ZASTOSOWANIE METODY ZBIORÓW POZIOMICOWYCH W IMPEDANCYJNEJ TOMOGRAFII KOMPUTEROWEJ

Transkrypt

1 Tomasz RYMARCZYK, Stefa F. FILIPOWICZ ZASTOSOWANIE METODY ZBIORÓW POZIOMICOWYCH W IMPEDANCYJNEJ TOMOGRAFII KOMPUTEROWEJ STRESZCZENIE Praca przedstawia idetyfiację iezaego ształtu obszaru w tomografii omputerowej przy uŝyciu fucji zbiorów poziomicowych. Algorytm reostrucji obrazu został oparty a odpowiedim połączeiu metody zbiorów poziomicowych i metody elemetów sończoych. W procesie iteracyjym za pomocą metody zbiorów poziomicowych dooao reprezetacji ształtu brzegu i jego ewolucji. W olejych roach iteracyjych rozwiązywao rówaie Laplace a dla całego badaego obszaru wyorzystując metodę elemetów sończoych. Słowa luczowe: Metoda zbiorów poziomicowych, zagadieie odwrote, impedacyja tomografia omputerowa 1. WSTĘP W pracy przedstawioo metodę rozwiązaia zagadieia odwrotego w tomografii impedacyjej [1,8] opartą a idei zbiorów poziomicowych (ag. Level Set Method) [3,4,5]. Za pomocą tej metody, w procesie iteracyjym mgr iŝ. Tomasz RYMARCZYK tomasz@rymarczy.com Istytut Eletrotechii prof. dr hab. iŝ. Stefa F. FILIPOWICZ Istytut Eletrotechii, Politechia Warszawsa PRACE INSTYTUTU ELEKTROTECHNIKI, zeszyt 38, 008

2 86 T. Rymarczy, S.F. Filipowicz dooaa została reprezetacja ształtu brzegu i jego ewolucja []. Wartości odutywości ustalao przy uŝyciu metody elemetów sończoych. Rozład potecjału otrzymywao rozwiązując rówaie Laplace a dla całego rozpatrywaego obszaru. Algorytm umeryczy rozwiązaia jest odpowiedią ombiacją metody zbiorów poziomicowych i metody elemetów sończoych.. METODA ZBIORÓW POZIOMICOWYCH Metoda zbiorów poziomicowych jest to techia umerycza, za pomocą tórej moŝa śledzić figury poszuiwaego obietu oraz optymalizować ich ształt. Została oa przedstawioa w 1987 rou przez S. Oshera i J.A. Sethiaa [5]. Podstawową zaletą metody jest moŝliwość wyoywaia obliczeń umeryczych związaych z rzywymi lub płaszczyzami w uładzie artezjańsim bez oieczości ich parametryzowaia. W rozwaŝaiach metody zbiorów poziomicowych (MZP) uwzględiamy pewie obszar Ω posiadający ruchomy brzeg Γ. Brzeg te porusza się z wyzaczoą w olejych roach prędością, tóra moŝe zaleŝeć od pozycji, czasu, ształtu brzegu oraz waruów zewętrzych. Idea zbiorów poziomicowych polega a zdefiiowaiu fucji (, t), tóra reprezetuje poruszający się brzeg (rys. 1). Z Ω z = (, y, t=0) = 0 Y Ω 1 Γ 0 Ω (,t ) = 0 (,t ) < 0 Γ X (,t) > 0 Rys. 1. Zerowy zbiór poziomicowy oraz rozpatryway obszar z iterfejsem, reprezetowaym przez poziomicę zerową. Zbiór poziomicowy fucji posiada pewe charaterystycze własości:

3 Zastosowaie metody zbiorów poziomicowych w impedacyjej tomografii omputerowej 87 (, t ) > 0 for Ω1 (, t ) < 0 for Ω (1) (, t) = 0 dla Ω= Γ( t) Na początu procesu iteracyjego graica brzegu jest reprezetowaa przez zerowy zbiór poziomicowy (ag. zero level set) Γ( t) = { : (, t) = 0}. Przesuwaie brzegu jest rówowaŝe uatualiaiu wartości fucji, poprzez rozwiązaie rówaia Hamiltoa-Jacobiego. RóŜiczując ( ( t), t) = 0 względem t otrzymujemy: = 0 t () gdzie jest prędością brzegu. W rzeczywistości potrzeba jest tylo sładowa ormala prędości, tórą defiiujemy astępująco: = N (3) i podstawiając do rówaia () otrzymujemy: N t = 0 (4) Fucja zbioru poziomicowego moŝe być reprezetowaa przez oreśloe wielości geometrycze: - sładową ormalą N do brzegu Γ (t) N = (5) - rzywizę κ brzegu Γ (t) κ = (6)

4 88 T. Rymarczy, S.F. Filipowicz Uatualiamy wartość fucji (,t) rozwiązując poiŝsze rówaie Hamiltoa-Jacobiego: 1 t = 0 (7) Po przeształceiu powyŝszego rówaia otrzymujemy: 1 = t v (8) Wartość gradietu fucji zbioru poziomicowego w olejych roach iteracyjych moŝa wyzaczyć iterpolacją wielomiaową według schematu ENO (ag. essetially ooscillatory polyomial iterpolatio) [6]. W pierwszej fazie obliczaa jest prędość do brzegu całej domey poprzez rozwiązaie rówaia (). Proces te azyway jest rozszerzeiem prędości. MoŜa to przeprowadzić poprzez rozwiązaie dodatowego rówaia róŝiczowego cząstowego. Jedym ze sposobów rozszerzeia prędości do brzegu jest załoŝeie, Ŝe będzie stała wzdłuŝ ormalej N do rzywej Γ (t). Warue te gwaratuje zachowaie przez ozaczoej fucji odległości. > 0 > < 0 Rys.. Przedział fucji zbioru poziomicowego. Brzeg opisay jest przez. Bezwzględa wartość gradietu rówa się 1, co zapewia umeryczą doładość obliczeń. PoiŜsze rówaie N = 0 (9)

5 Zastosowaie metody zbiorów poziomicowych w impedacyjej tomografii omputerowej 89 sugeruje astępujące rówaie róŝiczowe cząstowe S( ) = 0 (10) t gdzie sig () przyjmuje astępujące wartości -1 dla < 0 S ( ) = 0 dla = 0 (11) 1 dla > 0 Rówaie (10) zostało dysretyzowae za pomocą metody Eulera (ag. forward Euler). Iformacja pochodząca z brzegu obszaru jest waŝą właściwością, tóra musi być wprowadzoa umeryczie w celu zapewieia stabilości rozwiązaia. Tylo wartości, tóre moŝa odieść do brzegu Γ uŝywa się do umeryczej aprosymacji. S ( ) jest wielością stałą w algorytmie umeryczym. Dla potrzeb umeryczych wprowadza się astępującą fucję: S σ ( ) = (1) σ gdzie σ jest parametrem wygładzającym w dysretyzowaym obszarze PoiŜszy wetor ormaly jest obliczay za pomocą cetralych róŝic sończoych: ( ) y = (13) Wartość w węźle a siatce obszaru dwuwymiarowego z jedorodym rozmieszczeiem w ieruu osi i y jest ozaczoa idesami i,j. Współrzęda jest obliczaa za pomocą przediej (ag. forward) róŝicy sończoej i j ( 1, ) ( ij ) D ( ij ) = (14)

6 90 T. Rymarczy, S.F. Filipowicz oraz tyliej (ag. bacward) róŝicy sończoej ij ( ) ( i1, j ) D ( ij ) = (15) Zastosowaie przediej lub tyliej róŝicy sończoej zaleŝy od zau fucji zbioru poziomicowego (rys. 3). Przedie róŝice są wybierae, jeŝeli S ( ) jest ujeme, atomiast tyle róŝice są wybierae dla dodatiej wartości S ( ). > 0 > 0 < 0 > 0 < 0 < 0 < 0 > 0 D D D D Rys. 3. Wybór pomiędzy przedią i tylią róŝicą sończoą zaleŝy od zau wetora ormalego i fucji zbioru poziomicowego. Rówaie (10) przyjmie teraz astępującą postać: ( S ) Dv ( S ) D v 1 σ σ = v t (16) ( Sσ y ) Dy v ( Sσ y ) Dy v idesy i,j w powyŝszym wzorze są pomijae, ( ) = ma(,0 ), ( ) = mi(,0 ) Proces zbiega się szybo tylo bliso obszaru Γ, poiewaŝ iformacja jest przeoszoa z dala od brzegu. Dla powyŝszego schematu warue CFL musi być zachoway. W przypadu, gdy doładość obliczeń jest iewystarczająca stosuje się procedurę reiicjalizacji. Ma to miejsce wtedy, gdy fucja zbioru poziomicowego staje się zbyt płasa lub stroma przy brzegu Γ. W taim przypadu oryguje się ją jest poprzez ozaczoą fucję odległości:

7 Zastosowaie metody zbiorów poziomicowych w impedacyjej tomografii omputerowej 91 = 1 (17) Procedura reiicjalizacji oparta jest a rówaiu róŝiczowym cząstowym (9) i polega a zastąpieiu przez ią fucję, tóra ma tai sam zerowy zbiór poziomicowy, ale lepiej uwaruoway. S( )( 1) = 0 t (18) PowyŜsza fucja jest rozwiązywaa w procesie iteracyjym, aŝ do osiągięcia stau ustaloego. Rówaie (8) rozwiązuje się poprzez rozwiązaie poiŝszego wyraŝeia: 1 = t S ( t S ( ma[( a ma[( a ),( b ),( b ) ] mi[( c ) ] mi[( c ),( d ),( d ) ] 1) ) ] 1) (19) idesy i,j w powyŝszym wzorze są pomijae, ( ) = ma(,0 ), ( ) = mi(,0 ), atomiast a, b, c, d są zdefiiowae astępująco: a= b= c= d = D D D y D y ij ij ij ij Rys. 4. Segmetacja obrazu otrzymaa metodą zbiorów poziomicowych.

8 9 T. Rymarczy, S.F. Filipowicz Reiicjalizacja jest wyoywaa w aŝdym rou iteracji, dlatego Ŝe zmiay a brzegu (iterfejsie) mogą być zbyt gwałtowe. Na rysuu 4 zostały przedstawioe wyii segmetacji obrazu metodą zbiorów poziomicowych. 3. REKONSTRUKCJA OBRAZU Wewętrze obiety opisae są przez fucję zbiorów poziomicowych, tóra jest dysretyzowaa a stałej siatce artezjańsiej [9]. Załadaa jest liiowość pomiędzy putami siati. Dodatowo obliczoe są puty a liiach siati. Puty te są połączoe ze sobą, tworząc wieloąt. Fucja celu jest zdefiiowaa jao średiowadratowa wartości błędu reostrucji odiesioa do wetora apięć międzyeletrodowych. Dla pojedyczego rou iteracyjego, sładi te przedstawia się ja poiŝej: Φ (0) 1 = 0.5( f v0 ) Schemat działaia algorytm reostrucji: 1. Iicjujemy zbiór poziomicowy fucji obejmujący iezay ształt (w olejych roach iteracyjych wyoywaa jest dalsza część algorytmu, dla =0,1, ).. Rozwiązujemy rówaie Laplace a w badaym obszarze w olejym rou iteracyjym. 3. Obliczamy róŝicę pomiędzy wartością apięcia obliczoą, a pomierzoą. 4. Rozwiązujemy rówaie Poissoa (rówaie sprzęŝoe do rówaia stau). 5. Wyzaczamy sładową ormalą prędości do brzegu. 6. Rozszerzamy prędość do obszaru obliczeiowego. 7. Uatualiamy fucję zbioru poziomicowego. Sprawdzamy warue zbieŝości. JeŜeli ryterium zbieŝości jest zadawalające, to ończymy proces, w przeciwym wypadu wzawiamy procedurę z iego początowego poziomu brzegu (rzywej). Na rysuu 5 zostały przedstawioe wyii ostrucji obrazu tomograficzego przy uŝyciu metody zbiorów poziomicowych.

9 Zastosowaie metody zbiorów poziomicowych w impedacyjej tomografii omputerowej 93 Rys. 5. Model i reostrucja obrazu tomograficzego z wyorzystaiem metody zbiorów poziomicowych. Przedstawioa metoda reostrucji idetyfiuje iezay ształt. Algorytm reostrucji obrazu został oparty a odpowiedim połączeiu metody zbiorów poziomicowych i metody elemetów sończoych. W procesie iteracyjym za pomocą metody zbiorów poziomicowych dooao reprezetacji ształtu brzegu i jego ewolucji. W olejych roach iteracyjych zostało rozwiązae rówaie Laplace a dla całego badaego obszaru za pomocą metody elemetów sończoych. Obraz został zidetyfioway przy rozdzielczości obliczeń Fucja celu osiągęła swoje miimum po 5 iteracjach. Koleje obliczeia zostaą wyoae dla wariatów z iloma obietami umieszczoymi wewątrz rozpatrywaego obszaru oraz przy róŝej siatce dysretyzacji. LITERATURA 1. Filipowicz S.F., Rymarczy T.: Tomografia Impedacyja, pomiary, ostrucje i metody tworzeia obrazu. BelStudio, Warsaw Filipowicz S.F., Rymarczy T., Siora: J. Level Set Method for iverse problem solutio i electrical impedace tomography. XII ICEBI & V EIT Coferece. Gdańs Ito K., Kuish K., Li Z.: The Level-Set Fuctio Approach to a Iverse Iterface Problem. Iverse Problems, Vol. 17, No. 5, October, 001, pp Osher S., Fediw R.: Level Set Methods ad Dyamic Implicit Surfaces. Spriger, New Yor Osher S., Sethia J.A.: Frots Propagatig with Curvature Depedet Speed: Algorithms Based o Hamilto-Jacobi Formulatios. Joural of Computatioal Physics 79, pp. 1-49, Osher, S., Fediw, R.: Level Set Methods: A Overview ad Some Recet Results. Joural of Computatioal Physics 169, , Sethia J.A.: Level Set Methods ad Fast Marchig Methods. Cambridge Uiveristy Press 1999.

10 94 T. Rymarczy, S.F. Filipowicz 8. Siora J.: Algorytmy umerycze w tomografii impedacyjej i wiroprądowej. WPW, Warszawa Zhao, H.-K., Osher, S. ad Fediw, R.: Fast Surface Recostructio usig the Level Set Method. 1st IEEE Worshop o Variatioal ad Level Set Methods, i cojuctio with the 8th Iteratioal Coferece o Computer Visio (ICCV), Vacouver, Caada, pp , 001. Ręopis dostarczoo dia r. Opiiował: prof. dr hab. iŝ. Ja SIKORA USING LEVEL SET METHODS IN ELECTRICAL IMPEDANCE TOMOGRAPHY Tomasz RYMARCZYK, Stefa F. FILIPOWICZ ABSTRACT This paper presets the applicatios of the level set fuctio for idetificatio the uow shape of a iterface motivated by Electrical Impedace Tomography (EIT). The iverse problem of EIT ca be formulated as follows: give the set of electrode potetials applied to the domai boudary as a iput, ad set of measured values of electrode-to-electrode voltages as output. A ew approach was adopted based o a cotiuous approimatio of material coefficiet distributio usig a combiatio of the level set methods ad the fiite elemet method. The represetatio of the shape of the boudary ad its evolutio durig a iterative recostructio process is achieved by the level set method. The shape derivatives of this problem ivolve the ormal derivative of the potetial alog the uow boudary. The coductivity values i differet regios are determied by the fiite elemet method.