 1 to δ T < δ

8 Ściśliwa warstwa przyścienna - całka Busemanna Najprostszym rozwiązaniem równania energii dla warstwy przyściennej jest: H = const (1.14) T w = T 0 = T + u2 (1.15) 2 c p ( ) T = T 0 u2 T = 0 (1.16) 2 c p y w u, T y

9 Ściśliwa warstwa przyścienna - całka Crocco Można zauważyć, że dla p/ x = 0 równania (1.8) i (1.13) są podobne. Jeśli więc warunki brzegowe są również podobne (T w = const) to rozwiązania tych równań wiąże liniowa zależność: T 0 T + u2 2 c p = A u + B T = A u + B u2 2 c p (1.17) Wartości współczynników A i B są dobrane w zależności od warunków brzegowych u, T y

10 Laminarna warstwa przyścienna - samopodobne rozwiązania Podobnie jak w przypadku nieściśliwym równania warstwy przyściennej można przekształcić tak aby uzyskać samopodobne rozwiązania tzn. parametry przepływu zależą tylko od bezwymiarowej współrzędnej η. Bezwymiarowe współrzędne definiuje się następująco: y ξ = ρ e µ e u e x η = ue ρ dy (1.18) 2 ξ gdzie parametry z indeksem e odnoszą się do parametrów na zewnętrznej granicy warstwy przyściennej. Wprowadźmy następujące funkcje: 0 f = u u e g = H H e (1.19) oraz współczynnik: C = ρµ ρ eµ e (1.20)

11 Laminarna warstwa przyścienna - samopodobne rozwiązania Zakładajac zerowy gradient ciśnienia p e/ ξ = 0 równania Prandtla dla ściśliwej warstwy przyściennej można przekształcić do następującej postaci (istnieje również ogólna postać dla niezerowego gradientu ciśnienia): (C f ) + f f = 0 [ ] C [( P r g + f g + u2 e 1 1 ) ] C f f = 0 H e P r (1.21) z warunkami brzegowymi: dla y = 0 f(0) = f (0) = 0 g(0) = g w ściana izotermiczna g (0) = 0 ściana adiabatyczna dla y f ( ) = 1 g( ) = 1 (1.22) (1.23)

12 Laminarna ściśliwa warstwa przyścienna a) b) Przykładowe profile prędkości i temperatury dla płaskiej płytki ( p/ x = 0, P r = 0.75) a) rozkład prędkości i temperatury dla izolowanej termicznie płytki b) rozkład prędkości i temperatury dla zimnej płytki

13 Laminarna ściśliwa warstwa przyścienna Płaska płytka dla p/ x = 0 C f = Re F δ = ( ) M e, P r, Tw T e 5 x ( ) G M e, P r, Tw Rex T e (1.24) (1.25) Przykładowe wykresy C f i δ dla P r = 0.75

14 Rozkład temperatury w warstwie przyściennej

15 Warstwie przyścienna w przepływie naddźwiękowym

16 Interakcja fali uderzeniowej z warstwą przyścienną

17 Interakcja fali uderzeniowej z warstwą przyścienną

18 Lepki opływ profilu

19

20

21

22

23 A AEERRO ODDYYN NA AM MIIKKA A II wykład wykład 4: 4: Efekty Efekty lepkie lepkie w w przepływach przepływach s cis liwych. s cis liwych. Zależność współczynnika oporu falowego od liczby Macha Zależność współczynnika oporu od liczby Macha (profil NACA-2306)

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50 Profile superkrytyczne

51 Profile superkrytyczne Przykładowy rozkład ciśnienia dla superkrytycznego profilu

52 Skuteczność klapy w przepływie transonicznym

53 Skuteczność klapy w przepływie transonicznym