Zestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. Macierze przekształceń liniowych. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. Macierze przekształceń liniowych. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t"

Transkrypt

1 Zesaw adań : Preksałcenia liniowe. Maciere preksałceń liniowch () Kóre podanch niżej preksałceń ϕ : K n K m są preksałceniami liniowmi: a) n = m = 3, ϕ( + ) = +, b) n = m = 3, ϕ( ) = +, , d) n = m = 3, ϕ( ) = +, c) n = m = 3, ϕ( ) = e) n = 4, m = 3, ϕ( f) n = 4, m = 3, ϕ( g) n = m = 4, ϕ( h) n = m = 4, ϕ( ) = ) = ) = ) = i) n = m = 3, ϕ( ) = 3 + W prpadku, gd preksałcenie ϕ jes preksałceniem liniowm, badać c jes o monomorfim, epimorfim. () Niech a, a, a,..., a n K, n N. Wkaać, że ψ : KX m K n+ określone worem:,, ψ(w(x)) = w(a ), w(a ),..., w(a n ) dla w(x) KX m, jes preksałceniem liniowm. Sprawdić, że gd a, a, a,..., a n są parami różne, o: a) ψ jes na m n, b) ψ jes różnowarościowe m n. (3) Wkaać, że jeżeli ϕ : K K jes preksałceniem liniowm, o isnieje a K akie, że ϕ(v) = av dla każdego v K. Dla jakich a preksałcenie dane akim worem jes monomorfimem, epimorfimem? (4) Ciało C licb espolonch można roparwać jako presreń wekorową nad ciałem C (on. C ) ora jako presreń wekorową nad ciałem R licb recwisch (on. C R ). Wkaać, że f : C C, f() =, jes endomorfimem presreni C R, ale nie jes endomorfimem presreni C.

2 (5) Sprawdić, c odworowanie ślad macier r : Kn n K określone worem a a a n a r a a n n = a ii i= a n a n a nn jes preksałceniem liniowm. (6) a) W presreni R niech U będie podbiorem, łożonm ciągów spełniającch warunek Cauch ego: (a n ) U ε> N N p>n q>n a p a q < ε. Wkaać, że U jes podpresrenią i odworowanie ϕ : U R określone worem ϕ((a n )) = lim (a n) jes preksałceniem liniowm. n b) Niech ψ : R R będie odworowaniem określonm pre warunek: n (b n ) = ψ((a n )) n N b n = a k (cli ψ((a n )) = (a, a +a, a +a +a 3,...)). Sprawdić, że ψ jes preksałceniem liniowm. C ψ jes monomorfimem? epimorfimem? C preksałcenie odwrone do ψ jes preksałceniem liniowm? c) Niech W = ψ (U). Sprawdić, że wór σ((a n )) = określa odworowanie σ : W R i że σ jes preksałceniem liniowm. Sprawdić, że σ = ϕ ψ. (7) Sprawdić, że dla dowolnch licb recwisch a, b, a < b odworowanie C (a, b) R presreni funkcji ciągłch określone worem f n= b a a n k= f()d jes preksałceniem liniowm. (8) Smbolem C n (a, b) onacam presreń funkcji recwisch określonch na prediale (a, b) i mającch pochodne ciągłe do rędu n włącnie. Sprawdić, że dla każdego n > odworowanie C n (a, b) C n (a, b) określone worem f f jes preksałceniem liniowm. C jes ono epimorfimem? monomorfimem? (9) Niech V ora W będą presreniami liniowmi nad ciałem K, a ϕ : V W odworowaniem. Wkresem odworowania ϕ nawam biór Γ ϕ = {(v, ϕ(v)) V W : v V }. Wkaać, że ϕ jes preksałceniem liniowm wed i lko, gd Γ ϕ jes podpresrenią presreni liniowej V W. () Niech V ora W będą presreniami liniowmi nad ciałem K, i niech ϕ : V W będie preksałceniem liniowm. Niech ϕ : V V W będie określone worem ϕ(v) = (v, ϕ(v)), a π : V W W worem π(v, w) = w. Sprawdić, że ϕ i π są preksałceniami liniowmi, ϕ jes monomorfimem, π jes epimorfimem i że π ϕ = ϕ. () Wkaać, że dla dowolnego preksałcenia liniowego ϕ : V W isnieje presreń liniowa Z ora epimorfim κ : V Z i monomorfim ϕ : Z W akie, że ϕ = ϕ κ. Dla jakiego preksałcenia liniowego ϕ można amienić miejscami słowa epimorfim ora monomorfim?

3 3 () Prpuśćm, że V, W, W są presreniami liniowmi nad ciałem K. Funkcję f : V W W można apisać pr pomoc par funkcji f : V W ora f : V W worem f(v) = (f (v), f (v)). Wkaać, że f jes preksałceniem liniowm wed i lko wed, gd f i f są preksałceniami liniowmi. (3) Załóżm, że A, B, C są biorami, B, C A ora V jes presrenią liniową. a) Pokaać, że odworowanie Φ B : V A V B, f f B dla f V A, jes preksałceniem liniowm. Kied jes o epimorfim, a kied monomorfim? b) Z punku (a) ora popredniego adania wnika, że Φ : V A V B V C dane worem Φ(f) = (Φ B (f), Φ C (f)) dla f V, jes preksałceniem liniowm. Kied Φ jes monomorfimem, a kied epimorfimem? (4) Niech V, V, V, W będą presreniami liniowmi ora niech V = V V. Pokaać, że dla dowolnch preksałceń liniowch ϕ i : V i W, i =,, isnieje dokładnie jedno preksałcenie liniowe ϕ : V W akie, że ϕ Vi = ϕ i. Jeżeli V = W ora ϕ = Id V, ϕ = Id V o ϕ nawam smerią wględem V wdłuż (albo równolegle do) V. Jeżeli naomias ϕ = Id V, a ϕ jes endomorfimem erowm, o ϕ nawam ruem presreni V na V wdłuż (albo równolegle do) V. (5) Wkaać, że: a) jeśli V = V V, o V = V V, b) jeśli V = V V n, o V = V V n. (6) Znaleźć jądra i obra preksałceń liniowch adań, 3, 7 ora. (7) Znaleźć jądro i obra smerii (ruu) wlędem V (na V ) wdłuż V. (8) Preksałcenie liniowe ϕ : K K 3 dane jes worem ϕ( ), lin( ), lin( a) obra podpresreni: K, lin( { K : + 3 = }; ) = ), Wnacć: b) preciwobra podpresreni: K 3, { }, lin( ), lin( ), 3 lin( 3 ), { K 3 : + + = }. 3 (9) Prpuśćm, że ϕ : V W jes preksałceniem liniowm, X jes podpresrenią presreni V, a Y jes podpresrenią presreni W. a) Wkaać, że (i) ϕ (ϕ(x)) = X+Kerϕ, (ii) ϕ(ϕ (Y )) = Y Imϕ. b) Sformułować warunek koniecn i wsarcając na o, ab (i) ϕ (ϕ(x)) = X, (ii) ϕ(ϕ (Y )) = Y. c) Jaki warunek musi spełniać ϕ, ab dla każdej podpresreni X presreni V achodiła równość ϕ (ϕ(x)) = X? d) Jaki warunek musi spełniać ϕ, ab dla każdej podpresreni Y presreni W achodiła równość ϕ(ϕ (Y )) = Y?

4 4 () Wiadomo, że preksałcenie liniowe ϕ : V W spełnia warunki: ϕ(α ) = β + β + 3β 3, ϕ(α ) = 4β + 5β + 6β 3, ϕ(α 3 ) = 7β + 8β + 9β 3 ora że (α, α, α 3 ) jes baą V, a (β, β, β 3 ) jes baą W. Oblicć wmiar obrau i wmiar jądra preksałcenia ϕ. () Niech ϕ i ψ będą odworowaniami K K akimi, że: ϕ((a, a, a 3,...)) = (, a, a, a 3,...), ψ((a, a, a 3,...)) = (a, a 3, a 4,...). a) Sprawdić, że ϕ i ψ są endomorfimami presreni K. b) Oblicć ϕ ψ i ψ ϕ. c) Sprawdić, c ϕ lub ψ jes monomorfimem, epimorfimem, iomorfimem. () C isnieje preksałcenie liniowe ϕ : R 3 R 3 spełniające warunki: a) ϕ( ) =, ϕ( ) =, ϕ( ) =, ϕ( ) = ; b) ϕ( ) =, ϕ( ) = 3, ϕ( ) = 4 4 ; 3 4 c) ϕ( ) =, ϕ( ) = 3, ϕ( ) = 4 4 ; 3 4 d) ϕ( ) =, ϕ( ) = 3? W prpadku pownej odpowiedi preanaliować licbę rowiąań i naleźć wór prnajmniej jednego akiego preksałcenia liniowego. (3) Skonsruować preksałcenie liniowe τ : R 3 R 3 spełniające warunki: τ( ) = τ( ) = τ τ = id R 3. Wnacć wór analicn preksałcenia τ. (4) Znaleźć wór analicn: a) smerii presreni R wględem lin( ) i wdłuż lin( ); b) smerii presreni R 3 wględem lin( ) i wdłuż lin( c) ruu presreni R na lin( ) wdłuż lin( ); 3 );

5 d) ruu presreni R 3 na lin( ) wdłuż lin( ). (5) Podać wór analicn preksałcenia liniowego ψ : R 3 R 3, o kórm wiadomo, że Kerψ = lin( ) ora Imψ = lin( ). C rowiąanie jes jedne? (6) Prpuśćm, że V jes presrenią liniową nad ciałem K, w kórm +. Załóżm, że ϕ ora ψ są endomorfimami presreni V. a) Wkaać, że ϕ ϕ =Id V wed i lko wed, gd isnieją podpresrenie U ora U presreni V akie, że ϕ jes smerią wględem U i wdłuż U. b) Wkaać, że ψ ψ = ψ wed i lko wed, gd isnieją podpresrenie U ora U presreni V akie, że ψ jes ruem V na U wdłuż U. (7) Załóżm, że ciało K ma q elemenów ora n N. Oblicć, ile jes a) różnch preksałceń liniowch K n K n ; b) różnch iomorfimów liniowch K n K n, gd: (i) n =, (ii) n =, (iii) n = 3, (iv) n jes dowolne. (8) Niech V będie presrenią liniową nad K, a odworowanie f : V V niech spełnia warunek: f(u + v) = f(u) + f(v) dla dowolnch u, v V. a) Wkaać, że jeśli K = Q lub K = Z p, o f jes preksałceniem liniowm. b) Podać prkład ciała K i presreni liniowej nad nim, gdie analogicn reula nie achodi. (9) Niech V ora W będą presreniami liniowmi nad ciałem K. Preksałcenie f : V W nawam jednorodnm sopnia, gd f(av) = af(v) dla każdch a K ora v V. a) Wkaać, że f jes liniowe, gd dim V. b) Wskaać presrenie V i W ora preksałcenie f : V W jednorodne sopnia akie, że dim V = ora f nie jes preksałceniem liniowm. (3) Ciało C jes presrenią liniową nad Q (on. C Q ) ora ciało R jes presrenią liniową nad Q (on. R Q ). Wkaać, że presrenie C Q ora R Q są iomorficne. (3) Wkaać, że jeżeli U ora U są podpresreniami presreni V, o 5 (U + U )/(U U ) = U /(U U ) U /(U U ). (3) Niech v,..., v m będą wekorami presreni V, naomias U niech będie podpresrenią presreni V. Pokaać, że (v + U,..., v m + U) jes liniowo nieależnm układem wekorów presreni V/U wed i lko wed, gd lin(v,..., v m ) U = {θ} i (v,..., v m ) jes układem liniowo nieależnm. (33) W presreni K 3 wbrano ba A 3 = ( naomias w presreni K 4 wbrano ba A 4 = ( ) ora B 3 = ( ), ) ora B 4 =

6 6 ( ). Znaleźć macier preksałcenia liniowego ϕ : Kn K m w baach A n ora B m (A n ora A m ; B n ora B m ; B n ora A m ), jeżeli: a) n = m = 3, ϕ( + ) = +, b) n = m = 3, ϕ( ) = +, 3 + c) n = 4, m = 3, ϕ( + ) = , d) n = 4, m = 3, ϕ( ) = + e) n = 3, m = 4, ϕ( + 3 ) = + + f) n = 3, m = 4, ϕ( + 3 ) = (34) Niech a, a,..., a m K, n, m N. Znaleźć macier preksałcenia liniowego ψ : KX n K m+ określonego worem: , ψ(w(x)) = (w(a ), w(a ),..., w(a m )) dla w(x) KX n w baach: (, X, X,..., X n ) presreni KX n wielomianów sopnia n ora baie sandardowej presreni K m+. Jak się a macier nawa, gd n = m? (35) Niech V = RX n, naomias preksałcenie δ : V V niech prporądkowuje wielomianowi jego pochodną. Pokaać, że δ jes endomorfimem presreni V ora naleźć macier δ w baie: a) (, X, X,..., X n ), b) (, X c, (X c),..., (X c)n ), gdie c jes usaloną licbą recwisą.! n! (36) Niech V będie podpresrenią presreni C (R) wsskich funkcji recwisch ciągłch ropięą pre cos ora sin, a preksałcenie δ niech będie preksałceniem, prpisującm funkcji jej pochodną. Sprawdić, że δ jes endomorfimem presreni V ora naleźć jego macier wględem ba (cos, sin ). a b (37) Wbierm A = K c d i określm odworowanie : K K worem ψ(b) = BA dla B K. Wkaać, że ψ jes endomorfimem presreni K i naleźć macier ego endomorfimu wględem ba (E, E, E, E ). (38) Niech ϕ : K 3 V będie ruem, a ψ : K 3 K 3 smerią wględem V i wdłuż V, gdie: a) V = lin(ε, ε ), V = lin(ε + ε 3 ), b) V = lin(ε, ε ), V = lin(ε + ε 3 ), c) V = lin(ε + ε, ε ), V = lin(ε + ε 3 ). W każdm prpadku naleźć macier ϕ w baach (ε, ε, ε 3 ) presreni K 3 ora (ε, ε ) presreni V. Znaleźć macier ψ w baach (ε, ε, ε 3 ) ora (ε, ε, ε + ε 3 ) presreni K 3. Zwrócić uwagę, że ψ jes endomorfimem presreni K 3 i naleźć macier ego endomorfimu w baie (ε, ε, ε 3 ). (39) Niech f : V W W, f(v) = (f (v), f (v)) będie preksałceniem liniowm adania, Zesaw??, sr. 3. Niech A i będie macierą f i w baach A presreni V ora B i presreni

7 W i. Znaleźć macier preksałcenia f w baach A presreni V ora (B {θ}) ({θ} B ) presreni W W. (4) Niech ϕ : V V W, ϕ(v + v ) = ϕ (v ) + ϕ (v ), będie preksałceniem liniowm adania 4, Zesaw??, sr. 3. Niech A i będie macierą ϕ i w baach A i presreni V i ora B presreni W. Znaleźć macier ϕ wlędem ba A A presreni V V ora B presreni W. (4) Preksałcenie liniowe ϕ : K K 3 wględem ba ( ma macier.znaleźć wór (analicn) na ϕ( 3, (4) Endomorfim ψ presreni K ma w baie (ε, ε, ε + ε 3 ) macier analicn opisując ψ. (43) Endomorfim ψ presreni R 3 ma w baie (ε ε, ε, ε + ε 3 ) macier ). ) ora ( Znaleźć wór. Znaleźć ) baę jądra i baę obrau preksałcenia ψ. C wekor należ do jądra ψ? Jaki jes obra wekora? (44) Niech A będie macierą preksałcenia liniowego γ : V W wględem ba A presreni V ora ba B presreni W. Jak się mieni macier A, gd: a) w baie A amienim i- wekor j-m? b) w baie A asąpim i- wekor jego ilocnem pre skalar a? c) w baie A dodam do j-ego wekora wekor i- pomnożon pre skalar a? d) w baie B amienim k- wekor l-m? e) w baie B asąpim k- wekor jego ilocnem pre skalar a? f) w baie B dodam do l-ego wekora wekor k- pomnożon pre skalar a? (45) Niech A będie macierą endomorfimu γ presreni V wględem ba A presreni V. Jak się mieni macier A, gd: a) w baie A amienim i- wekor j-m? b) w baie A asąpim i- wekor jego ilocnem pre skalar a? c) w baie A dodam do j-ego wekora wekor i- pomnożon pre skalar a? (46) Endomorfim γ presreni R 4 ma wględem ba sandardowej macier Znaleźć możliwie sbko macier γ wględem ba: 3 a) (ε, ε 3, ε, ε 4 ), b) (ε, ε + ε, ε + ε + ε 3, ε + ε + ε 3 + ε 4 ).

8 8 (47) Endomorfim λ presreni V nawam homoeią, jeżeli isnieje skalar a aki, że λ(v) = av dla każdego v V. Wkaać, że a) λ jes homoeią λ ϕ = ϕ λ dla każdego ϕ End(V ), b) λ jes homoeią λ ma aką samą macier wględem każdej ba V. (48) Macier preksałcenia ϕ : K 3 K 3 w baie (ε, ε, ε 3 ) ma posać a), b), c) Jakie własności preksałcenia ϕ można sąd odcać? (49) Udowodnić, że macier preksałcenia ϕ : K n K n w baie (ε, ε,..., ε n ) A C a) ma posać dla pewnej macier A sopnia k ϕ(lin(ε B, ε,..., ε k )) lin(ε, ε,..., ε k ); A b) ma posać dla pewnej macier A sopnia k i pewnej macier B sopnia n k B ϕ(lin(ε, ε,..., ε k )) lin(ε, ε,..., ε k ) i ϕ(lin(ε k+,..., ε n )) lin(ε k+,..., ε n ). (5) W presreni R n dane są ba A ora B. Onacm pre E baę sandardową (ε, ε,..., ε n ). Znaleźć maciere prejścia od E do A, od E do B, od A do E ora od A do B, gd: 3 a) n =, A = (, ), B = (, ); b) n = 3, A = ( ), B = ( 3 ); c) n = 4, A = ( ), B = ( W każdm powżsch prpadków apisać wekor ε + + n ε n jako kombinację liniową wekorów ba A. (5) Niech A = (α, α, α 3 ), B = (β, β, β 3 ) będą baami presreni C 3. Znaleźć macier smerii wględem V = lin(α, α ) i wdłuż V = lin(α 3 ) w baie B, gd α =. Podobnie dla ruu na V wdłuż V ( porako-, β = β = β 3 = wanego jako odworowanie C 3 C 3 ). (5) Oblicć współrędne wekora w baie ( jeśli charakerska ciała K jes różna od i od 3.. α = ). 3 α 3 = 4 ) presreni K4

9 9 (53) Napisać wor na mianę współrędnch wekorów pr prejściu od ba ( ) do ba ( ) presreni K4 jeśli charakerska ciała K jes różna od. (54) Korsając woru na mianę macier endomorfimu pr mianie ba naleźć macier preksałcenia ϕ : K 3 K 3 w baie (ε, ε + ε 3, ε + ε ) wiedąc, że macierą preksałcenia ϕ w baie a) (ε, ε, ε 3 ), b) (ε + ε, ε, ε 3 ) jes macier 3.

Zestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t. x y + 2t 2x 3y + 5z t x z t

Zestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t. x y + 2t 2x 3y + 5z t x z t Zesaw adań : Preksałcenia liniowe () Kóre podanch niżej preksałceń ϕ : K n K m są preksałceniami liniowmi: a) n = m = 3, ϕ( + +, b) n = m = 3, ϕ( +, 3 + + + +, d) n = m = 3, ϕ( +, c) n = m = 3, ϕ( e) n

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 15: Funkcjonały dwuliniowe i formy kwadratowe (1) Sprawdzić, czy następujące odwzorowania ξ : R 3 R 3 R: x y. x y z. f(x)g(x)dx.

Zestaw zadań 15: Funkcjonały dwuliniowe i formy kwadratowe (1) Sprawdzić, czy następujące odwzorowania ξ : R 3 R 3 R: x y. x y z. f(x)g(x)dx. Zestaw adań 5: Funkcjonał dwuliniowe i form kwadratowe () Sprawdić, c następujące odworowania ξ : R 3 R 3 R: x x a) ξ( x, c) ξ( x, x ) = xx + + ; b) ξ(, x ) = xx + 2 + ; d) ξ( x, x x ) = x + x + 2; ) =

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa. Zadania przygotowujące do egzaminu: .Wskazówka: Zastosować wzór de Moivre'a;

Algebra liniowa. Zadania przygotowujące do egzaminu: .Wskazówka: Zastosować wzór de Moivre'a; emer leni 5/6 lgebra liniowa Znaleźć i nakicować biór 8 C j ; a) ( ) b) { C j j } c) { C Im( ) } ; Zadania rgoowjące do egamin Wkaówka Zaoować wór de Moire'a; d) C Im Wnacć licb dla kórch macier je odwracalna

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9. Baza Jordana

Rozdział 9. Baza Jordana Rodiał 9 Baa Jordana Niech X będie n wmiarową prestrenią wektorową nad ciałem F = R lub F = C Roważm dowoln endomorfim f : X X Wiem, że postać macier endomorfimu ależ od wboru ba w prestreni X Wiem również,

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią 2012/2013

Algebra z geometrią 2012/2013 Algebra geometrią 22/23 Seria XVI Javier de Lucas Zadanie. Wnacć rąd macier: A :, B : 2 4 3 4 3 2 3 3 5 7 3 3 6 3 Rowiąanie: Macier A: Sposób: Rąd macier to wmiar prestreni generowanej pre jej kolumn.

Bardziej szczegółowo

Zadania z AlgebryIIr

Zadania z AlgebryIIr Zadania AlgebrIIr Seria () Rowia ι ać uk lad równań: + + t = + = 7 + + t = ; + + = ; + 7 6t = + = 7 + + = 8 = 8 + + t = + 9 = 9 ; + 7t = + = 7 + + t = + 8 7 = () Podać bae ι prestreni rowia ι ań uk ladu:

Bardziej szczegółowo

Powierzchnie stopnia drugiego

Powierzchnie stopnia drugiego Algebra WYKŁAD 3 Powierchnie sopnia drugiego Deinicja Powierchnią sopnia drugiego kwadrką nawam biór punków presreni rójwmiarowej, spełniającch równanie A B C D E F G H I K gdie A, B,, K są sałmi i prnajmniej

Bardziej szczegółowo

,..., u x n. , 2 u x 2 1

,..., u x n. , 2 u x 2 1 . Równania różnickowe cąstkowe Definicja. Równaniem różnickowm cąstkowm (rrc) nawam równanie różnickowe, w którm wstępuje funkcja niewiadoma dwóch lub więcej miennch i jej pochodne cąstkowe. Ogólna postać

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń liniowa R n.

Przestrzeń liniowa R n. MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Prestreń liniowa R n. Element (wektor) prestreni R n będiem onacać [,,, ] Element erow [,, L, ]. Diałania. a) ilocn element pre licbę: b) sma elementów [ c, c, ] c L, c

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH LICZBY ZESPOLONE

ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH LICZBY ZESPOLONE . Oblicyć: ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH a) ( 7i) ( 9i); b) (5 i)( + i); c) 4+3i ; LICZBY ZESPOLONE d) 3i 3i ; e) pierwiastki kwadratowe 8 + i.. Narysować biór tych licb espolonych, które spełniają warunek:

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) =

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) = Zestaw zadań 4: Wektory i wartości własne () Niech V = V V 2 będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, w którym + 0 Znaleźć wszystkie podprzestrzenie niezmiennicze rzutu V na V wzdłuż V 2 oraz symetrii

Bardziej szczegółowo

Postać Jordana macierzy

Postać Jordana macierzy Rodiał 8 Postać Jordana macier 8.1. Macier Jordana Niech F = R lub F = C. Macier J r () F r r postaci 1. 1... J r () =..........,.... 1 gdie F, nawam klatką Jordana stopnia r. Ocwiście J 1 () = [. Definicja

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

Zadanie 0 Obliczyć całki. Wyniki sprawdzić obliczając pochodne otrzymanych funkcji pierwotnych. x 4. x x. x x 1 , 11)

Zadanie 0 Obliczyć całki. Wyniki sprawdzić obliczając pochodne otrzymanych funkcji pierwotnych. x 4. x x. x x 1 , 11) PR DOMOW ŁK NIEOZNZON / Zadanie Oblicć całki Wniki prawdić oblicając pochodne ormanch funkcji pierwonch ) d ) d ) d ) d Zadanie Oblicć całki nieonacone całkując pre cęści ) ln d ) co d ) ln d ) d ) arcg

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2. Elementy analizy wektorowej cz I Pole wektorowe

Matematyka 2. Elementy analizy wektorowej cz I Pole wektorowe Matematka Element anali wektorowej c I Pole wektorowe Literatura M.Gewert Z.Skoclas; Element anali wektorowej; Oficna Wdawnica GiS Wrocław 000 W.Żakowski W.Kołodiej; Matematka c II; WNT Warsawa 1984 W.Leksiński

Bardziej szczegółowo

Praca domowa - seria 6

Praca domowa - seria 6 Praca domowa - seria 6 28 grudnia 2012 Zadanie 1. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R 4 wzorem: R 3 danego φ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +2x 2 x 3 +3x 4, x 1 +x 2 +2x 3 +x 4, 2x

Bardziej szczegółowo

oznacza przyrost argumentu (zmiennej niezależnej) x 3A82 (Definicja). Granicę (właściwą) ilorazu różnicowego funkcji f w punkcie x x x e x lim x lim

oznacza przyrost argumentu (zmiennej niezależnej) x 3A82 (Definicja). Granicę (właściwą) ilorazu różnicowego funkcji f w punkcie x x x e x lim x lim WYKŁAD 9 34 Pochodna nkcji w pnkcie Inerpreacja geomerczna pochodnej Własności pochodnch Twierdzenia Rolle a Lagrange a Cach ego Regla de lhôspiala Niech ( ) O( ) będzie nkcją określoną w pewnm ooczeni

Bardziej szczegółowo

PRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA)

PRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA) PRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA) Def. 1 (X, K,, ) X, K - ciało : X X X ( to diałanie wewnętrne w biore X) : K X X ( to diałanie ewnętrne w biore X) Strukturę (X, K,, ) naywamy prestrenią wektorową : 1) Struktura

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa. 1. Macierze.

Algebra liniowa. 1. Macierze. Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy

Bardziej szczegółowo

DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018

DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne,

Bardziej szczegółowo

b jest resztą z dzielenia a przez b. Funkcja []: R Z przyporządkowuje liczbie rzeczywistej x część całkowitą liczby x. (c)

b jest resztą z dzielenia a przez b. Funkcja []: R Z przyporządkowuje liczbie rzeczywistej x część całkowitą liczby x. (c) Zadania z algebry liniowej ZESTAW / - Podstawowe zbiory liczbowe, podstawowe pojęcia algebraiczne Podziel z resztą: przez 6, (b) - przez 6, (c) przez -6, (d) - przez -6 Liczba przy dzieleniu z resztą przez

Bardziej szczegółowo

Przykład 6.3. Uogólnione prawo Hooke a

Przykład 6.3. Uogólnione prawo Hooke a Prkład 6 Uogónione prawo Hooke a Zwiąki międ odkstałceniami i naprężeniami w prpadku ciała iotropowego opisuje uogónione prawo Hooke a: ] ] ] a Rowiąując równania a wgędem naprężeń otrmujem wiąki: b W

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach Algebra liniowa z geometrią /4 Działania na zbiorach Zadanie Czy działanie : R R R określone wzorem (x x ) (y y ) := (x y x y x y + x y ) jest przemienne? Zadanie W dowolnym zbiorze X określamy działanie

Bardziej szczegółowo

1 ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH

1 ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH ZADANIA Z GEOMETRII Z ALGEBRĄ LINIOWĄ grupa 2, semestr zimowy 2018/19 1 ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH 1.1 Zadania na ćwiczenia: 1.1. Rozwiązać układ równań: 1.2. Rozwiązać układ równań: 8x 1 +

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna w przestrzeni. Kierunek. Długość. Zwrot

Geometria analityczna w przestrzeni. Kierunek. Długość. Zwrot - podstawowe pojęcia Geometria analitcna w prestreni Wektorem acepionm w prestreni R 3 nawam uporądkowaną parę punktów A ora B i onacam go pre AB. Punkt A nawam jego pocątkiem, a punkt B - jego końcem.

Bardziej szczegółowo

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2 Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =

Bardziej szczegółowo

9 Przekształcenia liniowe

9 Przekształcenia liniowe 9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu miennch wkład MATEMATYKI Automatka i Robotka sem I, rok ak 2008/2009 Katedra Matematki Wdiał Informatki Politechnika Białostocka Niech R n def = {( 1, 2,, n ): 1 R 2 R n R } Funkcją n miennch

Bardziej szczegółowo

POTENCJALNE POLE SIŁ. ,F z 2 V. x = x y, F y. , F x z F z. y F y

POTENCJALNE POLE SIŁ. ,F z 2 V. x = x y, F y. , F x z F z. y F y POTENCJALNE POLE SIŁ POLE SKALARNE Polem skalarnm V(r) nawam funkcję prpisującą każdemu punktowi w prestreni licbę recwistą (skalar): V (r): r=(,, ) V (r) POLE WEKTOROWE SIŁ Polem wektorowm sił F(r) nawam

Bardziej szczegółowo

Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami wewnętrznymi tzn., że ich wynikiem jest liczba zespolona.

Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami wewnętrznymi tzn., że ich wynikiem jest liczba zespolona. Wykład - LICZBY ZESPOLONE Algebra licb espolonych, repreentacja algebraicna i geometrycna, geometria licb espolonych. Moduł, argument, postać trygonometrycna, wór de Moivre a.' Zbiór Licb Zespolonych Niech

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009

Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie reakcji dynamicznych oraz wyważanie ciała w ruchu obrotowym wokół stałej osi 8

Wyznaczanie reakcji dynamicznych oraz wyważanie ciała w ruchu obrotowym wokół stałej osi 8 Wnacanie reakcji dnaicnch ora wważanie ciała w ruchu oroow wokół sałej osi 8 Wprowadenie Jeśli dowolne ciało swne o asie jes w ruchu oroow wokół osi, o na podporach powsają reakcje A i B. Składowe ch reakcji

Bardziej szczegółowo

Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u

Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Rozwiazania zadań. Zadanie 1A. Zadanie 1B. Zadanie 2A

Rozwiazania zadań. Zadanie 1A. Zadanie 1B. Zadanie 2A Rowiaania adań Zadanie A = ( i) = 4 8i 4 = 8i Badam licbȩ espolon a 8i Jej moduł 8i jest równ 8 Jej postać espolona jest równa 8(cosα + isinα) α = /π St ad cosα = i sinα = Mam pierwiastki które oblicam

Bardziej szczegółowo

Numeryczne metody optymalizacji Optymalizacja w kierunku. informacje dodatkowe

Numeryczne metody optymalizacji Optymalizacja w kierunku. informacje dodatkowe Numeryczne metody optymalizacji Optymalizacja w kierunku informacje dodatkowe Numeryczne metody optymalizacji x F x = min x D x F(x) Problemy analityczne: 1. Nieliniowa złożona funkcja celu F i ograniczeń

Bardziej szczegółowo

x od położenia równowagi

x od położenia równowagi RUCH HARMONICZNY Ruch powtarając się w regularnch odstępach casu nawa ruche okresow. Jeżeli w taki ruchu seroko rouiane odchlenie od stanu równowagi ( np. odchlenie as podcepionej do sprężn, wartość wektora

Bardziej szczegółowo

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej

Bardziej szczegółowo

III. LICZBY ZESPOLONE

III. LICZBY ZESPOLONE Pojęcie ciała 0 III LICZBY ZESPOLONE Defiicja 3 Niech K będie dowolm biorem Diałaiem wewętrm (krótko będiem mówić - diałaiem) w biore K awam każdą fukcję o : K K K Wartość fukcji o dla elemetów K oacam

Bardziej szczegółowo

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) = Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,

Bardziej szczegółowo

Podstawy wytrzymałości materiałów

Podstawy wytrzymałości materiałów Podstaw wtrmałości materiałów IMiR -IA- Wkład Nr 9 Analia stanu odkstałcenia Składowe stanu odkstałcenia, uogólnione prawo Hooke a, prawo Hooke a dla cstego ścinania, wględna miana objętości, klasfikacja

Bardziej szczegółowo

W siła działająca na bryłę zredukowana do środka masy ( = 0

W siła działająca na bryłę zredukowana do środka masy ( = 0 Popęd i popęd bryły Bryła w ruchu posępowym. Zasada pędu i popędu ma posać: p p S gdie: p m v pęd bryły w ruchu posępowym S c W d popęd siły diałającej na bryłę w ruchu posępowym aś: v c prędkość środka

Bardziej szczegółowo

Wydział Elektroniki i Technik Informacyjnych PW Algebra liniowa - konspekt wykładu

Wydział Elektroniki i Technik Informacyjnych PW Algebra liniowa - konspekt wykładu Wydział Elektroniki i Technik Informacyjnych PW Algebra liniowa - konspekt wykładu Anna Zamojska-Dzienio Spis treści 1 Liczby zespolone 4 11 Postać kanoniczna liczby zespolonej 4 12 Interpretacja geometryczna

Bardziej szczegółowo

Związek między ruchem harmonicznym a ruchem jednostajnym po okręgu

Związek między ruchem harmonicznym a ruchem jednostajnym po okręgu Związek międz ruchem harmonicznm a ruchem jednosajnm po okręgu Rozważm rzu Q i R punku P na osie i : Q cos v r R sin R Q P δ Q cos ( δ ) R sin ( δ ) Jeżeli punk P porusza się ruchem jednosajnm po okręgu,

Bardziej szczegółowo

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 1.

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 1. Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 1. Literatura do wykładu M. Gewert, Z. Skocylas, Analia matematycna 1; T. Jurlewic, Z. Skocylas, Algebra liniowa 1; Stankiewic, Zadania matematyki wyżsej dla wyżsych

Bardziej szczegółowo

Opis ruchu we współrzędnych prostokątnych (kartezjańskich)

Opis ruchu we współrzędnych prostokątnych (kartezjańskich) Opis ruchu we współrędch prosokąch (karejańskich) Opis ruchu we współrędch prosokąch jes podob do opisu a pomocą wekora wodącego, kórego pocąek leż w pocąku układu odiesieia. Położeie. Położeie puku A

Bardziej szczegółowo

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B 1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =

Bardziej szczegółowo

V. Jednorodne układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach

V. Jednorodne układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach V. Jednorodne układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach 1. Niezależność wielomianów, funkcji wykładniczych i trygonometrycznych W paragrafie tym podamy pewien lemat 1 potrzebny w

Bardziej szczegółowo

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień

Bardziej szczegółowo

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo

Bardziej szczegółowo

Podstawy wytrzymałości materiałów

Podstawy wytrzymałości materiałów Podstaw wtrmałości materiałów IMiR - MiBM - Wkład Nr 5 Analia stanu odkstałcenia Składowe stanu odkstałcenia, uogólnione prawo Hooke a, prawo Hooke a dla cstego ścinania, wględna miana objętości, klasfikacja

Bardziej szczegółowo

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 29 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania, seria 5.

Rozwiązania, seria 5. Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.

Bardziej szczegółowo

Cechy szeregów czasowych

Cechy szeregów czasowych energecznch Cech szeregów czasowch Rozdział Modelowanie szeregów czasowch 7 proces deerminisczn proces kórego warość może bć preczjnie określona w dowolnm czasie =T+τ = a +b T T+τ czas = sin(ω) T T+τ czas

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych

Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)

Bardziej szczegółowo

Elementy symetrii makroskopowej w ujęciu macierzowym.

Elementy symetrii makroskopowej w ujęciu macierzowym. Uniwerstet Śląski Insttut Chemii Zakład Krstalografii Laboratorium Krstalografii Element smetrii makroskopowej w ujęciu macierowm. 2 god. Cel ćwicenia: tworenie macier smetrii elementów smetrii makroskopowej

Bardziej szczegółowo

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej

Bardziej szczegółowo

4.2.1. Środek ciężkości bryły jednorodnej

4.2.1. Środek ciężkości bryły jednorodnej 4..1. Środek ciężkości rł jednorodnej Brłą jednorodną nawam ciało materialne, w którm masa jest romiescona równomiernie w całej jego ojętości. Dla takic ciał arówno gęstość, jak i ciężar właściw są wielkościami

Bardziej szczegółowo

Wartości i wektory własne

Wartości i wektory własne Rozdział 7 Wartości i wektor własne Niech X będzie skończenie wmiarową przestrzenią liniową nad ciałem F = R lub F = C. Niech f : X X będzie endomorfizmem, tj. odwzorowaniem liniowm przekształającm przestrzeń

Bardziej szczegółowo

Stopy spot i stopy forward. Bootstrapping

Stopy spot i stopy forward. Bootstrapping Sop spo i sop orward. Boosrapping. Rnkowe a eorecne (implikowane) sop spo i sop orward. Zależności pomięd sopami spo a sopami orward. Sop orward dla insrumenów rnku kapiałowego. 4. Sop orward dla insrumenów

Bardziej szczegółowo

GAL II. zestawy do prac domowych z rozwiązaniami semestr letni 2011/2012. Wydział MIM UW

GAL II. zestawy do prac domowych z rozwiązaniami semestr letni 2011/2012. Wydział MIM UW GAL II zestawy do prac domowych z rozwiązaniami semestr letni 0/0 Wydział MIM UW luty 05 0 Spis treści Wartości i wektory własne Podobieństwo macierzy, postać Jordana 5 3 Postać Jordana II 4 Struktura

Bardziej szczegółowo

23. CAŁKA POWIERZCHNIOWA NIEZORIENTOWANA

23. CAŁKA POWIERZCHNIOWA NIEZORIENTOWANA . CAŁKA POWIERZCHNIOWA NIEZORIENTOWANA Płat powiechniow o ównaniach paametcnch: ( ) ( ) ( ) () gdie oba jet obaem eglanm nawam płatem gładkim (płatem eglanm) gd w każdm pnkcie tego płata itnieje płacna

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Definicja Niech V, W,

Bardziej szczegółowo

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,listopad

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu miennch wkład MATEMATYKI Automatka i robotka studia niestacjonarne sem II, rok ak 2009/2010 Katedra Matematki Wdiał Informatki Politechnika Białostocka Niech R ndef ={( 1, 2,, n ): 1 R 2

Bardziej szczegółowo

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych

Bardziej szczegółowo

Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Proste zginanie

Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Proste zginanie dam Bodnar: trmałość ateriałów. Proste ginanie. PROSTE GINNIE.. Naprężenia i odkstałcenia Proste ginanie pręta prmatcnego wstępuje wówcas gd układ sił ewnętrnch po jednej stronie jego prekroju poprecnego

Bardziej szczegółowo

GAL 80 zadań z liczb zespolonych

GAL 80 zadań z liczb zespolonych GAL 80 zadań z liczb zespolonych Postać algebraiczna liczby zespolonej 1 Sprowadź wyrażenia do postaci algebraicznej: (a) ( + i)(3 i) + ( + 31)(3 + 41), (b) (4 + 3i)(5 i) ( 6i), (5 + i)(7 6i) (c), 3 +

Bardziej szczegółowo

ψ przedstawia zależność

ψ przedstawia zależność Ruch falowy 4-4 Ruch falowy Ruch falowy polega na rozchodzeniu się zaburzenia (odkszałcenia) w ośrodku sprężysym Wielkość zaburzenia jes, podobnie jak w przypadku drgań, funkcją czasu () Zaburzenie rozchodzi

Bardziej szczegółowo

Zadania przygotowawcze, 3 kolokwium

Zadania przygotowawcze, 3 kolokwium Zadania przygotowawcze, 3 kolokwium Mirosław Sobolewski 8 grudnia. Niech φ t : R 3 R 3 bedzie endomorfizmem określonym wzorem φ t ((x, x, )) (x +, tx + x, x + ), gdzie parametr t R. a) Zbadać dla jakiej

Bardziej szczegółowo

Endomorfizmy liniowe

Endomorfizmy liniowe Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2011 1 / 16 Endomorfizmy

Bardziej szczegółowo

Równanie Schrödingera dla elektronu w atomie wodoru Równanie niezależne od czasu w trzech wymiarach współrzędne prostokątne

Równanie Schrödingera dla elektronu w atomie wodoru Równanie niezależne od czasu w trzech wymiarach współrzędne prostokątne Równanie Schrödingera dla elektronu w atomie wodoru Równanie nieależne od casu w trech wymiarach współrędne prostokątne ψ ψ ψ h V m + + x y + ( x, y, ) ψ = E ψ funkcja falowa ψ( x, y, ) Energia potencjalna

Bardziej szczegółowo

Pochodna kierunkowa i gradient Równania parametryczne prostej przechodzącej przez punkt i skierowanej wzdłuż jednostkowego wektora mają postać:

Pochodna kierunkowa i gradient Równania parametryczne prostej przechodzącej przez punkt i skierowanej wzdłuż jednostkowego wektora mają postać: ochodna kierunkowa i gradient Równania parametrcne prostej prechodącej pre punkt i skierowanej wdłuż jednostkowego wektora mają postać: Oblicam pochodną kierunkową u ( u, u ) 1 + su + su 1 (, ) d d d ˆ

Bardziej szczegółowo

GAL. zestawy do prac domowych z rozwiązaniami semestr zimowy 2011/2012. Wydział MIM UW

GAL. zestawy do prac domowych z rozwiązaniami semestr zimowy 2011/2012. Wydział MIM UW GAL zestawy do prac domowych z rozwiązaniami semestr zimowy / Wydział MIM UW wersja z października Spis treści Układy równań Liczby zespolone 7 Przestrzenie liniowe, kombinacje liniowe Podprzestrzenie

Bardziej szczegółowo

Wniosek Niech R będzie pierścieniem, niech I R. WówczasI R wtedy i tylko wtedy, gdy I jest jądrem pewnego homomorfizmu.

Wniosek Niech R będzie pierścieniem, niech I R. WówczasI R wtedy i tylko wtedy, gdy I jest jądrem pewnego homomorfizmu. 11. Wykład 11: Pierścień ilorazowy, twierdzenie o homomorfizmie. Ideały pierwsze i maksymalne. 11.1. Pierścień ilorazowy, twierdzenie o homomorfizmie. Definicja i Uwaga 11.1. Niech R będzie pierścieniem,

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1

Algebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1 Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm

Bardziej szczegółowo

2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego. = f(x, t) dla x R, t > 0, (2.1)

2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego. = f(x, t) dla x R, t > 0, (2.1) Wykład 2 Sruna nieograniczona 2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego Równanie gań sruny jednowymiarowej zapisać można w posaci 1 2 u c 2 2 u = f(x, ) dla x R, >, (2.1) 2 x2 gdzie u(x, ) oznacza

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j = 11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i

= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i 15. Wykład 15: Rozszerzenia pierwiastnikowe. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki. Rozwiązalność równań przez pierwiastniki. Równania o dowolnych współczynnikach. 15.1. Rozszerzenia pierwiastnikowe.

Bardziej szczegółowo

1. REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW SIŁ. Redukcja płaskiego układu sił

1. REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW SIŁ. Redukcja płaskiego układu sił . REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW IŁ Redukcja płaskiego układu sił Zadanie. Znaleźć wartość licbową i równanie linii diałania wpadkowej cterech sił predstawionch na rsunku. Wartości licbowe sił są następujące:

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe

Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe opracował Maciej Grzesiak Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe W algebrze rozpatruje się zbiory abstrakcyjne Natura elementów zbioru się nie liczy Na elementach rozpatruje się działania spełniające

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać

Bardziej szczegółowo

Dyskretny proces Markowa

Dyskretny proces Markowa Procesy sochasyczne WYKŁAD 4 Dyskreny roces Markowa Rozarujemy roces sochasyczny X, w kórym aramer jes ciągły zwykle. Będziemy zakładać, że zbiór sanów jes co najwyżej rzeliczalny. Proces X, jes rocesem

Bardziej szczegółowo

25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx

25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx 5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.

Bardziej szczegółowo

2 Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana Wprowadzenie teoretyczne Zadania... 9

2 Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana Wprowadzenie teoretyczne Zadania... 9 Spis treści 1 Podstawowe struktury algebraiczne 2 11 Grupa, pierścień, ciało 2 12 Grupy permutacji 4 13 Pierścień wielomianów, algorytm Euklidesa, największy wspólny dzielnik 6 14 Zadania 7 2 Rachunek

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone i

1. Liczby zespolone i Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich

Bardziej szczegółowo

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

1 Podobieństwo macierzy

1 Podobieństwo macierzy GAL (Informatyka) Wykład - zagadnienie własne Wersja z dnia 6 lutego 2014 Paweł Bechler 1 Podobieństwo macierzy Definicja 1 Powiemy, że macierze A, B K n,n są podobne, jeżeli istnieje macierz nieosobliwa

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19

Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19 Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19 Zad 1. Znaleźć rozwiązania ogólne u = u(x, y) następujących równań u x = 1, u y = 2xy, u yy = 6y, u xy = 1, u x + y = 0, u xxyy = 0. Zad 2. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

28 maja, Problem Dirichleta, proces Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126

28 maja, Problem Dirichleta, proces Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 Problem Dirichleta, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 28 maja, 2012 Funkcje harmoniczne Niech będzie operatorem Laplace a w

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań. Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,

Bardziej szczegółowo

P K. Położenie punktu na powierzchni kuli określamy w tym układzie poprzez podanie dwóch kątów (, ).

P K. Położenie punktu na powierzchni kuli określamy w tym układzie poprzez podanie dwóch kątów (, ). Materiał ddaktcne Geodeja geometrcna Marcin Ligas, Katedra Geomatki, Wdiał Geodeji Górnicej i Inżnierii Środowiska UKŁADY WSPÓŁZĘDNYCH NA KULI Pierwsm prbliżeniem kstałtu Ziemi (ocwiście po latach płaskich

Bardziej szczegółowo

Imię i nazwisko... Grupa...

Imię i nazwisko... Grupa... Algebra i teoria mnogości 2.09.2014 Za każde zadanie można otrzymać 0-3 pkt. W zadaniach 1-5 w puste pola należy wpisać TAK lub NIE. Każda odpowiedź oceniana jest osobno (1pkt za poprawną odpowiedź, 0.5pkt

Bardziej szczegółowo

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com

Bardziej szczegółowo

Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia

Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia Maemayka A kolokwium maja rozwia zania Należy przeczyać CA LE zadanie PRZED rozpocze ciem rozwia zywania go!. Niech M. p. Dowieść że dla każdej pary liczb ca lkowiych a b isnieje aka para liczb wymiernych

Bardziej szczegółowo

Zadania egzaminacyjne

Zadania egzaminacyjne Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie

Bardziej szczegółowo

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof.

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof. Ruch płaski Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas kórego wszyskie punky ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierującą. Punky bryły o jednakowych

Bardziej szczegółowo

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA RELATYWISTYCZNA TRANFORMACJA LORENTZA

MECHANIKA RELATYWISTYCZNA TRANFORMACJA LORENTZA Wdiał EAIiE Kierunek: ELEKTRONIKA I TELEKOMUNIKACJA Predmio: Fika II MECHANIKA RELATYWISTYCZNA TRANFORMACJA LORENTZA 0/0, lao SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI Fika relawisna jes wiąana pomiarem miejsa i asu

Bardziej szczegółowo