Władysław Tomaszewicz Piotr Grygiel. Podstawy Fizyki. Część I Fizyka Klasyczna. (na prawach rękopisu)
|
|
- Milena Chmielewska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Włdysłw Tomszewicz Piotr Grygiel Podstwy Fizyki Część I Fizyk Klsyczn (n prwch rękopisu) Wydził Fizyki Technicznej i Mtemtyki Stosownej Politechnik Gdńsk 2002
2 Rozdził 1 Wstęp 1.1 Międzynrodowy ukłd jednostek mir SI W fizyce dne zjwisk są opisywne z pomocą mtemtycznych prw, wiążących ze sobą poszczególne wielkości fizyczne. Przykłdmi wielkości fizycznych są długość, czs, ms, prędkość, sił, tempertur. Ogólnie przez wielkości fizyczne rozumiemy te włsności cił lub zjwisk, które możn zmierzyć, tj. porównć ilościowo z tymi smymi włsnościmi innych cił lub zjwisk. Pomir wielkości fizycznej poleg n wyznczeniu liczbowego stosunku mierzonej wielkości do wielkości przyjętej z jednostkę. W zleżności od przyjętego ukłdu jednostek wielkości fizyczne możemy podzielić n wielkości podstwowe orz wielkości pochodne. Dl wielkości podstwowych ustlne są ich wzorce, stnowiące jednostki wielkości podstwowych. Wielkości pochodne i ich jednostki określ się n n podstwie zleżności mtemtycznych, wiążących je z wielkościmi podstwowymi i ich jednostkmi. Wybór wielkości podstwowych i ich wzorców jest równowżny z ustleniem określonego ukłdu jednostek. Nleży zuwżyć, że od wyboru ukłdu jednostek zleży również postć niektórych wzorów, zwłszcz w elektrodynmice. Złóżmy dl przykłdu, że jko wielkości podstwowe wybrliśmy m. in. odległość x i czs t i odpowiednio nzwliśmy ich jednostki metrem (oznczenie 1 m) i sekundą (oznczenie 1 s). Prędkość cił jest wtedy wielkością pochodną, zdefiniowną (w przypdku ruchu jednostjnego prostoliniowego) wzorem v = x/t. Z jednostkę prędkości przyjmujemy ztem prędkość tkiego ruchu, podczs którego w ciągu jednostki czsu ciło przebyw drogę równą jednostce długości. Jednostką prędkości jest więc 1 m/1 s=1 m/s. Zwykle jednostkę miry dnej wielkości fizycznej jej wymir ozncz- 1
3 2 WSTĘP my przez ujęcie tej wielkości w nwisy kwdrtowe, np. [x] = m, [t] = s. Poniewż [v] = [x]/[t] = m/s, widć że jednostką prędkości jest istotnie 1 m/s. Obecnie w nuce i technice jest stosownych kilk różnych ukłdów jednostek. W niniejszym wykłdzie będzie stosowny Międzynrodowy Ukłd Jednostek Mir, nzywny ukłdem SI od skrótu frncuskiego terminu Système Interntionl (Ukłd Międzynrodowy). Ukłd ten zostł ustlony przez Międzynrodowy Komitet Metrologii Ustwodwczej w Pryżu w 1958 roku. Ukłd SI m 6 jednostek podstwowych i dwie jednostki uzupełnijące (ptrz tbel 1.1). Poniżej podmy uproszczone definicje tych jednostek. Lp. Wielkość Jednostk Symbol 1 Długość metr m 2 Ms kilogrm kg 3 Czs sekund s 4 Ntężenie prądu elektr. mper A 5 Tempertur kelwin K 6 Świtłość kndel cd 7 Kąt płski rdin rd 8 Kąt bryłowy sterdin sr Tbel 1.1: Metr jest długością równą , 73 długości fli w próżni promieniowni monochromtycznego o brwie pomrńczowej emitownego przez tom kryptonu 86. Kilogrm jest msą międzynrodowego wzorc przechowywnego w Międzynrodowym Biurze Mir w Sèvres pod Pryżem. Sekund jest czsem trwni okresów promieniowni odpowidjącego przejściu między dwom ndsubtelnymi poziommi stnu podstwowego tomu cezu 133. Amper jest ntężeniem prądu elektrycznego, który płynąc w dwóch nieskończenie długich równoległych przewodch, umieszczonych w próżni w odległości jednego metr, wywołuje między tymi przewodmi siłę równą niuton n kżdy metr długości przewodu. Kelwin jest jednostką tempertury termodynmicznej w skli, w której tempertur punktu potrójnego wody jest równ 273,16 K. Kndel jest świtłością, którą m w kierunku prostopdłym pole równe m 2 powierzchni cił doskonle czrnego, promieniującego w temperturze krzepnięci pltyny pod ciśnieniem normlnym.
4 MIĘDZYNARODOWY UKŁAD JEDNOSTEK MIAR SI 3 Rysunek 1.1: Kąt płski α wyrżony w rdinch jest równy stosunkowi łuku s do promieni tego łuku r (rys. 1.1): α = s r. (1.1) Rdin jest kątem płskim zwrtym między dwom promienimi koł, wycinjącymi z okręgu tego koł łuk o długości równej promieniowi. Poniewż dl pełnego kąt płskiego długość łuku s = 2πr, pełny kąt płski wynosi 2π rd. Kątem bryłowym nzywmy część przestrzeni ogrniczoną prostymi poprowdzonymi z jednego punktu do wszystkich punktów dowolnej krzywej zmkniętej. Kąt bryłowy Ω jest równy stosunkowi powierzchni S, którą ten kąt wycin z powierzchni kuli o promieniu r, do kwdrtu promieni tej kuli (rys. 1.1b): Ω = S r 2. (1.2) Sterdin jest kątem bryłowym o wierzchołku w środku kuli, wycinjącym z powierzchni tej kuli pole równe kwdrtowi jej promieni. Poniewż dl pełnego kąt bryłowego pole powierzchni kuli S = 4πr 2, pełny kąt bryłowy wynosi 4π sr. Rdin i sterdin są jednostkmi bezwymirowymi i mogą być użwne w dowolnym ukłdzie jednostek. Jeżeli mmy do czynieni z wrtościmi wielkości fizycznych zncznie większymi lbo zncznie mniejszymi od ich jednostek, to w celu uniknięci brdzo dużych lub brdzo młych liczb wprowdz się jednostki wtórne, będące wielokrotnościmi lub podwielokrotnościmi jednostek zsdniczych. Wielokrotność i podwielokrotność jednostki miry wyrż sie w ukłdzie
5 4 WSTĘP dziesiętnym przez dodnie odpowiednio do nzwy lub oznczeni jednostki miry nstępujących przedrostków lub ich oznczeń (ptrz tbl. 1.2). Przedr. Ozn. Wielokr. Przedr. Ozn. Podwiel. ter T decy d 10 1 gig G 10 9 centy c 10 2 meg M 10 6 mili m 10 3 kilo k 10 3 mikro µ 10 6 hekto h 10 2 nno n 10 9 dek d 10 1 piko p femto f tto Tbel 1.2: 1.2 Elementy rchunku wektorowego Wektory. Dziłni n wektorch Wśród wielkości występujących w fizyce możemy wyróżnić m.in. sklry i wektory. Wielkości, które możn jednozncznie określić z pomocą liczby i jednostki, więc mjące jedynie wrtości, nzywmy wielkościmi sklrnymi w skrócie sklrmi. Do sklrów nleżą np. ms, prc i energi. Inne wielkości, jk np. sił, prędkość, nie mogą być wyznczone tylko przez swoje wrtości, gdyż zleżą one jeszcze od kierunku. Tkie wielkości nzywmy wielkościmi wektorowymi w skrócie wektormi. Wektor jest to skierowny odcinek, t.j. odcinek mjący określoną długość, kierunek i zwrot (rys. 1.2). Punkt początkowy A wektor nzywmy jego punktem zczepieni (przyłożeni), punkt B końcem wektor, prostą l, n której leży wektor, linią dziłni wektor. Wektory oznczmy litermi wyróżnionymi tłustym drukiem lub, zwłszcz przy pisniu ręcznym, litermi ze strzłkmi nd nimi, np. lub. Długość wektor nzywmy również wrtością bezwzględną lub modułem wektor i oznczmy jko lub po prostu. Długość wektor przedstwi w określonej skli wrtość liczbową wielkości fizycznej, reprezentownej przez dny wektor. Dl wielkości wektorowych możn zdefiniowć określone dziłni, jk m.in. mnożenie wektor przez liczbę, dodwnie i odejmownie wektorów. Jeżeli c jest pewną liczbą dodtnią i pewnym wektorem, to przez c rozumiemy wektor który m ten sm kierunek, co wektor i jest od nigo c rzy
6 ELEMENTY RACHUNKU WEKTOROWEGO 5 l B A Rysunek 1.2: dłuższy (rys. Jeżeli c jest liczbą ujemną, to przez c rozumiemy wektor,który jest c rzy dłuższy, niż wektor, jest do niego równoległy i m przeciwny zwrot. W szczególności przez wektor przeciwny do wektor rozumiemy wektor ( 1) (rys. 1.2b), oznczmy go symbolem. M on tę smą długość, co wektor, lecz jest przeciwnie skierowny. 1.3). Przez sumę c dwóch wektorów i b rozumiemy wektor, będący przekątną AD równoległoboku ABCD, zbudownego n wektorch i b w sposób pokzny n rysunku 1.4. Sumę c dwóch wektorów i b oznczmy symbolem: c = + b. (1.3) Możn ją znleźć również w inny sposób (rys. 1.4b,c). Wykreślmy njpierw z dowolnego punktu wektor, z końc wektor wykreślmy wektor b; wektor c, którego początek leży w początku wektor, koniec w końcu wektor b, jest sumą c tych wektorów. Jeśli przy tworzeniu sumy njpierw wykreślimy wektor b, potem wektor, otrzymmy ten sm wektor c. Wynik stąd, że dodwnie wektorów podleg prwu przemienności: + b = b +. (1.4) Przez różnicę d wektorów i b rozumiemy wektor, który, dodny do wektor b, dje wektor (rys. 1.4). Możn go przedstwić przez przekątną CB równoległoboku, zbudownego z wektorów i b. Różnicę d dwóch wektorów i b oznczmy symbolem: d = b. (1.5) Wektor różnicy m początek w końcu wektor, który odejmujemy, koniec w końcu wektor, od którego odejmujemy (rys. 1.4d).
7 6 WSTĘP c -c - c > 0 c < 0 ) b) Rysunek 1.3: A ) b C d c B A D c B b D b) c) C D C d) b c b d A A B Rysunek 1.4:
8 ELEMENTY RACHUNKU WEKTOROWEGO 7 Rysunek 1.5: Zdefiniujemy terz mnożenie wielkości wektorowych. Poniewż wektory są wielkościmi brdziej złożonymi od sklrów, możn określić kilk rodzjów iloczynu dwóch wektorów. Iloczyn sklrny dwóch wektorów i b, oznczny symbolem b, jest zdefiniowny nstępująco: b = b cos ϕ, (1.6) gdzie ϕ jest kątem zwrtym między tymi dwom wektormi (rys. 1.5). Z podnej definicji wynik, że iloczyn sklrny dwóch wektorów jest sklrem i że spełni prwo przemienności, b = b. (1.7) Widć też, że iloczyn sklrny dwóch prostopdłych wektorów jest równy zeru (jeżeli ϕ = π/2, to cos ϕ = 0 i b = 0). Wielkościmi fizycznymi, które możn przedstwić w postci iloczynu sklrnego dwóch wektorów są np. prc mechniczn i potencjł elektryczny. Iloczyn wektorowy dwóch wektorów, oznczny symbolem b, jest nowym wektorem c = b. (1.8) Wrtość bezwzględn wektor c jest określon równniem c = b sin ϕ, (1.9) gdzie ϕ jest kątem zwrtym między wektormi i b (rys. 1.6). Wyrżenie po prwej stronie osttniego równni jest powierzchnią S równoległoboku rozpiętego n wektorch i b. Możn zuwżyć, że iloczyn wektorowy dwóch równoległych wektorów jest równy zeru.
9 8 WSTĘP Rysunek 1.6: Kierunek wektor c = b jest z definicji prostopdły do płszczyzny, w której leżą wektory i b jego zwrot określ nstępując reguł. Jeżeli śrub prwoskrętn, prostopdł do wspomninej płszczyzny, obrc się od wektor do wektor b o kąt mniejszy od 180 o, to kierunek ruchu śruby określ zwrot wektor c. Możn stąd wywnioskowć, że przy zminie kolejności czynników w iloczynie wektorowym zmieni on zwrot n przeciwny, b = b. (1.10) Dl iloczynu wektorowego nie zchodzi więc prwo przemienności. Przykłdmi wielkości fizycznych, będących iloczynmi wektorowymi, są moment siły, moment pędu i sił, dziłjąc n łdunek poruszjący się w polu mgnetycznym Krtezjński ukłd współrzędnych. Skłdowe wektor Przytoczone w poprzednim podrozdzile definicje wektorów i dziłń n nich miły chrkter geometryczny. W wielu przypdkch wygodniej jest korzystć z nlitycznego opisu dziłń n wektorch, wykorzystującego rozkłdnie wektorów n skłdowe w określonym ukłdzie odniesieni. Złóżmy, że mmy wybrny w przestrzeni pewien krtezjński (prostokątny) ukłd współrzędnych Oxyz, tj. ukłd trzech wzjemnie prostopdłych osi Ox, Oy i Oz (rys. 1.7). Będziemy oznczć przez i, j i k wektory jednostkowe ( i = j = k = 1), skierowne wzdłuż osi Ox, Oy i Oz. Wektory te nzywmy wersormi odpowiednich osi. Zwykle przyjmujemy, że krtezjński ukłd odniesieni jest prwoskrętny, t.j., że i j = k. Z rysunku wynik, że wektor możn zpisć jko sumę jego rzutów i x, j y i k z n osie Ox,
10 ELEMENTY RACHUNKU WEKTOROWEGO 9 Rysunek 1.7: Oy i Oz ukłdu współrzędnych: = i x + j y + k z. (1.11) Sklrne wielkości x, y i z nzywmy skłdowymi wektor. Osttnie równnie zpisujemy często jko: = ( x, y, z ). (1.12) Widć, że w dnym ukłdzie współrzędnych wektor jest jednozncznie określony przez jego skłdowe. Dl uproszczeni będziemy terz zkłdć, że wszystkie rozptrywne wektory leżą w płszczyźnie Oxy. Jeżeli znmy długość wektor i kąt α, jki tworzy ten wektor z osią Ox, to skłdowe tego wektor, zgodnie z rysunkiem 1.8, wyrżją się wzormi x = cos α, (1.13) y = sin α. (1.14) Przeciwnie, gdy znne są skłdowe wektor w prostokątnym ukłdzie współrzędnych, możemy wyznczyć jego długość i kierunek. N podstwie twierdzeni Pitgors mmy bowiem: = x 2 + y 2, (1.15)
11 10 WSTĘP Rysunek 1.8: Rysunek 1.9: orz cos α = x, (1.16) sin α = y. (1.17) Przyjmijmy terz, że mmy dw wektory, i b=c (rys. 1.9). Z rysunku wynik, że b x = c x, (1.18) b y = c y. (1.19) Widzimy więc, że przy mnożeniu wektor przez liczbę jego skłdowe są mnożone przez tę smą liczbę. Przyjmiemy terz, że mmy dw wektory i b
12 ELEMENTY RACHUNKU WEKTOROWEGO 11 orz ich sumę c = + b (rys. 1.9b). Z rysunku wynikją zleżności c x = x + b x, (1.20) c y = y + b y. (1.21) Ztem, przy sumowniu dwóch wektorów sumują się ich skłdowe. Podobnie możn pokzć, że przy odejmowniu dwóch wektorów ich skłdowe się odejmują. Rezultty te możn uogólnić n przypdek dwóch wektorów leżących w dowolnej płszczyźnie orz n przypdek dowolnej liczby wektorów. Wyrzimy terz iloczyn sklrny i iloczyn wektorowy dwóch wektorów z pośrednictwem skłdowych tych wektorów. Będziemy przyjmowć bez dowodu, że przytoczone poniżej formlne przeksztłceni są poprwne. Obliczymy njpierw iloczyn sklrny wektorów i b: b = (i x + j y + k z ) (ib x + jb y + kb z ) = i i x b x + i j x b y + i k x b z + j i y b x + j j y b y + j k y b z + k i z b x + k j z b y + k k z b z. (1.22) Poniewż zchodzą związki i i = j j = k k = 1, i j = i k = j k = 0, otrzymujemy wzór b = x b x + y b y + z b z. (1.23) Obliczymy terz w podobny sposób iloczyn wektorowy wektorów i b: b = (i x + j y + k z ) (ib x + jb y + kb z ) = i i x b x + i j x b y + i k x b z + j i y b x + j j y b y + j k y b z + k i z b x + k j z b y + k k z b z. (1.24) Uwzględnijąc związki i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j (por. rys. 1.7), i i = j j = k k = 0 otrzymujemy wzór b = i( y b z z b y ) + j( z b x x b z ) + k( x b y y b x ). (1.25) Wzór ten jest łtwiejszy do zpmiętni, jeżeli zpisć go w postci wyzncznik: i j k b = x y z. (1.26) b x b y b z
13 12 WSTĘP Istotnie, obliczjąc wyzncznik otrzymuje się wzór (1.25). Znczenie rchunku wektorowego w fizyce wynik z fktu, że równni wektorowe, np. c = + b, są słuszne w dowolnym ukłdzie współrzędnych. Przy zminie ukłdu współrzędnych skłdowe wszystkich wektorów przeksztłcją się, jk możn sprwdzić, w ten sm sposób. Z drugiej strony, jest fktem stwierdzonym empirycznie, że prw fizyki również są niezleżne od wyboru ukłdu współrzędnych. Notcj wektorow jest więc idelnym językiem do wyrżni prw fizyki.
WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
Bardziej szczegółowoWEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
Bardziej szczegółowo4. RACHUNEK WEKTOROWY
4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie
Bardziej szczegółowoWyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:
Def.8. Wyzncznikiem mcierzy kwdrtowej stopni n nzywmy liczbę det określoną nstępująco:.det.det dl n n det det n det n, gdzie i j ozncz mcierz, którą otrzymujemy z mcierzy przez skreślenie i- tego wiersz
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Bardziej szczegółowoMacierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk Zgdnieni. Pojęci. Dziłni n mcierzch.
Bardziej szczegółowo2. ELEMENTY GEOMETRII ANALITYCZNEJ I WEKTOROWEJ
. ELEMENTY GEOMETRII ANALITYCZNEJ I WEKTOROWEJ.. Wstęp: metod współrzędnych WYKŁAD 5 W geometrii nlitycznej dmy oiekty geometryczne metodą nlityczną. Njrdziej znną metodą tego typu jest metod współrzędnych
Bardziej szczegółowoRozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte
Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1
Bardziej szczegółowo2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)
Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy
Bardziej szczegółowoRealizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,
Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,
Bardziej szczegółowoa a a b M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I
Relcje równowr wnowżności i klsy Definicj: Relcją określoną n zbiorze A nzywmy dowolny test porównwczy pomiędzy uporządkownymi prmi elementów elementów zbioru A. Jeśli pr (, b) œ A ä A spełni ten test,
Bardziej szczegółowoPierwiastek z liczby zespolonej
Pierwistek z liczby zespolonej Twierdzenie: Istnieje dokłdnie n różnych pierwistków n-tego stopni z kżdej liczby zespolonej różnej od zer, tzn. rozwiązń równni w n z i wszystkie te pierwistki dją się zpisć
Bardziej szczegółowoSumy algebraiczne i funkcje wymierne
Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych
Bardziej szczegółowoWymagania kl. 2. Uczeń:
Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej
Bardziej szczegółowoTemat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia
ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:
Bardziej szczegółowoMacierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW Zgdnieni.
Bardziej szczegółowoFizyka. w. 02. Paweł Misiak. IŚ+IB+IiGW UPWr 2014/2015
Fizyka w. 02 Paweł Misiak IŚ+IB+IiGW UPWr 2014/2015 Wektory ujęcie analityczne Definicja Wektor = uporządkowana trójka liczb (współrzędnych kartezjańskich) a = a x a y a z długość wektora: a = a 2 x +
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y
Mciej Grzesik Iloczyn sklrny. Iloczyn sklrny wektorów n płszczyźnie i w przestrzeni Iloczyn sklrny wektorów i b określmy jko b = b cos ϕ. Bezpośrednio z definicji iloczynu sklrnego mmy, że i i = j j =
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach
Mtemtyk I WYKŁD. ypy mcierzy, dziłni n mcierzch, mcierz ukłdu równń. Podstwowe widomości o mcierzch Ogóln postć ukłdu m równń liniowych lgebricznych z n niewidomymi x x n xn b x x n xn b, niewidome: x,
Bardziej szczegółowo1 klasyfikacja trójkątów twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie
Funkcj kwdrtow - powtórzenie z klsy pierwszej (5godzin) PLANIMETRIA Moduł - dził - temt Miry kątów w trójkącie Lp Zkres treści 1 klsyfikcj trójkątów twierdzenie o sumie mir kątów w trójkącie Trójkąty przystjące
Bardziej szczegółowoWykład 2. Funkcja logarytmiczna. Definicja logarytmu: Własności logarytmu: Logarytm naturalny: Funkcje trygonometryczne
Wykłd 2 Funkcj rytmiczn, Deinicj rytmu: Włsności rytmu: 2 u 2 u b c c b 2 2 Lorytm nturlny: Funkcje tryonometryczne Funkcje tryonometryczne kąt ostreo: b c sin cos t ct b c b c b Mir łukow kąt wyrż się
Bardziej szczegółowoRównania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą
50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej
Bardziej szczegółowoSumy algebraiczne i funkcje wymierne
Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych
Bardziej szczegółowoWymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02
Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie
Bardziej szczegółowoWykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa
Wykłd 2. Pojęcie cłki niewłściwej do rchunku prwdopodobieństw dr Mriusz Grządziel 4 mrc 24 Pole trpezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ogrniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją
Bardziej szczegółowoOznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające
Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci
Bardziej szczegółowoWprowadzenie: Do czego służą wektory?
Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1
FUNKCJA KWADRATOWA Moduł - dził -temt Funkcj kwdrtow - powtórzenie Lp Lp z.p. z.r. 1 1 Równni kwdrtowe 2 Postć iloczynow funkcji kwdrtowej 3 Równni sprowdzlne do równń kwdrtowych Nierówności kwdrtowe 5
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych i schemt ocenini zdń otwrtych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 D D D Schemt ocenini zdń otwrtych Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x + x+ 0
Bardziej szczegółowoRACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.
RACHUNEK CAŁKOWY Funkcj F jest funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I R, jeżeli F (x) = f (x), dl kżdego x I. Przykłd. Niech f (x) = 2x dl x (, ). Wtedy funkcje F (x) = x 2 + 5, F (x) = x 2 + 5, F (x)
Bardziej szczegółowoO pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych
Spis tresci 1 Spis tresci 1 W wielu zgdnienich prktycznych brdzo wżne jest znjdownie optymlnego (czyli njlepszego z jkiegoś punktu widzeni) rozwiązni dnego problemu. Dl przykłdu, gdybyśmy chcieli podróżowć
Bardziej szczegółowoPierwiastek z liczby zespolonej
Pierwistek z liczby zespolonej Twierdzenie: Istnieje dokłdnie n różnych pierwistków n-tego stopni z kżdej liczby zespolonej różnej od zer, tzn. rozwiązń równni w n z i wszystkie te pierwistki dją się zpisć
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej
Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe
Bardziej szczegółowoGrażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH
Ćwiczenie Grżyn Nowick, Wldemr Nowicki BDNIE RÓWNOWG WSOWO-ZSDOWYC W ROZTWORC ELETROLITÓW MFOTERYCZNYC Zgdnieni: ktywność i współczynnik ktywności skłdnik roztworu. ktywność jonów i ktywność elektrolitu.
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.
ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.
Bardziej szczegółowoWektory [ ] Oczywiście wektor w przestrzeni trójwymiarowej wektor będzie miał trzy współrzędne. B (x B. , y B. α A (x A, y A ) to jest wektor
Wektor N fizce w szkole średniej spotkcie się z dwom tpmi wielkości fizcznch. Jedne z nich, np. ms, tempertur, łdunek elektrczn są opiswne przez jedną liczę; te nzwm wielkościmi sklrnmi, w skrócie - sklrmi.
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ
Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc
Bardziej szczegółowo2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE
M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE.. Zsdy dynmiki Newton Siłą nzywmy wektorową wielkość, któr jest mirą mechnicznego oddziływni n ciło ze strony innych cił. dlszej części ędziemy rozptrywć
Bardziej szczegółowo1 Ułamki zwykłe i dziesiętne
Liczby wymierne i niewymierne Liczby wymierne i niewymierne - powtórzenie Ułmki zwykłe i dziesiętne. Rozszerznie ułmków Rozszerz ułmki b c b c 6 8. Skrcnie ułmków c b c b 8 0 Liczby wymierne i niewymierne
Bardziej szczegółowoPojęcia Działania na macierzach Wyznacznik macierzy
Temt: Mcierze Pojęci Dziłni n mcierzch Wyzncznik mcierzy Symbolem gwizdki (*) oznczono zgdnieni przeznczone dl studentów wybitnie zinteresownych prezentowną temtyką. Ann Rjfur Pojęcie mcierzy Mcierz to
Bardziej szczegółowoWykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna
1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,
Bardziej szczegółowof(x) = ax 2, gdzie a 0 sności funkcji: f ( x) wyróżnik trójmianu kw.
FUNKCJA KWADRATOWA Moduł - dził - Lp Lp temt z.p. z.r. Zkres treści Wykres f() = 1 1 wykres i włsności f() =, gdzie 0 Przesunięcie wykresu f() = wzdłuż osi OX i OY /o wektor/ Postć knoniczn i postć ogóln
Bardziej szczegółowoMATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań
MATURA z WSiP Mtemtyk Poziom podstwowy Zsdy ocenini zdń Copyright by Wydwnictw Szkolne i Pedgogiczne sp. z o.o., Wrszw Krtotek testu Numer zdni 6 7 8 9 6 7 8 9 Uczeń: Sprwdzn umiejętność (z numerem stndrdu)
Bardziej szczegółowoSZTUCZNA INTELIGENCJA
SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 9. ZBIORY ROZMYTE Częstochow 204 Dr hb. inż. Grzegorz Dudek Wydził Elektryczny Politechnik Częstochowsk ZBIORY ROZMYTE Klsyczne pojęcie zbioru związne jest z logiką dwuwrtościową
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach
Wyk ld 1 Podstwowe widomości o mcierzch Oznczeni: N {1 2 3 } - zbiór liczb nturlnych N 0 {0 1 2 } R - ci lo liczb rzeczywistych n i 1 + 2 + + n i1 1 Określenie mcierzy Niech m i n bed dowolnymi liczbmi
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie zadań z dynamicznego ruchu płaskiego część I 9
ozwiązywnie zdń z dyniczneo ruchu płskieo część I 9 Wprowdzenie ozwiązywnie zdń w oprciu o dyniczne równni ruchu (D pole n uwolnieniu z więzów kżdeo z cił w sposób znny ze sttyki. Wrunki równowi są zbliżone
Bardziej szczegółowoWykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera
Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie
Bardziej szczegółowoRedukcja układów sił działających na bryły sztywne
1 Redukcj ukłdów sił dziłjących n bryły sztywne W zdnich tego rozdziłu wykorzystuje się zsdy redukcji ukłdów sił wykłdne w rmch mechniki ogólnej i powtórzone w tomie 1 podręcznik. Zdnie 1 Zredukowć ukłd
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2 1. SUMY ALGEBRAICZNE rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne
Bardziej szczegółowousuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu
Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoZADANIA Z GEOMETRII RÓŻNICZKOWEJ NA PIERWSZE KOLOKWIUM
ZADANIA Z GEOMETRII RÓŻNICZKOWEJ NA PIERWSZE KOLOKWIUM. Koło o promieniu n płszczyźnie Oxy oczy się bez poślizgu wzdłuż osi Ox. Miejsce geomeryczne opisne przez punk M leżący n obwodzie ego koł jes cykloidą.
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Mteriły dydktyczne n zjęci wyrównwcze z mtemtyki dl studentów pierwszego roku kierunku zmwinego Inżynieri Środowisk w rmch projektu Er inżynier pewn lokt n przyszłość Projekt Er inżynier pewn lokt n przyszłość
Bardziej szczegółowoO RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI
ZESZYTY NAUKOWE 7-45 Zenon GNIAZDOWSKI O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI Streszczenie W prcy omówiono grupę permutcji osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni reprezentowną przez mcierze permutcji,
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lgrnge i Hmilton w Mechnice Mriusz Przybycień Wydził Fizyki i Informtyki Stosownej Akdemi Górniczo-Hutnicz Wykłd 3 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lgrnge i Hmilton... Wykłd 3 1 / 15 Przestrzeń
Bardziej szczegółowoWymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy
Wymgni n poszczególne oceny z mtemtyki w Zespole Szkół im. St. Stszic w Pile 1. SUMY ALGEBRAICZNE Kl. II poziom podstwowy Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Mteriły dydktyczne n zjęci wyrównwcze z mtemtyki dl studentów pierwszego roku kierunku zmwinego Biotechnologi w rmch projektu Er inżynier pewn lokt n przyszłość Projekt Er inżynier pewn lokt n przyszłość
Bardziej szczegółowoWykład Indukcja elektromagnetyczna, energia pola magnetycznego
Wykłd 3 3. ndukcj eektromgnetyczn, energi po mgnetycznego 3. ndukcyjność 3.. Trnsformtor Gdy dwie cewki są nwinięte n tym smym rdzeniu (często jedn n drugiej) to prąd zmienny w jednej wywołuje SEM indukcji
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,
Zdnie PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD 04 Zbiorem wszystkich rozwiązń nierówności x 6 6 jest: A, 4 0, B 4,0 C,0 4, D 0,4 Odpowiedź: C Rozwiąznie Sposób I Nierówność A 6 jest równowżn lterntywie
Bardziej szczegółowoKatalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć
Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć
Bardziej szczegółowo- Wydział Fizyki Zestaw nr 5. Powierzchnie 2-go stopnia
1 Algebr Liniow z Geometri - Wydził Fizyki Zestw nr 5 Powierzchnie -go stopni 1 N sferze 1 + + 3 = 4 znleźć punkt, którego odległość od punktu p = (, 6, 3) byłby njmniejsz Wyznczyć osie elipsy powstłej
Bardziej szczegółowoZadanie 5. Kratownica statycznie wyznaczalna.
dnie 5. Krtownic sttycznie wyznczln. Wyznczyć wrtości sił w prętch krtownicy sttycznie wyznczlnej przedstwionej n Rys.1: ). metodą nlitycznego równowżeni węzłów, ). metodą gricznego równowżeni węzłów;
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań
KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni
Bardziej szczegółowoZadania. I. Podzielność liczb całkowitych
Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.
Bardziej szczegółowoSzczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy
Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni
Bardziej szczegółowoWyrównanie sieci niwelacyjnej
1. Wstęp Co to jest sieć niwelcyjn Po co ją się wyrównje Co chcemy osiągnąć 2. Metod pośrednicząc Wyrównnie sieci niwelcyjnej Metod pośrednicząc i metod grpow Mmy sieć skłdjącą się z szereg pnktów. Niektóre
Bardziej szczegółowo2. Tensometria mechaniczna
. Tensometri mechniczn Wstęp Tensometr jk wskzywłby jego nzw to urządzenie służące do pomiru nprężeń. Jk jednk widomo, nprężeni nie są wielkościmi mierzlnymi i stnowią jedynie brdzo wygodne pojęcie mechniki
Bardziej szczegółowoStruktura energetyczna ciał stałych-cd. Fizyka II dla Elektroniki, lato
Struktur energetyczn cił stłych-cd Fizyk II dl Elektroniki, lto 011 1 Fizyk II dl Elektroniki, lto 011 Przybliżenie periodycznego potencjłu sieci krystlicznej model Kronig- Penney potencjł rzeczywisty
Bardziej szczegółowoPochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Stnisłw Jworski Ktedr Ekonometrii i Sttystyki Zkłd Sttystyki Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Cłk
Bardziej szczegółowoPODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Skalar Definicja Skalar wielkość fizyczna (lub geometryczna)
Bardziej szczegółowoPropozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)
Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu
Bardziej szczegółowocz. 2 dr inż. Zbigniew Szklarski
Wykłd 11: Elektrosttyk cz. 2 dr inż. Zbigniew Szklrski szkl@gh.edu.pl http://lyer.uci.gh.edu.pl/z.szklrski/ Pole elektryczne przewodnik N powierzchni metlicznej (przewodzącej) cły łdunek gromdzi się n
Bardziej szczegółowoZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ
ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A
Bardziej szczegółowoZasa Za d sa y d d y d nam na iki Newtona (2) Prawo Praw o I I Przys zys es e ze s ni ze e e punkt punkt mat e iralneg ne o g j es e t s
Mechnik ogóln ykłd nr 1 prowdzenie i podstwowe pojęci. Rchunek wektorowy. ypdkow ukłdu sił. Równowg. 1 rzedmiot Mechnik: ogóln, techniczn, teoretyczn. Dził fizyki zjmujący się bdniem ruchu i równowgi cił
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysłw Smorwińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kliszu Wymgni edukcyjne niezbędne do uzyskni poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klsyfikcyjnych z obowiązkowych zjęć
Bardziej szczegółowoMateriały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy
Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Mteriły dydktyczne n zjęci wyrównwcze z mtemtyki dl studentów pierwszego roku kierunku zmwinego Inżynieri i Gospodrk Wodn w rmch projektu Er inżynier pewn lokt n przyszłość Projekt Er inżynier pewn lokt
Bardziej szczegółowo1.5. Iloczyn wektorowy. Definicja oraz k. Niech i
.. Iloczyn ektoroy. Definicj. Niech i, j orz k. Iloczynem ektoroym ektoró = i j k orz = i j k nzymy ektor i j k.= ( )i ( )j ( )k Skrótoo możn iloczyn ektoroy zpisć postci yzncznik: i j k. Poniżej podno
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy
Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstwowy FUNKCJA KWADRATOWA Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: 2 rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą
Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIC. Rok szkolny 013/014 Poziom podstwowy FUNKCJE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje przyporządkowni będące funkcjmi określ funkcję różnymi
Bardziej szczegółowoVI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona
VI. Rchunek cłkowy. Cłk nieoznczon Niech F : I R i f : I R będą funkcjmi określonymi n pewnym przedzile I R. Definicj. Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I, gdy F (x) = f(x) dl x
Bardziej szczegółowoWektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1
Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem
Bardziej szczegółowoKlasa druga: II TK1, II TK2 Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Funkcja kwadratowa
Kls drug: II TK1, II TK2 Poziom podstwowy 3 godz. 30 tyg.= 0 nr progrmu DKOS-5002-7/07 I. Funkcj kwdrtow Moduł - dził - L.p. temt Wykres 1 f()= 2 2 Zkres treści Pojęcie Rysownie wykresów Związek współczynnik
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna (część II)
Anliz Mtemtyczn (część II) Krzysztof Trts Witold Bołt n podstwie wykłdów dr. Piotr Brtłomiejczyk 25 kwietni 24 roku 1 Rchunek cłkowy jednej zmiennej. 1.1 Cłk nieoznczon. Definicj 1.1.1 (funkcj pierwotn)
Bardziej szczegółowoDorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy
Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk Pln wynikowy Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące
Bardziej szczegółowo1 Definicja całki oznaczonej
Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj y = g(x) ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podzielimy n n podprzedziłów punktmi = x < x < x
Bardziej szczegółowoLISTA02: Projektowanie układów drugiego rzędu Przygotowanie: 1. Jakie własności ma równanie 2-ego rzędu & x &+ bx&
LISTA: Projektownie ukłdów drugiego rzędu Przygotownie: 1. Jkie włsności m równnie -ego rzędu & &+ b + c u jeśli: ) c>; b) c; c) c< Określ położenie biegunów, stbilność, oscylcje Zdni 1: Wyzncz bieguny.
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki
Wymgni edukcyjne z mtemtyki LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE Kls II Poniżej przedstwiony zostł podził wymgń edukcyjnych n poszczególne oceny. Wiedz i umiejętności konieczne do opnowni (K) to zgdnieni, które są
Bardziej szczegółowozestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki
zestaw DO ĆWICZEŃ z mtemtyki poziom rozszerzony rozumownie i rgumentcj krty prcy ZESTAW I Zdnie 1. Wykż, że odcinek łączący środki dwóch dowolnych oków trójkąt jest równoległy do trzeciego oku i jest równy
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa
Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy
Bardziej szczegółowoTranslacja jako operacja symetrii. Wybór komórki elementarnej wg A. Bravais, połowa XIX wieku wybieramy komórkę. Symetria sieci translacyjnej
Trnslcj jko opercj symetrii Wykłd trzeci W obrębie figur nieskończonych przesunięcie (trnslcję) możn trktowć jko opercję symetrii Jest tk np. w szlkch ornmentcyjnych (bordiurch) i siecich krysztłów polimerów
Bardziej szczegółowoFizyka i wielkości fizyczne
Fizyka i wielkości fizyczne Fizyka: - Stosuje opis matematyczny zjawisk - Formułuje prawa fizyczne na podstawie doświadczeń - Opiera się na prawach podstawowych (aksjomatach) Wielkością fizyczną jest każda
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini sierpień 0 Poziom Podstwowy Schemt ocenini sierpień Poziom podstwowy Klucz punktowni zdń zmkniętych Nr zdni 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 Odpowiedź
Bardziej szczegółowoAlgebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA
kdemi Morsk w Gdyni Ktedr utomtyki Okrętowej Teori sterowni lger mcierzow Mirosłw Tomer. ELEMENTRN TEORI MCIERZOW W nowoczesnej teorii sterowni rdzo często istnieje potrze zstosowni notcji mcierzowej uprszczjącej
Bardziej szczegółowoPrawa fizyki wyrażają związki między różnymi wielkościami fizycznymi.
Prawa fizyki i wielkości fizyczne Fizyka (z stgr. φύσις physis "natura") nauka o przyrodzie w najszerszym znaczeniu tego słowa. Prawa fizyki wyrażają związki między różnymi wielkościami fizycznymi. Prawa
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres podstawowy
Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych kls drug zkres podstwowy Wymgni konieczne (K) dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny być opnowne przez
Bardziej szczegółowof(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)
Cłk oznczon Cłkę oznczoną będziemy zpisywli jko f(x)dx (.) z fnkcji f(x), któr jest ogrniczon w przedzile domkniętym [, b]. Jk obliczyć cłkę oznczoną? Obliczmy njpierw cłkę nieoznczoną z fnkcji f(x), co
Bardziej szczegółowo