6. POWIERZCHNIOWE MOMENTY BEZWŁADNOŚCI

Transkrypt

1 6. POWERZCHNOWE MOMENTY BEZWŁADNOŚC Zadanie 6. Dla figury przedstawinej na rysunku 6.. wyznaczyć płżenie głównh centralnh si bezwładnści i kreślić względem nich główne centralne mmenty bezwładnści. Rys.6.. Rzwiązanie Rzpcząć należy d wyznaczenia współrzędnh śrdka ciężkści dla danej figury, względem przyjęteg uprzedni układu dniesienia Oxy. Patrz zadanie 5.. Współrzędne te wynszą: x c mm; y c mm Mmenty bezwładnści prstkątów na które pdzieliliśmy naszą figurę względem ich si x, y i x, y mająch pczątki w ich śrdkach ciężkści wynszą x x b h 6 6 [mm 6[mm ; ; y y h b 6 6 6[mm [mm Przez śrdek ciężkści C figury prwadzimy sie układu Cx c y c Wyznaczamy mment bezwładnści względem si x c figury krzystając z twierdzenia Steinera

2 (y y ) 6 + (5 ) 8[mm () xc x c następnie figury (y y ) + ( ) () xc x c 5[mm sumujemy te mmenty trzymując mment bezwładnści całej figury względem si x c : () () xc xc+ xc [mm Pdbnie pstępujemy wyznaczając () y (x xc) + ( ) 6[mm () y (x xc) 6 + ( ) 8[mm () () [mm Wyznaczamy mment dewiacji figury względem si Cx c y c () 0 (x x )(y y ) ( )(5 ) [mm c c raz figury () 0 (x x c )(y y ) ( )( ) [mm c Całkwity mment dewiacji () + () 8[mm Następnie wyznaczamy kąt ϕ jaki należy dmierzyć d si x c aby znaleźć płżenie si głównh tgϕ xc, więc ϕ 5, ; ϕ 6,56 Aby stwierdzić czy s max ()będzie brócna względem si x c kąt ϕ, czy ϕ + 90 pdstawiamy wyliczne wartści d wzru transfrmacyjneg

3 ξ (xc + ) + (xc ) csϕ sin ϕ cs5, + 8 sin 5, 00 +,6 + 8, 60[mm widzimy, że wyliczne ξ > xc, Stwierdzamy zatem, że ś (dla max ), ustala kąt, ϕ 6,56. Oś (dla min ) jest więc nachylna d ddatnieg kierunku si x c pd kątem ϕ + 90, (rys. 6..). Wyliczne ξ jest czywiście równe maksymalnemu, centralnemu mmentwi bezwładnści figury Główne centralne mmenty bezwładnści wyliczamy ze wzrów (xc + ) + (xc ) + (6 + 6) + (6 6) [mm, (xc + ) (xc ) + (6 + 6) (6 6) + 8 0[mm. Rys.6.. Zadanie 6. Dla figury przedstawinej na rysunku 6.. wyznaczyć płżenie głównh centralnh si bezwładnści i kreślić względem nich główne centralne mmenty bezwładnści.

4 Rys.6.. Rzwiązanie Rzpcząć należy d wyznaczenia współrzędnh śrdka ciężkści dla danej figury, względem przyjęteg uprzedni układu dniesienia Oxy. Patrz zadanie 5., rys. 5..b. Współrzędne te wynszą: x c -0,5mm; y c,9mm Przez śrdek ciężkści rysujemy układ współrzędnh Cx c y c. W każdym ze śrdków ciężkści figur prsth na jakie pdzieliliśmy naszą figurę rysujemy układy współrzędnh x y, x y, x y. Wyliczamy dległści pmiędzy pszczególnymi, równległymi siami, rysunek 6... Rys.6..

5 Liczymy mment bezwładnści względem si x c i y c jak sumę mmentów trzech figur prsth, stsując twierdzenie Steinera. xc () x 0, + () x + 8 0, + 6, +, + () x π + 8, +,57, 6,5[mm () () () y 0,8 + y,9 + y 0, 9 W statnim wzrze nie znamy () y dla półkla względem si przechdzącej przez jeg śrdek ciężkści. Wiemy natmiast, że mment dla półkla względem średnicy jest równy Więc z twierdzenia Steinera π r. 8 () y π 8 π π π 8 [mm 8 9 π pdstawiając π ,8 + +,9 + +,57 0,9 9,8[mm π Mment dewiacji względem si x c y c () xy ( 0,)(0,8) + () xy ( 0,)(0,8) + ( 7 (,)(,9) + () xy (,)( 0,9) ) + (,)(,9) + 0 +,57 (,)( 0,9),9[mm Następnie wyznaczamy kąt ϕ jaki należy dmierzyć d si x c aby znaleźć płżenie si głównh tgϕ,9 6,5 9,8 xc 0,58 więc ϕ 7,8 ; ϕ,9 Aby stwierdzić czy s max ()będzie brócna względem si x c kąt ϕ, czy ϕ + 90 pdstawiamy wyliczne wartści d wzru transfrmacyjneg

6 ξ (xc + ) + (xc ) csϕ sin ϕ 6,5 + 9,8 6,5 9,8 + cs7,8 +,9 sin 7,8 6,98[mm widzimy, że wyliczne ξ > xc, Stwierdzamy zatem, że ś (dla max ), ustala kąt, ϕ,9. Oś (dla min ) jest więc nachylna d ddatnieg kierunku si x c pd kątem ϕ + 90, (rys. 6..). Wyliczne ξ jest czywiście równe maksymalnemu, centralnemu mmentwi bezwładnści figury Główne centralne mmenty bezwładnści wyliczamy ze wzrów (xc + ) + 6,98[mm, ( xc + ) 8,8[mm. ( ( xc xc ) ) + + (6,5 (6,5 + 9,8) + + 9,8) (6,5 9,8) (6,5 9,8) +,9 +,9 Zadanie 6. Przekrój figury przedstawinej na rysunku 6.. składa się z cewnika znrmalizwaneg [ 00 i kątwnika Wyznaczyć płżenie głównh centralnh si bezwładnści i kreślić względem nich główne centralne mmenty bezwładnści. Rzwiązanie Z tablic dla znrmalizwanh wyrbów walcwanh dczytujemy Dla cewnika Ple przekrju pprzeczneg; A,5cm Mment bezwładnści względem si pzimej x ; x 06 cm Mment bezwładnści względem si pinwej y ; y 9, cm

7 Rys. 6.. Rys. 6.. Dla kątwnika; Ple przekrju pprzeczneg; A,79 cm, Mmenty bezwładnści względem si pzime i pinwej x i y są równe; x y 5,5 cm Mmenty bezwładnści względem si głównh, centralnh (sie biegnące przez śrdek ciężkści kątwnika i nachylne pd kątem 5 0 jedna z nich jest sią symetrii przekrju kątwnika) 8,75cm ;,cm. Wyznaczenie płżenia śrdka ciężkści figury. Wyznaczamy współrzędne śrdka ciężkści względem układu dniesienia mająceg pczątek w śrdku ciężkści cewnika rysunek 6... Z twierdzenia mmentach statznh: x y C 0 (,55,7),79(,7) 0,6cm A 7,9 0 (5,0,7),79,8 A 7,9 C 0,8cm. Na rysunku 6.. nansimy układ współrzędnh centralnh mający pczątek w punkcie C i sie pzimą x C i pinwą y C.

8 Wyznaczamy względem teg układu mmenty bezwładnści figury krzystając z twierdzenia Steinera. xc yc x 0,8 06 +,5 0,8 y 9, +,5 0,6 0,6 + + x (5 0,8,7) + 5,5 +,79,99 y (,7 +,55 0,6) + 5,5 +,79, 5,95cm 56,7cm Aby wyznaczyć mment dewiacji względem układu si C,x C,y C musimy znać mment dewiacji kątwnika względem si x,y. Mment dewiacji cewnika względem si x,y jest równy zeru b jedna z si jest sią symetrii. Pnieważ dla kątwnika znamy główne centralne mmenty bezwładnści, krzystając z wzru transfrmacyjneg wyliczamy: xy ( 0 ) sin( 90 ) (8,75,) ( ),cm a następnie dla całej figury mment dewiacji względem si x C, y C : xcyc 0 0,8 ( 0,6) + xy,5 0,8 ( 0,6) + (,) +,79, (,99) cm, (,99) Kąt jaki należy brócić układ aby znaleźć się płżeniu głównym: tgα α xc xcyc yc 9,6 0,0 0, 5,95 56,7 Główne centralne mmenty bezwładnści względem teg układu wynszą ( + ) + ( ) xc yc xc (5, ,7) + xc yc xc yc ( + ) ( ) (5, ,7) yc + + xcyc (5,95 56,7) xcyc (5,95 56,7) ,6cm 5,cm