MECHANIKA PŁYNÓW. Materiały pomocnicze do wykładów. opracował: prof. nzw. dr hab. inż. Wiesław Grzesikiewicz

Transkrypt

1 MECHANIKA PŁYNÓW Materiały omocnicze do wykładów oracował: ro. nzw. dr hab. inż. Wiesław Grzesikiewicz Warszawa aździernik

2 - odkształcalne ciało stałe Mechanika łynów dział mechaniki materialnych ośrodków ciągłych - łyny ciecze gazy mechanika zajmuje się badaniem ruchu ośrodka oraz działających na niego sil. Badanie ruchu odbywa się w czasorzestrzeni Galileusza. W mechanice osługujemy się modelami (idealizacją) rzeczywistych ciał materialnych. Podstawowa zasad tej idealizacji olega na ominięciu cząsteczkowej struktury materii i rzyjęciu ciągłego rozkładu materii w rzestrzeni izycznej (ciągłe wyełnienie rzestrzeni kontinuum). Metody mechaniki łynów - modelowanie: izyczne matematyczne komuterowe. Modelowanie matematyczne: ustalanie matematycznych ormuł za omocą których odwzorowuje się (oisuje) związki miedzy wielkościami izycznymi określającymi rozatrywany asekt rzeczywistości; w mechanice łynów są to wielkości izyczne za omocą których określa się rocesy akumulowania i rozraszania energii łynu. Zasady matematycznego oisu ośrodków ciągłych ( z) t Czasorzestrzeń Galileusza /układ inercjalny czas absolutny/ układ wsółrzędnych rawoskrętny /zwykle rostokątny ( ) ( y) r : y R ois wsółrzędnych rzestrzennych z znak deinicji t - ois unktu czasorzestrzeni (zdarzenia) określa chwilę i miejsce. ( )

3 Wielkości izyczne Właściwości ośrodka ciągłego są określane w każdym unkcie rozważanego obszaru czasorzestrzeni za omocą unkcji w ( t ) w unkcja określająca obserwowaną wielkość izyczną n.; temeratura gęstość rędkość it. Do oisu wielkości izycznych używa się różnych unkcji - skalarnej w : R R R w( t ) R - wektorowej w : R R R w( t ) R w ( t ) w : w w ( t ) ( t ) ( ) t trzy unkcje skalarne w i ( t ) i - macierzowej w : R R R w( t ) R w ( t ) w : w w Podstawowe obiekty geometryczne w rzestrzeni ( t ) w ( t ) w( t ) ( t) w ( t ) w ( t ) ( ) ( ) ( ) t w t w t R. unkt A l koniec B linia zorientowana orientacja linii oczątek A AB unkty brzegowe owierzchnia zorientowana /łat owierzchni/ l długość linii orientacja owierzchni druga strona owierzchni orientacja brzegu n wektor (wersor) rostoadły do owierzchni w rozważanym unkcie ds owierzchnia elementarna S - owierzchnia S brzeg ole owierzchni wielkość skalarna charakteryzuje owierzchnię

4 owierzchnia zamknięta obszar V objętość obszaru Gęstość masy łynu w unkcie A t - otoczenie unktu A A m masa łynu w obszarze V objętość obszaru ( t ) m kg : lim V V m olej 8 benzyna 74 woda alkohol 79 mleko ; ciężar właściwy - γ : g g - rzysieszenie ziemskie m objętość właściwa - kg Dane ole gęstości łynu tzn. jest dana unkcja ( ) ( t ) - obszar t określająca wielkość izyczną 4

5 obliczyć masę łynu m wyełniającego obszar w chwili t m ( t) ( t ) dv całka objętościowa z unkcji skalarnej Pola sił siły: - wewnętrzne; określają oddziaływanie między częściami ośrodka materialnego - zewnętrzne; określają oddziaływania otoczenia na ośrodek siły: - owierzchniowe (kontaktowe) odnosi się do owierzchni skierowanej - objętościowe (lub masowe) odnosi się do obszaru (lub masy łynu wyełniającego obszar) Gęstość siły Powierzchniowa N m t A ( t ) S F s wyadkowa siła działająca na owierzchnię S gęstość siły w unkcie A F ( ) s t A : lim S S 5

6 Objętościowa (masowa) gęstość siły t V F s wyadkowa siła działająca na owierzchnię S A objętościowa gęstość siły F ( ) N t A : lim V V m masowa gęstość siły m : N kg m s Sily wewnętrzne Powierzchniowa gęstość siły NAPRĘŻENIE wektor i tensor narężenia Powierzchniowa gęstość siły lub wektor narężenia zależy od unktu czasorzestrzeni oraz kierunku owierzchni n n n wyznacza kierunek rostoadły do owierzchni siła (gęstość) owierzchniowa (wektor narężeń) n - wersor wektor narężeń oisuje się za omocą tensora narężeń według zależności R ( n ) : n wersor określający kierunek rostoadły do owierzchni. ensor narężeń w unkcie A A n 6

7 t otoczenie A ij kierunek osi rostoadłej do ścianki kierunek wektora narężeń tensor narężeń jest symetryczny tzn. ij ji R : ij indeks wiersza indeks kolumny Dane ole narężeń wyznaczyć wektor narężeń działający w unkcie A na owierzchni określonej wersorem n. n ( n ) A ( n ) A n Dane ole narężeń i gęstość sił objętościowych. Wyznaczyć siłę wyadkową działającą na łyn (ośrodek materialny) wyełniający obszar. 7

8 B r A ds n dv n n B Fr - leży na brzegu A Int - leży wewnątrz obszaru - siła objętościowa (gęstość) - siła owierzchniowa F - siła wyadkowa [N] - tensor narężeń N m N m F F ( t) : n ds dv Obliczyć moment wyadkowy sił względem środka układu wsółrzędnych ( M ) r romień określający unkt obszaru M r ( t) : ( r n) ds ( r ) dv o Rozkład tensora narężeń o o o o o skalar o o : tr ( ) tr (suma w rzekątnej) : 8

9 I : o I S o S : o o składowa tensora narężeń nazywana dewiatorem narężeń o I - składowa nazywana tensorem kulistym tensor kulisty określa wszechstronne (izotroowe) rozciąganie lub ściskanie. W łynach w stanie statycznym może owstawać tylko ściskanie czyli o < (hioteza Pascala) wobec tego rzyjęto nazywać ciśnieniem dewiator narężeń określa narężenia ścinające które w ośrodkach ciągłych wywołują zmianę kształtu. W łynach w stanie statycznym (hioteza Pascala) dewiator narężeń jest równy zero. S : o I Statyczny stan narężenia w łynach (według hiotezy Pascala) I ciśnienie; > ; skalar wektory narężeń ściskających o ś wektor narężenia (ciśnienia) n In n n 9

10 > wektor ciśnienia w każdym kierunku ma wartość n czyli działa rostoadle do każdej owierzchni a znak minus oznacza że są to narężenia ściskające. Równowaga ośrodka materialnego w olu sił t (brzeg ) (obszar) A B ds n n A Fr - leży na brzegu B Int - leży wewnątrz obszaru - ole gęstości sił objętościowych - tensor narężeń Wyadkowa siła działająca na ośrodek materialny (łyn) wyełniający obszar w chwili t ( t) : n ds F wierdzenie Gaussa-Ostrogrodskiego Stąd równanie Eulera dv. n ds Di dv ( t) ( ) dv R F Di Di równanie równowagi łynu które owinno być sełnione dla każdego oraz t

11 Równanie momentów sił A n n r ds B Wyadkowy moment sił względem oczątku układu wsółrzędnych M ( t) ( r n) ds ( r ) dv wierdzenie Gaussa-Ostrogrodskiego r n ds r Di dv Wzór na wyadkowy moment ( ) ( ) ( t) r ( Di ) M dv Jeżeli jest sełnione równanie równowagi sił (równanie Eulera) Di to wtedy wyadkowy moment sił jest równy zero. Warunki równowagi łynu W stanie soczynku zgodnie z hiotezą Pascala I > - ciśnienie skalar stąd Di grad Równanie równowagi łynu grad lub grad.

12 Zadanie statyki łynu (hydrostatyka) Dane jest ole objętościowej gęstości siły. Wyznaczyć ole ciśnienia w obszarze uwzględniając zadane warunki brzegowe. Równanie względem unkcji skalarnej ( ) grad a o rozisaniu mamy trzy równania ( ) ( ) ( ) N [ ] m Powyższy zestaw trzech równań względem jednej unkcji () osiada rozwiązanie tylko wtedy gdy jest otencjalna czyli gdy istnieje unkcja skalarna U ( ) taka że grad U ( ) ( ) czyli nie może być dowolna. Rozwiązanie zadania statyki ma wtedy ostać U Stałą C wyznacza się z warunków brzegowych. Podstawowe rzykłady unkcji * stała const U stąd mamy czyli C ( ) ( ) C ( ) ( ) ( ) ( ) C * liniowa A A macierz symetryczna U A A C A A C Zwykle w zadaniach statyki łynów wyznacza się ois ola sił za omocą ola gęstości sił masowych wtedy m m N kg m s - gęstość łynu kg m

13 równanie równowagi łynu ma wtedy ostać grad m. Rodzaje łynów ze względu na unkcję gęstości * łyn jednorodny nieściśliwy const (ciecz) * łyn niejednorodny nieściśliwy ( ) - dana (ciecz) * łyn barotroowy ściśliwy (gęstość łynu zależy od ciśnienia; nie zależy od temeratury) ϕ ϕ - unkcja oisująca zależność gęstości łynu od ciśnienia. ( ) Ois cech łynu barotroowego ϕ( ) zwykle γ o o o o - stan odniesienia 4 gaz γ. 4 ciecz Wskaźniki charakteryzujące ściśliwość łynu d ϕ( ) ϕ ( ) m * β: ln - wsółczynnik ściśliwości d ϕ( o ) ϕ( ) N γ s ale ϕ ( ) o γ o m czyli m β γ N * moduł srężystości objętościowej N B: γ β m * kwadrat rędkości dźwięku c : d d γ c c B ϕ ( ) m s m. s ϕ ( ) ϕ ( ) γ o o

14 ZADANIE SAYKI PŁYNU BAROROPOWEGO N m kg m m kg s m zadanie: wyznaczyć unkcje oraz ; dane m - sełniające równania grad m równanie wektorowe ϕ( ) nowa ostać równania grad ϕ wyrażenie jeśli grad grad ϕ ( ) P ( ( ) ) ( ) m P d gradp grad d ( ) ( ) : d ( ~ ) ~ J P ϕ kg o wtedy równanie statyki ma ostać grad P ( ) m rozwiązanie istnieje gdy m grad Um( ) rozwiązanie P Um nieliniowe równanie algebraiczne względem * nieściśliwy const. ( ) ( ) C ( U ( ) C) P m. d ~ ( ) o P : o * izotermiczny (gaz γ ) o o ( ) o P : ln o o κ * adiabatyczny o o Przykłady łynów barotroowych 4

15 κ κ o κ P ( ) :. κ o o Przykład wyznaczania unkcji oisującej ciśnienie Założenie: ciecz (woda) jednorodna nieściśliwa const a - ciśnienie atmoseryczne na owierzchni a g jezioro g m symbol działania ola grawitacyjnego z ionowa składowa wektora siły objętościowej U gz g równanie statyki grad czyli y g z warunek brzegowy ( ) a w tym szczególnym rzyadku ciśnienie zależy tylko od z ( z) gz C stałą całkowania C wyznaczamy z warunku brzegowego ( ) a a g C stąd C a z gz ( ) a Funkcja ciśnienia w olu rzysieszeń Rozważamy cysternę kolejową która orusza się ruchem jednostajnie rzysieszonym z rzysieszeniem a z O owietrze o ciśnieniu atmoserycznym (ęcherzyk) - (stan oczątkowy) 5 a const

16 łyn wyełniający cysternę jest nieściśliwy jednorodny const. Układ wsółrzędnych związanych ze zbiornikiem cysterny; jest to układ nieinercjalny w tym układzie na łyn działa ole grawitacyjne oraz ole inercyjne o wartości b a rzeciwnie skierowane do rzysieszenia a. z b g g ole grawitacyjne O wektor gęstości sił objętościowych a U a gz g równanie statyki grad czyli a y g z wektor jest stały ( ) unkcja oisująca ciśnienie nie zależy od y czyli ( z) z równań otrzymujemy z a gz ( ) C o z o ęcherzyk o > o O a) wyznaczamy składowe wektora 6

17 b) rysujemy linie stałego ciśnienia (izobary) c) kierunek wskazuje kierunek wzrostu ciśnienia d) stąd wnioskujemy gdzie znajduje się ęcherzyk owietrza o ciśnieniu a e) ustalamy wsółrzędne ęcherzyka ( z ) Warunek brzegowy ( z ) a wyznaczamy stałą C ( z ) a gz C a czyli C a a gz ostatecznie unkcja oisująca zmianę ciśnienia ma ostać ( z) a gz ( a a gz ). Obracający się zbiornik z łynem (stan ustalony) Układ wsółrzędnych jest związany ze zbiornikiem const ω const ω z g ole grawitacyjne y z H y r y ω r y a y a ω y ω b ω b y ω y g g ω m ω y otencjał Um ω ω y gz g U U m const 7

18 8 zatem ciśnienie oisuje unkcja C U m o C gz y ω ω ( ) o C gz y z y ω ω ( ) a H stąd gh C a o. Lekość ois ola rędkości cieczy z h o h L o s M ωconst wałek naczynie z leką cieczą rozkład rędkości h z siła t t t const V o o V

19 tensor rędkości odkształcania D ( L L ) γ& γ& γ& h o V o h rędkość zmiany kąta τ τ γ& τ rędkość kątowa rzekątnej dewiator tensora rędkości odkształcania τ D S D tr DI γ& γ& Hioteza Newtona τ µγ& µ - lekość dynamiczna ν µ µ ν : - lekość kinematyczna m 4 St 6 s Pa s P oise cp ( Stokes) cst( centistokes) [ ] ( ) ( centioise) τ łyn Newtona (hioteza Newtona) łyny nienewtonoskie ( γ& 9

20 rzykładowe wartości µ: alkohol etylowy 7 o C 88 mpa s ( Pa s) gliceryna o C 49 mpa s o C mpa s woda o C mpa s rzykładowe wartości ν dla o C woda 6 m /s alkohol etylowy 58 6 m /s benzyna 8 6 m /s gliceryna 6 m /s macierzowy zais hiotezy Newtona l µd S narężenia związane z lekością (tarciem wiskotycznym lekim) są roorcjonalne do dewiatora rędkości odkształcenia D V tr D I - tensor rędkości odkształcenia objętościowego ale tr D di (z deinicji D) czyli D S D dii l µ D dii hioteza Naiera ( V) ( S ) l l ( S) l µd ( V) l S l µ dii l µ D ( µ µ ) dii Równanie dynamiki łynu D Dt dla łynu doskonałego di I w/g hiotezy Pascala narężenia wynikają ze wszechstronnego ściskania I l l - narężenia sowodowane lekością

21 w/g hiotezy Newtona µd S l S D - dewiator tensora rędkości odkształcania l di grad di µ µ I D S di grad di dla wektora ( ) : Równania dynamiki cieczy lekiej Naiera-Stokesa µ Dt D di grad grad Dt D di ( ) ϕ dla łynu nieściśliwego const Dt D µ grad di rzeływ łaski ( ) t µ t t

22 Równanie Bernoulliego dla łynu lekiego P V γ g P V z B i V i i γzi J m z rzeływ ustalony bez wirów łyn nieściśliwy otencjał grawitacyjny dla cieczy lekiej B > B B B B B > - ilość energii rozroszonej w czasie rzeływu między rzekrojami - Zwykle wartość ta jest ustalana doświadczalnie h str V kryza V zwykle B określa się jako stratę ciśnienia w ostaci B ζ V ustalamy doświadczalnie ζ - bezwymiarowy wsółczynnik strat (oór rzeływu). Symboliczne oznaczenie oorów rzeływu V sw ζ V

23 gdy w instalacji hydraulicznej znajduje się maszyna hydrauliczna oma P moc charakterystyka idealna omy wyorowej lub silnik hydrauliczny charakterystyka rzeczywista Q m Q s m Q s s Równanie Bernoulliego z oorami rzeływu i z omą B B B B str