ODKSZTAŁCENIE PLASTYCZNE MATERIAŁÓW IZOTROPOWYCH. Opis dla ośrodka ciągłego
|
|
- Izabela Olszewska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 ODKSZTAŁCENIE LASTYCZNE MATERIAŁÓW IZOTROOWYCH. Opis dla ośrodka ciągłego (opracowano na podstawie: C.N. Reid, deformation geometr for Materials Scientists, ergamon ress, Oford, 97) Wstęp Omówim tera sposób opisu odkstałcenia plastcnego, traktując materiał jako ośrodek ciągł i iotropow. Metale użwane w praktce premsłowej mają prawie awse strukturę polikrstalicną. Jeśli ich rokład orientacji (tekstura) jest bliski prpadkowemu, a ponadto romiar iaren nie prekraca 0. mm to mogą bć one traktowane iotropowe. Ocwiście w opisie takim nie bierem pod uwagę krstalicnego charakteru mechanimów odkstałcenia plastcnego, jak poślig c bliźniakowanie. Roważm osiow test rociągania lub ściskania. ocątkowa długość próbki wnosi l 0, aś jej prekrój S 0. Na ogół test preprowadam pr stałej prędkości odkstałcenia:. Tpow wkres krwej rociągania (lub ściskania) predstawia się cęsto w tw. współrędnch inżnierskich: w funkcji, gdie ( jest to tw. inżnierskie naprężenie, ε - inżnierskie wdłużenie). Tpową krwa rociągania predstawia Rs.. Y 0 Q ε e ε ε t Rs.. Tpowa krwa rociągania metalu. Widim, że po odjęciu prłożonej sił poostaje trwałe odkstałcenie, cli plastcne: ε pl ε t - ε e, gdie ε t jest odkstałceniem całkowitm, aś εe jest odkstałceniem sprężstm. Jeśli ponownie prłożm do próbki naprężenia, to najpierw będiem się porusać po prostej Q (odkstałcenie sprężste), aś pocąws od punktu wstąpi odkstałcenie plastcne. Wprowadźm umowę, że od tego momentu odkstałcenie plastcne ε pl onacać będiem jako ε. Jeżeli, startując punktu, powięksm wartość naprężeń o δ, to prrost odkstałcenia plastcnego wniesie δε (Rs.). Natomiast w innm punkcie krwej rociągania (R), tej samej wartości prrostu naprężeń będie odpowiadał inn prrost odkstałcenia
2 plastcnego δε R Rs.. Widim atem, że dla danej wartości prłożonch naprężeń charakterstcn jest tlko prrost odkstałcenia plastcnego δε. δ δ R 0 δε R δε δε > δε R ε Rs.. o odjęciu prłożonch naprężeń (punkt ) i ponownm ich prłożeniu ora powiękseniu o δ, odkstałcenie plastcne próbki wrośnie o δε. odobnie, ponowne prłożenie naprężeń w punkcie R ora ich więksenie o δ, spowoduje prrost odkstałcenia plastcnegoδε. Widać, że prrost są będą różne i charakterstcne dla wartości prłożonch naprężeń. Krteria płnięcia plastcnego pr ogólnm stanie naprężeń Jak już widieliśm, mechanimami odkstałcenia plastcnego są poślig, bliźniakowanie i poślig po granicach iaren (w w wsokich temperaturach). Wsstkie te procesu są mechanimami prostego ścinania, a atem istotne do ich ajścia są tlko naprężenia ścinające, natomiast naprężenia hdrostatcne nie odgrwają żadnej roli. a) Krterium Treski (org.: Tresca): łnięcie plastcne pojawia się wted, gd maksmalne naprężenie ścinające osiąga krtcną wartość : ( ma min ) () gdie jest naprężeniem płnięcia w próbie odkstałcenia osiowego (np. rociąganie lub ściskanie) por. Rs., natomiast ma ora są najwięksm i najmniejsm naprężeniem min w układie osi głównch (są to ocwiście składowe normalne). Krterium to pr płaskim stanie odkstałceń, (pr cm 0 ) ilustrowane jest na Rs.. redstawion seściokąt jest miejscem geometrcnm punktów,, które spełniają krterium Treski, cli Równ..
3 Rs.. Krterium Treski na płascźnie. W prpadku ogólnego stanu naprężeń, kied w układie soi głównch wstępują tr nieerowe składowe naprężeń (,, ), miejscem geometrcnm punktów spełniającch Równ. jest graniastosłup o podstawie seściokąta Rs. 4. owierchnia płnięcia plastcnego, wg. krterium Treski, w prpadku ogólnego stanu naprężeń (,, ) są składowmi w układie osi głównch). b) Krterium Von Mises a Według tego krterium, płnięcie plastcne achodi, gd poniżsa funkcja F, ależna od naprężeń głównch (,, ), osiąga wartość krtcną : F {( ) + ( ) + ( ) } () Jeśli ogranicm się do płaskiego stanu naprężeń (obecne tlko składowe i ), to wkresem krwej płnięcia plastcnego jest elipsa o równaniu:
4 I jest ona predstawiona na Rs. 5. {( ) + + } [ + ] () 0 Rs. 5. Krterium Von Mises a na płascźnie. W prpadku pełnego stanu naprężeń wkresem powierchni plastcności (Równ. ) jest clinder eliptcn Rs. 6. Rs. 6. owierchnia płnięcia plastcnego, wg. krterium Von Mises a, w prpadku ogólnego stanu naprężeń (,, ) są składowmi w układie osi głównch). Zauważm, że w prpadku rociągania osiowego ( 0, 0 ), godnie Równ.. Na ogół krterium Von Mises daje dobrą godność ekspermentem, lepsą niż krterium Treski. 4
5 ojęcie naprężeń efektwnch Wróćm do prkładu próbką, która ostała poddana testowi rociągania (Rs.), aż do wartości naprężenia, po którm w próbce poostało trwałe wdłużenie plastcne ε t εe. Jeśli tera poddawać będiem ta próbkę na nowo obciążeniu w teście rociągania osiowego, bądź też pr dowolnm stanie naprężeń, to płnięcie plastcne ropocnie się ponownie jeśli funkcja F Równ. osiągnie wartość. Dlatego też funkcja F może bć uważana a miarę efektwnch naprężeń, decdująca c nastąpi płnięcie plastcne. Zatem naprężenia efektwne (w układie osi głównch) definiujem następująco: {( ) + ( ) + ( ) } (4) Natomiast, jeśli naprężenia wrażone są w dowolnm układie odniesienia, to: {( ) + ( ) + ( ) } + { + + } (5) Można wkaać, że wartość naprężenia efektwnego (Równ.5) jest niemiennikiem, tn. nie ależ od układu odniesienia. rpomnijm, że jeśli nam wartość naprężenia, pr którm próbka acnie płnąć plastcnie w teście rociągania osiowego, to wstąpi to również pr dowolnie łożonm stanie naprężeń, jeśli tlko:. Naprężenia efektwne opisują nam atem obiektwnie stan materiału (np., umocnienie mechanicne wskutek wrostu gęstości dslokacji). W rodiale tm stosujem następującą konwencję: wskaźniki tensorów w układie osi głównch wrażam w sposób redukowan i pre cfr (np.,,, ε, ε, ε ), aś w dowolnm układie pre liter (np.,,,,,, ε, ε, ε, γ, γ γ )., Relacje naprężenie - odkstałcenie W poniżsch roważaniach użjem następującch ałożeń: - materiał jest iotropow, a atem osie główne tensora naprężeń i odkstałceń pokrwają się, - każdej wartości naprężenia ścinającego (ora małemu, ustalonemu prrostowi d ) odpowiada prrost plastcnego odkstałcenia ścinającego, którego wartość nie ależ od naprężeń normalnch, - W materiale o określonm stanie pocątkowm, dowolnm dwóm naprężeniom ścinającm τ A i τ B odpowiadają prrost plastcnego odkstałcenia ścinającego A i A, pr cm: A τ A B τ B (6) odkreślić należ, iż powżsa ależność nie onaca, iż istnieje liniowa ależność pomięd τ A i A. 5
6 Można definiować wiele różnch iloraów naprężeń ścinającch i prrostów plastcnego odkstałcenia ścinającego odpowiadającch małemu, ustalonemu prrostowi d, np.: dα omnóżm obustronnie ta relację pre dwa i apism ją w nieco uprosconej postaci: ( ε ) ( ) ( ) d dλ (7) gdie: γ ε (ε ε 6 ), γ ε (ε ε 5 ), γ ε (ε ε 6 ) ora dλdα. owżse równanie jest słusne, gd wsstkie składowe naprężeń prłożone są równoceśnie. Równania 7 i 8 potwierdone są licnmi pomiarami. Jak już wiem, w odkstałceniu plastcnm achowana jest objętość materiału, a atem: + 0 (8) + Łącąc e sobą dwa ostatnie równania, możem wraić bepośrednio prrost odkstałcenia plastcnego, spowodowane równocesnm diałaniem wsstkich składowch naprężeń: dλ dλ dλ dλ dλ dλ ( + ) ( + ) ( + ) (9) Równanie to posiada dużą wartość praktcną, gdż daje nam rokład odkstałcenia plastcnego na składowe, pr cm odkstałcenie to spowodowane jest dowolnie łożonm stanem naprężeń. rrost odkstałcenia plastcnego ależą od: aktualnego poiomu naprężeń efektwnch ora od małego prrost d ponad ten poiom, któr wwołuje to odkstałcenie. repism tera Równ. 7 do postaci w układie osi głównch: ( ) ( ) ( ) (0) dλ 6
7 Ab prekstałcić to równanie, skorstajm tożsamości trgonometrcnej dotcącej seściu dowolch licb a,b,c, d,e,f spełniającch następującą proporcję : a /d b/e c/f (auważm, że relacją ta spełniają składowe a,b,c ora d,e,f dwóch równoległch wektorów). Mam atem także: a / d b/e c/ f a + b + c / d + e + f () Stosując tożsamość do Równ. 0, otrmujem: ( ) ( ) d λ {( ) + ( ) + ( ) } {( ) + ( ) + ( ) } () Zapism powżse równanie w sposób bardiej wart: gdie d ε d λ () jest miarą odkstałcenia efektwnego: 9 {( ) + ( ) + ( ) } (4) Równanie 4 charakteruje w ogóln sposób dowolne odkstałcenia plastcne. Łatwo sprawdić, że w prpadku rociągania osiowego ( i pr spełnieniu warunku stałej objętości Równ. 8), odkstałcenie efektwne ora naprężenia efektwne redukują się do: d ε ora. Możem definiować miarę całkowitego odkstałcenia efektwnego: ε d ε (5) rkładowo, w prpadku rociągania osiowego: ε dl l d ε d ε log e l l, gdie l i l 0 są długościami końcową i pocątkową próbki. Stosując pojęcia efektwnego naprężenia i odkstałcenia, wkres w funkcji ε, dla tego samego materiału pocątkowego, będą miał niemal taki sam kstałt dla różnch odkstałceń plastcnch spowodowanch romaitmi tpami naprężeń (patr Rs. 7 i 8). Jest to ważne uogólnienie krwej predstawiającej wniki dowolnego tpu odkstałcenia plastcnego. Wielkości ora ε nawane są także równoważnmi naprężeniami i odkstałceniami. Wkres w funkcji ε najłatwiej jest wnacć dla danego materiału w testach osiowego rociągania lub ściskania. l l0 0 7
8 odstawm dλ (Równ. 4) do Równ. 0: ( + ) ( + ) / / ( + ) / (6) Jest to równania LEVY-MISES a, podstawowe równanie teorii plastcności. W powżsm równaniu jest ono wrażone w układie osi głównch. W układie tm prrost całkowitego odkstałcenia ( d ε ) prrost podaje nam Rown.4. Natomiast w dowolnm układie odniesienia prrost efektwnego odkstałcenia wlicam godnie następująca formułą: {( ) + ( ) + ( ) } + { + } + 9 (7) aś naprężenie efektwne wlicam godnie Równ.5, cli: {( ) + ( ) + ( ) } + { + + } (arówno d ε jak i są niemiennikami). Wted równania LEVY-MISES a prjmują ogólną postać: / / / ( + ) ( + ) ( + ) / / / (8) Zauważm, iż mając wnacon dla danego materiału stosunek d ε/ pr ałożonej małej wartości d (np. testu rociągania osiowego), równania Lev-Mises a wlicm rokład dowolnego odkstałcenia plastcnego na poscególne składowe:,,,,,, odpowiadając prłożonemu naprężeniu efektwnemu. 8
9 Jest to bardo prdatne równanie operacjne w obliceniach odkstałceń plastcnch, prdatne np. w projektowaniu procesów formowania materiałów. Na koniec auważm, że jeśli prłożone do materiału sił będiem więksać, ale tak, ab poscególne składowe tensora naprężeń poostawał w stałch wajemnch proporcjach, to równanie Lev-Mises a można scałkować i otrmam całkowite (końcowe) miar składowch odkstałcenia : ε ε ( + ) / ε ε ( + ) / (8) ε ε ( + ) / γ γ γ ε / ε / ε / gdie składowe tensora naprężeń ( ε, ε, ε, γ, γ γ ) i jego miara efektwna, odpowiadają stanowi końcowemu procesu odkstałcenia ora: ε ( ε ε ) + ( ε ε ) + ( ε ε ) + γ + γ + γ 9 { } ( ) Równania 9 są równaniami HENCKY ego. (por. Równ. 7). orównanie wnikami doświadcalnmi Na dwóch poniżsch rsunkach (Rs. 7 i 8) pokaano ależność pomięd efektwnm naprężeniem i efektwnm odkstałceniem dla bardo różnch rodajów odkstałcenia. Widim, że jeśli wrsujem tw. krwe umocnienia, cli ależność w funkcji ε, to punkt odpowiadające bardo różnm rodajom odkstałcenia układają się praktcnie na jednej krwej, która jest bardo bliżona do krwej rociągania jednoosiowego dla danego materiału. redstawione wniki potwierdają alet użwania wielkości efektwnch. Odkstałcenia bardo różnch tpów, charakterowane tmi wielkościami, uskują wart i jednolit opis. 9
10 00 naprężenie efektwne (Ma) /4 /8 / / 5/8 / odkstałcenie efektwne Rs. 7. Zależność pomięd naprężeniem i odkstałceniem efektwnm dla polikrstalicnej miedi odkstałcanej pre dwuosiow stan naprężeń (, ). okaano wniki dla różnch wartości /. 0 naprężenie efektwne (Ma) róbka nr. Tension/torsion ratio/ róbka nr. Tension isochronous róbka nr. Tension isochronous róbka nr. 6 Tension/torsion ratio/ róbka nr. 5 Tension/ ε0.009 then constant Torsion-torsion to ε0.099 then constant Torsion-torsion to ε0.095 Nos to 8 shear stress onl Tension / torsion ratio No No.4.95 No.0. No.5.00 No..000 No No.. No.7.57 No odkstałcenie efektwne Rs. 8. Zależność pomięd efektwnm naprężeniem i odkstałceniem dla clindrcnch próbek polietlenu poddanch odkstałceniu pre rociąganie i skręcanie w różnch proporcjach. 0
Postać Jordana macierzy
Rodiał 8 Postać Jordana macier 8.1. Macier Jordana Niech F = R lub F = C. Macier J r () F r r postaci 1. 1... J r () =..........,.... 1 gdie F, nawam klatką Jordana stopnia r. Ocwiście J 1 () = [. Definicja
Bardziej szczegółowoPrzykład 6.3. Uogólnione prawo Hooke a
Prkład 6 Uogónione prawo Hooke a Zwiąki międ odkstałceniami i naprężeniami w prpadku ciała iotropowego opisuje uogónione prawo Hooke a: ] ] ] a Rowiąując równania a wgędem naprężeń otrmujem wiąki: b W
Bardziej szczegółowoRozdział 9. Baza Jordana
Rodiał 9 Baa Jordana Niech X będie n wmiarową prestrenią wektorową nad ciałem F = R lub F = C Roważm dowoln endomorfim f : X X Wiem, że postać macier endomorfimu ależ od wboru ba w prestreni X Wiem również,
Bardziej szczegółowoPodstawy wytrzymałości materiałów
Podstaw wtrmałości materiałów IMiR -IA- Wkład Nr 9 Analia stanu odkstałcenia Składowe stanu odkstałcenia, uogólnione prawo Hooke a, prawo Hooke a dla cstego ścinania, wględna miana objętości, klasfikacja
Bardziej szczegółowoPodstawy wytrzymałości materiałów
Podstaw wtrmałości materiałów IMiR IMT - Wkład Nr 0 Złożon stan naprężeń - wtężenie materiału stan krtcn materiału pojęcie wtężenia cel stosowania hipote wtężeniowch naprężenie redukowane pregląd hipote
Bardziej szczegółowoPOTENCJALNE POLE SIŁ. ,F z 2 V. x = x y, F y. , F x z F z. y F y
POTENCJALNE POLE SIŁ POLE SKALARNE Polem skalarnm V(r) nawam funkcję prpisującą każdemu punktowi w prestreni licbę recwistą (skalar): V (r): r=(,, ) V (r) POLE WEKTOROWE SIŁ Polem wektorowm sił F(r) nawam
Bardziej szczegółowo1. REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW SIŁ. Redukcja płaskiego układu sił
. REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW IŁ Redukcja płaskiego układu sił Zadanie. Znaleźć wartość licbową i równanie linii diałania wpadkowej cterech sił predstawionch na rsunku. Wartości licbowe sił są następujące:
Bardziej szczegółowoKONWENCJA ZNAKOWANIA MOMENTÓW I WZÓR NA NAPRĘŻENIA
ĆWICZENIE 5 KONWENCA ZNAKOWANIA OENTÓW I WZÓR NA NAPRĘŻENIA Wektor momentu pr ginaniu ukośnm można rutować na osie,, będące głównmi centralnmi osiami bewładności prekroju. Prjmujem konwencję nakowania
Bardziej szczegółowoPodstawy wytrzymałości materiałów
Podstaw wtrmałości materiałów IMiR - MiBM - Wkład Nr 5 Analia stanu odkstałcenia Składowe stanu odkstałcenia, uogólnione prawo Hooke a, prawo Hooke a dla cstego ścinania, wględna miana objętości, klasfikacja
Bardziej szczegółowoCzęść 1 2. PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH 1 2. PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH Wstęp
Cęść 1. PRC SIŁ WEWNĘTRZNYCH 1.. PRC SIŁ WEWNĘTRZNYCH.1. Wstęp Na wstępie prpomnijm, że gd premiescenie danego eementu jest funkcją diałającej nań sił Δ = f(p), to praca sił na tm premiesceniu jest równa:
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna w przestrzeni. Kierunek. Długość. Zwrot
- podstawowe pojęcia Geometria analitcna w prestreni Wektorem acepionm w prestreni R 3 nawam uporądkowaną parę punktów A ora B i onacam go pre AB. Punkt A nawam jego pocątkiem, a punkt B - jego końcem.
Bardziej szczegółowoEPR. W -1/2 =-1/2 gµ B B
Hamiltonian spinow Elektronow reonans paramanetcn jest wiąan absorpcją pola wsokiej cęstotliwości, która towars mianie orientacji spin w ewnętrnm polu manetcnm. Niesparowane spinowe moment manetcne µ s
Bardziej szczegółowoANALIZA KONSTRUKCJI POWŁOKOWEJ. CIENKOŚCIENNY ZBIORNIK CIŚNIENIOWY
Cw3_biornik.doc ANALIZA KONTRUKCJI POWŁOKOWEJ. CIENKOŚCIENNY ZBIORNIK CIŚNIENIOWY 1. W P R O W A D Z E N I E Ciało utworone pre dwie akrwione powierchnie nawane jest powłoką, jeśli preciętna odlełość pomięd
Bardziej szczegółowoRuch kulisty bryły. Kąty Eulera. Precesja regularna
Ruch kulist brł. Kąt Eulera. Precesja regularna Ruchem kulistm nawam ruch, w casie którego jeden punktów brł jest stale nieruchom. Ruch kulist jest obrotem dookoła chwilowej osi obrotu (oś ta mienia swoje
Bardziej szczegółowoAdam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Proste zginanie
dam Bodnar: trmałość ateriałów. Proste ginanie. PROSTE GINNIE.. Naprężenia i odkstałcenia Proste ginanie pręta prmatcnego wstępuje wówcas gd układ sił ewnętrnch po jednej stronie jego prekroju poprecnego
Bardziej szczegółowoI. Rachunek wektorowy i jego zastosowanie w fizyce.
Blok 1: Rachunek wektorow i jego astosowanie w fice Podstawowe wielkości ficne w kinematce Opis ruchu w różnch układach odniesienia Ruch wględn I Rachunek wektorow i jego astosowanie w fice Wsstkie wielkości
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr - Wykład 7 Ruch ogólny elementu płynu
J. Santr - Wkład 7 Rch ogóln element płn Rch ogóln ciała stwnego można predstawić jako smę premiescenia liniowego i obrot. Ponieważ płn nie mają stwności postaciowej, w rch płn dochodi dodatkowo do odkstałcenia
Bardziej szczegółowoAdam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Ukośne zginanie 13. UKOŚNE ZGINANIE
. UKOŚNE GINNIE.. Naprężenia i odkstałcenia Ukośne ginanie pręta prmatcnego wstępuje wówcas gd układ sił ewnętrnch po jednej stronie jego prekroju poprecnego pręta redukuje się do momentu ginającego, którego
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr - Wykład 4 Napór hydrostatyczny Napór hydrostatyczny na ściany płaskie
J. antr - Wkład Napór hdrostatcn Napór hdrostatcn na ścian płaskie Napór elementarn: d n( p pa ) d nρgd Napór całkowit: ρg nd ρgn d gdie: C Napór hdrostatcn na ścianę płaską predstawia układ elementarnch
Bardziej szczegółowoσ x σ y σ z σ z, Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Równania fizyczne.
Ada Bodnar: Wtrałość Materiałów. Równania ficne. 7. RÓWNANIA FIZCZN 7.. Zwiąki ięd stane odkstałcenia i naprężenia. I i II postać równań Hooke a Zależność deforacji brł od obciążeń ewnętrnch naruca istnienie
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń liniowa R n.
MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Prestreń liniowa R n. Element (wektor) prestreni R n będiem onacać [,,, ] Element erow [,, L, ]. Diałania. a) ilocn element pre licbę: b) sma elementów [ c, c, ] c L, c
Bardziej szczegółowo2.1. ZGINANIE POPRZECZNE
.1. ZGINNIE POPRZECZNE.1.1. Wprowadenie Zginanie poprecne (ginanie e ścinaniem) wstępuje wted, gd ociążenie ewnętrne pręta redukuje się do momentu ginającego M i sił poprecnej. W prekroju takim wstępują
Bardziej szczegółowoPRAWA ZACHOWANIA Prawa zachowania najbardziej fundamentalne prawa:
PRW ZCHOWNI Pawa achowania nabadie fundamentalne pawa: o ewnętne : pawo achowania pędu, pawo achowania momentu pędu, pawo achowania enegii; o wewnętne : pawa achowania np. całkowite licb nukleonów w eakci
Bardziej szczegółowoPochodna kierunkowa i gradient Równania parametryczne prostej przechodzącej przez punkt i skierowanej wzdłuż jednostkowego wektora mają postać:
ochodna kierunkowa i gradient Równania parametrcne prostej prechodącej pre punkt i skierowanej wdłuż jednostkowego wektora mają postać: Oblicam pochodną kierunkową u ( u, u ) 1 + su + su 1 (, ) d d d ˆ
Bardziej szczegółowoPręt nr 2 N 3,1416² ,1. Wyniki wymiarowania stali wg PN-EN 1993 (Stal1993_2d v. 1.3 licencja) Zadanie: P_OFFER Przekrój: 8 - Złożony
Pręt nr Wniki wmiarowania stali wg P-E 993 (Stal993_d v..3 licencja) Zadanie: P_OER Prekrój: 8 - Złożon Z Y 39 83 Wmiar prekroju: h6,0 s438,7 Charakterstka geometrcna prekroju: Ig4490, Ig34953,6 83,00
Bardziej szczegółowoRozwiazania zadań. Zadanie 1A. Zadanie 1B. Zadanie 2A
Rowiaania adań Zadanie A = ( i) = 4 8i 4 = 8i Badam licbȩ espolon a 8i Jej moduł 8i jest równ 8 Jej postać espolona jest równa 8(cosα + isinα) α = /π St ad cosα = i sinα = Mam pierwiastki które oblicam
Bardziej szczegółowoBelki zespolone 1. z E 1, A 1
Belki espolone. DEFINIC Belki espolone to belki, którch prekrój poprecn składa się co najmniej dwóch materiałów o różnch własnościach ficnch (różne moduł Younga i współcnniki Poissona), pr cm apewnione
Bardziej szczegółowo4.2.1. Środek ciężkości bryły jednorodnej
4..1. Środek ciężkości rł jednorodnej Brłą jednorodną nawam ciało materialne, w którm masa jest romiescona równomiernie w całej jego ojętości. Dla takic ciał arówno gęstość, jak i ciężar właściw są wielkościami
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t. x y + 2t 2x 3y + 5z t x z t
Zesaw adań : Preksałcenia liniowe () Kóre podanch niżej preksałceń ϕ : K n K m są preksałceniami liniowmi: a) n = m = 3, ϕ( + +, b) n = m = 3, ϕ( +, 3 + + + +, d) n = m = 3, ϕ( +, c) n = m = 3, ϕ( e) n
Bardziej szczegółowoPowierzchnie stopnia drugiego
Algebra WYKŁAD 3 Powierchnie sopnia drugiego Deinicja Powierchnią sopnia drugiego kwadrką nawam biór punków presreni rójwmiarowej, spełniającch równanie A B C D E F G H I K gdie A, B,, K są sałmi i prnajmniej
Bardziej szczegółowocz.2 Dr inż. Zbigniew Szklarski Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok.321
Wkład 8: Brła stwna c. Dr inż. Zbigniew Sklarski Katedra Elektroniki, paw. C-, pok.3 skla@agh.edu.pl http://laer.uci.agh.edu.pl/z.sklarski/ 05.04.08 Wdiał nformatki, Elektroniki i Telekomunikacji - Teleinformatka
Bardziej szczegółowoStrukturalne elementy symetrii. Krystalograficzne grupy przestrzenne.
Uniwerstet Śląski Insttut Chemii Zakład Krstalografii Laboratorium Krstalografii Strukturalne element smetrii. Krstalograficne grup prestrenne. god. Cel ćwicenia: aponanie się diałaniem elementów smetrii
Bardziej szczegółowoRównoważne układy sił
Równoważne układ sił Równoważnmi układami sił nawam takie układ, którch skutki diałania na ten sam obiekt są jednakowe. Jeżeli układ sił da się astąpić jedną siłą, to siłę tą nawam siłą wpadkową. Wpadkowa
Bardziej szczegółowox od położenia równowagi
RUCH HARMONICZNY Ruch powtarając się w regularnch odstępach casu nawa ruche okresow. Jeżeli w taki ruchu seroko rouiane odchlenie od stanu równowagi ( np. odchlenie as podcepionej do sprężn, wartość wektora
Bardziej szczegółowonapór cieczy - wypadkowy ( hydrostatyczny )
5. apór hdrostatcn i równowaga ciał płwającch Płn najdując się w stanie równowagi oddiałwuje na ścian ogranicające ropatrwaną jego objętość i sił te nawane są naporami hdrostatcnmi. Omawiana problematka
Bardziej szczegółowoAdam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Hipotezy wytężeniowe.
HIPOTEZY WYTĘŻENIOWE Wtężenie i jego miara Wkres rociągania stali miękkiej pokauje że punkt materialn najdując się w jednoosiowm stanie naprężenia prechodi w trakcie więksania naprężenia pre kolejne stan
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM MECHANIKI EKSPERYMENTALNEJ. Instrukcja do ćwiczenia
LABORATORIUM MECHANIKI EKSPERYMENTALNEJ Instrukcja do ćwicenia 3 Ruch precesjn giroskopu Cel ćwicenia Obserwacja jawiska precesji regularnej. Badanie ależności prędkości kątowej precesji od momentu sił
Bardziej szczegółowoPRAWIDŁOWE ODPOWIEDZI I PUNKTACJA
MAŁOPOLSKI KONKURS MATEMATYCZNY Rok skoln 08/09 ETAP REJONOWY 0 grudnia 08 roku PRAWIDŁOWE ODPOWIEDZI I PUNKTACJA adanie odpowiedź punkt B 3 C 3 3 A 3 4 B 3 5 E 3 6 B 3 7 E 3 8 C 3 9 D 3 0 A 3 7 adania
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. Macierze przekształceń liniowych. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t
Zesaw adań : Preksałcenia liniowe. Maciere preksałceń liniowch () Kóre podanch niżej preksałceń ϕ : K n K m są preksałceniami liniowmi: a) n = m = 3, ϕ( + ) = +, b) n = m = 3, ϕ( ) = +, 3 + + + +, d) n
Bardziej szczegółowoZginanie ukośne LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW. Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki
Katedra Wtrmałości Materiałów i Metod Komputerowch Mechaniki Wdiał Mechanicn Technologicn Politechnika Śląska LABORATORUM WYTRZYMAŁOŚC MATERAŁÓW Zginanie ukośne ZGNANE UKOŚNE 2 1. CEL ĆWCZENA Ćwicenie
Bardziej szczegółowoWyznaczanie ruchliwości i koncentracji nośników prądu w półprzewodnikach metodą efektu Halla
Ćwicenie 13 Wnacanie ruchliwości i koncentracji nośników prądu w półprewodnikach metodą efektu alla Cel ćwicenia Celem ćwicenia jest aponanie się e jawiskiem alla, stałoprądową metodą badania efektu alla,
Bardziej szczegółowoGRUPY SYMETRII Symetria kryształu
GRUPY SYMETRII Smetria krstału Zamknięte (punktowe) operacje smetrii (minimum jeden punkt prestreni nie porusa się wskutek astosowania amkniętej operacji smetrii): Obrot i obrot inwersjne; Inwersja (smetria
Bardziej szczegółowoZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE
KOMISJA BUDOWY MASZYN PAN ODDZIAŁ W POZNANIU Vol. 6 nr Archiwum Technologii Masn i Automatacji 6 ROMAN STANIEK * ZŁOŻONE RUCHY OSI OBROTOWYCH STEROWANYCH NUMERYCZNIE W artkule predstawiono ależności matematcne
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA. ZADANIE 1 (1 PKT) Wskaż liczbę, której 4% jest równe 8. A) 200 B) 100 C) 3,2 D) 32
PRÓBNA MATURA ZADANIE ( PKT) Wskaż liczbę, której % jest równe 8. A) B) C), D) ZADANIE ( PKT) Odległość liczb od liczb -8 na osi liczbowej jest równa A) 8 B) + 8 C) + 8 D) 8 ZADANIE ( PKT) Wskaż rsunek,
Bardziej szczegółowoVIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH
VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH ZADANIA ZAMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0 B. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa B. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba
Bardziej szczegółowoProjekt: Data: Pozycja: A ch = 0,5 20, ,40 = 5091,1 cm 4
Pręt nr 4 Wniki wmiarowania stali wg P-E 993 (Stal993_3d v..4) Zadanie: Hala stalowa suwnicą - P-E.rm3 Prekrój:,9 Z Y 50 Wmiar prekroju: h00,0 s76,0 g5, t9, r9,5 e0,7 Charakterstka geometrcna prekroju:
Bardziej szczegółowoINSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PROCESOWEJ, MATERIAŁOWEJ I FIZYKI STOSOWANEJ POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA ĆWICZENIE NR MR-2
INTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PROCEOWEJ, MATERIAŁOWEJ I FIZYKI TOOWANEJ POLITECHNIKA CZĘTOCHOWKA LABORATORIUM Z PRZEDMIOTU METODY REZONANOWE ĆWICZENIE NR MR- EPR JONÓW Ni W FLUOROKRZEMIANIE NIKLU I.
Bardziej szczegółowoDocument: Exercise-03-manual --- 2014/12/10 --- 8:54--- page 1 of 8 INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 3. Optymalizacja wielowarstwowych płyt laminowanych
Document: Exercise-03-manual --- 2014/12/10 --- 8:54--- page 1 of 8 PRZEDMIOT TEMAT KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydiał Mechanicny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 3 1. CEL ĆWICZENIA Wybrane
Bardziej szczegółowoDryLin T System prowadnic liniowych
DrLin T Sstem prowadnic liniowch Prowadnice liniowe DrLin T ostał opracowane do astosowań wiąanch automatką i transportem materiałów. Chodiło o stworenie wdajnej, beobsługowej prowadnic liniowej do astosowania
Bardziej szczegółowoBADANIE CYFROWYCH UKŁADÓW ELEKTRONICZNYCH TTL strona 1/7
BADANIE CYFROWYCH UKŁADÓW ELEKTRONICZNYCH TTL strona 1/7 BADANIE CYFROWYCH UKŁADÓW ELEKTRONICZNYCH TTL 1. Wiadomości wstępne Monolitcne układ scalone TTL ( ang. Trasistor Transistor Logic) stanowią obecnie
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu miennch wkład MATEMATYKI Automatka i robotka studia niestacjonarne sem II, rok ak 2009/2010 Katedra Matematki Wdiał Informatki Politechnika Białostocka Niech R ndef ={( 1, 2,, n ): 1 R 2
Bardziej szczegółowo[L] Rysunek Łuk wolnopodparty, paraboliczny wymiary, obciążenie, oznaczenia.
rzkład 10.3. Łuk paraboliczn. Rsunek przedstawia łuk wolnopodpart, którego oś ma kształt paraboli drugiego stopnia (łuk paraboliczn ). Łuk obciążon jest ciśnieniem wewnętrznm (wektor elementarnej wpadkowej
Bardziej szczegółowo,..., u x n. , 2 u x 2 1
. Równania różnickowe cąstkowe Definicja. Równaniem różnickowm cąstkowm (rrc) nawam równanie różnickowe, w którm wstępuje funkcja niewiadoma dwóch lub więcej miennch i jej pochodne cąstkowe. Ogólna postać
Bardziej szczegółowoBelki złożone i zespolone
Belki łożone i espolone efinicja belki łożonej siła rowarswiająca projekowanie połąceń prkła obliceń efinicja belki espolonej ałożenia echnicnej eorii ginania rokła naprężeń normalnch prkła obliceń Belki
Bardziej szczegółowoStrukturalne elementy symetrii. Krystalograficzne grupy przestrzenne.
Uniwerstet Śląski Insttut Chemii Zakład Krstalografii Laboratorium Krstalografii Strukturalne element smetrii. Krstalograficne grup prestrenne. 2 god. Cel ćwicenia: aponanie się diałaniem elementów smetrii
Bardziej szczegółowoRuch kulisty bryły. Kinematyka
Ruch kulist bł. Kinematka Ruchem kulistm nawam uch, w casie któego jeden punktów bł jest stale nieuchom. Ruch kulist jest obotem dookoła chwilowej osi obotu (oś ta mienia swoje położenie w casie). a) b)
Bardziej szczegółowoP K. Położenie punktu na powierzchni kuli określamy w tym układzie poprzez podanie dwóch kątów (, ).
Materiał ddaktcne Geodeja geometrcna Marcin Ligas, Katedra Geomatki, Wdiał Geodeji Górnicej i Inżnierii Środowiska UKŁADY WSPÓŁZĘDNYCH NA KULI Pierwsm prbliżeniem kstałtu Ziemi (ocwiście po latach płaskich
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 6 KWIETNIA 0 CZAS PRACY: 70 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE ( PKT.) Liczbę 5 7 zaokr aglam do liczb,6.
Bardziej szczegółowoI. POLARYZATORY Dichroizm Polaryzator w postaci rastra z drutu
I. POLARYZATORY Polarator nie służą tlko do polaracji światła naturalnego, ale również do mian stanu polaracji światła spolarowanego. Polarator: liniow, kołow, eliptcn. Zasad diałania różnch polaratorów
Bardziej szczegółowo2. ELEMENTY TEORII PRĘTÓW SILNIE ZAKRZYWIONYCH (Opracowano na podstawie [9, 11, 13, 34, 51])
P Litewka Efektywny eement skońcony o dżej krywiźnie ELEENTY TEOII PĘTÓW SILNIE ZKZYWIONYCH (Opracowano na podstawie [9,, 3, 34, 5]) Premiescenia i odkstałcenia osiowe Pre pręty sinie akrywione romie się
Bardziej szczegółowoIII. LICZBY ZESPOLONE
Pojęcie ciała 0 III LICZBY ZESPOLONE Defiicja 3 Niech K będie dowolm biorem Diałaiem wewętrm (krótko będiem mówić - diałaiem) w biore K awam każdą fukcję o : K K K Wartość fukcji o dla elemetów K oacam
Bardziej szczegółowoWektory. P. F. Góra. rok akademicki
Wektor P. F. Góra rok akademicki 009-0 Wektor zwiazan. Wektorem zwiazanm nazwam parę punktów. Jeżeli parę tę stanowią punkt,, wektor przez nie utworzon oznaczm. Graficznie koniec wektora oznaczam strzałką.
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 15: Funkcjonały dwuliniowe i formy kwadratowe (1) Sprawdzić, czy następujące odwzorowania ξ : R 3 R 3 R: x y. x y z. f(x)g(x)dx.
Zestaw adań 5: Funkcjonał dwuliniowe i form kwadratowe () Sprawdić, c następujące odworowania ξ : R 3 R 3 R: x x a) ξ( x, c) ξ( x, x ) = xx + + ; b) ξ(, x ) = xx + 2 + ; d) ξ( x, x x ) = x + x + 2; ) =
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA KONSTYTUTYWNE MATERIAŁ ÓW LEPKOSPRĘŻYSTYCH PODDANYCH OBCIĄŻENIOM ZŁ O Ż ONYM
ZSZYTY NAUKOW AKADMII MARYNARKI WOJNNJ ROK XLVIII NR (69) 007 Janus Kolenda Akademia Marnarki Wojennej RÓWNANIA KONSTYTUTYWN MATRIAŁ ÓW LPKOSPRĘŻYSTYCH PODDANYCH OBCIĄŻNIOM ZŁ O Ż ONYM STRSZCZNI Praca
Bardziej szczegółowoTEORIA SPRĘŻYSTOŚCI 10
W YKŁ ADY Z T EOII S ĘŻYSTOŚCI ZADANIE BOUSSINESQA I FLAMANTA olitechnika onańska Kopac, Kawck, Łodgowski, łotkowiak, Świtek, Tmpe Olga Kopac, Kstof Kawck, Adam Łodgowski, Michał łotkowiak, Agnieska Świtek,
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Elementy analizy wektorowej cz I Pole wektorowe
Matematka Element anali wektorowej c I Pole wektorowe Literatura M.Gewert Z.Skoclas; Element anali wektorowej; Oficna Wdawnica GiS Wrocław 000 W.Żakowski W.Kołodiej; Matematka c II; WNT Warsawa 1984 W.Leksiński
Bardziej szczegółowoZłożone działanie sił wewnętrznych w prętach prostych
Złożone diałanie sił wewnętrnch w rętach rostch Jeżeli sił wewnętrne nie redukują się włącnie do sił odłużnej N, orecnej T i momentu gnącego Mg c momentu skręcającego Ms, to radki takie nawa się łożonmi
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA FIZYCZNE DLA KOMPOZYTÓW
Kopozt RÓWNANIA FIZYCZN DLA KOMPOZYTÓW Równania fizczne dla ateriałów anizotropowch Równania fizczne liniowej teorii sprężstości ożna zapisać w ogólnej postaci ij ijkl kl lub po odwróceniu ij ijkl kl gdzie
Bardziej szczegółowoPodstawy Konstrukcji Maszyn
Podsta Konstrukcji Masn kład Podsta oliceń elementó masn Dr inŝ. acek Carnigoski OciąŜenia elementu OciąŜeniem elementu (cęści lu całej masn) są oddiałania innc elementó, środoiska ora ociąŝeń enętrnc
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie ram płaskich wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 7
ozwiązwanie ram płaskich wznaczanie reakcji i wkresów sił przekrojowch 7 Obciążenie ram płaskiej, podobnie jak w przpadku beek rozdział 6, mogą stanowić sił skupione, moment skupione oraz obciążenia ciągłe
Bardziej szczegółowoMECHANIKA BUDOWLI 2 PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH
Oga Kopac, am Łogowski, Wojciech Pawłowski, ichał Płotkowiak, Krstof mber Konsutacje naukowe: prof. r hab. JERZY RKOWSKI Ponań /3 ECHIK BUDOWI Praca sił normanch Siła normana prpomnienie (): Jest to siła
Bardziej szczegółowoFale skrętne w pręcie
ae skrętne w ręcie + -(+) eement ręta r π ) ( 4 Lokane skręcenie o () moment skręcając moduł stwności r romień ręta r 4 ) ( π Pod włwem wadkowego momentu eement ręta uskuje rsiesenie kątowe i sełnion jest
Bardziej szczegółowoNaprężenia i odkształcenia Stress & strain. Marek Cała Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki
Naprężenia i odkstałcenia Stress & strain Naprężenia i odkstałcenia Simplifing assumptions:. Soil is continuous. Soil is homogeneous. Soil is isotropic A continuous bod subjected to a sstem of eternal
Bardziej szczegółowoPrzykład 6.1. Przestrzenny stan naprężenia i odkształcenia
Prkład Pretrenn tan naprężenia i odktałcenia Stan naprężenia Stan naprężenia w punkcie jet określon a pomocą diewięciu kładowch, które onacam literą odpowiednimi indekami Pierw indek onaca normalną ewnętrną
Bardziej szczegółowoPręty silnie zakrzywione 1
Pęt silnie akwione. DEFIICJ Pętem silnie akwionm nawam pęt, któego oś jest płaską kwą, a stosunek wmiau pekoju popecnego (leżącego w płascźnie kwin) do pomienia kwin osi ciężkości () pęta spełnia waunek.
Bardziej szczegółowoĆ w i c z e n i e K 1
kademia Górniczo Hutnicza Wdział nżnierii echanicznej i Robotki Katedra Wtrzmałości, Zmęczenia ateriałów i Konstrukcji azwisko i mię: azwisko i mię: Wdział Górnictwa i Geoinżnierii Grupa nr: Ocena: Podpis:
Bardziej szczegółowoKINEMATYKA. Pojęcia podstawowe
KINEMTYK Pojęcia podstawowe Kinematka jest diałem mechaniki ajmującm się badaniem uchu ciał be uwględniania pcn wwołującch ten uch. Jej celem jest opis tego uchu. Ruchem nawam mianę położenia ciała w odniesieniu
Bardziej szczegółowoDr inż. Janusz Dębiński
Wytrzymałość materiałów ćwiczenia projektowe 5. Projekt numer 5 przykład 5.. Temat projektu Na rysunku 5.a przedstawiono belkę swobodnie podpartą wykorzystywaną w projekcie numer 5 z wytrzymałości materiałów.
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu miennch wkład MATEMATYKI Automatka i Robotka sem I, rok ak 2008/2009 Katedra Matematki Wdiał Informatki Politechnika Białostocka Niech R n def = {( 1, 2,, n ): 1 R 2 R n R } Funkcją n miennch
Bardziej szczegółowo1. Zestawienie obciążeń
1. Zestawienie obciążeń Lp Opis obciążenia Obc. char. kn/m γ f k d Obc. obl. kn/m 1. Pokrcie ser.1,75 m [0,400kN/m2 1,75m] 0,70 1,35 -- 0,95 2. Obciążenie wiatrem połaci nawietrnej dachu - -0,86 1,50 0,00-1,29
Bardziej szczegółowoANALIZA STANU NAPRĘŻEŃ
MACIJ PAWŁOWSKI ANALIZA STANU NAPRĘŻŃ Skrpt dla studentów Gdańsk 08 dr hab inż Maciej Pawłowski, prof GSW Wdiał Nauk Inżnierskich, Gdańska Skoła Wżsa Redakcja Tomas Mikołajcewski Wdanie pierwse, Gdańsk
Bardziej szczegółowo3. Metody rozwiązywania zagadnień polowych
3. Metod rowiąwania agadnień polowch 3.. Dokładne metod anali pola Dokładne metod anali pola powalają na uskanie dokładnego rowiąania równania róŝnickowego lub całkowego w dowolnm punkcie obsaru diałania
Bardziej szczegółowoPrzykład 3.7. Naprężenia styczne przy zginaniu belki cienkościennej.
Prkład.7. Naprężenia tcne pr ginaniu belki cienkościennej. Wnac rokład naprężenia tcnego w prekroju podporowm belki wpornikowej o prekroju cienkościennm obciążonej na wobodnm końcu pionową iłą P. Siła
Bardziej szczegółowoRównania ruchu płynu, podobnie jak w mechanice ciała stałego, są wyprowadzone z
3. Równania ruchu płnu Równania ruchu płnu, podobnie jak w mechanice ciała stałego, są wprowadone drugiej asad Newtona, która dla ciała o masie m mieniającego prędkość 1 w chwili t 1 do prędkości mian:
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu miennch wkład MATEMATYKI Automatka i robotka studia niestacjonarne sem I, rok ak 2009/2010 Katedra Matematki Wdiał Informatki Politechnika Białostocka Niech R ndef ={( 1, 2,, n ): 1 R 2 R
Bardziej szczegółowoGrupa obrotów. - grupa symetrii kuli, R - wszystkie możliwe obroty o dowolne kąty wokół osi przechodzących przez środek kuli
Grupa obrotów - grupa smetr kul R - wsstke możlwe obrot o dowolne kąt wokół os prechodącch pre środek kul nacej O 3 grupa obrotów właścwch - grupa cągła - każd obrót określa sę pre podane os l kąta obrotu
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera
Bardziej szczegółowo) q przyłożona jest w punkcie o współrzędnej x = x + x. Przykład Łuk trójprzegubowy.
rzkład 0.. Łuk trójprzegubow. Rsunek 0.. przedstawia łuk trójprzegubow, którego oś ma kształt półokręgu (jest to łuk kołow ). Łuk obciążon jest ciężarem konstrukcji podwieszonej. Narsować wkres momentów
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią 2012/2013
Algebra geometrią 22/23 Seria XVI Javier de Lucas Zadanie. Wnacć rąd macier: A :, B : 2 4 3 4 3 2 3 3 5 7 3 3 6 3 Rowiąanie: Macier A: Sposób: Rąd macier to wmiar prestreni generowanej pre jej kolumn.
Bardziej szczegółowoBADANIE CHARAKTERYSTYK SZTYWNOŚCI MANIPULATORA SZEREGOWEGO Z WYKORZYSTANIEM CZUJNIKÓW LINKOWYCH
MARTA GÓRA, RYSZARD TRELA BADANIE CHARAKTERYSTYK SZTYWNOŚCI MANIPULATORA SZEREGOWEGO Z WYKORZYSTANIEM CZUJNIKÓW LINKOWYCH DETERMINATION OF STIFFNESS CHARACTERISTICS OF SERIAL TYPE MANIPULATOR BY USING
Bardziej szczegółowo1. Podstawy rachunku wektorowego
1 Postaw rachunku wektorowego Wektor Wektor est wielkością efiniowaną pre ługość (mouł) kierunek iałania ora wrot Dwa wektor o tm samm moule kierunku i wrocie są sobie równe Wektor presunięt równolegle
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6
ozwiązwanie beek prostch i przegubowch wznaczanie reakcji i wkresów sił przekrojowch 6 Obciążenie beki mogą stanowić sił skupione, moment skupione oraz obciążenia ciągłe q rs. 6.. s. 6. rzed przstąpieniem
Bardziej szczegółowoRys Przykładowe krzywe naprężenia w funkcji odkształcenia dla a) metali b) polimerów.
6. Właściwości mechaniczne II Na bieżących zajęciach będziemy kontynuować tematykę właściwości mechanicznych, którą zaczęliśmy tygodnie temu. Ponownie będzie nam potrzebny wcześniej wprowadzony słowniczek:
Bardziej szczegółowoσ ij x 3 x 2 x 1 NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA Wstęp: Pojęcia te występują w opisie procesu odkształcenia tzn. są to zmiany wymiarów
Krzysztof Wierzbanowski NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA Wstęp: Pojęcia te występują w opisie procesu odkształcenia tzn. są to zmiany wymiarów ciała pod wpływem przyłożonych sił. Siły powinny być znormalizowane
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 17751 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Rozważm treść następujacego
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe
Równania różniczkowe cząstkowe Definicja Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch
Bardziej szczegółowoPodstawowe pojęcia wytrzymałości materiałów. Statyczna próba rozciągania metali. Warunek nośności i użytkowania. Założenia
Wytrzymałość materiałów dział mechaniki obejmujący badania teoretyczne i doświadczalne procesów odkształceń i niszczenia ciał pod wpływem różnego rodzaju oddziaływań (obciążeń) Podstawowe pojęcia wytrzymałości
Bardziej szczegółowo25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx
5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.
Bardziej szczegółowo