Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Hipotezy wytężeniowe.

Transkrypt

1 HIPOTEZY WYTĘŻENIOWE Wtężenie i jego miara Wkres rociągania stali miękkiej pokauje że punkt materialn najdując się w jednoosiowm stanie naprężenia prechodi w trakcie więksania naprężenia pre kolejne stan mechanicne: liniowo-sprężst nieliniowo-sprężst sprężsto-plastcn plastcn aż w końcu osiąga stan niscąc gd spójność międ punktami materialnmi ostanie erwana Jest recą ocwistą że ten ostatni stan jest stanem niebepiecnm a prejścia międ stanami repreentowane są popre odpowiednie naprężenia granicne H S e i m Należ jednak auważć że nie wsstkie materiał mogą prechodić pre te wżej wspomniane stan mechanicne Materiał kruch nie osiąga stanu plastcnego a stan niscąc jest bardo blisko stanu liniowo-sprężstego Dla wielu materiałów stan plastcn w którm wstępują duże odkstałcenia trwałe należ unać a stan niscąc w sensie niemożności spełniania adań użtkowania Możem więc unać że pre niebepiecn stan mechanicn roumieć będiem stan w którm achodą jakościowe mian własności materiału najcęściej roumiane jako wstąpienie dużch nieodwracalnch odkstałceń lub niscenie a granicą niebepiecną naprężenie pr którm mian te się dokonują Jeśli wprowadim pojęcie wtężenia które możem definiować jako stopień bliżenia się materiału do granic niebepiecnej to warunkiem bepiecnego stanu będie nierówność: W W N gdie: W - miara wtężenia W N - wartość miar wtężenia w stanie niebepiecnm Postawim tera ptanie: jak określić (albo inacej cm mierć) wtężenie w punkcie w którm nam macier naprężeń i ile wnosi wartość tej miar w stanie niebepiecnm Odpowiedź na to ptanie jest bardo łatwa jednie w prpadku gd w punkcie panuje jednoosiow stan naprężenia Miarą wtężenia będie wówcas naprężenie a jej wartością w stanie niebepiecnm - granica niebepiecna którą doświadcalnie wnacm prób rociągania i ściskania Zatem: ( ) ( ) N W = ; W = a warunek bepiecnego stanu ma postać: jeśli prjmiem że wartości granic niebepiecnch pr rociąganiu i ściskaniu są takie same = = r c Graficną repreentacje bepiecnch stanów na osi naprężeń stanowić wówcas będą punkt wewnątr odcinka > < W prpadku gd w punkcie panuje prestrenn stan naprężenia odpowiedź się komplikuje gdż nieskońcenie wiele stanów naprężenia może spowodować w nim stan niscenia i dlatego musim posłużć się hipoteami wtężeniowmi Hipote wtężeniowe określają miarę wtężenia nieależnie od rodaju stanu naprężenia Innmi słow określają one co decduje o nisceniu materiału w danm punkcie ciała nieależnie od tego jaki rodaj

2 stanu naprężenia w nim wstępuje Jeśli tak to warunek bepiecnego stanu mechanicnego sprowada się do poniżsej ależności: W ( ) ( ) ( ) ( ) N = W = W W () w której wskaźniki w nawiasach smbolicnie określają wmiarowość stanu naprężenia Powżsa relacja pokauje asadnic cel hipote wtężeniowch jest nim odniesienie prestrennego stanu naprężenia do stanu jednoosiowego w którm arówno miara wtężenia jak jej wartość w stanie niebepiecnm jest jasno definiowana i łatwa do doświadcalnego wnacenia W ależności od tego co prjmiem a miarę wtężenia W otrmam wór na tw naprężenie redukowane (lub astępce) 0 charakterujące dowoln stan naprężenia pod wględem wtężenia Z pośród wielu dotchcas postawionch hipote wtężeniowch które e wględu na postulowaną miarę wtężenia bardo ogólnie można podielić na: naprężeniowe odkstałceniowe i energetcne omówim tlko cter Hipotea Galileusa hipotea maksmalnch dodatnich naprężeń normalnch Postawiona w roku pre tego genialnego uconego ctowana obecnie tlko e wględów historcnch Daje w wielu prpadkach wniki sprecne doświadceniami W mśl tej hipote: o wtężeniu materiału w danm punkcie ciała decduje wartość maksmalnego dodatniego naprężenia głównego nieależnie od rodaju stanu naprężenia: ( ) W G = ma () a ; dla a > 0 gdie: nawias Macaule a a = 0 ; dla a 0 Zatem warunek bepiecnego stanu ma postać: ma ( ) = r () Powżsą ależność możem ropisać w postaci trech nierówności: r r r którch graficn obra w trójwmiarowej prestreni naprężeń ( ) nawanej prestrenią Haigha Beckera predstawia prestreń ograniconą od stron dodatnich osi układu płascnami = r = r i = r a w dwuwmiarowej prestreni obsar ogranicon prostmi = r i = r (rs) r r s

3 Hipotea ankine a Clebscha hipotea maksmalnch naprężeń normalnch Zaproponowana pre ankina (85 r) i Clebscha (8 r) Nie ostała dostatecnie dobre potwierdona doświadceniami Według tej hipote: o wtężeniu materiału w danm punkcie ciała decduje maksmalna bewględna wartość naprężenia głównego nieależnie od rodaju stanu naprężenia: W ( ) C = ma (4) Stąd warunek bepiecnego stanu ma postać: ma ( ) = (5) jeśli prjmiem że granice niebepiecne pr rociąganiu i ściskaniu są sobie równe r = c = Powżsą ależność możem ropisać w postaci nierówności: którch graficn obra w trójwmiarowej prestreni naprężeń Haigha Beckera predstawia prestreń ograniconą seścianem o boku a w dwuwmiarowej prestreni - kwadrat o takim samm boku (rs ) s 4 Hipotea Coulomba Tresci Guesta hipotea maksmalnch naprężeń stcnch Predstawiona pre Coulomba (77 r) Trescę (87 r) i Guesta (900 r) najduje astosowanie w prpadku materiałów sprężsto-plastcnch Ta hipotea postuluje że: o wtężeniu materiału w danm punkcie ciała decduje maksmalna bewględna wartość ekstremalnch naprężeń stcnch nieależnie od rodaju stanu naprężenia: 4

4 WC T = ma () Tm raem warunek bepiecnego stanu określa nierówność: ma która jest równoważna trem niżej napisanm warunkom: = (7) W trójwmiarowej prestreni Haigha Beckera powżse nierówności wnacają prestreń ograniconą nieskońcenie długim graniastosłupem o osi równo nachlonej do osi układu odniesienia (jest tw oś aksjatorów = = ) i o prekroju poprecnm w kstałcie seściokąta foremnego a w dwuwmiarowej prestreni - obsar ogranicon seściokątem (rs ) = = k s 5 Hipotea Hubera Misesa Henck ego hipotea energii odkstałcenia postaciowego Hipotea ta ostała sformułowana nieależnie pre trech autorów: Hubera (904 r) Misesa (9 r) i Henck ego (94 r) Pierws nich Maksmilian Ttus Huber bł Polakiem i jego wbitne osiągnięcia na trwale apisał się w historii mechaniki ośrodków ciągłch Hipotea bardo dobre pokrwa się danmi doświadcalnmi w prpadku materiałów sprężsto-plastcnch i według niej: o wtężeniu materiału w danm punkcie ciała decduje gęstość energii odkstałcenia postaciowego nieależnie od rodaju stanu naprężenia: 5

5 W + ν E [ ( ) + ( ) + ( ) ] = (8) Zatem warunek bepiecnego stanu mechanicnego prjmuje formę: + ν ν [ ( ) + ( ) + ( ) ] = + + E E E ( ) + ( ) + ( ) (9) lub ( ) + ( ) + ( ) + ( τ + τ + τ ) (0) W trójwmiarowej prestreni Haigha Beckera powżs warunek określa prestreń wewnątr nieskońcenie długiego walca o osi pokrwającej się osią aksjatorów a w prestreni dwuwmiarowej - obsar ogranicon elipsą (rs 4) = = Porównanie hipote s 4 Porównanie robim dla prpadku płaskiego stanu naprężenia ( = 0) ora trech wżej omówionch hipote a mianowicie maksmalnch naprężeń normalnch (-C) maksmalnch naprężeń stcnch (C-T-G) i energii odkstałcenia postaciowego (H-M-H) rwe granicne dla tch trech hipote estawione są na rs5 Widać niego wraźnie że najwiękse robieżności mied kwadratem -C a seściobokiem C-T-G i elipsą H-M-H wstępują w drugiej i cwartej ćwiartce prestreni naprężeń na prostej = tj dla prpadku cstego ścinania s5 = - cste ścinanie

6 7 Naprężenia redukowane Jeżeli uporądkujem naprężenia główne wg relacji to warunek bepiecnego stanu mechanicnego wg ponanch hipote możem apisać w następując sposób: wg hipote Galileusa wg hipote ankine a Clebscha ma ( ) wg hipote Coulomba Tresci Guesta = wg hipote Hubera Misesa Henck go ( ) + ( ) + ( ) + ( τ + τ + τ ) Lewe stron powżsch nierówności oblicone w oparciu o wartości elementów dowolnej macier naprężeń porównwane są granicą niebepiecną pr jednoosiowm stanie naprężenia Stąd możem je interpretować jako astąpienie c redukcję stanu prestrennego do jednoosiowego i dlatego nawane są naprężeniami redukowanmi lub astępcmi i wkle onacane pre 0 Stąd wor na naprężenia redukowane wg odpowiednich hipote mają postać: G 0 = ( ) C 0 = ma C T 0 = 0 = = ( ) + ( ) + ( ) + ( τ + τ + τ ( ) + ( ) + ( ) W prpadku płaskiego stanu naprężenia w którm macier naprężeń awiera jednie dwa element ora τ wor na naprężenia redukowane prjmują formę: G 0 = τ + C 0 = + 4 C T 0 = 4τ + τ ) = 7

7 0 = τ + 8 Prkład Prkład 8 Porównać naprężenia astępce dla prpadku cstego ścinania ( = ) określonego naprężeniem τ owiąanie Naprężenia redukowane według predstawionch hipote wnosą: G C C T = = = τ = τ τ Jeśli prjąć że hipotea H-M-H daje wniki najlepiej odpowiadające recwistemu achowaniu się materiałów a tak pokaują doświadcenia dla materiałów sprężstoplastcnch to: dwie pierwse hipote aniżają wartość wtężenia o: ( ) = 4% a trecia awża wartość wtężenia o: ( ) = 547% Prkład 8 Wnacć naprężenia redukowane wg omówionch hipote w punkcie prekroju utwierdenia konstrukcji o schemacie jak na poniżsm rsunku X owiąanie m 4 m 5 kn/m Sił prekrojowe w prekroju utwierdenia pokaane są na rsunku obok W roważanm prekroju poprecnm wstępuje: rociąganie i ginanie wględem dwóch osi co implikuje powstanie naprężeń normalnch ora ścinanie ora skręcanie co wwołuje naprężenia stcne τ Z 0 kn Y 8 M S = 0 knm N = 0 kn X Z 9 Z Y Q = 0 kn wmiar w cm M = 40 knm Y M = 0 knm 8

8 Naprężenia normalne: N M M = + + A J J 0* 0 40* 0 0* 0 = * 0 0* 0 40* 0 ( 0 0) + ( 0 ) = ( ) * 0 = 0 58* 0 = Pa= MPa Naprężenia stcne od ścinania siłą poprecną Q τ Q = J S ( b( ) 0* 0 * ( 9* * 0 5 )* 0 = 8 ) 0* 0 * 0 0 = 0 858* 0 Pa = MPa od momentu skręcającego M s Skorstam tutaj prbliżonego sposobu oblicenia maksmalnej wartości naprężenia stcnego w prekroju skręcanm aproksmowanm biorem prostokątów M S M S Ponieważ stosunek wsokości do serokości w obu prostokątach jest taki sam to M S = M S = M S / = 0000 knm h/b = 8/ = α = 07 M 0* 0 τ S = = = * 0 Pa = MPa α b h 0 7* 0 0 * 0 8 Stąd sumarcne naprężenie stcne w punkcie wnosi: τ = = i macier naprężeń ma postać: MPa T 0 58 = MPa Jak widać w punkcie panuje płaski stan naprężenia którego płascną naprężenia jest płascna (X Z) Naprężenia redukowane mają wartości: G = τ = + ( 0 58) + 4* = 4 MPa C = τ = + ( 0 58) + 4* = MPa C T ( 0 58) + 4* = = + 4τ = MPa 9

9 ( 0 58 ) + * = = + τ = MPa Prosę wrócić uwagę jak duże są robieżności wników otrmanch hipote Galileusa i Coulomba-Tresci-Guesta 0