TRÓJKĄTNE PŁATY POWIERZCHNIOWE W MODELOWANIU GŁADKIEJ POWIERZCHNI BRZEGU W PURC DLA ZAGADNIEŃ USTALONEGO PRZEPŁYWU CIECZY DOSKONAŁEJ

Transkrypt

1 MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN X 7 s Gliwice 009 TRÓJKĄTNE PŁATY POWIERZCHNIOWE W MODELOWANIU GŁADKIEJ POWIERZCHNI BRZEGU W PURC DLA ZAGADNIEŃ USTALONEGO PRZEPŁYWU CIECZY DOSKONAŁEJ EUGENIUSZ ZIENIUK KRZYSZTOF SZERSZEŃ Istytut Iformaty Załad Metod Numeryczych Uiwersytet w Białymstou Sosowa Białysto ezieiu@ii.uwb.edu.pl szersze@ii.uwb.edu.pl Streszczeie. W pracy zapropoowao modelowaie powierzchi brzegu a styu ciała i cieczy dla przestrzeych zagadień przepływowych przy użyciu tróątych powierzchi Béziera. Taie modelowaie brzegu ma być w założeiach prezetowaych badań podeściem alteratywym w stosuu do dotychczasowe pratyi geerowaia siate elemetowych w MEB. Od stroy umerycze obliczeia rozpatrywaego zagadieia opływu zostały zrealizowae a podstawie parametryczych uładów rówań całowych (PURC).. WSTĘP Jedym z podstawowych zagadień hydro i aeromechaii est opływ ciała stałego w ośrodu cieczy dosoałe tz. ielepie i ieściśliwe. Od stroy matematycze taie zagadieie może być utożsamioe z aalizą problemu brzegowego tóry przy założeiu bezwirowości przepływu przymue charater potecaly opisyway rówaiem Laplace a. Do omputerowego rozwiązaia ta zdefiiowaego zagadieia przepływowego obo populare w pratyce metody elemetów sończoych (MES) w aturaly sposób predyspoowaa est metoda elemetów brzegowych (MEB) w tóre fizycza dysretyzaca ograicza się wyłączie do brzegu a styu ciała i cieczy. Niestety z uwagi a specyfię MEB rozwiązaia a brzegu otrzymywae są w postaci dysrete w poszczególych putach węzłowych. Poadto liczba tych węzłów est ściśle powiązaa z liczbą wprowadzoych elemetów brzegowych siati elemetowe. Dlatego też w celu poprawy doładośc a rówież sprawdzeia zbieżości rozwiązań ależy podzielić brzeg a więszą liczbę taich elemetów w pratyce wymuszaąc poową delaracę taie siati. Szczególie uciążliwe wydae się to w przypadu zagadień przestrzeych w tórych siata elemetowa słada się z sete i tysięcy taich elemetów. Dodatowym problemem est zapewieie ciągłości a rawędziach łączeia sąsiedich elemetów w ta zbudowae struturze elemetowe modeluące powierzchię brzegu. W przypadu zagadień przepływowych aczęście ciała te są o powierzchi gładie i rzywoliiowe. W prezetowae pracy podęto się próby wprowadzeia zaych z grafii omputerowe tróątych płatów powierzchi Béziera do modelowaia trówymiarowe ształtu brzegu w zagadieiach ustaloego przepływu cieczy ideale. Cel te wydae się est możliwy do zrealizowaia dzięi połączeiu taiego sposobu defiiowaia brzegu z istieącą

2 90 E. ZIENIUK K. SZERSZEŃ i szczegółowo przetestowaą wcześieszą ocepcą parametryczych uładów rówań całowych (PURC) główie dla zagadień dwuwymiarowych.. TRÓJKATNE PŁATY BÉZIERA Tróąty płat Béziera stopia est defiioway przez zbiór 0. 5( + )( + ) putów otrolych P i. Matematycza formuła taiego płata est uzależioa est od trzech parametrów v w u []:! i P ( v w u) = Pi B ( v w u) B ( v w u) = v w u () i!!! >= 0 i+ + = gdzie 0 w u v + w + u i są fucami bazowymi Bersteia -tego stopia. Po podstawieia w formule () u = w v i przy wprowadzeiu dodatowych ograiczeń 0 v w oraz v + w otrzymuemy bardzie dogodą matematyczą formę opisu taich płatów uzależioą wyłączie od dwóch parametrów v w : v zaś B ( v w u) i P ( v = P B ( v w v B ( v w v = v w ( v. >= 0 i+ + =! () i!!! Podstawową zaletą płatów Béziera est prostota defiiowaia (rys. a) i modyfiaci (rys. bc) sompliowaych ształtów powierzchi za pomocą edyie iewielie liczby putów otrolych. Na rys. a przedstawioo wizualizacę taiego płata delarowaego 5 putami otrolymi. a) b) c) Rys.. Tróąty płat Béziera stopia 4: a) defiiowaie 5 putami otrolym b) i c) modyfiace płata po przesuięciu wybraych putów otrolych Możliwa est w te sposób delaraca zarówo płasich powierzchi tróątych (rys. a) a rówież powierzchi rzywoliiowych. Modyfiacę ształtu płata po przesuięciu wybraych putów otrolych zaprezetowao a rys. bc.. PURC Z BRZEGIEM MODELOWANYM TRÓJKĄTNYMI PŁATAMI BÉZIERA Przedstawioy sposób modelowaia brzegu polegaący a wyorzystaiu tróątych płatów powierzchi może być wompooway w parametryczych uładach rówań

3 TRÓJKĄTNE PŁATY POWIERZCHNIOWE W MODELOWANIU GŁADKIEJ 9 całowych (PURC) daących możliwość efetywego umeryczego rozwiązywaia zagadień brzegowych. Formuła PURC w przypadu płatów tróątych est aalogicza a w przypadu wcześie testowaych płatów prostoątych Béziera [7] i przedstawiaa astępuąco: v w l l = v w < < w w < w { U (v w vp (v P (v w vu (v} J ( vdvdw 0. 5u (v w ) = () oraz ν < ν ν ν w l =.... Itegraca wprowadzoego modelowaia powierzchi brzegu z formułą PURC realizowaa est główie w fucach podcałowych (ądrach) rówaia () za pomocą astępuących wyrażeń: ( ) ( ) ( ) * ( * U l ν w ν = ) 0. 4π [ η + η + η ] ( η + η + η P 5 l v w v w = (4). 4π [ η + η + η ] 5 w tórych to brzeg est zdefiioway za pomocą fuci η η η : () () () () () () η = P ( v w ) P ( v ) η = P ( v w ) P ( v ) oraz η = P ( v w ) P ( v ) (5) l w l w l l w uwzględiaących w swoim formalizmie matematyczym defiiowaie brzegu za pomocą dowolych fuci parametryczych P ( v. W pracy wyorzystywae są tróąte płaty Béziera przedstawioe wzorem (). Fuce brzegowe u (v p ( vw ) w () są zdefiiowae a płatach Béziera modeluących geometrię brzegu. Jeda z tych fuci u ( vw ) (lub ( vw ) ) w zależości od typu rozwiązywaego zagadieia brzegowego będzie zadaa w postaci waruów brzegowych atomiast druga będzie poszuiwaa w wyiu rozwiązaia PURC. Fuce brzegowe zadae a i poszuiwae są aprosymowae za pomocą astępuących szeregów aprosymuących [7]: gdzie N M ( pr) ( p) ( r) ( pr) ( p) ( r) p ( v = p T ( v) T ( u ( v = u T ( v) T ( (6) ( pr) ( pr) p= 0 r= 0 N M p= 0 r= 0 u p są iewiadomymi współczyiam = N M est liczbą współczyiów ( ) a poszczególych płatach Béziera atomiast T p ( ) ( v) T r ( są globalymi fucami bazowymi wielomiaami Czebyszewa. Rozwiązaie w obszarze est otrzymywae a podstawie astępuące tożsamości całowe: u( x) = ν w { ˆ U ( x ν p ( ν = ν w < w < w < w P ˆ ( x ν u ( ν } J ( v ) p w dνdw { x x } x (7) x oraz ν v < ν l =.... W (7) fuce podcałowe są przedstawiae za pomocą astępuących wzorów: t ( ) t ( ) t ( ) ˆ * U ( x v = ˆ * r + r + r t t t P ( ) 0.5 x νw = t 4 π t t (8).5 [ r + r + r ] 4 π [ r + r + r ] t () gdzie x { x x x } to współrzęde putów w obszarze oraz r = x P ( v t () t () r = x P ( v ) i r = x P ( v ) w tórych to rówież brzeg est zdefiioway w w aalogiczie a w (5). Do rozwiązywaia PURC dla zagadień trówymiarowych uogólioo metodę pseudospetralą [] stosowaą uż wcześie w przypadu zagadień płasich. W przypadu

4 9 E. ZIENIUK K. SZERSZEŃ rozwiązywaia prezetowaych zagadień brzegowych iezwyle ważym problemem est opracowaie efetywego i doładego sposobu obliczaia poawiaących się w matematycze formule PURC całe powierzchiowych. Zostało to zrealizowae poprzez wprowadzeie wadratur tróątych wyższego rzędu. Niezwyle cea oazała się w tym przypadu publiaca [4] w tóre wyprowadzoo wadratury tróąte w masymalą liczbą współczyiów = 75. W przypadu gdy l = w formule () poawia się oieczość obliczeia całe osobliwych. Zostało to zrealizowae poprzez wydzieleie putu osobliwego poprzez podział loale płaszczyzy odwzorowaia v w a płaszczyzy sładowe a astępie a zastosowaiu do płaszczyz sładowych sposobów całowaia a w przypadu całe regularych z wyorzystaiem wadratury tróąte wysoiego rzędu prezetowae w pracy [4]. 4. BADANIA TESTOWE 4.. Zdefiiowaie problemu Na bazie przytoczoych wzorów matematyczych opracowao paiet oprogramowaia dla PURC tóry pratyczie został przetestoway a przedstawioym poiże przeładzie testowym. W przyładzie tym rozpatrywao stacoary opływ edostowe uli cieczą dosoałą w ieruu OX. Rys.. Stacoary opływ edostowe uli cieczą dosoałą w ieruu OX Zae est rozwiązaie aalitycze ta postawioego problemu w tórym potecał prędości rozpatrywaego opływu opisyway est astępuącą zależością [5]: a φ = U r cosθ + (9) r przy czym U ozacza prędość apływu R est promieiem ul atomiast r promieiem wodzącym putu w tórym est wyzaczay potecał prędośc zaś θ ątem pomiędzy ieruiem apływu i promieiem wodzącym. 4.. Aaliza efetywości modelowaia brzegu oraz uzysaych rozwiązań umeryczych w PURC oraz MEB Rozwiązaie umerycze zdefiiowaego zagadieia przepływowego otrzymao a bazie propoowaego modelowaia brzegu wompoowaego w PURC oraz lasycze MEB.

5 TRÓJKĄTNE PŁATY POWIERZCHNIOWE W MODELOWANIU GŁADKIEJ 9 a) b) c) Rys.. Modelowaie sfery: a) 8 płatami Béziera b) 8 oraz c) 5 tróątymi elemetami brzegowymi w MEB Na rys. a przedstawioo sferę bezpośredio wyreowaą a bazie propoowaych i szczegółowo omówioych uż w rozdziale. tróątych płatów Béziera. Prezetoway sposób modelowaia sfery płatami tróątymi zaczerpięto wprost z grafii omputerowe. Zadae współrzęde 5 putów otrolych dla edego z ośmiu sładowych płatów stopia 4. zestawioo poiże [6]: P 00 P α 0 P β β 0 P α 0 P 00 P P 0 0 P P 0 { } { } { } { } { } { 0 α} P { γ γ } P { γ γ } P { 0 α} 0 { 0 β β} P { γ γ } P { β 0 β} 0 { 0 α } P { α 0 } 0 { 00 } gdzie α = ( ) / β = ( +) / γ ( 5 )( 7 ) / 46 (0) =. Po połączeiu zewętrzych rawędzi poszczególych płatów uformowao zamiętą powierzchię sfery. Wyreoway model sfery wymagał zadaia ogóle liczby 56 putów otrolych. Ta modelowaa sfera będzie w dalszych rozważaiach reprezetowała geometrię obliczaego w PURC zagadieia brzegowego a styu ciała i cieczy z putu 4.. Należy podreślić wysoą doładość odwzorowaia ształtu prezetowae geometrii w odiesieiu do ideale sfery. Błąd taiego odwzorowaia wyrażoy ao różica pomiędzy promieiem wodzącym putu a ta uształtowaym płacie Béziera oraz promieiem edostowe sfery dla czterech przeroów z rys. 4a przedstawioo a wyresie z rys. 4b. a) b) Rys. 4. Różica pomiędzy promieiem wodzącym putu a płacie Béziera oraz promieiem edostowe sfery wyzaczoa dla czterech przeroów płata

6 94 E. ZIENIUK K. SZERSZEŃ Obliczeia porówawcze MEB zrealizowao a podstawie dołączoego do pozyci [] paietu oprogramowaia BEMLIB. W przypadu rozwiązań MEB dooao dysretyzaci sfery z użyciem 6-węzłowych tróątych elemetów brzegowych. Dwa z trzech rozpatrywaych wariatów dysretyzaci sfery w MEB z podziałem odpowiedio a 8 oraz 5 tróąte elemety brzegowe przedstawioo a rys. bc. W przeprowadzoe poiże aalizie zweryfiowao poprawość stworzoego odu PURC oraz zbadao zgodość uzysiwaych wyiów z rozwiązaiem doładym (9). Poadto oceioo efetywość taiego modelowaia w stosuu do MEB zarówo pod względem zbieżości rozwiązań a rówież złożoości modelowaia trówymiarowe geometrii obszaru oraz złożoości obliczeiowe wyrażoe liczbą rozwiązywaych rówań algebraiczych. Szczegółowe rezultaty aalizy porówawcze zestawioo w tabeli. Tabela. Porówaie uzysaych rozwiązań umeryczych w PURC oraz MEB PURC MEB Liczba daych opisuących brzeg Liczba rozwiązywaych rówań Błąd rozwiązań a a miara błędów a podstawie ormy L a zbiorze 400 putów pomiarowych Globalą oceę doładości rozwiązań zrealizowao a podstawie miary błędów z wyorzystaiem ormy L. Przeaalizowao w tym przypadu rezultaty w PURC oraz MEB uzysae w 400 putach pomiarowych w obszarze przepływu i odiesioe do wartości aalityczych (9). Należy podreślić że w przypadu propoowaego podeścia uzysao rozwiązaia obarczoe mieszym błędem (olumy ) w porówaiu z MEB. Rozdzieleie aprosymaci brzegu od fuci brzegowych w formalizmie matematyczym PURC powodue że poprawa doładości rozwiązań przy rozwiązywaiu więsze liczby rówań algebraiczych ie zmieia same delarowae płatami powierzchiowymi geometrii. Stąd też wzrost liczby rozwiązywaych rówań algebraiczych z 48 a 7 w PURC ie wymagał aieolwie modyfiaci w modelowae 8 płatami Béziera geometrii brzegu z rys. a. W przypadu MEB poprawa doładości rozwiązań była bezpośredio związaia ze wzrostem liczby elemetów brzegowych oraz delaruących e węzłów. W obliczeiach wprowadzoo trzy wariaty dysretyzaci sfery z liczbą węzłów rówą odpowiedio oraz 06 (olumy 4-6). Należy podreślić że awet przy delaraci 06 węzłów siati MEB oraz wygeerowaym uładzie 06 rówań algebraiczych rozwiązaia umerycze w MEB obarczoe były więszym błędem iż w PURC (oluma 6). Poiże przedstawiao szczegółową wizualizacę zarówo poszuiwaego pola przepływu a rówież błędów rozwiązań umeryczych w PURC oraz MEB a bazie warstwic błędu względego wartości potecału prędości.

7 TRÓJKĄTNE PŁATY POWIERZCHNIOWE W MODELOWANIU GŁADKIEJ 95 a) b) c) d) e) f) Rys. 5. Przestrzey opływ uli dla y = 0 : a) potecał prędośc warstwice błędu względego potecału prędości w PURC po rozwiązaiu: b) 48 oraz c) 7 rówań w MEB po rozwiązaiu: d) 66 e) 58 f) 06 rówań Należy zauważyć dużą zgodość rozwiązań w PURC oraz MEB z rozwiązaiem doładym (9) w całym rozpatrywaym obszarze. 5. WNIOSKI W prezetowae pracy zastosowao zae z grafii omputerowe tróąte płaty powierzchi Béziera do modelowaia trówymiarowego ształtu brzegu w zagadieiach

8 96 E. ZIENIUK K. SZERSZEŃ ustaloego przepływu cieczy ideale. Cel te został zrealizoway dzięi połączeiu taiego sposobu defiiowaia brzegu z istieącym PURC. Aaliza rozwiązań umeryczych potwierdza efetywość propoowae strategii postępowaia zarówo a poziomie modelowaia geometrii brzegu poprzez zmieszeie liczby daych modeluących brzeg a rówież a poziomie doładości uzysaych rozwiązań w porówaiu z MEB. Płatów tróątych Béziera ie ależy w żade sposób utożsamiać z elemetami brzegowymi w MEB z trzech podstawowych powodów: ) est ich zacząco mie iż w MEB i są oe bezpośredio aalityczie wompoowae w PURC ) rozwiązaia w PURC a brzegu otrzymywae są w postaci szeregów (fuci) a ie w oretych putach brzegowych a w MEB ) przy doładym zamodelowaiu brzegu poprawiaie doładości rozwiązań est iezależe od liczby płatów Béziera. Dlatego też w celu poprawy doładośc a rówież sprawdzeia zbieżości rozwiązań ie ależy dzielić brzegu a więszą liczbę tradycyych elemetów brzegowych w pratyce wymuszaąc poową dysretyzacę brzegu w MEB co est szczególie uciążliwe w przypadu zagadień przestrzeych. Dodatową zaletą płatów Béziera bezpośredio wompoowaych w PURC est łatwość zapewieia ciągłości brzegu a rawędziach ich łączeia. Jest to cecha bardzo waża szczególie w przypadu rozwiązywaia zagadień przepływowych poieważ aczęście ciała te są o powierzchi gładie i rzywoliiowe. LITERATURA. Gottlieb D. S.A. Orszag: Numerical Aalysis of Spectral Methods: Theory ad Applicatios. SIAM Philadelphia Kicia P.: Podstawy modelowaia rzywych i powierzchi. Warszawa : WNT Pozriidis C.: A Practical Guide to Boudary-Elemet Methods with the SoftwareLibrary BEMLIB. Chapma & Hall/CRC Press Wadzura S. Xiao H.: Symmetric Quadrature Rules o a Triagle. Computers ad Mathematics with Applicatios 00 (45) p Wag J. Joseph D.D.: Potetial Flow of a Secod-Order Fluid over a Sphere or a Ellipse. Joural of Fluid Mechaics p Yog-Qig L. Yig-Li K. Wei-Shi L.: Termiatio Criterium for Subdidisio of Triagular Bézier Patch. Computer ad Graphics 00 6 p Zieiu E. Szerszeń K.: Modelowaie ształtu brzegu biubiczymi płatami Béziera w wielospóych potecalych zagadieiach brzegowych Zeszyty Nauowe Katedry Mechaii Stosowae Politechii Śląsie 005 r 9 s TRIANGULAR PATCHES IN MODELING OF SMOOTH BOUNDARY SURFACE IN PIES FOR PROBLEMS OF POTENTIAL FLOW OF A PERFECT FLUID Summary. This paper is a attempt to model the surface of the boudary at the iterface betwee solid ad fluid domais for flow problems i D usig commoly used i computer graphics parametric triagular Bézier patches. The discussed way to model this type of boudary seems to be a competitive approach i relatio to the existig practice of geeratig complex ad labour-itesive grids ow from MEB. This obective seems to be possible to achieve through a combiatio of the preseted boudary modellig techique with existig ad tested i detail earlier coceptio of parametric itegral equatio system (PIES) maily for D problems.