napór cieczy - wypadkowy ( hydrostatyczny )

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "napór cieczy - wypadkowy ( hydrostatyczny )"

Transkrypt

1 5. apór hdrostatcn i równowaga ciał płwającch Płn najdując się w stanie równowagi oddiałwuje na ścian ogranicające ropatrwaną jego objętość i sił te nawane są naporami hdrostatcnmi. Omawiana problematka ma wiele praktcnch astosowań, pr cm tematkę niniejsego wkładu ogranicm do agadnień dotcącch oblicania naporów na ścian biorników awierającch ciece jednorodne. a rs. 5.1 pokaano biornik otwart awierając ciec wwierającą napór, któr od stron wewnętrnej jest sumą naporów pochodącch od ciśnień atmosfercnego i hdrostatcnego, podcas gd od ewnątr diała jednie napór atmosfer. II napór atmosfercn III napór atmosfercn napór ciec - wpadkow ( hdrostatcn ) I Rs.5.1. apór hdrostatcn na ścian biornika. Ponieważ diałające obu stron ścian napor od ciśnienia atmosfercnego równoważą się, stąd też w dalsch roważaniach uwględniać będiem tlko napór hdrostatcn, któr jest siłą wpadkową pochodącą od ciśnienia hdrostatcnego. Biorąc pod uwagę, że ciśnienie hdrostatcne mienia się wra głębokością oblicenia naporu wmagałob w ogólnm prpadku całkowania naporów elementarnch uwględnieniem wielkości powierchni i prestrennej orientacji ścian. Dla uproscenia roważm jednak tr oddielne prpadki, które wdielić możem godnie rs. 5.1: - napór na poiome ścian płaskie - napór na ścian płaskie orientowane dowolnie, pr cm prpadkiem scególnm może bć napór na pokaaną na rs. 5.1 płaską ścianę pionową - napór na ścian akrwione prestrennie, którego scególnm prpadkiem może bć ściana krwiną w jednej tlko płascźnie (patr rs. 5.1). prowadone w ten sposób ależności powolą na oblicenie naporów na ścian o dowolnm kstałcie, w którch awse wdielić będiem mogli jeden lub więcej powżsch prpadków apór ciec na powierchnie płaskie poiome Prpadek ten jest pewnością najprosts, gdż ropatrwana powierchnia pokaana na rs. 5. leż na powierchni ekwipotencjalnej, co onaca kolei, że na całej powierchni mam tę samą wartość ciśnienia hdrostatcnego. apór hdrostatcn wwieran na powierchnię płaską pre warstwę ciec o gęstości ρ i wsokości h będie godnie rs. 5. równ sile wpadkowej: ρ g h (5.1) 88

2 Onaca to, że napór ciec na płaskie, poiome dno biornika jest równ ilocnowi ciśnienia hdrostatcnego i pola powierchni, pr cm wpadkowa siła tego naporu jest ocwiście prłożona w środku geometrcnm (środku ciężkości) powierchni i skierowana pionowo w dół. pa ρ h V (powierchnia) pa Rs.5.. apór ciec na płaską poiomą powierchnię. ależności 5.1 wstępuje ilocn V h będąc objętością słupa ciec o polu podstaw równm powierchni dna i wsokości równej głębokości anurenia powierchni, co powala prekstałcić w. (5.1) do postaci: ρ g V (5.) która opisuje napór jako ciężar objętości V ciec najdującej się nad ropatrwaną powierchnią. Błędem błob jednak utożsamienie naporu ciężarem ciec najdującej się w nacniu, o cm prekonać może rs. 5.3 predstawiając tr różne biorniki o tm samm polu powierchni dna i napełnione ciecą o gęstości ρ do tej samej wsokości h. a) b) c) V V V h 1 3 Rs.5.3. Paradoks tevina dotcąc naporu na dno biornika. Mimo, iż w każdm e biorników miescą się różne objętości ciec, to napór na dno jest w każdm prpadku jednakow, tn.: 1 3 ρ g h Zwiąek ten ilustruje paradoks tevina o nieależności sił naporu na dno nacnia od ilości ciec awartej w biorniku. Zależność (5.) będie natomiast poprawnie określać wielkość sił naporu na dno, jeżeli pre V roumieć będiem objętość poorną ciec awartej nad dnem określoną jako objętość słupa ciec o polu podstaw równm powierchni dna i wsokości równej wsokości napełnienia biornika. Objętości poorne ciec anacono na rs. 5.3 pre ich akreskowanie, pr cm auważć można, że na rs. 5.3a objętość 89

3 poorna jest równa, na rs. 5.3b mniejsa a na rs. 5.3c więksa od recwistej objętości ciec awartej w biorniku. Opróc atem definicji apisanej w. (5.1) można również wielkość naporu wraić jako ciężar poornej objętości ciec awartej nad dnem, co apisano jako w. (5.). 5.. apór ciec na powierchnie płaskie dowolnie orientowane a) b) α c) 1 Rs.5.4. Prkład prostch i łożonch geometrii płaskich ścian biorników. Zagadnienie określenia naporu na płaską pionową ścianę predstawione na rs. 5.4a, jest scególnm prpadkiem konfiguracji geometrcnej predstawionej na rs. 5.4b, w której niewiadommi są wielkość i miejsce prłożenia naporu na ścianę płaską dowolnie orientowaną. Jeżeli kąt α określając na rs. 5.4b orientację płaskiej ścian ora kstałt i powierchnię ścian potraktujem jako wielkości mienne, wówcas uskane rowiąanie będie mogło bć astosowane do opisu naporów diałającch arówno na pojednce ścian płaskie jak i układ takich ścian, cego prkład pokaano na rs. 5.4c. Dla opisu tego agadnienia roważm powierchnię pokaaną na rs. 5.5, gdie kartejański układ współrędnch,, ostał wbran w taki sposób, że płascna pokrwa się e swobodną powierchnią ciec a oś skierowana jest godnie kierunkiem diałania sił ciężkości. Powierchnia leż w płascźnie 1 tworącej płascną kąt α. a powierchni wbieram małe otocenie d dowolnie położonego punktu A, którego głębokość anurenia wnosi. Elementarn napór diałając na otocenie punktu A wnosi: d n gdie n jest wersorem powierchni d natomiast p jest ciśnieniem hdrostatcnm w punkcie A, co powala apisać: d n ρ g d (5.4) p d 90

4 α d A 1 i n α α n X 1 j k k Rs.5.5. posób wnacania naporu hdrostatcnego na ścianę płaską dowolnie orientowaną. sstkie napor elementarne diałające na otocenie punktów składające na powierchnię są równoległe do siebie i skierowane w tę samą stronę, co powala apisać napór całkowit na powierchnię jako wpadkową będącą sumą wektorów równoległch, tn.: lub po prekstałceniach: d n ρ g d ρ g n Moduł wpadkowego naporu hdrostatcnego wnosi: 91 d (5.4) ρ g d (5.4a) a jego składowe na poscególne osie współrędnch są równe: ρ g cos n ; i d ρ g cos n ; j d (5.5) ρ g cos n ; k d ajemne relacje międ poscególnmi kierunkami pokaane na rs. 5.5 powalają apisać: π cos n ; i cos + α sin α π cos n ; i cos 0 cos n ; k co po podstawieniu do w. (5.5) daje: cos α ρ g sin α d j n α i X 1

5 0 ρ g cos α d rażenie: d jest momentem statcnm pola wględem płascn (wierciadła ciec) i może bć apisane jako: d c gdie c jest odległością środka geometrcnego (środka ciężkości) pola od wierciadła ciec, cli głębokością anurenia środka ciężkości pola. Podstawienie tej ależności do worów określającch składowe sił naporu powala apisać: ρ g c sin α 0 ρ g c cos α co daje następujące wrażenie na całkowitą siłę naporu: + + ρ g c (5.6) Onaca to, że napór hdrostatcn na dowolnie orientowaną powierchnię płaską jest ilocnem ciśnienia hdrostatcnego panującego w środku ciężkości i pola ropatrwanej powierchni. a) b) V c c C? C Rs.5.6. padkow napór hdrostatcn na powierchnię płaską a) i punkt jej prłożenia b). Jeżeli wobraim sobie, że powierchnia jest podparta punktowo w środku ciężkości, wówcas nieależnie od ustawienia powierchni wielkość sił naporu będie niemienna, bo precież niemienne będie ciśnienie hdrostatcne w środku ciężkości (punkt podparcia) i pole powierchni. skrajnm prpadku, gd ustawim powierchnię poiomo (patr rs. 5.6a) wówcas otrmam wrażenie identcne e w. (5.) bo precież dla powierchni poiomej apisać można: c V co łatwo sprawdić pre podstawienie powżsej relacji do (5.6). d ropatrwaliśm napor na powierchnie płaskie poiome, wówcas punktem prłożenia sił wpadkowej bł ocwiście środek ciężkości C anacon na rs. 5.6a. Dla powierchni płaskiej nachlonej, wielkość sił naporu licm identcnie jak dla powierchni poiomej, tn. jako ilocn pola powierchni i ciśnienia hdrostatcnego w środku ciężkości powierchni. Dla powierchni płaskiej dowolnie orientowanej ależność (5.6) określająca siłę naporu daje nam wielkość sił wpadkowej jako sumę elementarnch 9

6 naporów pokaanch na rs. 5.6b, ale rsunku tego widać, że punkt prłożenia tej sił musi leżeć na głębokości więksej niż wnosi anurenie środka ciężkości, tn. > c Jeżeli atem dla wnacania naporu potrebna jest najomość ciśnienia w środku ciężkości C anuronm na głębokości, to wpadkową siłę naporu należ prłożć w punkcie c wanm środkiem naporu, któr anuron jest na głębokości. spółrędne punktu wnacm warunku równowagi momentów w płascźnie 1 dla której apisać można następując wiąek międ głębokością anurenia punktu i współrędną 1 (patr rs. 5.5): 1 sin α (5.7) arunek równowagi momentów prjmuje postać: 1 ρ g 1 d a po uwględnieniu w. (5.4a) i (5.7): 1 ρ g sin α 1d ρ g sin α 1d skąd ostatecnie otrmujem wrażenie na odległość środka naporu od osi : 1 d 1 (5.8) 1 d Mianownik tego ułamka jest statcnm momentem pola wględem osi onacanm awcaj M, któr równ jest ilocnowi pola i odległości jego środka ciężkości od osi, tn.: d M 1 1c rażenie wstępujące w licniku w. (5.8) jest geometrcnm momentem bewładności pola wględem osi onacanm I, któr godnie twierdeniem teinera apisać możem: d I I + 1 s 1c gdie moment bewładności wględem osi prechodącej pre środek ciężkości Imoże s bć apisan jako ilocn powierchni i kwadratu ramienia bewładności i s, tn.: I i s + Podstawienie wrażeń określającch geometrcn i statcn moment pola do w. (5.8) powala apisać odległość środka naporu od osi następująco: i + 1 1c skąd po prekstałceniach: is 1 1c + (5.9) 1c Ponieważ drugi cłon powżsego wrażenia będąc różnicą rędnch punktów i C jest awse dodatni, tn.: is > 0 1c stąd też możem stwierdić, że punkt prłożenia środka naporu jest awse położon w więksej odległości od osi niż środek ciężkości. s 1c 1c 93

7 Znacnie łatwiejsm w interpretacji będie prejście e współrędnej 1 na współrędną określającą głębokość anurenia punktu naporu, którą oblicć można jako: is 1 sin α 1c sin α + sin α 1c a po prekstałceniach: is c + sin α (5.10) c Otrmujem więc potwierdenie, że w prpadku ścian płaskich dowolnie orientowanch środek naporu położon jest awse głębiej niż środek ciężkości ropatrwanej ścian. ie dotc to jednie ścian płaskich poiomch, dla którch podstawienie α 0 do w. (5.10) daje: c co stanowi potwierdenie sformułowanego już wceśniej wniosku o tożsamości punktów ciężkości i naporu pr ropatrwaniu naporów na płaskie, poiome dna. ajwięksa różnica głębokości anurenia i c wstępuje dla ścian pionowej ( α π / ), dla której otrmujem: is c + c arto również auważć, że chociaż godnie e w. (5.10) głębokość anurenia środka naporu jest funkcją kąta nachlenia ścian, to jak wnika e w. (5.9) punkt ten będie poostawał w stałej odległości od środka ciężkości. Jeżeli bowiem powierchnię będiem prechlać jak na rs. 5.6, tn. jeżeli położenie środka ciężkości powierchni będiem mieniać jak na rs. 5.5, tn. pre obrót wokół osi nie prechodącej pre środek ciężkości powierchni, wówcas mieniać się będie arówno głębokość anurenia środka ciężkości C jak i środka naporu, co łatwo można sprawdić analiując wor (5.9) i (5.10). ależ jednak wprowadić tu także bardo ważne astreżenie, iż wprowadone w niniejsm rodiale ależności są ważne tlko dla powierchni smetrcnch wględem osi prechodącch pre środek ciężkości powierchni i równoległch do osi 1, gdż tlko w tm prpadku punkt C i będą miał identcną współrędną (patr rs. 5.5). Jeżeli warunek ten nie jest spełnion, wówcas należ dodatkowo uwględnić warunek erowości momentów wględem osi 1, a agadnienie to naleźć można m.in. w podręcnikach J.sockiego i J.Bukowskiego apór ciec na powierchnie o dowolnm kstałcie. ajbardiej ogólnm prpadkiem w wnacaniu naporów hdrostatcnch jest oblicanie reakcji nieruchomego płnu na stwną ścianę o trójwmiarowej krwiźnie, cego prkładem może bć ściana o powierchni pokaana na rs sstkie sił elementarne diałające na powierchnię tworą prestrenn układ sił, któr można sprowadić do jednej wpadkowej sił: P ρ g n d (5.11) ora wpadkowego momentu sił nawanego niekied momentem głównm: M ρ g r n d (5.1) gdie r jest promieniem wnacającm położenie punktu, którego otoceniem jest elementarna powierchnia d. Rowiąanie tego agadnienia można również uskać nacnie prościej astępując prestrenn układ sił trema odpowiednio romiesconmi 94

8 składowmi sił wpadkowej, którch kierunki pokrwają się ocwiście osiami prjętego układu współrędnch. 0 c c c c Rs.5.7. krwiźnie. kładowe poiome naporu hdrostatcnego na ścianę o trójwmiarowej Załóżm, że na krwoliniowej powierchni pokaanej na rs. 5.7 wbierem elementarną powierchnię d, na którą diała napór: d ρ g n d któr na kierunki ora będie miał następujące składowe: d ρ g cos n ; i d d ρ g cos n ; j d Uwględniając, że: d d cos n ; i d d cos n ; j otrmujem następujące wrażenia na składowe poiome naporu: d ρ g d d ρ g d Całkując powżse wrażenia na całej powierchni można udowodnić, że składowa na dan kierunek poiom naporu na ropatrwaną powierchnię będie równa naporowi na ścianę płaską, której pole jest równe rutowi powierchni krwoliniowej na płascnę prostopadłą do danego kierunku. Jeżeli atem rutami powierchni krwoliniowej o polu na płascn, ora, będą figur płaskie o polach i (patr rs. 5.7), wówcas godnie e worem (5.6) składowe poiome sił naporu będiem mogli oblicć następująco: d ρ g c d (5.13) d ρ g c d gdie c ora c onacają głębokości anurenia środków ciężkości rutów powierchni ora. Uwględniając wnioski rod. 5.3 można stwierdić, że linie diałania tch sił 95

9 prechodić będą pre środki naporu powierchni ora, którch głębokość anurenia będie można oblicć prjmując, że dla ścian pionowch α π /, co daje: c c i + i + s c c c (5.14) 0 C V Rs.5.8. krwiźnie. kładowa pionowa naporu hdrostatcnego na ścianę o trójwmiarowej Inna asada obowiąwać będie pr wnacaniu składowej pionowej naporu, która równa jest ciężarowi słupa ciec awartego nad powierchnią, pr cm objętość tego słupa ciec godnie rs. 5.8 ogranicona jest powierchnią, jej rutem na powierchnię swobodną ora tworącmi pionowmi prechodącmi pre kontur ogranicając powierchnię, co powala apisać: ρ g V (5.15) Ponieważ wsstkie elementarne napor pionowe d są do siebie równoległe, więc linia diałania składowej naporu prechodi pre środek ciężkości C ropatrwanego słupa ciec, jak anacono na rs ależ auważć, że pole powierchni,, a co tego wnika także i wielkości składowch naporu,,, nie ależą od kstałtu powierchni lec od konturu obejmującego daną ścianę i od jej położenia pod swobodną powierchnią ciec apór na ciała anurone w ciec cególnm prpadkiem naporu na powierchnie krwoliniowe jest reakcja nieściśliwego płnu na powierchnię amkniętą, otacającą pewną brłę o objętości V pokaaną na rs Podobnie jak poprednio obieram kartejański układ współrędnch, w którm płascna pokrwa się e swobodną powierchnią a prostopadła do niej oś skierowana jest pionowo w dół. Ponieważ ropatrujem napór na powierchnię akrwioną, więc diałanie naporu hdrostatcnego sprowadi się do sił wpadkowej danej w. (5.11) ora głównego momentu sił M opisanego w. (5.1). Podobnie jak w prpadku naporu na powierchnie o dowolnm kstałcie agadnienie to można rowiąać nacnie 96

10 prościej, ropatrując poscególne składowe naporu na kierunki prjętego układu współrędnch. Dla wnacania składowch poiomch naporu astosujem asadę sformułowaną w rodiale poprednim, godnie którą składowe te są równe naporowi na powierchnię płaską będącą rutem powierchni krwoliniowej na płascnę prostopadłą do kierunku diałania ropatrwanej składowej. Jeżeli oblicać będiem napór w kierunku osi, wówcas będie on tożsam naporem na powierchnię anaconą na rs C Z c V Rs.5.9. apór hdrostatcn na ciało anurone w płnie. Zastosujm metodę prekrojów (patr rs. 1.10) precinając brłę V płascną równoległą do płascn w taki sposób, ab prekrój brł bł identcn konturem, co pokaano na rs a) b) 1 1 Rs apor składowe na powierchnię ciała anuronego w płnie diałające w kierunku osi. Otrmam wówcas dwie cęści składowe brł V o identcnch prekrojach: 1 pokaanch na rs. 5.10, którch środki ciężkości rec jasna pokrwają się, co powala apisać: c1 c c gdie c jest głębokością anurenia środka ciężkości prekroju. padkowa naporów pokaanch na rs. 5.10a ma składową na oś równą : 1 ρ g c1 c1 ρ g c c natomiast napór diałając na brłę rs. 5.10b będie równ: ρ g c1 c1 ρ g c c co daje wpadkową naporu na kierunek : 1 0 Analogicne roumowanie można preprowadić dla kierunku otrmując ten sam wnik, tn.: 97

11 0 co powala stwierdić, że poioma składowa naporu hdrostatcnego diałająca w dowolnm kierunku na ciało anurone w płnie jest równa eru. a) C 1 1 V 1 1 b) V C Rs apor składowe diałające w kierunku pionowm na powierchnię ciała anuronego w płnie. Jedną atem nieerową składową naporu na powierchnię ciała anuronego w płnie jest składowa pionowa, którą oblicm wkorstując asadę sformułowaną w rod Zgodnie tą asadą składowa pionowa naporu na powierchnię krwoliniową jest równa ciężarowi ciec awartej nad tą powierchnią, pr cm roważm tu osobno składowe naporu na powierchnie powstałe po precięciu brł o objętości V płascną równoległą do swobodnej powierchni i prechodącą pre środek ciężkości brł. apór na górną cęść powierchni ciała równ ciężarowi brł o objętości V 1 (rs. 5.11a) jest skierowan pionowo w dół, tn.: ρ g V 1 i prłożon jest w środku ciężkości c 1 brł 1 równ ciężarowi brł o objętości V skierowan jest pionowo do gór, tn.: ρ g V i prłożon w środku ciężkości c brł V, jak pokaano na rs. 5.11b. padkowa siła naporu będie atem równa: 1 ρ g ( V V1 ) a ponieważ różnica objętości V i V 1 jest równa objętości brł V, otrmujem ostatecnie: ρ g V (5.16) ciało co powala stwierdić, iż na ciało anurone w płnie diała siła wpadkowa naporu 98 1 V. apór na dolną cęść powierchni ciała Objętość ciała anuronego w płnie jest atem równa objętości płnu wpartego pre to

12 hdrostatcnego równa ciężarowi ciec wpartej pre to ciało i skierowana pionowo do gór. iła ta nawana jest wporem hdrostatcnm i linia jej diałania prechodi pre środek ciężkości brł płnu wpartej pre anurone ciało, pr cm punkt ten nawan jest środkiem wporu. Zależność (5.16) opisująca wpór hdrostatcn jest nana jako prawo Archimedesa Równowaga ciał płwającch a ciało anurone w płnie opróc sił wporu diała także siła ciężkości skierowana w dół i wobec tego stan ciała określon jest pre ich wajemną ależność, co apisać można: P (5.17) gdie P jest wpadkową siłą diałającą na ciało, a naki sił ciężkości i wporu wnikają e wrotu osi prjętego układu współrędnch (patr rs. 5.10). Jeżeli wpór ciała równ jest jego ciężarowi: (5.18) wówcas ciało będie poostawać w równowade anurone na dowolnej głębokości. Prjmując, że gęstość płnu wnosi ρ p a gęstość anuronego ciała o objętości V równa jest ρ c, al. (5.18) apisać można: ρ p g V ρc g V co daje warunek: ρ p ρ c (5.18a) godnie którm równowaga ciała anuronego całkowicie w płnie i poostającego w spocnku na dowolnej głębokości możliwa jest wówcas, gd gęstości ciała i płnu są sobie równe. V V Rs.5.1. Równowaga ciała cęściowo anuronego w płnie. Jeżeli ciężar ciała całkowicie anuronego w płnie nie równoważ wporu, tn.: > (5.19) która to stuacja achodi, gd: ρ p > ρ c (5.19a) wówcas pojawia się siła wpadkowa skierowana pionowo do gór i ciało będie się wnurać do chwili, gd w płnie anurona będie jednie objętość płnu V (rs. 5.1), dająca ciężar wpartego płnu równoważąc ciężar ciała: ρp g V ρc g V Zwiąek powżs prekstałcić można do postaci ρc V (5.19b) ρp V skąd wnika, że stosunek objętości anuronej ciała do całkowitej objętości będie określon pre ilora gęstości płwającego ciała i płnu. ajmniej interesującm punktu widenia astosowań praktcnch jest prpadek, gd ciężar ciała jest więks od sił wporu: 99

13 > (5.0) achodąc wówcas, gd: ρ c > ρ p (5.0a) tm prpadku siła wpadkowa jest skierowana pionowo w dół powodując opadanie ciała do chwili, gd spocnie ono na dnie oddiałwując na nie siłą P. a) M a b) M 0 c) M a Rs Równowaga statecna a), obojętna b) i niestatecna c) ciała płwającego całkowicie anuronego. prpadkach określonch ależnościami (5.18) i (5.19) równowaga ciała płwającego wmaga spełnienia dodatkowch jesce warunków, ab można bło mówić o tw. równowade trwałej, kied ciało płwające nie tlko nie mienia wsokości swego środka ciężkości wględem stałoprestrennego układu współrędnch (tn. nie wnura się i nie tonie), lec także utrmuje stałe położenie. Jeżeli ciało płwające wtrącone e stanu równowagi pod wpłwem sił ewnętrnch powraca do stanu pocątkowego chwilą gd sił 100

14 ewnętrne prestają diałać, wówcas mówim o równowade statecnej a ciało takie (np. statek) nawam statecnm. Ropatrm najpierw prpadek ciała płwającego całkowicie anuronego, którego równowaga apisana w. (5.18) i (5.18a) może obejmować tr różne stan pokaane na rs Ponieważ sił ciężkości i wporu diałają w kierunku pionowm, stąd też poostawać będą one w równowade, jeżeli spełnion będie warunek, ab środek ciężkości i środek wporu leżał na osi pionowej wanej osią płwania, która musi pokrwać się osią pionową płwającego ciała. a) a M b) M 0 c) M a Rs Równowaga statecna a), obojętna b) i niestatecna c) ciała płwającego cęściowo anuronego. pełnienie tego warunku ależ od wajemnego położenia środków ciężkości i wporu na osi płwania, pr cm dla uskania równowagi statecnej koniecnm jest, ab środek wporu położon bł wżej niż środek ciężkości, co predstawiono na rs. 5.13a. tm prpadku wstępowanie akłócenia równowagi i odchlenie osi smetrii ciała od osi płwania spowoduje, że sił wporu i ciężkości stworą parę sił dającą moment M nawan momentem prostującm. Moment ten będie dążł do prwrócenia stanu równowagi i stan taki nawan jest równowagą statecną, a ciało płwające jest statecne. Jeżeli środki ciężkości i wporu pokrwają się, wówcas wtrącenie ciała e stanu równowagi nie spowoduje wstąpienia jakiejkolwiek reakcji i płwające ciało nie będie 101

15 wkawać tendencji powrotu do stanu równowagi pocątkowej Taki stan ciała płwającego nawan jest równowagą obojętną a taki tp ciała płwającego pokaan na rs. 5.13b alican jest w okrętownictwie do grup obiektów niestatecnch. d środek ciężkości najduje się na osi płwania wżej niż środek wporu (rs. 5.13c), wówcas wtrącenie ciała e stanu równowagi powoduje powstanie momentu sił diałającego godnie kierunkiem wchlenia. Moment ten wan prechlającm powoduje dalse wchlenie ciała i uniemożliwia powrót do stanu pocątkowego a stan taki nawan jest równowagą niestatecną a ciało płwające jest obiektem niestatecnm. identcn sposób wraić możem warunki statecności dla ciał płwającch na powierchni w stanie cęściowo wnuronm, którego warunki równowagi międ siłami wporu i ciężkości dane są w. (5.19) i (5.19b). Jak pokaano na rs. 5.14a jeżeli środek wporu położon jest na osi płwania wżej niż środek ciężkości, wówcas wchlenie ciała położenia równowagi powoduje powstanie momentu prostującego, któr dąż do prwrócenia pierwotnego położenia ciała. Taki stan jest atem równowagą statecną a ciało pokaane na rs. 5.14a alicć można do grup statecnch. a) b) c) ϕ ϕkr ϕkr d) ϕkr ϕkr obsar statecności Rs Krtcn kąt wchlenia ciała płwającego cęściowo wnuronego Jeżeli środek ciężkości pokrwa się e środkiem wporu (rs.5.14b) mam do cnienia równowagą obojętną gdż nie pojawia się wówcas moment prostując i takie ciało płwające poostaje w równowade w każdm położeniu. Położenie środka ciężkości nad środkiem wporu (rs. 5.14c) pr każdm odchleniu od stanu chwilowej równowagi powoduje powstanie momentu powodującego dalse pochlenie ciała co onaca, że jest to równowaga niestatecna. astosowaniach praktcnch arówno ciało rs. 5.14b jak i rs. 5.14c alicane są do ciał (statków) niestatecnch. Podsumowując dotchcasowe wnioski stwierdić można, iż równowaga statecna ciał płwającch wmaga spełnienia trech warunków: - po pierwse ciężar ciała musi bć równoważon siłą wporu, 10

16 - po drugie punkt prłożenia obdwu tch sił musą leżeć na osi płwania pokrwającej się osią pionową ciała, - po trecie punkt prłożenia sił wporu musi leżeć wżej niż środek ciężkości ciała. ależ jednak wrócić uwagę, że w prpadku ciał płwającch cęściowo anuronch spełnienie powżsch warunków (co pokaano na rs. 5.15a) daje równowagę statecną jednie pr takich kątach wchlenia ϕ, pr którch para sił ora daje moment prostując (patr rs. 5.15b). Zwięksenie kąta wchlenia powoduje jednak wędrówkę środka wporu, któr po prekroceniu krtcnej wartości ϕ kr może premieścić się w taki sposób, że amiast momentu prostującego otrmam moment pochlając. Zakres kątów wchlenia: ± ϕ kr określać będie wówcas tw. obsar statecności, w którm wstępować będie moment prostując, natomiast poa tmi obsarem wstępować będie moment pochlając, któr pogłębiać będie wchlenie. trakcie wchlania ciała płwającego cęściowo wnuronego środek ciężkości C obiektu płwającego nie mienia swego położenia, natomiast linia diałania sił wporu presuwa się w stronę cęści bardiej anuronej, co wnika e mian kstałtu objętości anuronej ciała (patr rs. 5.16). Linia diałania sił wporu precina wówcas oś płwania w punkcie M, któr nawam metacentrum, natomiast odległość od środka ciężkości do metacentrum mierona wdłuż osi płwania i onacona na rs jako odcinek m nawana jest wsokością metacentrcną. Jeżeli wsokość metacentrcna: m > 0 co onaca, że metacentrum położone jest na osi płwania powżej środka ciężkości, wówcas ciało płwające najduje się w równowade statecnej. M m C Rs Metacentrum i wsokość metacentrcna. praktce, dla więksości statków wsokość metacentrcna utrmwana jest w akresie: m [ m] ależnie od mas i kstałtu kadłuba. Można udowodnić, że okres swobodnch osclacji (wahań) statku T wiąan jest wsokością metacentrcną następującm wiąkiem proporcjonalności: ( m) T ~ co onaca, że dla więksch m otrmujem skrócenie okresu osclacji natomiast małe wartości m prowadą do dłużsch okresów, tn. powolniejsch osclacji. Doświadcenie wkauje, że więksenie wsokości metacentrcnej ponad wartości podane powżej powoduje, że statek powraca gwałtownie do położenia równowagi, co powoduje powstanie dużch sił bewładności mogącch uskodić statek lub ładunek. Zbt małe natomiast wartości m dają co prawda łagodne (powolne) wahania statku, lec mniejsają margines bepieceństwa statecności, gdż małe błęd w romiesceniu ładunku mogą mienić na

17 tle położenie środka ciężkości, że statek może naleźć się w niedopuscalnm stanie równowagi obojętnej lub niestatecnej. okrętownictwie krteria statecności oparte są atem na wsokości metacentrcnej, jednak temat ten nie będie w ramach niniejsego wkładu serej rowijan a ainteresowan Ctelnik najdie więcej informacji m.in. w książkach J.sockiego i J.Bukowskiego. 104

J. Szantyr - Wykład 4 Napór hydrostatyczny Napór hydrostatyczny na ściany płaskie

J. Szantyr - Wykład 4 Napór hydrostatyczny Napór hydrostatyczny na ściany płaskie J. antr - Wkład Napór hdrostatcn Napór hdrostatcn na ścian płaskie Napór elementarn: d n( p pa ) d nρgd Napór całkowit: ρg nd ρgn d gdie: C Napór hdrostatcn na ścianę płaską predstawia układ elementarnch

Bardziej szczegółowo

4.2.1. Środek ciężkości bryły jednorodnej

4.2.1. Środek ciężkości bryły jednorodnej 4..1. Środek ciężkości rł jednorodnej Brłą jednorodną nawam ciało materialne, w którm masa jest romiescona równomiernie w całej jego ojętości. Dla takic ciał arówno gęstość, jak i ciężar właściw są wielkościami

Bardziej szczegółowo

POTENCJALNE POLE SIŁ. ,F z 2 V. x = x y, F y. , F x z F z. y F y

POTENCJALNE POLE SIŁ. ,F z 2 V. x = x y, F y. , F x z F z. y F y POTENCJALNE POLE SIŁ POLE SKALARNE Polem skalarnm V(r) nawam funkcję prpisującą każdemu punktowi w prestreni licbę recwistą (skalar): V (r): r=(,, ) V (r) POLE WEKTOROWE SIŁ Polem wektorowm sił F(r) nawam

Bardziej szczegółowo

P K. Położenie punktu na powierzchni kuli określamy w tym układzie poprzez podanie dwóch kątów (, ).

P K. Położenie punktu na powierzchni kuli określamy w tym układzie poprzez podanie dwóch kątów (, ). Materiał ddaktcne Geodeja geometrcna Marcin Ligas, Katedra Geomatki, Wdiał Geodeji Górnicej i Inżnierii Środowiska UKŁADY WSPÓŁZĘDNYCH NA KULI Pierwsm prbliżeniem kstałtu Ziemi (ocwiście po latach płaskich

Bardziej szczegółowo

cz.2 Dr inż. Zbigniew Szklarski Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok.321

cz.2 Dr inż. Zbigniew Szklarski Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok.321 Wkład 8: Brła stwna c. Dr inż. Zbigniew Sklarski Katedra Elektroniki, paw. C-, pok.3 skla@agh.edu.pl http://laer.uci.agh.edu.pl/z.sklarski/ 05.04.08 Wdiał nformatki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatka

Bardziej szczegółowo

ANALIZA KONSTRUKCJI POWŁOKOWEJ. CIENKOŚCIENNY ZBIORNIK CIŚNIENIOWY

ANALIZA KONSTRUKCJI POWŁOKOWEJ. CIENKOŚCIENNY ZBIORNIK CIŚNIENIOWY Cw3_biornik.doc ANALIZA KONTRUKCJI POWŁOKOWEJ. CIENKOŚCIENNY ZBIORNIK CIŚNIENIOWY 1. W P R O W A D Z E N I E Ciało utworone pre dwie akrwione powierchnie nawane jest powłoką, jeśli preciętna odlełość pomięd

Bardziej szczegółowo

1. REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW SIŁ. Redukcja płaskiego układu sił

1. REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW SIŁ. Redukcja płaskiego układu sił . REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW IŁ Redukcja płaskiego układu sił Zadanie. Znaleźć wartość licbową i równanie linii diałania wpadkowej cterech sił predstawionch na rsunku. Wartości licbowe sił są następujące:

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń liniowa R n.

Przestrzeń liniowa R n. MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Prestreń liniowa R n. Element (wektor) prestreni R n będiem onacać [,,, ] Element erow [,, L, ]. Diałania. a) ilocn element pre licbę: b) sma elementów [ c, c, ] c L, c

Bardziej szczegółowo

Strukturalne elementy symetrii. Krystalograficzne grupy przestrzenne.

Strukturalne elementy symetrii. Krystalograficzne grupy przestrzenne. Uniwerstet Śląski Insttut Chemii Zakład Krstalografii Laboratorium Krstalografii Strukturalne element smetrii. Krstalograficne grup prestrenne. god. Cel ćwicenia: aponanie się diałaniem elementów smetrii

Bardziej szczegółowo

KONWENCJA ZNAKOWANIA MOMENTÓW I WZÓR NA NAPRĘŻENIA

KONWENCJA ZNAKOWANIA MOMENTÓW I WZÓR NA NAPRĘŻENIA ĆWICZENIE 5 KONWENCA ZNAKOWANIA OENTÓW I WZÓR NA NAPRĘŻENIA Wektor momentu pr ginaniu ukośnm można rutować na osie,, będące głównmi centralnmi osiami bewładności prekroju. Prjmujem konwencję nakowania

Bardziej szczegółowo

Zginanie ukośne LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW. Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki

Zginanie ukośne LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW. Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki Katedra Wtrmałości Materiałów i Metod Komputerowch Mechaniki Wdiał Mechanicn Technologicn Politechnika Śląska LABORATORUM WYTRZYMAŁOŚC MATERAŁÓW Zginanie ukośne ZGNANE UKOŚNE 2 1. CEL ĆWCZENA Ćwicenie

Bardziej szczegółowo

1. Podstawy rachunku wektorowego

1. Podstawy rachunku wektorowego 1 Postaw rachunku wektorowego Wektor Wektor est wielkością efiniowaną pre ługość (mouł) kierunek iałania ora wrot Dwa wektor o tm samm moule kierunku i wrocie są sobie równe Wektor presunięt równolegle

Bardziej szczegółowo

Ruch kulisty bryły. Kąty Eulera. Precesja regularna

Ruch kulisty bryły. Kąty Eulera. Precesja regularna Ruch kulist brł. Kąt Eulera. Precesja regularna Ruchem kulistm nawam ruch, w casie którego jeden punktów brł jest stale nieruchom. Ruch kulist jest obrotem dookoła chwilowej osi obrotu (oś ta mienia swoje

Bardziej szczegółowo

Ruch kulisty bryły. Kinematyka

Ruch kulisty bryły. Kinematyka Ruch kulist bł. Kinematka Ruchem kulistm nawam uch, w casie któego jeden punktów bł jest stale nieuchom. Ruch kulist jest obotem dookoła chwilowej osi obotu (oś ta mienia swoje położenie w casie). a) b)

Bardziej szczegółowo

ZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE

ZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE KOMISJA BUDOWY MASZYN PAN ODDZIAŁ W POZNANIU Vol. 6 nr Archiwum Technologii Masn i Automatacji 6 ROMAN STANIEK * ZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE W artkule predstawiono ależności matematcne

Bardziej szczegółowo

PRAWA ZACHOWANIA Prawa zachowania najbardziej fundamentalne prawa:

PRAWA ZACHOWANIA Prawa zachowania najbardziej fundamentalne prawa: PRW ZCHOWNI Pawa achowania nabadie fundamentalne pawa: o ewnętne : pawo achowania pędu, pawo achowania momentu pędu, pawo achowania enegii; o wewnętne : pawa achowania np. całkowite licb nukleonów w eakci

Bardziej szczegółowo

3. Metody rozwiązywania zagadnień polowych

3. Metody rozwiązywania zagadnień polowych 3. Metod rowiąwania agadnień polowch 3.. Dokładne metod anali pola Dokładne metod anali pola powalają na uskanie dokładnego rowiąania równania róŝnickowego lub całkowego w dowolnm punkcie obsaru diałania

Bardziej szczegółowo

Postać Jordana macierzy

Postać Jordana macierzy Rodiał 8 Postać Jordana macier 8.1. Macier Jordana Niech F = R lub F = C. Macier J r () F r r postaci 1. 1... J r () =..........,.... 1 gdie F, nawam klatką Jordana stopnia r. Ocwiście J 1 () = [. Definicja

Bardziej szczegółowo

J. Szantyr - Wykład 7 Ruch ogólny elementu płynu

J. Szantyr - Wykład 7 Ruch ogólny elementu płynu J. Santr - Wkład 7 Rch ogóln element płn Rch ogóln ciała stwnego można predstawić jako smę premiescenia liniowego i obrot. Ponieważ płn nie mają stwności postaciowej, w rch płn dochodi dodatkowo do odkstałcenia

Bardziej szczegółowo

( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił

( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił 3.7.. Reducja dowolego uładu sił do sił i par sił Dowolm uładem sił będiem awać uład sił o liiach diałaia dowolie romiescoch w prestrei. tm pucie ajmiem się sprowadeiem (reducją) taiego uładu sił do ajprostsej

Bardziej szczegółowo

Przykład 6.3. Uogólnione prawo Hooke a

Przykład 6.3. Uogólnione prawo Hooke a Prkład 6 Uogónione prawo Hooke a Zwiąki międ odkstałceniami i naprężeniami w prpadku ciała iotropowego opisuje uogónione prawo Hooke a: ] ] ] a Rowiąując równania a wgędem naprężeń otrmujem wiąki: b W

Bardziej szczegółowo

GRUPY SYMETRII Symetria kryształu

GRUPY SYMETRII Symetria kryształu GRUPY SYMETRII Smetria krstału Zamknięte (punktowe) operacje smetrii (minimum jeden punkt prestreni nie porusa się wskutek astosowania amkniętej operacji smetrii): Obrot i obrot inwersjne; Inwersja (smetria

Bardziej szczegółowo

Przykład 3.7. Naprężenia styczne przy zginaniu belki cienkościennej.

Przykład 3.7. Naprężenia styczne przy zginaniu belki cienkościennej. Prkład.7. Naprężenia tcne pr ginaniu belki cienkościennej. Wnac rokład naprężenia tcnego w prekroju podporowm belki wpornikowej o prekroju cienkościennm obciążonej na wobodnm końcu pionową iłą P. Siła

Bardziej szczegółowo

,..., u x n. , 2 u x 2 1

,..., u x n. , 2 u x 2 1 . Równania różnickowe cąstkowe Definicja. Równaniem różnickowm cąstkowm (rrc) nawam równanie różnickowe, w którm wstępuje funkcja niewiadoma dwóch lub więcej miennch i jej pochodne cąstkowe. Ogólna postać

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie ruchliwości i koncentracji nośników prądu w półprzewodnikach metodą efektu Halla

Wyznaczanie ruchliwości i koncentracji nośników prądu w półprzewodnikach metodą efektu Halla Ćwicenie 13 Wnacanie ruchliwości i koncentracji nośników prądu w półprewodnikach metodą efektu alla Cel ćwicenia Celem ćwicenia jest aponanie się e jawiskiem alla, stałoprądową metodą badania efektu alla,

Bardziej szczegółowo

Graficzne modelowanie scen 3D. Wykład 4

Graficzne modelowanie scen 3D. Wykład 4 Wkład 4 Podstawowe pojęcia i definicje . Modelowanie. Definicja Model awiera wsstkie dane i obiekt ora wiąki pomięd nimi, które są niebędne do prawidłowego wświetlenia i realiowania interakcji aplikacją,

Bardziej szczegółowo

EPR. W -1/2 =-1/2 gµ B B

EPR. W -1/2 =-1/2 gµ B B Hamiltonian spinow Elektronow reonans paramanetcn jest wiąan absorpcją pola wsokiej cęstotliwości, która towars mianie orientacji spin w ewnętrnm polu manetcnm. Niesparowane spinowe moment manetcne µ s

Bardziej szczegółowo

PRAWIDŁOWE ODPOWIEDZI I PUNKTACJA

PRAWIDŁOWE ODPOWIEDZI I PUNKTACJA MAŁOPOLSKI KONKURS MATEMATYCZNY Rok skoln 08/09 ETAP REJONOWY 0 grudnia 08 roku PRAWIDŁOWE ODPOWIEDZI I PUNKTACJA adanie odpowiedź punkt B 3 C 3 3 A 3 4 B 3 5 E 3 6 B 3 7 E 3 8 C 3 9 D 3 0 A 3 7 adania

Bardziej szczegółowo

2.1. ZGINANIE POPRZECZNE

2.1. ZGINANIE POPRZECZNE .1. ZGINNIE POPRZECZNE.1.1. Wprowadenie Zginanie poprecne (ginanie e ścinaniem) wstępuje wted, gd ociążenie ewnętrne pręta redukuje się do momentu ginającego M i sił poprecnej. W prekroju takim wstępują

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie środka ścinania w prętach o przekrojach niesymetrycznych

Wyznaczanie środka ścinania w prętach o przekrojach niesymetrycznych Insttut Mechaniki i Inżnierii Obliceniowej Wdiał Mechanicn echnologicn Politechnika Śląska www.imio.polsl.pl LBORORIUM WYRZYMŁOŚCI MERIŁÓW Wnacanie środka ścinania w prętach o prekrojach niesmetrcnch WYZNCZNIE

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9. Baza Jordana

Rozdział 9. Baza Jordana Rodiał 9 Baa Jordana Niech X będie n wmiarową prestrenią wektorową nad ciałem F = R lub F = C Roważm dowoln endomorfim f : X X Wiem, że postać macier endomorfimu ależ od wboru ba w prestreni X Wiem również,

Bardziej szczegółowo

DryLin T System prowadnic liniowych

DryLin T System prowadnic liniowych DrLin T Sstem prowadnic liniowch Prowadnice liniowe DrLin T ostał opracowane do astosowań wiąanch automatką i transportem materiałów. Chodiło o stworenie wdajnej, beobsługowej prowadnic liniowej do astosowania

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna w przestrzeni. Kierunek. Długość. Zwrot

Geometria analityczna w przestrzeni. Kierunek. Długość. Zwrot - podstawowe pojęcia Geometria analitcna w prestreni Wektorem acepionm w prestreni R 3 nawam uporądkowaną parę punktów A ora B i onacam go pre AB. Punkt A nawam jego pocątkiem, a punkt B - jego końcem.

Bardziej szczegółowo

Podstawy wytrzymałości materiałów

Podstawy wytrzymałości materiałów Podstaw wtrmałości materiałów IMiR - MiBM - Wkład Nr 5 Analia stanu odkstałcenia Składowe stanu odkstałcenia, uogólnione prawo Hooke a, prawo Hooke a dla cstego ścinania, wględna miana objętości, klasfikacja

Bardziej szczegółowo

Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Ukośne zginanie 13. UKOŚNE ZGINANIE

Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Ukośne zginanie 13. UKOŚNE ZGINANIE . UKOŚNE GINNIE.. Naprężenia i odkstałcenia Ukośne ginanie pręta prmatcnego wstępuje wówcas gd układ sił ewnętrnch po jednej stronie jego prekroju poprecnego pręta redukuje się do momentu ginającego, którego

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu miennch wkład MATEMATYKI Automatka i robotka studia niestacjonarne sem II, rok ak 2009/2010 Katedra Matematki Wdiał Informatki Politechnika Białostocka Niech R ndef ={( 1, 2,, n ): 1 R 2

Bardziej szczegółowo

Podstawy wytrzymałości materiałów

Podstawy wytrzymałości materiałów Podstaw wtrmałości materiałów IMiR -IA- Wkład Nr 9 Analia stanu odkstałcenia Składowe stanu odkstałcenia, uogólnione prawo Hooke a, prawo Hooke a dla cstego ścinania, wględna miana objętości, klasfikacja

Bardziej szczegółowo

TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI 10

TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI 10 W YKŁ ADY Z T EOII S ĘŻYSTOŚCI ZADANIE BOUSSINESQA I FLAMANTA olitechnika onańska Kopac, Kawck, Łodgowski, łotkowiak, Świtek, Tmpe Olga Kopac, Kstof Kawck, Adam Łodgowski, Michał łotkowiak, Agnieska Świtek,

Bardziej szczegółowo

Pręty silnie zakrzywione 1

Pręty silnie zakrzywione 1 Pęt silnie akwione. DEFIICJ Pętem silnie akwionm nawam pęt, któego oś jest płaską kwą, a stosunek wmiau pekoju popecnego (leżącego w płascźnie kwin) do pomienia kwin osi ciężkości () pęta spełnia waunek.

Bardziej szczegółowo

x od położenia równowagi

x od położenia równowagi RUCH HARMONICZNY Ruch powtarając się w regularnch odstępach casu nawa ruche okresow. Jeżeli w taki ruchu seroko rouiane odchlenie od stanu równowagi ( np. odchlenie as podcepionej do sprężn, wartość wektora

Bardziej szczegółowo

Wydawnictwo Wyższej Szkoły Komunikacji i Zarządzania w Poznaniu

Wydawnictwo Wyższej Szkoły Komunikacji i Zarządzania w Poznaniu CMYK ISBN 98-8-888-- Wdanicto Wżsej Skoł Komunikacji i Zarądania - Ponań, ul Różana a tel 8 9, fa 8 9 skiedu danicto@skiponanpl analia89indd Wdanicto Wżsej Skoł Komunikacji i Zarądania Ponaniu 9--8 ::

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie reakcji dynamicznych oraz wyważanie ciała w ruchu obrotowym wokół stałej osi 8

Wyznaczanie reakcji dynamicznych oraz wyważanie ciała w ruchu obrotowym wokół stałej osi 8 Wnacanie reakcji dnaicnch ora wważanie ciała w ruchu oroow wokół sałej osi 8 Wprowadenie Jeśli dowolne ciało swne o asie jes w ruchu oroow wokół osi, o na podporach powsają reakcje A i B. Składowe ch reakcji

Bardziej szczegółowo

Belki złożone i zespolone

Belki złożone i zespolone Belki łożone i espolone efinicja belki łożonej siła rowarswiająca projekowanie połąceń prkła obliceń efinicja belki espolonej ałożenia echnicnej eorii ginania rokła naprężeń normalnch prkła obliceń Belki

Bardziej szczegółowo

ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE

ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE P O L I T E C H N I K A W A R S Z A W S K A WYDZIAŁ BUDOWNICTWA, MECHANIKI I PETROCHEMII INSTYTUT INŻYNIERII MECHANICZNEJ ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE Optymaliacja transportu wewnętrnego w akładie mechanicnym

Bardziej szczegółowo

Mechanika Robotów. Wojciech Lisowski. 2 Opis położenia i orientacji efektora Model geometryczny zadanie proste

Mechanika Robotów. Wojciech Lisowski. 2 Opis położenia i orientacji efektora Model geometryczny zadanie proste Katedra Robotki i Mechatroniki Akademia Górnico-Hutnica w Krakowie Mechanika Robotów Wojciech Lisowski Opis położenia i orientacji efektora Model geometrcn adanie proste Mechanika Robotów KRIM, AGH w Krakowie

Bardziej szczegółowo

Pochodna kierunkowa i gradient Równania parametryczne prostej przechodzącej przez punkt i skierowanej wzdłuż jednostkowego wektora mają postać:

Pochodna kierunkowa i gradient Równania parametryczne prostej przechodzącej przez punkt i skierowanej wzdłuż jednostkowego wektora mają postać: ochodna kierunkowa i gradient Równania parametrcne prostej prechodącej pre punkt i skierowanej wdłuż jednostkowego wektora mają postać: Oblicam pochodną kierunkową u ( u, u ) 1 + su + su 1 (, ) d d d ˆ

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA OGÓLNA. Semestr: II (Mechanika I), III (Mechanika II), rok akad. 2013/2014

MECHANIKA OGÓLNA. Semestr: II (Mechanika I), III (Mechanika II), rok akad. 2013/2014 MECHANIKA OGÓLNA Semestr: II (Mechanika I), III (Mechanika II), rok akad. 2013/2014 Licba godin: sem. II *) - wkład 30 god., ćwicenia 30 god. sem. III *) - wkład 30 god., ćwicenia 30 god., ale dla kier.

Bardziej szczegółowo

Równoważne układy sił

Równoważne układy sił Równoważne układ sił Równoważnmi układami sił nawam takie układ, którch skutki diałania na ten sam obiekt są jednakowe. Jeżeli układ sił da się astąpić jedną siłą, to siłę tą nawam siłą wpadkową. Wpadkowa

Bardziej szczegółowo

Document: Exercise-03-manual --- 2014/12/10 --- 8:54--- page 1 of 8 INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 3. Optymalizacja wielowarstwowych płyt laminowanych

Document: Exercise-03-manual --- 2014/12/10 --- 8:54--- page 1 of 8 INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 3. Optymalizacja wielowarstwowych płyt laminowanych Document: Exercise-03-manual --- 2014/12/10 --- 8:54--- page 1 of 8 PRZEDMIOT TEMAT KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydiał Mechanicny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 3 1. CEL ĆWICZENIA Wybrane

Bardziej szczegółowo

Fale skrętne w pręcie

Fale skrętne w pręcie ae skrętne w ręcie + -(+) eement ręta r π ) ( 4 Lokane skręcenie o () moment skręcając moduł stwności r romień ręta r 4 ) ( π Pod włwem wadkowego momentu eement ręta uskuje rsiesenie kątowe i sełnion jest

Bardziej szczegółowo

Rozwiazania zadań. Zadanie 1A. Zadanie 1B. Zadanie 2A

Rozwiazania zadań. Zadanie 1A. Zadanie 1B. Zadanie 2A Rowiaania adań Zadanie A = ( i) = 4 8i 4 = 8i Badam licbȩ espolon a 8i Jej moduł 8i jest równ 8 Jej postać espolona jest równa 8(cosα + isinα) α = /π St ad cosα = i sinα = Mam pierwiastki które oblicam

Bardziej szczegółowo

PITAGORAS ARYSTOTELES ERATOSTENES. Wprowadzenie. O kulistości Ziemi. Starożytni postulatorzy kulistości Ziemi

PITAGORAS ARYSTOTELES ERATOSTENES. Wprowadzenie. O kulistości Ziemi. Starożytni postulatorzy kulistości Ziemi O kulistości Ziemi Starożtni postulator kulistości Ziemi Wprowaenie PITAGOAS sugerował, iż Ziemia jest kstałtu kulistego. Jenak postulat ten opierał się racej na tm, iż kula bła uważana a figurę oskonałą,

Bardziej szczegółowo

Powierzchnie stopnia drugiego

Powierzchnie stopnia drugiego Algebra WYKŁAD 3 Powierchnie sopnia drugiego Deinicja Powierchnią sopnia drugiego kwadrką nawam biór punków presreni rójwmiarowej, spełniającch równanie A B C D E F G H I K gdie A, B,, K są sałmi i prnajmniej

Bardziej szczegółowo

>> ω z, (4.122) Przybliżona teoria żyroskopu

>> ω z, (4.122) Przybliżona teoria żyroskopu Prybliżona teoria żyroskopu Żyroskopem naywamy ciało materialne o postaci bryły obrotowej (wirnika), osadone na osi pokrywającej się osią geometrycną tego ciała wanej osią żyroskopową. ζ K θ ω η ω ζ y

Bardziej szczegółowo

KINEMATYKA. Pojęcia podstawowe

KINEMATYKA. Pojęcia podstawowe KINEMTYK Pojęcia podstawowe Kinematka jest diałem mechaniki ajmującm się badaniem uchu ciał be uwględniania pcn wwołującch ten uch. Jej celem jest opis tego uchu. Ruchem nawam mianę położenia ciała w odniesieniu

Bardziej szczegółowo

Przykład 6.1. Przestrzenny stan naprężenia i odkształcenia

Przykład 6.1. Przestrzenny stan naprężenia i odkształcenia Prkład Pretrenn tan naprężenia i odktałcenia Stan naprężenia Stan naprężenia w punkcie jet określon a pomocą diewięciu kładowch, które onacam literą odpowiednimi indekami Pierw indek onaca normalną ewnętrną

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 5 BADANIE ZASILACZY UPS

ĆWICZENIE 5 BADANIE ZASILACZY UPS ĆWICZENIE 5 BADANIE ZASILACZY UPS Cel ćwicenia: aponanie budową i asadą diałania podstawowych typów asilacy UPS ora pomiar wybranych ich parametrów i charakterystyk. 5.1. Podstawy teoretycne 5.1.1. Wstęp

Bardziej szczegółowo

I. Rachunek wektorowy i jego zastosowanie w fizyce.

I. Rachunek wektorowy i jego zastosowanie w fizyce. Blok 1: Rachunek wektorow i jego astosowanie w fice Podstawowe wielkości ficne w kinematce Opis ruchu w różnch układach odniesienia Ruch wględn I Rachunek wektorow i jego astosowanie w fice Wsstkie wielkości

Bardziej szczegółowo

Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami wewnętrznymi tzn., że ich wynikiem jest liczba zespolona.

Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami wewnętrznymi tzn., że ich wynikiem jest liczba zespolona. Wykład - LICZBY ZESPOLONE Algebra licb espolonych, repreentacja algebraicna i geometrycna, geometria licb espolonych. Moduł, argument, postać trygonometrycna, wór de Moivre a.' Zbiór Licb Zespolonych Niech

Bardziej szczegółowo

Atom wodoru. -13.6eV. Seria Lymana. od 91 nm to 122 nm. n = 2, 3,... Seria Paschena n = 4, 5,... n = 5, 6,... Seria Bracketta.

Atom wodoru. -13.6eV. Seria Lymana. od 91 nm to 122 nm. n = 2, 3,... Seria Paschena n = 4, 5,... n = 5, 6,... Seria Bracketta. Atom wodou -3.6eV Seia Lmana n 2, 3,... od 9 nm to 22 nm Seia Paschena n 4, 5,... Seia Backetta n 5, 6,... Ogólnie: n 2, 2, 3; n (n 2 + ), (n 2 + 2),... Atom wodou We współędnch sfecnch: metoda odielania

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA BUDOWLI 2 PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH

MECHANIKA BUDOWLI 2 PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH Oga Kopac, am Łogowski, Wojciech Pawłowski, ichał Płotkowiak, Krstof mber Konsutacje naukowe: prof. r hab. JERZY RKOWSKI Ponań /3 ECHIK BUDOWI Praca sił normanch Siła normana prpomnienie (): Jest to siła

Bardziej szczegółowo

Zginanie Proste Równomierne Belki

Zginanie Proste Równomierne Belki Zginanie Proste Równomierne Belki Prebieg wykładu : 1. Rokład naprężeń w prekroju belki. Warunki równowagi. Warunki geometrycne 4. Zwiąek fiycny 5. Wskaźnik wytrymałości prekroju na ginanie 6. Podsumowanie

Bardziej szczegółowo

PRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE. WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) ŚLIMAKOWE HIPERBOIDALNE. o zebach prostych. walcowe. o zębach.

PRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE. WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) ŚLIMAKOWE HIPERBOIDALNE. o zebach prostych. walcowe. o zębach. CZOŁOWE OWE PRZEKŁADNIE STOŻKOWE PRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe) HIPERBOIDALNE ŚLIMAKOWE o ebach prostych o ębach prostych walcowe walcowe o ębach śrubowych o

Bardziej szczegółowo

- 1 - OBLICZENIA WYTRZYMAŁOŚCIOWE - DREWNO

- 1 - OBLICZENIA WYTRZYMAŁOŚCIOWE - DREWNO Użtkownik: Biuro Inżnierskie SPECBUD Autor: mg inż. Jan Kowalski Ttuł: Konstrukcje drewniane wg PN-EN Belka - 1 - Kalkulator Konstrukcji Drewnianch EN v.1.0 OBLICZENIA WYTRZYMAŁOŚCIOWE - DREWNO 2013 SPECBUD

Bardziej szczegółowo

Część 1 2. PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH 1 2. PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH Wstęp

Część 1 2. PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH 1 2. PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH Wstęp Cęść 1. PRC SIŁ WEWNĘTRZNYCH 1.. PRC SIŁ WEWNĘTRZNYCH.1. Wstęp Na wstępie prpomnijm, że gd premiescenie danego eementu jest funkcją diałającej nań sił Δ = f(p), to praca sił na tm premiesceniu jest równa:

Bardziej szczegółowo

Elementy symetrii makroskopowej w ujęciu macierzowym.

Elementy symetrii makroskopowej w ujęciu macierzowym. Uniwerstet Śląski Insttut Chemii Zakład Krstalografii Laboratorium Krstalografii Element smetrii makroskopowej w ujęciu macierowm. 2 god. Cel ćwicenia: tworenie macier smetrii elementów smetrii makroskopowej

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM MECHANIKI EKSPERYMENTALNEJ. Instrukcja do ćwiczenia

LABORATORIUM MECHANIKI EKSPERYMENTALNEJ. Instrukcja do ćwiczenia LABORATORIUM MECHANIKI EKSPERYMENTALNEJ Instrukcja do ćwicenia 3 Ruch precesjn giroskopu Cel ćwicenia Obserwacja jawiska precesji regularnej. Badanie ależności prędkości kątowej precesji od momentu sił

Bardziej szczegółowo

Funkcje pola we współrzędnych krzywoliniowych cd.

Funkcje pola we współrzędnych krzywoliniowych cd. Funkcje pola we współrędnych krywoliniowych cd. Marius Adamski 1. spółrędne walcowe. Definicja. Jeżeli M jest rutem punktu P na płascynę xy, a r i ϕ są współrędnymi biegunowymi M, to mienne u = r, v =

Bardziej szczegółowo

3. WSPÓŁCZYNNIK ŚCINANIA (KOREKCYJNY)

3. WSPÓŁCZYNNIK ŚCINANIA (KOREKCYJNY) Cęść 1. WSPÓŁCZYNNIK ŚCINANIA (KOEKCYJNY) 1.. WSPÓŁCZYNNIK ŚCINANIA (KOEKCYJNY).1. Wstęp Współcynnik κ naywany współcynnikiem ścinania jest wielkością ewymiarową, ależną od kstałtu prekroju. Występuje

Bardziej szczegółowo

Opis ruchu we współrzędnych prostokątnych (kartezjańskich)

Opis ruchu we współrzędnych prostokątnych (kartezjańskich) Opis ruchu we współrędch prosokąch (karejańskich) Opis ruchu we współrędch prosokąch jes podob do opisu a pomocą wekora wodącego, kórego pocąek leż w pocąku układu odiesieia. Położeie. Położeie puku A

Bardziej szczegółowo

23. CAŁKA POWIERZCHNIOWA NIEZORIENTOWANA

23. CAŁKA POWIERZCHNIOWA NIEZORIENTOWANA . CAŁKA POWIERZCHNIOWA NIEZORIENTOWANA Płat powiechniow o ównaniach paametcnch: ( ) ( ) ( ) () gdie oba jet obaem eglanm nawam płatem gładkim (płatem eglanm) gd w każdm pnkcie tego płata itnieje płacna

Bardziej szczegółowo

2.3.1. Iloczyn skalarny

2.3.1. Iloczyn skalarny 2.3.1. Ilon sklrn Ilonem sklrnm (sklrowm) dwóh wektorów i nwm sklr równ ilonowi modułów ou wektorów pre kosinus kąt wrtego międ nimi. α O Rs. 2.8. Ilustrj do definiji ilonu sklrnego Jeżeli kąt międ wektormi

Bardziej szczegółowo

Laboratorium grafiki komputerowej i animacji. Ćwiczenie IV - Biblioteka OpenGL - transformacje przestrzenne obiektów

Laboratorium grafiki komputerowej i animacji. Ćwiczenie IV - Biblioteka OpenGL - transformacje przestrzenne obiektów Laboratorium grafiki komputerowej i animacji Ćwicenie IV - Biblioteka OpenGL - transformacje prestrenne obiektów Prgotowanie do ćwicenia: 1. Zaponać się transformacjami prestrennmi (obrót, presunięcie,

Bardziej szczegółowo

Złożone działanie sił wewnętrznych w prętach prostych

Złożone działanie sił wewnętrznych w prętach prostych Złożone diałanie sił wewnętrnch w rętach rostch Jeżeli sił wewnętrne nie redukują się włącnie do sił odłużnej N, orecnej T i momentu gnącego Mg c momentu skręcającego Ms, to radki takie nawa się łożonmi

Bardziej szczegółowo

Transformator Φ M. uzwojenia; siła elektromotoryczna indukowana w i-tym zwoju: dφ. = z1, z2 liczba zwojów uzwojenia pierwotnego i wtórnego.

Transformator Φ M. uzwojenia; siła elektromotoryczna indukowana w i-tym zwoju: dφ. = z1, z2 liczba zwojów uzwojenia pierwotnego i wtórnego. Transformator Φ r Φ M Φ r i i u u Φ i strumień magnetycny prenikający pre i-ty wój pierwsego uwojenia; siła elektromotorycna indukowana w i-tym woju: dφ ei, licba wojów uwojenia pierwotnego i wtórnego.

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH LICZBY ZESPOLONE

ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH LICZBY ZESPOLONE . Oblicyć: ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH a) ( 7i) ( 9i); b) (5 i)( + i); c) 4+3i ; LICZBY ZESPOLONE d) 3i 3i ; e) pierwiastki kwadratowe 8 + i.. Narysować biór tych licb espolonych, które spełniają warunek:

Bardziej szczegółowo

Stan naprężenia. Przykład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić siły masowe oraz obciążenie brzegu tarczy jeśli stan naprężenia wynosi:

Stan naprężenia. Przykład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić siły masowe oraz obciążenie brzegu tarczy jeśli stan naprężenia wynosi: Stan naprężenia Przkład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić sił masowe oraz obciążenie brzegu tarcz jeśli stan naprężenia wnosi: 5 T σ. 8 Składowe sił masowch obliczam wkonując różniczkowanie zapisane

Bardziej szczegółowo

lim = 0, gdzie d n oznacza najdłuższą przekątną prostokątów

lim = 0, gdzie d n oznacza najdłuższą przekątną prostokątów 9. CAŁKA POWÓJNA 9.. Całka podwójna w prostokącie Niech P będzie prostokątem opisanm na płaszczźnie OXY nierównościami: a < < b, c < < d, a f(,) funkcją określoną i ograniczoną w tm prostokącie. Prostokąt

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t. x y + 2t 2x 3y + 5z t x z t

Zestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t. x y + 2t 2x 3y + 5z t x z t Zesaw adań : Preksałcenia liniowe () Kóre podanch niżej preksałceń ϕ : K n K m są preksałceniami liniowmi: a) n = m = 3, ϕ( + +, b) n = m = 3, ϕ( +, 3 + + + +, d) n = m = 3, ϕ( +, c) n = m = 3, ϕ( e) n

Bardziej szczegółowo

Informacje uzupełniające: Wyboczenie z płaszczyzny układu w ramach portalowych. Spis treści

Informacje uzupełniające: Wyboczenie z płaszczyzny układu w ramach portalowych. Spis treści S032a-PL-EU Informacje uupełniające: Wybocenie płascyny układu w ramach portalowych Ten dokument wyjaśnia ogólną metodę (predstawioną w 6.3.4 E1993-1-1 sprawdania nośności na wybocenie płascyny układu

Bardziej szczegółowo

Wektory. P. F. Góra. rok akademicki

Wektory. P. F. Góra. rok akademicki Wektor P. F. Góra rok akademicki 009-0 Wektor zwiazan. Wektorem zwiazanm nazwam parę punktów. Jeżeli parę tę stanowią punkt,, wektor przez nie utworzon oznaczm. Graficznie koniec wektora oznaczam strzałką.

Bardziej szczegółowo

Podstawy wytrzymałości materiałów

Podstawy wytrzymałości materiałów Podstaw wtrmałości materiałów IMiR IMT - Wkład Nr 0 Złożon stan naprężeń - wtężenie materiału stan krtcn materiału pojęcie wtężenia cel stosowania hipote wtężeniowch naprężenie redukowane pregląd hipote

Bardziej szczegółowo

INSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PROCESOWEJ, MATERIAŁOWEJ I FIZYKI STOSOWANEJ POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA ĆWICZENIE NR MR-2

INSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PROCESOWEJ, MATERIAŁOWEJ I FIZYKI STOSOWANEJ POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA ĆWICZENIE NR MR-2 INTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PROCEOWEJ, MATERIAŁOWEJ I FIZYKI TOOWANEJ POLITECHNIKA CZĘTOCHOWKA LABORATORIUM Z PRZEDMIOTU METODY REZONANOWE ĆWICZENIE NR MR- EPR JONÓW Ni W FLUOROKRZEMIANIE NIKLU I.

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 13. Wyznaczanie ruchliwości i koncentracji nośników prądu w półprzewodnikach metodą efektu Halla. Cel ćwiczenia

Ćwiczenie 13. Wyznaczanie ruchliwości i koncentracji nośników prądu w półprzewodnikach metodą efektu Halla. Cel ćwiczenia Ćwicenie 13 Wynacanie ruchliwości i koncentracji nośników prądu w półprewodnikach metodą efektu alla Cel ćwicenia Celem ćwicenia jest aponanie się e jawiskiem alla, stałoprądowa metoda badania efektu alla,

Bardziej szczegółowo

[L] Rysunek Łuk wolnopodparty, paraboliczny wymiary, obciążenie, oznaczenia.

[L] Rysunek Łuk wolnopodparty, paraboliczny wymiary, obciążenie, oznaczenia. rzkład 10.3. Łuk paraboliczn. Rsunek przedstawia łuk wolnopodpart, którego oś ma kształt paraboli drugiego stopnia (łuk paraboliczn ). Łuk obciążon jest ciśnieniem wewnętrznm (wektor elementarnej wpadkowej

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2. Elementy analizy wektorowej cz I Pole wektorowe

Matematyka 2. Elementy analizy wektorowej cz I Pole wektorowe Matematka Element anali wektorowej c I Pole wektorowe Literatura M.Gewert Z.Skoclas; Element anali wektorowej; Oficna Wdawnica GiS Wrocław 000 W.Żakowski W.Kołodiej; Matematka c II; WNT Warsawa 1984 W.Leksiński

Bardziej szczegółowo

2.1. Określenie i rodzaje wektorów. Mnożenie wektora przez skalar

2.1. Określenie i rodzaje wektorów. Mnożenie wektora przez skalar 2.1. kreślenie i rodje wektorów. Mnożenie wektor pre sklr Wielkości ficne wstępujące w mechnice i innch diłch fiki możn podielić n sklr i wektor. A określić wielkość sklrną, wstrc podć tlko jedną licę.

Bardziej szczegółowo

W przypadku przepływu potencjalnego y u z. nieściśliwego równanie zachowania masy przekształca się w równanie Laplace a: = + + t

W przypadku przepływu potencjalnego y u z. nieściśliwego równanie zachowania masy przekształca się w równanie Laplace a: = + + t J. Szantr Wkład nr 3 Przepłw potencjalne 1 Jeżeli przepłw płn jest bezwirow, czli wszędzie lb prawie wszędzie w pol przepłw jest rot 0 to oznacza, że istnieje fnkcja skalarna ϕ,, z, t), taka że gradϕ.

Bardziej szczegółowo

Belki zespolone 1. z E 1, A 1

Belki zespolone 1. z E 1, A 1 Belki espolone. DEFINIC Belki espolone to belki, którch prekrój poprecn składa się co najmniej dwóch materiałów o różnch własnościach ficnch (różne moduł Younga i współcnniki Poissona), pr cm apewnione

Bardziej szczegółowo

Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Proste zginanie

Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Proste zginanie dam Bodnar: trmałość ateriałów. Proste ginanie. PROSTE GINNIE.. Naprężenia i odkstałcenia Proste ginanie pręta prmatcnego wstępuje wówcas gd układ sił ewnętrnch po jednej stronie jego prekroju poprecnego

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASACH I - III GIMNAZJUM. Rok szkolny 2015/16

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASACH I - III GIMNAZJUM. Rok szkolny 2015/16 WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASACH I - III GIMNAZJUM Rok skolny 2015/16 POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: (2) - ocena dopscająca (2); (3) - ocena dostatecna (3); (4) - ocena dobra (4);

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Zasada zachowania energii. Siły zachowawcze i niezachowawcze

Wykład 4. Zasada zachowania energii. Siły zachowawcze i niezachowawcze Wład 4 Zasada achowania enegii Sił achowawce i nieachowawce Wsstie istniejące sił możem podielić na sił achowawce i sił nie achowawce. Siła jest achowawca jeżeli paca tóą wonuję ta siła nad puntem mateialnm

Bardziej szczegółowo

Global Positioning System (GPS) zasada działania

Global Positioning System (GPS) zasada działania Global Positioning Sstem GPS asada diałania Metoda wnacania pocji GPS apewnia pocję 3D -,, H. Parametr nawigacjn odległość odbiornika od SV. Odległość od SV wlicana na podstawie pomiaru casu podcas prebtej

Bardziej szczegółowo

Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 16, Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek

Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 16, Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek Podstaw Fiki IV Optka elementami fiki współcesnej wkład 16, 16.04.01 wkład: poka: ćwicenia: Cesław Radewic Radosław Chrapkiewic, Filip Oimek Ernest Grodner Wkład 15 - prpomnienie prepis Hugensa na propagację

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA rok akademicki

ALGEBRA rok akademicki ALGEBRA rok akademck -8 Tdeń Tematka wkładu Tematka ćwceń ajęć Struktur algebracne (grupa cało; be Dałana na macerach perścen Defncja macer Dałana na macerach Oblcane wnacnków Wnacnk jego własnośc Oblcane

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA WROCŁAWSKA WYDZIAŁ ELEKTRONIKI PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA

POLITECHNIKA WROCŁAWSKA WYDZIAŁ ELEKTRONIKI PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA POLITECHNIKA WROCŁAWSKA WYDZIAŁ ELEKTRONIKI KIERUNEK: Automatyka i Robotyka (AiR) SPECJALNOŚĆ: Robotyka (ARR) PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA Wyposażenie robota dwukołowego w cujniki ewnętrne Equipping a two

Bardziej szczegółowo

σ x σ y σ z σ z, Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Równania fizyczne.

σ x σ y σ z σ z, Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Równania fizyczne. Ada Bodnar: Wtrałość Materiałów. Równania ficne. 7. RÓWNANIA FIZCZN 7.. Zwiąki ięd stane odkstałcenia i naprężenia. I i II postać równań Hooke a Zależność deforacji brł od obciążeń ewnętrnch naruca istnienie

Bardziej szczegółowo

Statyka płynów - zadania

Statyka płynów - zadania Zadanie 1 Wyznaczyć rozkład ciśnień w cieczy znajdującej się w stanie spoczynku w polu sił ciężkości. Ponieważ na cząsteczki cieczy działa wyłącznie siła ciężkości, więc składowe wektora jednostkowej siły

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią 2012/2013

Algebra z geometrią 2012/2013 Algebra geometrią 22/23 Seria XVI Javier de Lucas Zadanie. Wnacć rąd macier: A :, B : 2 4 3 4 3 2 3 3 5 7 3 3 6 3 Rowiąanie: Macier A: Sposób: Rąd macier to wmiar prestreni generowanej pre jej kolumn.

Bardziej szczegółowo

A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)!

A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)! Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycnej MAP037 wykład dr hab. A. Jurlewic WPPT Fiyka, Fiyka Technicna, I rok, II semestr Prykłady - Lista nr : Prestreń probabilistycna. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo