ZASADY ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ, PĘDU I MOMENTU PĘDU

Transkrypt

1 ZASADY ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ PĘDU I MOMENTU PĘDU Praca W fiyce racą eleentarną dw nayway wielkość dw Fd Fdr (4) gdie F jet iłą diałającą na drode d d F Pracę eleentarną ożna także redtawić w otaci dw Fd F d gdie F onaca rut iły F na eleent drogi d Praca eleentarna ora całkowita raca wykonana re iłę F na drode od unktu onaconego na ryunku re do unktu ają rotą interretację graficną na wykreie F od F F d Na owyży wykreie raca eleentarna jet ole łuka o odtawie d i wyokości F ( dw F d ) Całkowita raca W jet natoiat uą ól takich łuków cyli ole owierchni wynacony re rote wykre rutu iły F i odciętą

2 W Fd Fd r (4) Energia kinetycna i raca dv v F dr dr v vdv Fdr d dw Wielkość v onacay re E k i nayway energią kinetycną ciała Otryaliśy więc ależność dek dw którą dla końconych ryrotów ożna aiać w otaci Ek( ) Ek( ) Fd r (43) Pryrot energii kinetycnej w ruchu od unktu onaconego jako do unktu jet równy racy iły wyadkowej F na drode od do Energia otencjalna Pretreń gdie na ciała diałają iły nayway ole tych ił Pole ił nayway tacjonarny jeśli iła w ocególnych jego unktach nie ależy od cau Pole ił tacjonarnych jet achowawce ( konerwatywne ) jeżeli raca iędy unktai A i B nie ależy od drogi iędy tyi unktai W W B AB A

3 Można też owiedieć że dla iły achowawcej jej raca na drode akniętej równa ię eru: W AB+ WBA 0 onieważ W W B A A B Dla iły achowawcej F definiujey energię otencjalną E a oocą ależności de Fd Fdr Siłai achowawcyi ą n: iła grawitacji i iła elektrotatycna Couloba Siła która nie jet achowawca to iła tarcia Mateatycnie ały ryrot funkcji f ( y ) który nie ależy od unktów ośrednich tylko od ocątkowego i końcowego nayway różnicką uełną Wyraża ię ją wore df df df df( y ) f( + dy + dy + d) f( y ) d+ dy+ d d dy d df Sybol tyu d y cont y cont cont y cont onaca ochodną wględe obliconą ry ałożeniu że ienne y traktujey ry jej oblicaniu jako tałe Dla rototy df d y cont aiujey jako f i nayway ochodną cątkową funkcji f ( y ) Wór na różnickę uełną rybiera wobec tego otać: f f f df d + dy + d y (44) W ryadku energii otencjalnej de jej różnicka uełna de wyraża ię wore: 3

4 E E E de d + dy + d y (45) Z drugiej trony definicji energii otencjalnej: de Fdr F e + F e + F e de + dye + de Fd F dy F d ( )( ) y y y y (46) Porównując wory (45) i (46) otryay E E E F Fy F y (47) Wrowadając wektor nabla e + ey + e y ożna równanie (47) aiać krótko F E (47a) Oerator wektorowy nabla diałający na funkcję kalarną naywany jet też gradiente tej funkcji ( onacenie grad ) ależność (47a) ożna więc aiać też w otaci F grade (47b) Powyże wory (47) (47a) lub (47b) owalają wynacyć iłę F jeśli nay otać energii otencjalnej E Można także otąić odwrotnie: nając iłę F oblicyć energię otencjalną E wiąaną iłą F Z definicji energii otencjalnej de Fd Dla końconych ryrotów otryay E E Fd E E Fd ( ) ( ) ( ) ( ) (48) 4

5 Stoując wór (48) należy ryjąć uowną wartość energii otencjalnej w wybrany unkcie ola - E () i wtedy ożna wylicyć energię otencjalną E () w dowolny unkcie ola wynacając racę iły F na drode od unktu do unktu którą należy odjąć od ( ) E Prykład: ole grawitacyjne w obliżu owierchni Ziei Znay E g najdujey iłę grawitacji F ( g) ( g) ( g) F E ( g) e ey e ge y Znay F ge ryjując E ( 0) 0 ukay ( ) E - wór (48) E 0 ge de g d g ( ) ( )( ) 0 0 Prawo achowania energii echanicnej Wyżej otryaliśy wiąki dek Dodając te wiąki tronai otryay dw ora dla iły achowawcej de dw ( ) 0 de + de d E + E (49) k k Suę energii kinetycnej i otencjalnej ciała nayway jego energią echanicną E Wór (49) ożna aiać de 0 E cont cyli: Energia echanicna ciała na które diałają iły achowawce jet tała W ryadku układu echanicnego łożonego achowawce ewnętrne F i wewnętrne WEW F N cątek na które diałają iły energia echanicna kłada ię 5

6 energii kinetycnej będącej uą energii kinetycnych ocególnych cątek ora uy energii otencjalnych cątek ochodących od oddiaływań ewnętrnych i wewnętrnych iędy cątkai układu E E + E + E N N WEW ki i ij i j j i (40) gdie energie otencjalne najdujey wiąków WEW WEW de F dr de F dr i i i ij ij ij Prawo achowania energii echanicnej tanowi że w taki układie całkowita energia echanicna jet achowana Zaada achowania ędu Roważyy roty układ echanicny łożony ciał na które ogą diałać iły ewnętrne F i F WEW ora wewnętrne F i F WEW F WEW F O F F WEW y Dla tych ciał łune ą równania ruchu d d F + F v ( ) WEW F + F v ( ) WEW (4) Po dodaniu tych równań tronai uykay: d ( + ) F + F (4) 6

7 WEW WEW onieważ F + F III aady dynaiki Definiując ęd układu + ora 0 Z onacając re F F EW + F całkowitą iłę ewnętrną równanie (4) ożna aiać w rotej otaci d F (43) Równanie (43) obowiąuje dla układu o dowolnej licbie cątek Pre ęd należy wtedy rouieć uarycny ęd ocególnych ciał a re F Analia równania (43) rowadi do oniżych wnioków: całkowitą iłę ewnętrną Jeśli układ jet iolowany ( aknięty ) tn taki że na ciała układu nie diałają iły ewnętrne to F 0 i achodi d 0 cont (44) Stąd aada achowania ędu: W układie iolowany ęd układu jet tały Pęd układu jet także achowany jeśli na ciała układu diałają iły ewnętrne ale ich wyadkowa jet równa eru 3 Jeśli kładowa ewnętrnej iły wyadkowej w ewny kierunku wynoi ero to ęd w ty kierunku jet achowany N kiedy F 0 to d 0 cont Definicje oentu iły i oentu ędu r α β F r wektor olożenia F ila ęd O y 7

8 Definicja oentu iły M wględe unktu O: M r F M r F in Fl ( α ) (45) (46) to raię iły F wględe unktu O Składowe wektora gdie l rin ( α ) M charakteryują dolność iły F do obrotu ay wokół odowiedniej oi n M F yf (47) y Podobnie definiujey oent ędu L wględe unktu O: L r L r in l ( β ) (48) (49) gdie l rin ( β ) to raię ędu wględe unktu O Zaada achowania oentu ędu ryunku Podobnie jak orednio roważyy układ łożony cątek redtawiony na F WEW F O r r F F WEW y Słune ą równania ruchu (4) które tera nożyy lewotronnie wektorowo odowiednio re r i r 8

9 d r r F + r F d r r F + r F WEW WEW (40) Należy auważyć że achodi d dr d d ( r ) + r r dr onieważ v v Onacając r L r L r F M r F M ora F F ( III aada dynaiki ) i dodając równania (40) tronai otryay d ( L L ) M M ( r r ) F WEW Ponieważ wektor r r ) jet równoległy do wektora ( WEW F WEW to ( r r) F 0 i dalej onacając L+ L L M + M M otryay wiąek oentu ędu oente iły dl M (4) Cyli ochodna o caie wektora oentu ędu jet równa wektorowi wyadkowego oentu iły Równanie (4) rowadi do natęujących wnioków: Jeśli układ jet aknięty to dl M 0 0 L cont Otryaliśy więc aadę achowania oentu ędu: Moent ędu akniętego układu jet tały wektore 9

10 Moent ędu jet także tały w ryadku kiedy układ nie jet aknięty ale wyadkowy oent ił ewnętrnych M 0 3 Jeśli kładowa wyadkowego wektora oentu ił ewnętrnych w ewny kierunku wynoi ero to oent ędu w ty kierunku jet achowany Powyże wnioki obowiąują także dla układu o dowolnej licbie ciał onieważ ootaje łune dla tego układu równanie (4) Pre oent ędu L onacay wtedy uarycny oent ędu ocególnych ciał a M wytkich ił ewnętrnych wględe unktu O onaca wyadkowy oent Prykład atoowania aad achowania: derenie kul ) Zderenie nierężyte Zderenie dokonale nierężyte to takie w który ełniona jet tylko aada achowania ędu Po dereniu kule oruają ię rae rędkością v k którą wynacyy v v v k v v ( ) v k Skąd v k v + v + (4) ) Zderenie rężyte Zderenie dokonale rężyte to takie w który jet achowany ęd i energia Oówiy tylko derenie centralne be uwględnienia ruchu obrotowego Zderenie nayway 0

11 centralny jeżeli wektory rędkości kul ą wółliniowe rotą rechodącą re środki dwóch derających ię kul Sukay rędkości kul o dereniu v i v v v 0 0 v v Korytając aad achowania ędu i energii otryay: v 0+ v 0 v + v v 0+ v 0 v + v ( v0 v) ( v0 v) ( v0 v )( v0 + v ) ( v0 v )( v0 + v ) v v v v v v v v v v v v i dalej ( )( ) ( )( ) otatniego równania licyy v v + v v 0 0 i dalej odtawiając v do aady achowania ędu otryay v v v v v v kąd oblicyy v + ( ) v v + v 0 0 v + ( ) v (43) (44) Dykuja: Równe kule: worów (43) i (44) wynika że kule wyienią ię rędkościai: v v v v 0 0 Zderenie e ścianą n v v0 v0