ZASTOSOWANIE GRANICZNYCH ZAGADNIEŃ ODWROTNYCH DO OKREŚLANIA DOPUSZCZALNYCH STĘŻEŃ SUBSTANCJI CHEMICZNYCH NA POWIERZCHNI TERENU

Transkrypt

1 Zastosowanie granicnych agadnień INFRASTRUKTURA I EKOLOGIA TERENÓW WIEJSKICH INFRASTRUCTURE AND ECOLOGY OF RURAL AREAS Nr 9/2008, POLSKA AKADEMIA NAUK, Oddiał w Krakowie, s Komisja Technicnej Infrastruktury Wsi Wiesław Sulcewski ZASTOSOWANIE GRANICZNYCH ZAGADNIEŃ ODWROTNYCH DO OKREŚLANIA DOPUSZCZALNYCH STĘŻEŃ SUBSTANCJI CHEMICZNYCH NA POWIERZCHNI TERENU AN APPLICATION OF THE LIMITED INVERSE PROBLEM FOR DETERMINING THE ADMITTED CHEMICAL SOIL SURFACE CONCENTRATION Strescenie W pracy predstawiono metodę astosowania granicnych agadnień odwrotnych do określania dopuscalnych stężeń substancji chemicnych na powierchni terenu. Proces transportu ropusconych w wodie ośrodka gruntowego aniecysceń opisano równaniem dyspersji hydrodynamicnej. Opracowana metoda powala na odtworenie warunku bregowego realiowanego na powierchni terenu na podstawie najomości mian koncentracji na wybranej głębokości w casie trwania procesu. Predstawiono prykład astosowania tej metody w prypadku, gdy pole uwilgotnienia i prepływu wody jest mienne w casie i prestreni. Preprowadono badania bieżności opracowanej metody. Słowa klucowe: równanie dyspersji hydrodynamicnej, model matematycny, agadnienia odwrotne Summary The method of application of limited inverse problems to determine admitted chemical concentration on the soil surface is elaborated. The process of transport of pollutants soluble in soil water is described by the hydrodynamic dispersion equation. The method lets for restoring the border condition on the soil surface. This is obtained on the bases of the concentration changes in the selected 217

2 Wiesław Sulcewski depths during the process. The example of method application is presented when the soil moisture and flow rate are spatial and time variable. The converges of the method has been investigated. Key words: hydrodynamic dispersion equation, mathematical model, inverse problems WSTĘP Podstawowym źródłem aniecyscenia wód podiemnych pre rolnictwo jest nieumiejętne stosowanie różnego rodaju środków chemicnych wspomagających produkcję roślinną. Nadmiar tych środków cęsto powoduje wymywanie ich poa strefę w jakiej mają oddiaływać i w konsekwencji do wód podiemnych [Kowalski, Moryl 1990]. Optymalny dobór dawek ropusconych w wodie substancji chemicnych jest agadnieniem skomplikowanym, gdyż ależy od wilgotności ośrodka i prędkości prepływu nośnika jakim jest woda. Koniecne jest też uwględnienie wielu innych procesów, do których można alicyć sorpcję ropatrywanej substancji chemicnej pre ośrodek gruntowy ora jej pobór pre system koreniowy roślin. Transportowi aniecysceń chemicnych ropusconych w wodie ośrodka gruntowego poświęcono już wiele uwagi i badań [Kowalik 2001; Sulcewski 2003]. Opisywany on jest pre równanie dyspersji hydrodynamicnej. Najcęściej model ten jest wykorystywany do symulacji migracji aniecysceń chemicnych pry nanych warunkach pocątkowych i bregowych procesu ora wceśniej definiowanych parametrach. W tej postaci jego prydatność do określania wielkości np. dawek nawoowych jest ogranicona, gdyż tylko metodą prób i błędów można uyskać odpowiedź na pytanie, jaka maksymalnie może być dawka dostarcona na powierchnię terenu, aby na wybranej głębokości nie prekrocyła adanej a priori koncentracji. W pracy ostanie podjęta próba rowiąania tego adania a pomocą metody granicnych agadnień odwrotnych. Podstawy teoretycne tej metody są nane i dla równania ciepła predstawione w pracy Alifanova i in. [1988]. W analiowanym prypadku proces transportu aniecysceń także opisano równaniem dyspersji hydrodynamicnej, ale metoda granicnych agadnień odwrotnych powala na odtworenie warunku bregowego na podstawie najomości mian koncentracji na wybranej głębokości w casie jego trwania. W pracy predstawiony ostanie prykład astosowania tej metody w prypadku najbardiej skomplikowanym, tn. gdy pole uwilgotnienia i prepływu wody jest mienne w casie i prestreni. Predstawione ostaną wyniki dla agadnienia warunkami bregowymi I rodaju (Dirichleta, chociaż jest ona na tyle ogólna, że można ją dostosować także do warunków bregowych II rodaju. 218

3 MODEL MATEMATYCZNY Zastosowanie granicnych agadnień Proces migracji aniecysceń w strefie aeracji opisano równaniem różnickowym cąstkowym [Sulcewski 2003]: r c t ( D ( s,v w c q w c Q( c gdie: c koncentracja aniecyscenia [ML -3 ], θ wilgotność objętościowa gruntu [L 3 L -3 ], ρ g gęstość objętościowa gruntu [ML -3 ], r = θ+kρ g. k stała, D s współcynnik dyfuyjno-dyspersyjny [L 2 T -1 ], q w jednostkowy prepływ wody q w = v w θ [LT -1 ], Q funkcja źródłowa (wydajność makroskopowego źródła aniecyscenia w jednostce casu na jednostkę objętości [ML -3 T -1 ], mienna prestrenna orientowana godnie diałaniem siły ciężkości [L], t cas [T], M,L,T jednostki masy, długości i casu. W równaniu tym współcynnik dyspersji pryjęto w postaci [Maciejewski 1985]: gdie: a, b, d stałe. D s ( a Na powyżse równanie różnickowe nałożono odpowiednio warunki pocątkowe i bregowe: b v w d c(, 0 c( 0,t c( L,t c p (,( c ( t,( 0 g c ( t,( 0 d 0 t t L T T gdie: c p ( koncentracja aniecyscenia na pocątku procesu [ML -3 ], c g (t warunek bregowy realiowany na powierchni terenu [ML -3 ], c d (t warunek bregowy realiowany na głębokości = L [ML -3 ], L miążsość strefy aeracji [L], T cas procesu [T]. 219

4 Wiesław Sulcewski Pryjęcie powyżsych warunków bregowych akłada, że na powierchni terenu nana jest koncentracja aniecyscenia chemicnego (funkcja c g (t. W metodie granicnych agadnień odwrotnych funkcję tę można określić popre realiację algorytmu, w którym nane są funkcje prejścia, tn. koncentracji aniecyscenia w całym casie trwania procesu na ustalonych głębokościach. Polega ona na takim dobore warunku bregowego na powierchni, aby minimaliować odległość rowiąania teoretycnego od empirycnego na tych głębokościach, godnie adaną funkcją celu. Pre rowiąanie empirycne roumie się w tym prypadku odpowiednio dobrane wartości koncentracji aniecyscenia dopuscalne na wybranych głębokościach. Jeżeli pre Z k, k = 1,..,N, onacymy głębokości, na których są określone funkcje prejścia, gdie: 0<Z 1 <...<Z N <L, to jako miarę błędu określenia warunku bregowego c g (t można pryjąć funkcję: gdie: c (s (Z k,τ rowiąanie teoretycne agadnienia otrymane dla warunku bregowego c g (s (t po s-tej iteracji, s = 1,2,...,.(dla s = 1 warunek bregowy pryjmuje się a priori, f k (τ nane funkcje prejścia. Zagadnienie określenia warunku bregowego popre takie sformułowanie ostało sprowadone do posukiwania minimum funkcji F (s dla ustalonego s. Algorytm wynacania tego warunku bregowego składa się dwóch etapów dla każdej iteracji, które mają na celu określenie gradientu minimaliowanej funkcji F (s (tw. agadnienie sprężone ora drugie agadnienie, którego rowiąanie umożliwia określenie wielkości poprawek, jakie musą ostać wprowadone. Niech Zagadnienie sprężone do powyżsego agadnienia, po pominięciu nieliniowych składników ma wówcas postać: 220

5 Zastosowanie granicnych agadnień Warto wrócić uwagę, że w tym agadnieniu jedynym cynnikiem, który wpływa na rowiąanie jest różnica dopasowania, w casie trwania procesu, pomiędy rowiąaniem teoretycnym c(z k,t a krywą prejścia f k (t na głębokościach dokonywania pomiaru Z k, k = 1,..,N. Rowiąanie tego agadnienia umożliwia, dla pryjętego typu warunku bregowego, wynacenie gradientu funkcji F (s : W celu oceny wpływu miany warunku bregowego na rowiąanie koniecne jest sformułowanie i rowiąanie agadnienia niewiadomą ξ powstałego pre pominięcie nieliniowych składników, w których ξ jest pryrostem koncentracji otrymanym po mianie warunku bregowego o F ( s t : Rowiąanie powyżsego agadnienia umożliwia określenie wielkości poprawki β posukiwanego warunku bregowego dla kolejnej (s+1 iteracji. Minimaliując funkcję F (s+1 dla ustalonej iteracji (s+1, którą można apisać w postaci 221

6 Wiesław Sulcewski otrymujemy równanie liniowe powalające na wynacenie wartości β. Otrymana wartość β ora wynacony wceśniej pryrost δf umożliwiają wynacenie posukiwanego warunku bregowego dla (s+1 iteracji a pomocą ależności: c (t g ( s 1 c (t g ( s F(t Zbieżność ora efektywność obliceniowa predstawionej metody jest ależna od stopnia komplikacji ropatrywanego procesu, tn. jego liniowości, warunków pocątkowych i bregowych nakładanych na rowiąanie agadnienia dyspersji, wyboru punktów pomiaru koncentracji Z k umożliwiających określenie funkcji f k (t. Warto dodać, że dla wynacania warunku bregowego na powierchni koniecna jest tylko jedna taka funkcja. PRZYKŁAD OBLICZENIOWY Prybliżone rowiąanie równania dyspersji hydrodynamicnej jest tylko wtedy możliwe, gdy nane jest pole prędkości prepływu ora wartości wilgotności. W predstawionym prykładie do wynacenia tych wielkości wykorystano równanie Fokkera-Plancka (dyfuji [Sulcewski 1990]: t ( D( gdie: D(θ współcynnik dyfuji [L 2 T -1 ], K(θ prewodność hydraulicna [LT -1 ], G(θ, funkcja odpowiedialna a pobór wody pre korenie roślin [T -1 ]. W tym równaniu pryjęto postać funkcji D(θ i K(θ godnie propoycją awartą w pracy Van Genuchtena [1980]: K( G(, h( m ng m K( K s ( ( s m 2 1, s (( s gdie: h ciśnienie ssące gleby [L], θ r wilgotność objętościowa odpowiadająca pf=4,2 [L 3 L -3 ], θ s wilgotność pełnego nasycenia [L 3 L -3 ],, D( K( dh d 222

7 Zastosowanie granicnych agadnień K s współcynnik filtracji [L T -1 ], r 1 s, m 1 s n g, γ, η r n g stałe, n g >1, γ>0, η>0. W prykładie realiacji predstawionej powyżej metody pryjęto (w jednostkach, odpowiednio [cm], [doba], [mg]: ropatrywany obsar i cas procesu: [0, 500,0] cm, t [0, 20,0] doba, wartości parametrów charakteryujących ropatrywany grunt: θ r =0,1 [-], θ s = 0,5 [-], K s = 150,0 [cm doba -1 ], γ = 0,001 [cm -1 ], n g = 5,0 [-], η = 0,5 [-], ρ g = 1,75 [g cm -3 ], parametry charakteryujące współcynnik dyspersji: a = 0,2 [-], b = 0,1 [-], d = 0,14 [cm 2 doba -1 ], ropatrywano liniowy proces adsorpcji S = k c, gdie pryjęto k = 0,01; pryjęto stałą ujemną funkcję źródłowa Q = 0,1; warunki pocątkowe, jakie nałożono na rowiąanie równań dyfuji i dyspersji hydrodynamicnej nie ależały od, warunki bregowe realiowane na powierchni terenu dla równania dyfuji i dyspersji predstawiono odpowiednio na rysunku 1a i 1b. a b Rysunek 1. Warunki bregowe realiowane na powierchni terenu t (0,20]: a wilgotność objętościowa [-]; b koncentracja aniecyscenia c g [mg cm -3 ] Prybliżone rowiąanie tak postawionego agadnienia migracji aniecysceń chemicnych predstawiono na rysunku 2. Posłużyło ono do sprawdenia opisanej wyżej metody wynacania warunku bregowego na podstawie nanego rokładu koncentracji substancji chemicnej na wybranej głębokości. W tym celu jako funkcję prejścia f k (t pryjęto koncentrację c(150,t prybliżonego rowiąania (rys. 3a. Dodatkowo jako warunek bregowy pryjęto a priori (iteracja s = 0, liniową ależność koncentracji od casu (rys 3b. 223

8 Wiesław Sulcewski Rysunek 2. Rowiąanie równania dyspersji hydrodynamicnej a b Rysunek 3. a Krywa prejścia f k (t = c(150,t [mg cm -3 ]; b Warunek bregowy realiowany na powierchni terenu dla iteracji s = 0, c g [0] [mg cm -3 ] Wyniki aproksymacji warunku bregowego otrymanego w trakcie realiacji algorytmu granicnego agadnienia odwrotnego predstawiono na rysunku 4 po kilku wybranych iteracjach (s = 1, s = 5, s = 10,s = 50, s =

9 Zastosowanie granicnych agadnień Rysunek 4. Wyniki aproksymacji warunku bregowego równania dyspersji hydrodynamicnej WNIOSKI Predstawiona w pracy metoda wynacania warunku bregowego na podstawie najomości mian koncentracji na wybranej głębokości w casie trwania procesu jest dość skomplikowana, jednak w prypadku dysponowania skutecnymi algorytmami rowiąywania agadnień różnickowych typu parabolicnego trudności są do pokonania. Preprowadone eksperymenty numerycne, których jeden tylko prykład amiescono w pracy powalają na sformułowanie kilku wniosków: 1. Efektywność metody jest stosunkowo wysoka, gdyż już po kilku iteracjach dopasowanie warunku bregowego dokładnego i aproksymowanego jest nacące (rys Metoda nie jest niestety globalnie bieżna i do jej sersego stosowania wymaga dalsych badań. 3. Opracowana metoda jest scególnie wrażliwa na staranne opracowanie algorytmów powalających na otrymywanie ( małym błędem prybliżonych rowiąań występujących w niej agadnień różnickowych. 4. Predstawiony prykład agadnienia odwrotnego dotycył warunku bregowego I rodaju (Dirichleta, jednak stosunkowo łatwo można ją dostosować także do warunków bregowych II rodaju. 225

10 Wiesław Sulcewski BIBLIOGRAFIA Aлифанов O. M., Aртюхин E. A., Pумянцев C. B. Эkcтpeмaльныe meтoды решения некорректных задач. НАУКА, Moсква Kowalik P. Ochrona środowiska glebowego. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warsawa Kowalski J., Moryl A. Metodyka i wstępne wyniki badań wpływu nawożenia mineralnego na aniecyscenie wód gruntowych. Zes. Nauk. AR we Wrocławiu. Melioracja 34. Nr 189, Maciejewski St. Migracja aniecysceń drogą dyspersji hydrodynamicnej w strefie niepełnego nasycenia jednorodnego ośrodka gruntowego. Praca doktorska. Inst. Bud. Wod. PAN, Gdańsk Sulcewski W. Modelowanie mian uwilgotnienia gleby w strefie niepełnego nasycenia. Zes. Nauk. AR we Wrocławiu. Melioracja 36. Nr 192, 1990, s Sulcewski W. Modelowanie migracji aniecysceń w nienasyconych gruntach i glebach. Zes. Nauk. AR we Wrocławiu. Roprawy CCI. Nr 466, Van Genuchten M.Th. A closed-form equation for predicting the hydraulic conductivity of unsaturated soils. Soil Sci.Am.J. vol. 44, s , Wiesław Sulcewski Katedra Matematyki Uniwersytet Pryrodnicy we Wrocławiu Ul. Grunwaldka 53, Wrocław wieslaw.sulcewski@up.wroc.pl Recenent: Prof. dr hab. Jery Kowalski 226