Modelowanie i obliczenia techniczne. Modelowanie matematyczne Metody modelowania

Transkrypt

1 Modelowanie i oblicenia technicne Modelowanie matematycne Metody modelowania

2 Modelowanie matematycne procesów w systemach technicnych Model może ostać tworony dla całego system lb dla poscególnych elementów Model może wględniać statykę, kinematykę lb dynamikę procesów Model statycny ma awycaj postać równań algebraicnych Modelowanie kinematyki i dynamiki (model dynamicny) wymaga życia równań różnickowych lb różnicowych, wanych równaniami rch

3 3 Modelowanie matematycne procesów w systemach technicnych Model statycny E R D D R U S R E e I i ir T D Model dynamicny ( ) C R C C R E dt d C i ir ; E R C t

4 Modelowanie matematycne procesów w systemach technicnych Aby wynacyć stan badanego system, model msi się składać tyl równań ile jest niewiadomych. Dla procesów dynamicnych rowiąanie równań wymaga ich całkowania i najomości stan pocątkowego. Reltatem rowiąania model statycnego są wartości poskiwanych wielkości, a model dynamicnego ich prebiegi w fnkcji cas. Licba nieależnych równań opisjących kład dynamicny naywana jest licbą stopni swobody. 4

5 System dynamicny wielkości charakteryjące system Otocenie Sterowanie Zakłócenia System Stan kład Stan pocątkowy Wyjście 5

6 Model matematycny procesów w systemach dynamicnych Jest to biór wiąków matematycnych w postaci ależności: y (v) f((v),(v),p,v) y wektor wielkości wyjściowych wektor wymseń (pobdeń) wektor akłóceń p wektor parametrów stałych v wektor miennych nieależnych (cas, współrędne prestrenne) 6

7 Klasyfikacja postaci modeli matematycnych procesów dynamicnych Równania różnickowe Równania algebraicne Równanie stan Transmitancje 7

8 Model matematycny w postaci równań różnickowych Równania opisjące proces mogą mieć postać równań różnickowych n-tego ręd. N-ta pochodna y jest ależna od niżsych pochodnych i poostałych wielkości: ( n) ( n) ( n) ( m) ( m) y f y, y,..,,,..., p, v 8

9 Model matematycny w postaci równań algebraicnych Jeżeli równania różnickowe opisjące proces mają taką postać, że nane jest ich rowiąanie, to równania rch pryjmją postać algebraicną: v ( t ) f ( ( v),p, v) y Prykład - równanie opisjące prędkość w rch jednostajnie pryspiesonym: ( t) a t v() ; a const 9

10 Model matematycny w postaci równań stan Jeżeli w biore y da się wydielić taki podbiór x, że wsystkie równania różnickowe model da się apisać jako równania pierwsego ręd postaci: dx dt f ( x( t), ( t), ( t),, t) p to mienne x naywa się miennymi stan.

11 Model matematycny w postaci równań stan Model może być wówcas apisany w postaci różnickowego równania stan: dx dt f ( x( t), ( t), ( t),, t) p i algebraicnego równania wyjścia: y ( x( t), ( t), ( t), t) f, p

12 Równanie stan system liniowego Pry ałożeni, że ależności f są liniowe równanie stan można apisać w postaci macierowej: x & Ax B A macier podstawowa (fndamentalna) B macier wymseń (pobdeń) Zmienne stan cęsto nie mają interpretacji fiycnej.

13 Prykład równania stan system liniowego R t Macierowe równanie stan: x & Ax B E C prasca się ttaj do jednego równania: & C RC c RC E R ir dc i C ; dt E R C C ( ) Równanie wyjścia pryjmie postać: i E R C 3

14 Rowiąanie równania stan analiowanego obwod E R t C Pry ałożeni, że c () jego mienność w casie jest opisana ależnością: ( t) E e t RC Wartość wyjścia jest w reltacie następjącą fnkcją cas: i( t) E R e t RC 4

15 Model matematycny w postaci transmitancji Zakładając, że ależność międy y i można opisać linowym równaniem różnickowym lb różnicowym, możliwe jest tworenie model w postaci tw. transmitancji (fnkcji prejścia) po astosowani transformacji T prekstałcającej te równania do postaci algebraicnej. G y G T T ( y( t) ) ( ( t) ) 5

16 Model matematycny w postaci transmitancji Do systemów cas ciągłego (opisanych równaniami różnickowymi) stosje się transformację Laplace a. Do systemów cas dyskretnego (opisanych równaniami różnicowymi) stosje się transformację Larenta (prekstałcenie Z). 6

17 Transformacja Laplace a Transformacja Laplace a jest definiowana następjąco: F ( s) L( f ( t) ) f ( t) s jest mienną espoloną. Transformata F(s) fnkcji f(t) jest fnkcją espoloną na płascyźnie miennej s. e st dt 7

18 Transformacja Laplace a Ważna jest własność tej transformacji polegająca na tym, że transformata pochodnej fnkcji jest ilocynem miennej s i transformaty fnkcji: L df dt s ( ( ( ))) ( L f t f ) 8

19 Prykład wynacania transmitancji Różnickowa ależność międy sygnałem wejściowym badanego kład a sygnałem wyjściowym y: ( t) d y( t) dy d a y( t) a a b( t) b b dt dt dt ( s) a sy ( s) a s Y ( s) b U ( s) b su ( s) b s U ( s) a Y ( t) d ( t) Po astosowani transformacji Laplace a ostaje prekstałcona do postaci: dt Ilora transformat sygnałów daje transmitancję kład o postaci: G ( s) Y U ( s) b bs bs ( s) a a s a s 9

20 Transformacja Larenta Transformacja Larenta dyskretnego ciąg x(n) jest definiowana następjąco: X ( ) Z( x( n) ) x( n) n n jest mienną espoloną. Transformata X() ciąg x(n) jest fnkcją espoloną na płascyźnie miennej. Transforacja Larenta jest powsechnie naywana prekstałceniem Z

21 Transformacja Larenta Ważna jest własność tej transformacji polegająca na tym, że transformata sygnał presniętego o k jest ilocynem transformaty sygnał i (-k)-tej potęgi miennej : Z k ( x( n k) ) Z( x( n) ) Ta własność ma podobne nacenie jak własność transformaty Laplace a pochodnej fnkcji.

22 Prykład wynacania transmitancji Zależność międy sygnałem dyskretnym na wejści badanego kład a sygnałem wyjściowym y: Po astosowani transformacji Z ostaje prekstałcona do postaci: Ilora transformat sygnałów daje transmitancję kład o postaci: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n b n b n b n y a n y a n y a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) U b U b b U Y a Y a Y a ( ) ( ) ( ) a a a b b b U Y G