Stan naprężenia. Przykład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić siły masowe oraz obciążenie brzegu tarczy jeśli stan naprężenia wynosi:

Transkrypt

1 Stan naprężenia Przkład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić sił masowe oraz obciążenie brzegu tarcz jeśli stan naprężenia wnosi: 5 T σ. 8 Składowe sił masowch obliczam wkonując różniczkowanie zapisane w równaniach równowagi wewnętrznej Naviera, σ τ + + P P 0 P σ ij, j + Pi 0 τ σ P 0 P P 0 otrzmując: P (, 0) Statczne warunki brzegowe q σ n + τ n q i σ i j n j q τ n + σ n rozpisujem kolejno dla ponumerowanch części brzegu tarcz, określając najpierw składowe normalnej zewnętrznej: na ściance 1: n (0, -1), q 0, q -8 na ściance : n (1, 0), q 5, q - na ściance 3: n (-0.8, 0.6), q -4-1., q Wnik przedstawiam graficznie, pamiętając, że znak dodatni wektora oznacza zgodność jego zwrotu ze zwrotem odpowiedniej osi układu współrzędnch q n q n 8 8 Sprawdzenie równowagi globalnej tarcz: ΣX0{ścianka 1}+5 4{ścianka }+0,5 (-8,8-4) 5{ścianka 3}+ 0,5 3 4{P F}3-30 ΣY-8 3{ścianka 1}-0,5 8 4{ścianka }+0,5 (4,8+11,) 5{ścianka 3}+0{P F} ΣM O ,5{ścianka 1} , {ścianka } ,5 4,8 5 /3 4+4,8 5 1,5+0,5 6,4 5 {ścianka 3}- 0, /3 4{moment od sił masowch} Przkład : Przestrzenn stan naprężenia Dana jest macierz naprężenia oraz wektor normalnej zewnętrznej do brzegu ciała. Określić wektor obciążenia i jego składowe: normalną i stczną T σ MPa, n(,3,) 100 Określić rzut wektora naprężenia na kierunki wersorów v 1(0, ,0.830), v (0.8745,0.4036,0.691). Wniki obliczeń zilustrować rsunkiem. wersor normalnej: n ( ,0.776, )

2 wektor obciążenia: qi σ ij n j, co rozpisujem: A. Zaborski, Analiza stanu naprężenia q n + τ n + τ znz, q τ n + σ n + τ z nz, q q q z q z zn + zn σ τ τ + σ 00 ( ) ( ) ( ) długość wektora obciążenia: q q + q + qz składową normalną obliczam rzutując wektor obciążenia na kierunek normalnej: σ qi ni q n + q n + qz nz 66.8 ( ) a jego składową stczną z równoległoboku sił: τ q σ Rzut na kierunki wektorów v 1 i v wnoszą odpowiednio: τ 1 q i v i ( ) τ q i v i Wniki obliczeń przedstawiam na rsunku. Ab prawidłowo narsować płaszczznę cięcia, zakładam że przechodzi ona przez punkt nieco przesunięt względem początku układu, np. (1,1,1). Przecina ona osie układu współrzędnch w punktach ( 0,0,0), (0, 0,0), (0,0,z 0 ). Współrzędne punktów znajdziem z warunku ortogonalności wektorów łączącch te punkt z punktem (1,1,1) z wersorem normalnej zewnętrznej, por. rs.: z nz z z 0 n 0 0 ( n, n, nz ) ( n, n, nz ) n + n + nz ( 0 1, 1, n ( 0 n nz 0 0 n n + + nz ( 1, 0 1, n + n ( 0 nz 0 0 n n + n + nz ( n, n, nz ) ( 1, 1, z0 n n + nz ( z0 0 z0. nz skąd: , , z Dobieram kąt widzenia zapewniając widoczność płaszczzn cięcia a odkładając współrzędne wektorów uwzględniam skrót perspektwiczn.

3 z n Przkład 3: Przestrzenn stan naprężenia Dana jest macierz naprężenia. Określić naprężenia i kierunki główne. Obliczć wektor naprężenia na płaszczźnie o zadanej normalnej zewnętrznej n. Obliczć składowe normalną i stczną wektora obciążenia. 5 4 T σ 8 6 n( 1, 1, 7 ) Obliczam niezmienniki podstawowe: I 1 {suma po przekątnej}5+8-76, I {suma podwznaczników} , I 3 {wznacznik z macierz, det(t σ )} 5 ( )+ ( 7-4 6)+4 ( )-656. Równanie sześcienne ma postać: σ 3 6 σ 107 σ pierwiastki tego równania, czli wartości własne (wartości główne, niezmienniki główne, naprężenia główne), wnoszą: σ σ σ Rozwiązujem (programem naprezenia, A. Zaborski) zagadnienie wartości własnch kolejno dla każdego z pierwiastków z osobna, otrzmując wersor kolejnch kierunków własnch (głównch): dla σ 1 : ( , , ) dla σ : ( , , ) dla σ 3 : (0.7731, , ) i w rezultacie macierz przejścia z układu wjściowego do własnego ma postać: a ij gdzie np. kosinus kąta międz osią a 3 wnosi Macierz jest ortogonalna i unormowana (czli ortonormalna), co łatwo sprawdzić. Jednie 3 jej składowe są niezależne. Interpretacja geometrczna. Transformacja wjściowego układu współrzędnch (,, z) do układu własnego polega na złożeniu 3 obrotów względem osi współrzędnch. Zakładając, że obrot są wkonwane w kolejności względem osi z, potem a na końcu względem, obliczam współrzędne wersorów układu wjściowego po transformacji, składając poszczególne transformacje: A(3 wersor) (obrót wzgl.z) (obrót wzgl.) (obrót wzgl.) v

4 czli: cos α sinα cos γ 0 sin γ A sinα cosα 0 0 cos β sin β sin β cos β sin γ 0 cos γ gdzie α, β, γ oznaczają odpowiednie kąt obrotu względem osi, otrzmując: cos α cos γ + sin α sin β sin γ sinα cos β cosα sin γ + sin α sin β cos γ A sinα cos γ + cos α sin β sin γ cosα cos β sinα sin γ + cosα sin β cos γ cos β sin γ sin β cos β cos γ skąd wliczam (np. Matlabem): α (ok ) β (ok ) γ (ok ) Oczwiście zmieniając kolejność obrotów (składania transformacji składowch) otrzmam inne kąt gdż mnożenie macierz nie jest przemienne. 4. Sprawdźm macierz przejścia obliczając transformację z prawa transformacji tensorowej: σ a a σ σ 11 a 1 a 1 σ + a 1 a 1 τ + a 1 a z1 τ z + + a 1 a 1 τ + a 1 a 1 σ + a 1 a z1 τ z + + a z1 a 1 τ z + a z1 a 1 τ z + a z1 a z1 σ zz ( ) [ (-) ] [ (-) ] [ (-7)] {OK.} σ 1 a 1 a σ + a 1 a τ + a 1 a z τ z + + a 1 a τ + a 1 a σ + a 1 a z τ z + + a z1 a τ z + a z1 a τ z + a z1 a z σ zz ( ) [ (-) ] [ (-) ] [ (-7)] {OK.} (itd.) Po obliczeniu wszstkich współrzędnch, otrzmujem macierz naprężenia w postaci diagonalnej: T σ Obliczam wersor płaszczzn cięcia (normujem wektor normalnej zewn.): ( , ,0.880) n ( 1, 1, 7) n 6. Obliczenia w układzie wjściowm (,, z): obliczam wektor obciążenia, w układzie wjściowm (,, z), ze wzoru: ij ik jl kl p σ n, mam: p jego długość wnosi: p Ab obliczć składową normalną wektora, rzucam go na kierunek normalnej, czli zgodnie z interpretacją ilocznu skalarnego jest ona równa ilocznowi skalarnemu wektora i wersora normalnej: σ p n K Składową stczną możem obliczć z dokładnością do znaku z twierdzenia Pitagorasa: τ p σ K Teraz to samo, ale obliczane w układzie głównm (własnm), (1,, 3): n a n , transformujem wersor normalnej zewnętrznej wg wzoru: ( ) obliczam składowe wektora obciążenia: p i ij j i ij j

5 sprawdzam jego długość: p 9.18 (jak poprzednio) i składową normalną: σ p n K (jak poprzednio). Współrzędne wektora różnią się w obu układach, ale długość wektora obciążenia i jego składowe: normalna i stczna, są identczne. Przkład 4: płaski stan naprężenia Dla danego tensora naprężenia w p.s.n. określić naprężenia i kierunki główne T σ σ + σ σ σ Naprężenia główne ze wzorów: σ 1, ± + τ wnoszą: σ , σ σ 1 σ σ σ Kierunki główne: tg α1 α , tgα α τ τ gdzie α 1 jest kątem pomiędz osią układu wjściowego a osią 1 układu głównego (dokładniej: mniejsz z π możliwch), α to kąt pomiędz osią a osią, prz czm: α + α. Macierz przejścia i tensor naprężenia w układzie własnm: a cosα1 sinα ij cosα sinα , T σ Interpretację geometrczną transformacji przedstawia rsunek: Przkład 5: płaski stan naprężenia Dla podanego płaskiego stanu naprężenia, określić wartości własne, kierunki główne i macierz przejścia. Transformację układu zinterpretować graficznie. Rozpisać tensorowe prawo transformacji dla składowch σ 11 i τ 1 tensora w kierunkach głównch i porównać ich wartości z wliczonmi z zagadnienia wartości własnch. Dane: σ 0 MPa, σ -15 MPa, τ - 15 MPa. σ σ + σ σ σ ± + τ σ MPa, σ MPa. 1,, σ σ tan α , α τ macierz przejścia: a1 a a ij a1 a interpretacja graficzna: cosα sinα sinα cosα

6 σ 1 τ σ σ σ 1 z tensorowego prawa transformacji dla p.s.n.: σ 11 a1 σ + a1 σ + a1a1 τ MPa σ 1, σ a a σ + a a σ + a a τ + a a τ Przkład 6: Płaski stan naprężenia Określić podaną macierz naprężenia w układzie obróconm o kąt 30º T σ MPa 40 Jak wiadomo, macierz przejścia zawiera dostaw kierunkowe (cosinus kątów międz osiami) nowego układu zapisane w starm układzie (lub na odwrót: starego układu w nowm). η ζ 30º Z rsunku wnika: czli: Z prawa transformacjnego: σ ij aik a jlσ kl rozpisujem: σ ξ aξσ + aξ aξτ + aξσ σ ζ η cosα -sinα sinα cosα a ij ξη aξaησ + aξ aητ + aξ aητ + aξ aη ση a η η η η σ + a a τ + a σ (gdzie mnożnik prz podkreślonch członach wnika z przemienności mnożenia i smetrii tensora). Po wkonaniu rachunków, otrzmujem: T σ ' Przkład 7: Płaski stan naprężenia Dla podanego tensora naprężenia określić ekstremalne naprężenia stczne i ich kierunki. σ

7 00 T σ Jak widać macierz jest w postaci diagonalnej, co oznacza że zapisana jest w układzie własnm. Ekstremalne naprężenia stczne wrażają się wzorem (dla płaskiego stanu naprężenia jeden wzór): σ 1 σ τ ma 50 Kierunki ekstremalnch naprężeń stcznch są pod kątem 45º do kierunków głównch. Sprawdźm, jak wgląda macierz naprężenia transformowana z postaci diagonalnej do nowego układu obróconego o 45º. Ze wzoru transformacjnego, dla macierz przejścia: a1 a a ij a a znajdujem: σ a 1 σ1 + aσ τ a 1a1σ 1 + a aσ σ a 1 σ1 + aσ Wnik ilustruje rsunek Przkład 8 Statczne warunki brzegowe Kloc drewna o przekroju kołowm płwa w wodzie zanurzon w /3 obwodu. Zapisać statczne warunki brzegowe na obciążonej części pobocznic i denek walca. Jak wiadomo z twierdzenia Pascala, ciśnienie hdrostatczne wod (a tm samm i jej parcie na zanurzone ciało) rośnie liniowo z głębokością, por. rsunek. z α 0 α n wersor normalnej zewnętrznej: n ( sin α, cosα ) a ponieważ zwrot ciśnienia jest przeciwn do normalnej zewnętrznej, mam wrażenie na całkowite parcie: q R(cos α cos α0 ) (przjęt jednostkow ciężar właściw wod) i po zrzutowaniu na osie, składowe: q R(cos α cos α 0 ) sin α q z R(cos α cos α ) cos α 0

8 Wniki przedstawia tabelka i rsunek q q_ q_z Na denkach walca, dla z < R cos α 0 z0 : q z z0, q q z 0 Na nieobciążonej części brzegu jest oczwiście q q q z 0 (pobocznica i denka nad lustrem wod).