ef 3 (dziedzina, dziedzina naturalna) Niech f : A R, gdzie A jest podzbiorem płaszczyzny lub przestrzeni Zbiór A nazywamy dziedziną funcji f i oznacza

Transkrypt

1 FUNKCJE WÓCH I TRZECH ZMIENNYCH (było w semestrze II) ef 1 (funcja dwóch zmiennych) Funcją f dwóch zmiennych oreśloną na zbiorze A R o wartościach w R nazywamy przyporządowanie ażdemu puntowi ze zbioru A doładnie jednej liczby rzeczywistej Wartość funcji f w puncie ( oznaczany przez f( Funcję taą oznaczmy przez f : A R lub z=, gdzie ( A Rys 1 Ilustracja do definicji funcji dwóch zmiennych ef (funcja trzech zmiennych) Funcją f trzech zmiennych oreśloną na zbiorze A R 3 o wartościach w R nazywamy przyporządowanie ażdemu puntowi ze zbioru A doładnie jednej liczby rzeczywistej Wartość funcji f w puncie (y,z) oznaczany przez f(y,z) Funcję taą oznaczmy przez f : A R lub w= y, z), gdzie (y,z) A Rys Ilustracja do definicji funcji trzech zmiennych

2 ef 3 (dziedzina, dziedzina naturalna) Niech f : A R, gdzie A jest podzbiorem płaszczyzny lub przestrzeni Zbiór A nazywamy dziedziną funcji f i oznaczamy przez f Jeżeli dany jest tylo wzór oreślający funcję, to zbiór tych puntów płaszczyzny (przestrzeni), dla tórych wzór ten ma sens, nazywamy dziedziną naturalną funcji ef 4 (wyres i poziomica funcji dwóch zmiennych) Wyresem funcji f dwóch zmiennych nazywamy zbiór: 3 ( y, z) R : ( f, z = { } oziomicą wyresu funcji f, odpowiadającą poziomowi h R, nazywamy zbiór: ( f : = h { } Rys 3 oziomica wyresu funcji f odpowiadająca poziomowi h Fat 5 (wyresy ważniejszych funcji dwóch zmiennych) 1 Wyresem funcji z = Ax+ By+ C jest płaszczyzna o wetorze normalnym n = ( A, B,1) przechodząca przez punt (0,0,C) Wyresem funcji z = a( x + y ) jest paraboloida obrotowa, tj powierzchnia powstała z obrotu paraboli z = ax woół osi Oz 3 Wyresem funcji z = x + jest stoże, tj powierzchnia powstała z obrotu półprostej z = x dla x 0 woół osi Oz 4 Wyresem funcji y z = ± R ( x + y jest górna (+) lub dolna (-) półsfera o środu w początu uładu współrzędnych i promieniu R 5 Wyresem funcji z = x y jest siodło )

3 z = x y Fat 6 (przesunięcia i odbicia wyresów funcji) 1 Wyres funcji z = f ( x a, y b) + c powstaje z wyresu funcji z= przez przesunięcie o wetor v = ( a, b, c) Wyres funcji z = powstaje z wyresu funcji z= przez symetrię względem płaszczyzny xoy

4 Rys 4 rzesunięcie wyresu funcji o wetor v= ( a, b, c) Rys 5 Odbicie wyresu funcji względem płaszczyzny xoy WYKŁA 1: CAŁKI OWÓJNE 1 CAŁKI OWÓJNE O ROSTOKCIE Oznaczenia w definicji całi po prostoącie: = {(: a x b, c y d} prostoąt na płaszczyźnie; = { 1,,, n } podział prostoąt na prostoąty, 1 n, przy czym prostoąty podziału całowicie wypełniają ten prostoąt i mają parami rozłączne wnętrza; x, y wymiary prostoąta, 1 n; d = ( x ) + ( y ) - długość przeątnej prostoąta, 1 n; δ() = max{d : 1 n } średnica podziału ; Ξ = {( x 1, y1 ),( x, y ),, ( x n, yn )}, gdzie ( x, y ), 1 n zbiór puntów pośrednich podziału Rys 1 odział prostoąta = [a,b] [c,d] ef 11 (cała podwójna po prostoącie) Niech funcja f będzie ograniczona na prostoącie Całę podwójną z funcji f po prostoącie definiujemy wzorem: dxdy = lim δ ( ) 0 = 1 def n f ( x, y )( x )( y ), o ile granica po prawej stronie znau równości istnieje oraz nie zależy od sposobów podziału prostoąta, ani od sposobów wyboru puntów pośrednich Ξ Mówimy wtedy, że funcja f jest całowalna na prostoącie

5 Uwaga Całę podwójną z funcji f po prostoącie oznaczamy też symbolem d Cała podwójna po prostoącie jest naturalnym uogólnieniem całi z funcji jednej zmiennej po przedziale Fat 1 (o całowalności funcji ciągłych) Funcja ciągła na prostoącie jest na nim całowalna Tw 13 (o liniowości całi) Jeżeli funcje f i g są całowalne na prostoącie oraz c R, to: a) funcja f + g jest całowalna na prostoącie oraz + g( dxdy= dxdy+ g( dxdy ; ( ) b) funcja cf jest całowalna na prostoącie oraz c dxdy= c Tw 14 (o addytywności całi względem obszaru całowania) Niech funcja f będzie całowalna na prostoącie Wtedy dla dowolnego podziału prostoąta na prostoąty 1, o rozłącznych wnętrzach funcja f jest całowalna na tych prostoątach oraz dxdy= dxdy + 1 Tw 15 (o zamianie całi podwójnej na całi iterowane) Niech funcja f będzie ciągła na prostoącie = {(: a x b, c y d} Wtedy b d d b dxdy = dy dx = dx dy a c c a Uwaga Całi występujące w tezie powyższego twierdzenia nazywamy róto całami iterowanymi funcji f po prostoącie Będziemy pisali umownie zamiast odpowiednio b b a a d c d c dx dy i dy dx, d b ( i f dx f dy dx d c c a b a ( dy Fat 16 (cała z funcji o rozdzielonych zmiennych) Jeżeli 1 funcja g jest ciągła na przedziale [a,b], funcja f jest ciągła na przedziale [c,d], to b d g ( dxdy = g( dx dy, a c gdzie = [a,b] [c,d]

6 CAŁKI OWÓJNE O OBSZARACH NORMALNYCH ef 1 (cała podwójna po obszarze) Niech funcja f będzie funcją ograniczoną na obszarze ograniczonym R oraz niech będzie dowolnym prostoątem zawierającym obszar onadto niech f * oznacza rozszerzenie funcji f na R oreślone wzorem: dla ( = 0 dla ( R \ Całę podwójną funcji f po obszarze definiujemy wzorem: def f dxdy= ( dxdy, o ile cała po prawej stronie znau równości istnieje Mówimy wtedy, że funcja f jest całowalna na obszarze Uwaga Cała f ( dxdy nie zależy od wyboru prostoąta ef (obszary normalne względem osi uładu) a) Obszarem normalnym względem osi Ox nazywamy zbiór {( : a x b, g( y }, gdzie funcje g i h są ciągłe na [a,b] oraz g( < dla ażdego x (a,b) b) Obszarem normalnym względem osi Oy nazywamy zbiór {( : c y d, p( x q( }, gdzie funcje p i q są ciągłe na [c,d] oraz p( < q( dla ażdego y (c,d) Rys 1 Obszar normalny względem osi Ox Rys Obszar normalny względem osi Oy Tw 3 (całi iterowane po obszarach normalnych) a) Jeżeli funcja f jest ciągła na obszarze normalnym = {( : a x b, g( y }, to b dxdy = dy dx a g ( b) Jeżeli funcja f jest ciągła na obszarze normalnym = {( : c y d, p( x q( }, to d q( dxdy = dx dy c p(

7 Uwaga Całi iterowane: b d q( f x y dy dx (, ), a g ( dx dy c p( będziemy zapisywali umownie odpowiednio w postaci: b dx dy, a g ( d c q( dy dx ef 4 (obszar regularny na płaszczyźnie) Sumę sończonej liczby obszarów normalnych (względem osi Ox lub O o parami rozłącznych wnętrzach nazywamy obszarem regularnym na płaszczyźnie Fat 5 (cała po obszarze regularnym) Niech obszar regularny będzie sumą obszarów normalnych 1,,, n o parami rozłącznych wnętrzach oraz niech funcja f będzie całowalna na obszarze Wtedy dxdy= dxdy+ dxdy+ p( + 1 Uwaga Całi po obszarach regularnych mają te same własności, co całi po prostoątach (liniowość, addytywność względem obszaru całowania) ef 6 (cała podwójna z funcji wetorowej) Niech funcje, Q będą całowalne na obszarze regularnym R Całę z funcji wetorowej F= (, Q) po obszarze oreślamy wzorem: def F ( dxdy = ( dxdy, Q( dxdy Uwaga odobnie definiuje się całę po obszarze z funcji wetorowej postaci: F ( = (, Q(, R( ( ) Tw 7 (o całowaniu funcji nieciągłych) Jeżeli 1 funcja f jest całowalna na obszarze regularnym, funcja ograniczona g porywa się z funcją f poza sończoną liczbą rzywych, tóre są wyresami funcji ciągłych postaci y = p( lub x = q(, to funcja g jest całowalna na oraz g ( dxdy = ef 8 (wartość średnia funcji na obszarze) Wartością średnią funcji f na obszarze nazywamy liczbę: def 1 f śr= dxdy, gdzie oznacza pole obszaru Tw 9 (o wartości średniej dla całe podwójnych) Niech funcja f będzie ciągła na obszarze normalnym Wtedy n

8 = f x, y ) ( x0, y0 ) f śr ( ZAMIANA ZMIENNYCH W CAŁKACH OWÓJNYCH ef 31 (współrzędne biegunowe) ołożenie puntu na płaszczyźnie można opisać parą liczb (ϕ,ρ), gdzie: ϕ - oznacza miarę ąta między dodatnią częścią osi Ox a promieniem wodzącym puntu, 0 ϕ< π albo π < ϕ π ; ρ - oznacza odległość puntu od początu uładu współrzędnych, 0 ρ < Fat 3 (zależność między współrzędnymi biegunowymi i artezjańsimi) Współrzędne artezjańsie ( puntu płaszczyzny danego we współrzędnych biegunowych (ϕ,ρ) oreślone są wzorami: x = ρ cosϕ B : y = ρ sinϕ Rys 31 Ilustracja do wzorów na przejście od współ-rzędnych biegunowych do artezjańsich Tw 33 (współrzędne biegunowe w całce podwójnej) Niech 1 obszar U będzie oreślony we współrzędnych biegunowych wzorem: U= {( ϕ, ρ) : α ϕ β, g( ϕ) ρ ϕ) }, gdzie funcje g i h są ciągłe na przedziale [α,β] [0,π], funcja f będzie ciągła na obszarze, tóry jest obrazem obszaru U przy przeształceniu biegunowym, = B(U) Wtedy β ϕ ) dxdy = f ( ρ cosϕ, ρ sin ϕ) ρdρdϕ = f ( ρ cosϕ, ρ sin ϕ) ρdρ dϕ U α g ( ϕ ) Uwaga Całę iterowaną β ϕ ) f ( ρ cosϕ, ρ sin ϕ) ρdρ dϕ α g ( ϕ ) będziemy zapisywali umownie w postaci β α ϕ ) d ϕ f ( ρ cosϕ, ρ sin ϕ) ρdρ g ( ϕ ) 4 ZASTOSOWANIA CAŁEK OWÓJNYCH Fat 41 (zastosowania w geometrii) 1 ole obszaru R wyraża się wzorem:

9 = dxdy Objętość bryły V położonej nad obszarem R i ograniczonej powierzchniami z = d( i z = g( (rys 41), wyraża się wzorem: V = g( d( [ ] 3 ole płata Σ, tóry jest wyresem funcji z = f(, gdzie ( (rys 4), wyraża się wzorem: f f Σ = x y Załadamy tu, że funcja f ma ciągłe pochodne cząstowe pierwszego rzędu na obszarze Rys 41 Rys 4 Fat 4 (zastosowania w fizyce) 1 Masa obszaru o gęstości powierzchniowej masy σ wyraża się wzorem: M σ ( = Momenty statyczne względem osi Ox i Oy obszaru o gęstości powierzchniowej masy σ wyrażają się wzorami: MS y ( dxdy MS = xσ ( X = σ, Y 3 Współrzędne środa masy obszaru o gęstości powierzchniowej masy σ wyrażają się wzorami: MS x = Y C M, MS y = X C M 4 Momenty bezwładności względem osi O Oy oraz puntu O obszaru o gęstości powierzchniowej masy σ wyrażają się wzorami: I y ( dxdy I = x σ ( dxdy X = σ, Y I 0= ( x + y ) σ ( arcie na jedną stronę płasiej płyti zanurzonej pionowo w cieczy o ciężarze właściwym γ wyraża się wzorem: = γ y

10 6 Natężenie pola eletrycznego induowane w puncie r 0 przez ładune eletryczny o gęstości powierzchniowej ładunu σ, rozłożony w sposób ciągły na obszarze, wyraża się wzorem: 1 ( r0 r ) σ ( r ) E = d 3 4, πε 0 r r0 gdzie r= (, a ε 0 oznacza przenialność eletryczną próżni 7 Siła przyciągania grawitacyjnego masy m supionej w puncie r 0 przez obszar o gęstości powierzchniowej masy σ wyraża się wzorem: ( r0 r ) σ ( r ) F = Gm d, 3 r r0 gdzie r= (, a G oznacza stałą grawitacji 8 Energia inetyczna obszaru o gęstości powierzchniowej masy σ, obracającego się z prędością ątową ω woół osi Oy, wyraża się wzorem: ω E = x σ ( Uwaga Wzór na natężenie pola grawitacyjnego jest analogiczny do wzoru na natężenie pola eletrycznego Wzór na siłę przyciągania pochodzącą od ładunów eletrycznych jest analogiczny do wzoru na siłę przyciągania grawitacyjnego Wzory te są prawdziwe taże dla obszarów płasich położonych w przestrzeni Wtedy przyjmujemy r 0= ( x0, y0, z0 ) oraz r= ( y,0) Fat 43 (środi masy obszarów symetrycznych) 1 Gdy obszar na płaszczyźnie ma środe symetrii i gęstość powierzchniowa jest funcją symetryczną względem tego środa (np jest stała), to środe masy obszaru porywa się z jego środiem symetrii Gdy obszar na płaszczyźnie ma oś symetrii i gęstość powierzchniowa jest funcją symetryczną względem tej osi (np jest stała), to środe masy obszaru leży na tej osi Fat 44 (I reguła Guldina) Niech S będzie figurą ograniczoną zawartą w półpłaszczyźnie Objętość bryły V powstałej z obrotu figury S woół rawędzi półpłaszczyzny wyraża się wzorem: V= πr S, gdzie r C oznacza odległość środa masy figury S od osi obrotu, a S oznacza pole tej figury Fat 45 (II reguła Guldina) Niech L będzie rzywą ograniczoną zawartą w półpłaszczyźnie ole powierzchni Σ powstałej z obrotu rzywej L woół rawędzi półpłaszczyzny wyraża się wzorem: Σ = πr C L, gdzie r C oznacza odległość środa masy rzywej L od osi obrotu, a L oznacza długość tej rzywej C