4.1. Równanie równowagi dla nieruchomego płynu. Równanie Eulera.

Transkrypt

1 4. Statyka łynów. Jedn ważnych astswań mechaniki łynów dtycy sytuacji, gdy łyn jest nieruchmy i stąd nawa statyka łynów. Więksść rważanych tu ryadków dtycy ciecy i stąd w wielu dręcnikach używa się nawy hydrstatyka, mim iż używane w tym diale ależnści dtycą także i gaów. 4.. Równanie równwagi dla nieruchmeg łynu. Równanie Eulera. Wyrwadne w rednim rdiale równanie N-S: D U F grad + ν U + νgrad div U (3.7) Dt 3 mże być dla łynu nieruchmeg urscne re minięcie wsystkich cłnów awierających rędkść. Pwala t aisać równanie isujące równwagę nieruchmeg łynu nastęującym równaniem wektrwym nanym jak równanie Eulera: F grad (4.) lub układem równań skalarnych: X Y Z (4.) ( + d)dxdy ddy d x y dxd A dy ( + y dy)dxd dx dxdy ( + x dx)dyd Rys.4.. Siły wierchniwe diałające na nieruchmy element łynu. 70

2 Równanie (4.) wskauje, że gradient ciśnienia jest rrcjnalny d siły maswej skąd wniskwać mżna, że ciśnienie rśnie w kierunku diałania sił maswych a wsółcynnikiem rrcjnalnści teg ryrstu jest gęstść łynu. Równania skalarne (4.) sugerują natmiast, że ryrst ciśnienia wdłuż dwlnie wybraneg kierunku jest rrcjnalny d rutu jednstkwej siły maswej na dany kierunek a wsółcynnikiem rrcjnalnści jest gęstść łynu. Równanie Eulera wyrwadić mżna również beśredni jak warunek równwagi sił diałających na nieruchmy element łynu kaany na rys. 4.. Zakładamy, że ratrujemy łyn jednrdnej gęstści a krawędie rstadłścienneg elementu łynu równległe d si ryjęteg, kartejańskieg układu wsółrędneg wydrębniają nieruchmeg łynu elementarną masę: d m dx dy d Wektr jednstkwej siły maswej ma w ryjętym układie wsółrędnych nastęujące składwe: F X i + Y j + Z k natmiast składwe siły maswej diałające w kierunku scególnych si wynsą: X dx dy d ; Y dx dy d ; Z dx dy d Siły maswe diałające na element łynu równważne są re siły wierchniwe, ry cym ciśnienie jak wielkść skalarna jest jednakwe w tceniu unktu A. Pwala t aisać siły wierchniwe diałające na ściany elementu łżne d strny cątku układu wsółrędnych, w nastęującej staci: - w kierunku si X : dy d - w kierunku si Y : dx d - w kierunku si Z : dx dy Diałanie sił maswych srawia, że ciśnienie mienia się i jest funkcją wsółrędnych: ( x, y, x) (4.3) wykaując nastęującą miennść w kierunku si wsółrędnych: ; ; Pwala t aisać siły wierchniwe diałające na ściany elementu reciwległe d cątku układu wsółrędnych (atr rys. 4.) nastęując: - w kierunku si X : + dy d - w kierunku si Y : + dx d - w kierunku si Z : + dx dy Warunki równwagi sił diałających na element łynu w kierunkach scególnych si ryjmą atem stać: X dx dy d + dyd + dyd 0 Y dx dy d + dxd + dxd 0 7

3 Z dx dy d + dxdy + dxdy 0 c elementarnych rekstałceniach daje równanie Eulera aisane w staci(4.). 4.. Warunki bewirwści dla sił maswych W równaniach Eulera róc gęstści, którą ryjmwaliśmy jak jednrdną w całej analiwanej bjętści łynu, wystęuje też ciśnienie, które gdnie e wrem (4.3) jest funkcją wsółrędnych. Rwiąanie układu równań (4.) wymaga atem dłżenia ddatkweg warunku, który będie musiała sełniać siła maswa, aby łyn stawał w równwade. W tym celu kniecna będie eliminacja ciśnienia tych równań re ich rekstałcenie d staci: X Y Z ra dwiednie ich różnickwanie. P różnickwaniu ierwseg równań wględem Y a drugieg wględem X trymujemy: ( X) ( Y) c wala aisać: ( X) ( Y) 0 Pnieważ ałżyliśmy, że gęstść jest jednrdna: idem stąd też ależnść wyżsa urasca się d staci: ( X) ( Y) 0 Pre analgię uyskać mżemy nastęujące wiąki, łącące e sbą scególne składwe jednstkwej siły maswej: ( X) ( Y) 0 ( Y) ( Z) 0 ( Z) ( X) 0 które są warunkami erwej rtacji wektra F: rt F 0 (4.4) Jeżeli wektr jednstkwej siły maswej sełnia warunek (4.4) wówcas istnieje ewna funkcja: φ x, y, (4.5) ( ) 7

4 którą nawać mżemy funkcją siły maswej i która wiąana jest e składwymi wektra F nastęującymi ależnściami: X φ Y φ (4.6) φ Z Zwiąek wyżsy wyrwadić mżna również w ssób urscny, stsując asadę rac wirtualnych d równania Eulera, tn. mnżąc składwe teg równania re dwiednie ryrsty kierunkach si wsółrędnych: X dx Y Z d c sumwaniu daje: Xdx + Ydy + Zd dx + dy + d Wyrażenie rawej strnie wyżseg równania jest różnicką uełną ciśnienia, c wala aisać: Xdx + Ydy + Zd d (4.7) Jeżeli rawa strna wyżsej ależnści jest różnicką uełną, t także i strna lewa musi być różnicką uełną ewnej funkcji (n. funkcji danej wrem (4.5)) i wówcas: φ φ φ dx + dy + d d c równaniu lewych strn wyżsej ależnści i wru (4.7) daje warunki aisane wrem (4.6). Warunek bewirwści la sił maswych naruca wymóg, aby jakiklwiek element masy najdującej się w tym lu nie wyknywał ruchu brtweg wkół sweg śrdka masy. Wbec dużej wartści rmienia kuli iemskiej linie diałania sił grawitacyjnych mżna unać a raktycnie równległe w brębie mas łynu, które mgą być redmitem rważanych re nas astswań technicnych (rurciągi, birniki). Onaca t klei, że warunki bewirwści dla la grawitacyjnych sił maswych dane wrem (4.6) będą sełnine, c umżliwi klei uyskanie rwiąania równania Eulera. dy 4.3. Ois równwagi łynu nieruchmeg w lu sił grawitacyjnych Warunki (4.6) naywane są warunkami tencjalnści la wektrweg, gdyż φ x, y, sełnia warunek: funkcja ( ) F grad φ c naca, że le sił maswych ma tencjał. Funkcji danej wrem (4.5) nie nawaliśmy jednak funkcją tencjału wrwadając amiast niej jęcie funkcji sił maswych a wdem takieg rróżnienia jest reciwny wrt diałania tencjału grawitacyjneg w stsunku d ryjęteg re nas wrtu si (atr rys. 4.). Dlateg też nawy funkcji 73

5 tencjału sił maswych używać będiemy dla funkcji U, która funkcją sił wiąana będie nastęującym warunkiem: U ( x, y, ) φ ( x, y, ) (4.8) Uwględniając wór (4.8) w ależnści (4.6) trymamy nastęujące wiąki międy składwymi jednstkwej siły maswej i funkcją tencjału: X U Y U (4.9) U Z c dstawieniu d wru (4.7) wli aisać: U U U dx dy d d a uwględnieniu, że lewa strna jest różnicką uełną funkcji tencjału trymamy: du d (4.0) Scałkwanie wyżsej ależnści rwadi d wiąku: U + C (4.) gdie C jest dwlną stałą, a wiąek (4.) naca, że łyn nieściśliwy d diałaniem sił maswych jest w równwade, jeżeli siły maswe mają tencjał. Zwiąek międy siłami maswymi i tencjałem ma stać: F grad U (4.a) W ależnści (4.) należy wynacyć wartść stałej, c wymaga najmści w A x, y, arówn ciśnienia unkcie ( ) jak i wartści tencjału c dstawieniu d w. (4.) U U ( x, y, ) ( x, y, ) U + wala wynacyć wartść stałej: C + U Pdstawienie wyżsej wartści d (4.) daje statecnie wiąek: U U (4.) C ( ) walający jednnacnie kreślić ciśnienie w dwlnym unkcie ( x, y, ) nana jest funkcja tencjału sił maswych U ( x, y, ). A jeżeli tylk Preanaliujmy równwagę jednrdnej ciecy gęstści, której swbdna wierchnia jest łżna na wyskści H nad łascyną xy kartejańskieg układu wsółrędnych jak kaan na rys. 4.. Dla ratrywaneg układu składwe jednstkwej siły maswej wynsić będą: X 0 ; Y 0 ; Z g c dstawieniu d w. (4.9) redukuje równanie Eulera d wiąku: U g 74

6 a H A h x y Rys.4.. Równwaga hydrstatycna wydielnej bjętści ciecy w lu sił ciężkści. któreg scałkwaniu trymujemy wyrażenie na tencjał sił ciężkści: U g (4.3) P dstawieniu U d w. (4.) trymujemy wiąek isujący ciśnienie: g + C (4.4) któreg wynika, że w łynie nieściśliwym, najdującym się w stanie równwagi w lu sił ciężkści wierchnie stałeg ciśnienia są łascynami imymi tę samą własnść wykaują również wierchnie ekwitencjalne (stałeg tencjału atr w. (4.3)). Wartść stałej C w al. (4.4) wynacyć mżna na swbdnej wierchni, dla której ryjąć mżna: H ; a gdie a jest ciśnieniem na swbdnej wierchni (atmsferycnym). P dstawieniu wyżsych wartści d w. (4.4) trymujemy: a g H + C skąd wartść stałej C a + g H dstawieniu d (4.4) daje: a + g H g P rekstałceniu a + g (H ) i uwględnieniu naceń rys. 4. trymujemy statecnie wyrażenie na wartść ciśnienia w dwlnym unkcie nieruchmej ciecy najdującej się w lu sił ciężkści: a + g h (4.5) w którym h naca głębkść anurenia daneg unktu. Zależnść ta wykauje, że ciśnienie w dwlnym unkcie nieruchmej ciecy jest równe sumie ciśnienia atmsferycneg i ciśnienia słua ciecy gęstści i wyskści h waneg ciśnieniem hydrstatycnym. Zależnść wyżsą mżna ugólnić na kaany na rys. 4.3a ryadek równwagi kilku nie miesających się ciecy, których najlżejsa gęstści twry warstwę grubści h e swbdną wierchnią na której ciśnienie wynsi a. Klejna warstwa ciecy gęstści ma grubść h 4 i niżej wsółrędnej 4 mamy ciec gęstści 3 ry cym równwaga trwała takieg układu istnieć będie jedynie wówcas, gdy: < < (4.6) 3 75

7 a) b) a a h h h3 3 5 h 4 h a a Rys.4.3. Równwaga kilku nie miesających się ciecy w lu sił ciężkści a) ra anujący w układie rkład ciśnienia hydrstatycneg b). W analiwanym układie róc swbdnej wierchni międy ciecą gęstści i atmsferą istnieją też wierchnie które rgranicają nie miesające się ciece gęstściach dwiedni i ra i 3, naywane wierchniami rdiału. Pwierchnie rdiału dbnie jak wierchnia swbdna są łascynami ekwitencjalnymi, gdyż w lu sił ciężkści wierchnie stałeg tencjału i ciśnienia są łascynami imymi. W ciecach tych rmiescn ięć unktów nacnych klejnymi numerami, w których należy blicyć anujące tam ciśnienia. Ciśnienie w unkcie jest równe: a + g h natmiast w klejnych unktach wynsi: + g h + g h + g a h 3 a + g h + g h3 + g h3 4 a + g h + g h4 + g h4 5 a + g h + g h4 + 3 g h g h4 Zależnści te wykaują, że ciśnienie w dwlnym unkcie rważaneg układu składająceg się warstw ciecy różnych gęstściach blicać mżna na dwa ssby. Pierwsy ssób t definicyjna ależnść (4.5) gdnie którą ciśnienie w dwlnym unkcie układu ciecy jest sumą ciśnienia atmsferycneg ra sumy ciśnień hydrstatycnych słuów ciecy międy danym unktem i swbdną wierchnią. Ssób drugi daje ciśnienie w danym unkcie jak sumę ciśnienia anująceg na najbliżsej wierchni rdiału nad unktem i ciśnienia hydrstatycneg słua ciecy międy unktem i najbliżsą wierchnią rdiału najdującą się nad unktem. Wart auważyć, że różnica ciśnień w dwóch unktach najdujących się w brębie warstwy teg sameg łynu mże być blicana w rsty ssób, n.: 76 ( h ) 3 g 3 h tn. równa jest różnicy ciśnień hydrstatycnych międy tymi unktami i nie ależy d rkładu ciśnień w analiwanym układie. Rkład ciśnienia w rważanym układie kilku ciecy kaany na rys. 4.3b wykauje, że w brębie ciecy jednakwej gęstści ciśnienie mienia się liniw wra

8 głębkścią anurenia gdnie al. (4.5). Pnieważ ilcyn gęstści ciecy i rysiesenia iemskieg jest wsółcynnikiem rrcjnalnści międy głębkścią anurenia i ciśnieniem, stąd też wra e wrstem gęstści w klejnych warstwach mienia się nachylenie linii miany ciśnienia c ująć mżna ależnścią: 3 > 77 > c dwiada warunkwi (4.6). W niektórych astswaniach wygdniej jest sługiwać się ależnścią (4.5) rekstałcną d staci: a h g g + (4.7) w której wsystkie cłny mają wymiar długści i naywane są wyskścią ciśnienia. Predstawiają ne wyskści słuów ciecy, które dawałyby ciśnienie hydrstatycne dwiadające ciśnieniu w analiwanym unkcie, ciśnieniu atmsferycnemu i ciśnieniu hydrstatycnemu. Prównanie w. (4.5) i (4.7) wykauje, że definicyjna ależnść na ciśnienie hydrstatycne g h mże być również interretwana jak ciężar jednstkweg słua ciecy tn. ciężar słua ciecy wyskści h i jednstkwym lu dstawy Wniski analiy równania Eulera Prednie rdiały święcne były iswi równwagi łynu jednrdneg (nieściśliweg) w lu sił ciężkści. Oisujące ten stan równanie Eulera wlił sfrmułwać dwa najisttniejse wniski, których ierwsy wynika wrst analiy teg równania. Jeżeli bwiem równanie Eulera aisane jest w staci wektrwej: grad F wówcas wynika stąd, iż ciśnienie rśnie w kierunku diałania sił maswych. Jeżeli natmiast aisemy je w staci układu równań skalarnych: X Y Z wówcas wynikać stąd będie, że ryrst ciśnienia wdłuż dwlneg kierunku jest rrcjnalny d wartści rutu jednstkwej siły maswej na dany kierunek. Drugi wnisek wynika równania równwagi aisaneg dla łynu najdująceg się w lu ddiaływania tencjalnych sił maswych: ( U U ) (4.) Z ależnści tej wynika liniwy wiąek międy tencjałem sił maswych i ciśnieniem a nadt dla U idem trymujemy: idem c naca, że wierchnie ekwitencjalne są jednceśnie wierchniami ibarycnymi (stałeg ciśnienia). Własnść tę wykrystywaliśmy ry analiie stanu równwagi łynu, w którym wystęwały wierchnie swbdne i wierchnie rdiału. Klejny, ważny wnisek wynika analiy równania równwagi aisaneg w staci:

9 Xdx + Ydy + Zd d (4.7) które dla wierchni swbdnej lub wierchni rdiału sełniającej warunek stałści ciśnienia: ( x, y, ) 0 aisać mżna: d 0 c naca, że równanie równwagi aisane być mże nastęując: Xdx + Ydy + Zd 0 Wyrażenie lewej strnie równania redstawia elementarną racę sił maswych, c wala stwierdić, że na wierchni swbdnej (rdiału) siły maswe wyknują erwą racę c naca, że siły maswe są rstadłe d wierchni ekwitencjalnych. Wynika stąd, że nase ałżenie, iż wierchnie swbdne i rdiału były łascynami imymi, był słusne. W rdiale rednim analiwaliśmy również ryadek równwagi nie miesających się łynów różnej gęstści ryjmując intuicyjnie, że międy imymi (i wajemnie równległymi) łascynami rdiału najdwała się ciec jednakwej gęstści. Srawdźmy, cy mżliwe jest wystęwanie ciecy niejednrdnej gęstści międy wierchniami jednakweg ciśnienia, ratrując równwagę warstwy łynu kaanej na rys h Rys.4.4. Równwaga warstwy łynu niejednrdneg. Warstwa łynu grubści h awarta jest międy dwiema imymi łascynami, na których ciśnienie wynsi dwiedni i. Wewnątr warstwy najdują się dwa nie miesające się łyny gęstściach i. Ratrmy dwa rstadłściany kaane na rysunku, dla których warunki równwagi aisać mżna nastęując: g h g h Warunki te mgą być jednceśnie sełnine tylk wówcas, jeżeli: Odległść międy warstwami h mże być dwlnie mała a wewnątr tych warstw rmieścić mżna dwlnie wiele takich graniastsłuów dla których jednceśnie musiałyby być sełnine warunki aisane wyżej. Onaca t, że w układie wielu nie miesających się ciecy równwaga jest mżliwa tylk wtedy, gdy gęstść łynu w każdej imej warstwie staje stała. Równanie Eulera wala również wynacyć kstałt wierchni rdiału dla dwóch nie miesających się ciecy, która wbec achdąceg tutaj skku gęstści tej jest wierchnią nieciągłści. Wbec nieskńcenie małej grubści tej wierchni jednakwe są siły ciśnieniwe i maswe dla bydwu łynów c wala aisać: d ( Xdx + Ydy + Zd) ( Xdx + Ydy + Zd) 78

10 Pnieważ gęstści bydwu łynów są różne, tn.: stąd też wyżsa równść mże być sełnina tylk wtedy, gdy: Xdx + Ydy + Zd 0 ceg wynika, że na wierchni rdiału mamy: d 0 Onaca t, że wierchnia rdiału dwóch nie miesających się łynów stałych gęstściach (nieściśliwych) jest wierchnią stałeg tencjału i jednakweg ciśnienia Równwaga ciecy w nacyniach łącnych Dtychcas ajmwaliśmy się równwagą ciecy w jedyncych birnikach, dcas gdy w wielu raktycnych astswaniach mamy ciec wyełniającą układy birników, rurciągów lub też wyełniającą restrenie w łżach rwatych. a) a h h b) a h L P h Rys.4.5. Równwaga ciecy jednrdnej w jedyncym birniku a) i w układie nacyń łącnych b). 79

11 Dla wyjaśnienia, cy wyrwadne w rdiałach rednich ależnści wynikające równania Eulera będą isywać równwagę nieruchmej ciecy także i w układach łżnych, kniecne będie astswanie ewneg ssbu rumwania naywaneg stulatem Stevina lub asadą estywnienia. Zasadę tę mżna sfrmułwać nastęując:...jeżeli ewną cęść restreni wyełninej nieruchmym łynem estywnimy w taki ssób, aby gęstść estywninej bjętści nie uległa mianie t równwaga łynu nie stanie akłócna. Pryjryjmy się ewnej bjętści ciecy gęstści kaanej na rys, 4.5a, w której wydielamy dwie łascyny ime, na których ciśnienie wynsi dwiedni: + g a h a + g h Wybraźmy sbie tera, że estywnieniu dlegają akreskwane na rys. 4.5b fragmenty bjętści w wyniku ceg wstają dwa inwe nacynia łącne e sbą. Zestywnienie rerwadn myślw ale gdnie stulatem Stevina, stąd też równwaga ciecy nie uległa akłóceniu i w dalsym ciągu w łascynach i anują ciśnienia blicne wyżej. W łascyźnie ciśnienie jest w ssób cywisty jednakwe i równe, natmiast w łascyźnie ciśnienie wynsi w tych bsarach, gdie łascyna rechdi re nie estywniną ciec. Jeżeli ciśnienia anujące w lewym i rawym nacyniu nacymy dwiedni indeksami L i P wówcas będiemy mgli aisać: L P a + g h Zilustrwaliśmy w ten ssób asadę nacyń łącnych, która brmi nastęując:...w jednrdnej ciecy wyełniającej w ssób ciągły restreń składającą się nacyń łącnych, ciśnienia w łascynach imych są jednakwe c ująć mżna wrem: (4.8) a L P x h Rys.4.6. Zastswanie asady nacyń łącnych d wynacania ciśnienia. Zasada ta najduje raktycne astswanie ry miare ciśnień c kaan na rys. 4.6, gdie d birnika, w którym anuje nienane ciśnienie x dłącn układ dwóch łącnych e sbą nacyń. Pnieważ lewe ramię łącne jest e birnikiem, stąd też nad swbdną wierchnią anuje ciśnienie x, natmiast nad swbdną wierchnią w rawej gałęi mamy ciśnienie atmsferycne a. Jeżeli wybieremy łascynę rechdącą re swbdną wierchnię w lewej gałęi (linia rerywana na rys. 4.6), wtedy ciśnienie w lewej i rawej gałęi aisać będie mżna: L a + g h gdie naca gęstść ciecy (naną) a h jej wyskść nad ryjętą łascyną. Z asady nacyń łącnych: x L P 80

12 skąd blicyć mżna ciśnienie w birniku: x Pkaany tu ryrąd naywany manmetrem ciecwym lub U-rurką (d kstałtu nacynia) używany jest wsechnie d miaru ciśnień tw. metdą różnicwą, gdyż miery n różnicę ciśnień danych d lewej i rawej gałęi ryrądu, c w analiwanym ryadku aisać mżna nastęując: x a g h Jeżeli nana będie różnica ciśnień danych d lewej i rawej gałęi manmetru, wówcas ależnści danej wyżej blicyć będiemy mgli gęstść ciecy wyełniającej ryrąd. Zasadę nacyń łącnych mżna również stswać d układów wyełninych różnymi, ale nie miesającymi się ciecami, ceg rykład kaan na rys. 4.7a. a) a + gh h h 3 L P b) a a L P Rys.4.7. Równwaga dwóch nie miesających się ciecy w nacyniach łącnych. W rawej gałęi nacynia nad ciecą gęstści najduje się warstwa ciecy mniejsej gęstści i jeżeli wybieremy łascynę imą krywającą się łascyną rdiału ciecy, wówcas wyskści słuów ciecy nad łascyną będą równe dwiedni h i h jak kaan na rysunku. W lewej gałęi nacynia ciśnienie w wybranej łascyźnie wynsić będie: L a + h g natmiast w gałęi rawej: 8

13 P a + h g Stsując asadę nacyń łącnych aisać mżna: a + h g a + h g skąd rekstałceniach: h (4.9) h trymujemy ważny wnisek, że wyskści słuów dwóch nie miesających się ciecy nad łascyną rdiału są w nacyniach łącnych dwrtnie rrcjnalne d gęstści ciecy. Zależnść (4.9) mże być stswana d wynacania gęstści ciecy tw. metdą referencyjną, tn. wględem nanej gęstści jednej ciecy. Pry stswaniu asady nacyń łącnych d układów różnych ciecy należy amiętać, że łascyna wględem której blicamy ciśnienie musi rechdić re tę samą ciec, gdyż tylk w tym ryadku słusny jest w. (4.7). Załżenie t był sełnine ry wyrwadaniu w. (4.9), gdyż łascyna rdiału należy arówn d bsaru ciecy gęstści jak i. Na rys. 4.7a kaan rykładw try łascyny ime, dla których sełnina będie asada nacyń łącnych, włącając w t łascynę nr rechdącą re wierchnię rdiału. Na rys. 4.7b kaan natmiast łascynę nr dla której nie mżna stswać asady nacyń łącnych, ry cym dla wykaania rawdiwści teg stwierdenia astsujemy asadę reducti ad absurdum (srwadenie d niedrecnści). Jeżeli bwiem asada nacyń łącnych byłaby sełnina dla łascyny nr rys. 4.7b, t byłaby na słusna także i dla łascyny nr, dla której ciśnienia w lewej i rawej gałęi wynsą: L a P a + h g skąd jasn widać, że ciśnienia te nie sełniają warunku (4.8). c h h m Rys.4.8. kryie. Zastswanie asady nacyń łącnych d miaru różnicy ciśnień na Zastswanie asady nacyń łącnych d układów nie miesających się ciecy mgą dtycyć bard łżnych ryadków, ceg rykład kaan na rys Predstawin tutaj miar natężenia reływu ciecy ry mcy wężki, która wstawina d rurciągu wytwara różnicę ciśnień: rrcjnalną d wydatku reływającej ciecy. Jeżeli rurciągiem reływa ciec gęstści c a gęstść ciecy manmetrycnej wynsi m, wówcas dla łascyny anacnej na rys. 4.8 linią rerywaną naisać mżna: 8

14 L + h g c ( h h) g + h g P + c m a wykrystaniu w. (4.7) i elementarnych rekstałceniach trymujemy: ( m c ) g h której t ależnści wynika, że d blicenia różnicy ciśnień uwględnić należy różnicę gęstści ciecy manmetrycnej i ciecy reływającej. Jedynie wówcas, gdy: c << m c sełnine jest n. gdy reływającym łynem jest ga, ależnść wyżsą urścić mżna d staci: m g h. tżsamej e wrem używanym w miare ciśnienia metdą różnicwą Pim dniesienia ry miare ciśnienia, ciśnienie atmsferycne Pwietre atmsferycne wywiera na wsystkie wierchnie ciał najdujących się na wierchni Ziemi ciśnienie wane ciśnieniem atmsferycnym. Znajmść wartści teg ciśnienia awdięcamy Trricellemu, który w twartym nacyniu rtęcią anurał rurki sklane askleine u góry i naełnine całkwicie rtęcią. Jeżeli tylk długść rurki wystającej nad wierciadł rtęci (rys. 4.9a) rekracała 0.76m wówcas w rurce kaywała się swbdna wierchnia rtęci, której wyskść nad wierchnię wierciadła w nacyniu była stała mim dalseg więksania długści rurki. Trricelli ałżył, że rtęć w temerature tcenia nie aruje c nacał, że nad wierciadłem w rurce winna anwać różnia. Jeżeli astsujemy asadę estywnienia w ssób kaany na rys. 4.9b, tn. estywnimy bjętści anacne kratkwaniem i ryjmiemy jak im dniesienia wierciadł rtęci w birniku, wówcas dla wstałeg w ten ssób układu nacyń łącnych będie mżna aisać: - dla lewej gałęi: L a - dla rawej gałęi + g h P a) b) 0 0 a h a h 0,76 [m] r r Rys.4.9. Barmetr Trricelleg Pryjmując, że ciśnienie różni 0 trymujemy warunku równwagi nacyń łącnych: g h a 83

15 a dstawiając gęstść rtęci [ kg / m ] i wyskść słua dwiadającą ciśnieniu wywieranemu re tw. atmsferę fiycną: h 0.76 m trymujemy ciśnienie atmsferycne równe: a 0366 [ Pa] 03 [ hpa] Predstawiny na rys. 4.9 ryrąd naywany barmetrem używany jest także i diś d miaru ciśnienia atmsferycneg, chciaż jeg dkładnść jest dalece już niewystarcająca dla treb wsółcesnej meterlgii. Wart również wrócić uwagę na dsknałą intuicję Trricelleg, który ałżył erwe ciśnienie ar rtęci w warunkach tcenia. Wsółcesne miary wykaują, że nad wierchnią rtęci w amkniętej rurce ciśnienie wynsi aledwie: 0.6 [ Pa] w temerature 0 C, c adwalającą dla raktyki dkładnścią wala ryjąć, że ciśnienie wynacne w ekserymencie Trricelleg był recywiście ciśnieniem atmsferycnym. ciśnienie im ciśnienia atmsferycneg im różni ciśnienie abslutne ciśnienie atmsferycne nadciśnienie ciśnienie abslutne dciśnienie Rys.4.0. Pimy dniesienia ryjmwane ry kreślaniu ciśnienia. W astswaniach nacyń łącnych mawianych w rdiale rednim ciśnienie wynacn wględem ciśnienia atmsferycneg, które anwał w jednym ramin układu. W barmetre ciśnieniem dniesienia jest natmiast erwe ciśnienie różni i dla uniknięcia nierumień kniecne jest ryjęcie jednliteg naewnictwa dla wynacneg re nas ciśnienia. Na rys. 4.0 kaan dwa wyniki miaru ciśnienia równe dwiedni: > a < a Jeżeli dla kreślenia wartści tych ciśnień ryjmiemy im różni, wówcas będą t ciśnienia abslutne, ry cym bydwa te ciśnienia będą ddatnie (ciśnienie abslutne nie mże być cywiście ujemne). Te same ciśnienia kreślne wględem ciśnienia atmsferycneg będą ddatnie (ciśnienie ) lub ujemne (ciśnienie ) i naywane będą dwiedni nadciśnieniem i dciśnieniem, c kaan również na rys W więksści astswań technicnych kreślamy ciśnienie wględem ciśnienia atmsferycneg używając jednak nawy ciśnienia i wyróżniając nad- i dciśnienie dwiednim nakiem. 84

16 4.7. Praw Pascala Na rys. 4. kaan restreń wyełniną jednrdnym łynem gęstści, rientwaną kartejańskim układem wsółrędnych, w którym sie x ra y twrą łascynę imą. Wybiermy dwie łascyny ime, łżne na wyskści ra, dla których tencjały wynsą dwiedni A i B wynsą dwiedni: A U ra U. Ciśnienia w unktach B i gdnie e w. (4.) ciśnienia te wiąane są wartściami tencjału ależnścią: ( U U ) Nastęnie astsujmy asadę estywnienia amrażając anacne na rysunku fragmenty łynu, dięki cemu wstaje kulista bjętść będąca dwiednikiem sklanej klby używanej w sklnym dświadceniu ilustrującym raw Pascala (resuwny tłk w syjce klby utwrny jest również re asadę estywnienia). A B +δ 0 +δ 0 U U 0 x Rys.4.. y 0 Praw Pascala równmierneg rchdenia się ryrstu ciśnienia w łynie. P s Jeżeli d tłka ryłżymy siłę P, wówcas w unktach A i B trymamy ryrsty ciśnienia δ i δ, c wala aisać: + δ A B + δ Pnieważ unkty A i B najdują się nadal na tych samych łascynach ekwitencjalnych, więc różnica ciśnień będie wiąana różnicą tencjałów wiąkiem: ( + δ ) ( + δ ) ( U U ) c rekstałceniach wala aisać: ( ) + ( δ δ ) ( U U ) Uwględnienie w. (4.) wala stwierdić, że wyrażenie będące różnicą ryrstów ciśnień musi być równe eru, tn.: δ δ 0 skąd wynika: δ δ (4.0) Pnieważ bjętść łynu tcna śrdkiem estywninym stała wybrana w ssób całkwicie dwlny, stąd też w. (4.0) wala stwierdić, że ryrst ciśnienia wywłany w dwlnym unkcie jednrdneg łynu ściśliweg, najdująceg się w stanie równwagi w 85

17 tencjalnym lu sił maswych wywłuje identycną mianę ciśnienia w dwlnym unkcie teg łynu. Sfrmułwaliśmy w ten ssób raw Pascala nane również jak raw równmierneg rchdenia się ciśnienia w łynie. Praw t jest wykrystywane w seregu urądeń, których wymienić mżna rasy hydraulicne, ry cym urscny skic takieg urądenia kaan na rys. 4.. Układ nacyń łącnych twrących rasę hydraulicną składa się dwóch cylindrów lach rekrju recneg równych dwiedni S A i S B sełniających warunek: S B > S A Cylindry te amknięte są tłkami i jeżeli d tłka w cylindre lu rekrju S A ryłżymy siłę F A, wówcas dla utrymania układu w równwade kniecnym będie ryłżenie d cylindra lu rekrju S B siły F B. Pnieważ gdnie rawem Pascala ryrst ciśnienia wywłany ryłżeniem siły F A rchdi się równmiernie w całej bjętści, tn.: δ PA δ PB stąd też siła na tłku w drugim cylindre wynsić będie: FB δpa δb c daje w wyniku: FB SB F S A A FA xa Prekrój SB Prekrój SA xb FB Rys.4.. Schemat rasy hydraulicnej. Prasa hydraulicna wielkrtnia atem siłę nacisku w rrcji równej stsunkwi ól tłków, ale jednceśnie warunku ciągłści wynika, że resunięcia tłków x A ra x B sełniać musą wiąek: xa SA xb SB dięki cemu achwana jest równść rac wyknanych re bydwie siły: 86

18 FB x B FA x A Należy wrócić uwagę, że stykana interretacja rawa Pascala iż ciśnienie we wsystkich unktach łynu jest jednakwe jest wniskiem sfrmułwanym błędnie. W każdym łynie ważkim najdującym się w stanie równwagi w lu sił ciężkści ciśnienie mienia się w kierunku diałania sił maswych gdnie równ. (4.) i nie mże być atem jednakwe. Jeżeli jednak ratrujemy układ bjętści łynu, w którym anuje duże ciśnienie wywłane n. ryłżeniem sił ewnętrnych, wówcas mżna minąć miennść ciśnienia wywłaną diałaniem sił maswych c srwada się d ryjęcia nastęująceg ałżenia: 0 i ry takim ałżeniu mżemy mówić równści ciśnienia w całej bjętści. Sfrmułwanie takie nie ma jednak nic wsólneg rawem Pascala, które isuje ssób rchdenia się ryrstu ciśnienia. 87