Podstawy informatyki. Wykład nr 7 ( ) Plan wykładu nr 7. Politechnika Białostocka - Wydział Elektryczny. Całkowanie numeryczne

Transkrypt

1 Wyład r 7 /38 odstawy formaty olteca Bałostoca - Wydzał Eletryczy Eletroteca, semestr II, studa estacjoare Ro aademc 6/7 la wyładu r 7 Metody całowaa umeryczego metoda rostoątów metoda traezów metoda arabol (Smsoa Oblczae lczby π metodą Mote Carlo Całowae umerycze - metoda Mote Carlo Wyład r 7 (857 Wyład r 7 3/38 Wyład r 7 4/38 Całowae umerycze Całowae umerycze całowae umerycze fucj f( olega a oblczau rzyblŝoej wartoc cał ozaczoej: w całowau umeryczym wyorzystywaa jest defcja cał ozaczoej Remaa I f ( d F( ( według tej defcj cała ozaczoa terretowaa jest jao suma ól obszarów ograczoyc wyresem fucj f( oraz osą OX w rzedzale [, ] azywaym rzedzałem całowaa grace rzedzału [, ] azywae są gracam całowaa f( całowae umerycze jest oecze wtedy, gdy trude lub emoŝlwe jest wyzaczee fucj erwotej F( oraz gdy fucja odcałowa daa jest w ostac dysretej (za omocą tablcy wartoc

2 ć Wyład r 7 5/38 Wyład r 7 6/38 Całowae umerycze do oeczoc oblczea umeryczego całe rowadzą astęujące zadaa Ŝyerse: wyzaczae owerzc lub objętoc obszaru o zadaym brzegu wyzaczae masy, wsółrzędyc rodów cęŝoc oraz yc caraterysty ejedorodyc eregularyc brył oblczae mocy a wydzeloej w dwóju eletryczym w zadaym rzedzale czasu, oblczea aęca suteczego lub ładuu zgromadzoego w ojemoc elowej wyzaczee drog rzebytej rzez obet oruszający sę ze zmeą rędocą Metoda rostoątów zgode z defcją cał ozaczoej Remaa, wartoć cał terretowaa jest jao suma ól obszarów od wyresem rzywej w zadaym rzedzale całowaa [, ] w metodze rostoątów suma ta rzyblŝaa jest za omocą sumy ól odowedc rostoątów dzelmy rzedzał całowaa a rówyc częc o długoc : otrzymując + rówoodległyc utów,,, : f( ( rzy czym: +,,,,, (3 (4 Wyład r 7 7/38 Wyład r 7 8/38 Metoda rostoątów f( Metoda rostoątów - scemat bloowy jao długoć odstawy aŝdego rostoąta rzyjmujemy odległoć omędzy olejym utam -, czyl jao wysooć aŝdego rostoąta rzyjmujemy wartoć fucj w rodu rzedzału ( -, ole jedego rostoąta ma ostać: f ( + /,,,, zatem rzyblŝoa wartoć cał ozaczoej fucj f( w rzedzale [, ] ma ostać: f ( d f ( + / + f ( + / + + f ( f ( + / f ( + / + / 6 (5 (6 długoć odstawy rostoąta: ocząte -tego rzedzału (, + : ole jedego rostoąta: wartoć cał: f ( + /,,,, +,,,, f ( d f ( + /,, s ( - / < s s + f( + +/ + s s sz cał

3 ć Wyład r 7 9/38 Wyład r 7 /38 Metoda rostoątów - fucja w języu C Metoda rostoątów - róŝe wersje algorytmu float Metodarostoatow(float, float, t t ; float s, ; (-/; for (; <; ++ s s + f(+*+/; s *s; retur s;,, s ( - / < f( w rzedstawoym algorytme, jao wysooć rostoąta braa jest wartoć fucj w rodowym uce rzedzału (, + - rysue a metoda ta azywaa jest taŝe metodą utu rodowego, ag mdot rule jao wysooć rostoąta moŝa rzyjąć taŝe wartoć fucj w ońcowym uce rzedzału (, + - rysue b a b f( Uwaga: do rawdłowego dzałaa owyŝszej fucj ezbęde jest zdefowae fucj f( zwracającej wartoć fucj w uce s s + f( + +/ + s s sz cał metoda rostoątów daje dobre rzyblŝee cał jel fucja f( zmea sę w ewelm stou a rzedzale [, ] Wyład r 7 /38 Wyład r 7 /38 Metoda traezów f( Metoda traezów f( w metodze traezów, odobe ja w metodze rostoątów, dzelmy rzedzał całowaa a rówyc częc o długoc : ( wyorzystujemy terolację lową fucj w oszczególyc rzedzałac [ -, ],,,, w tam rzyadu wartoć cał terretowaa będze jao suma ól traezów zbudowayc a utac,,,, otrzymując + rówoodległyc utów,,, : rzy czym: +,,,,, (8 (9 ole jedego traezu ma ostać: f ( + f ( +,,,, zatem rzyblŝoa wartoć cał ozaczoej fucj f( w rzedzale [, ] ma ostać: f ( + f ( f ( + f ( f ( f ( d f ( + f ( + f ( + f ( + + f ( ( (

4 ć ć Wyład r 7 3/38 Wyład r 7 4/38 Metoda traezów Metoda traezów - scemat bloowy w celu uroszczea oblczeń umeryczyc zaszemy sumę w ej ostac: f ( + f ( + f ( + f ( f ( + f ( f ( + f ( f ( + f ( + f ( + f ( + f ( + + f ( + f ( f ( f ( + f ( + f ( + f ( + + f ( + f ( + f ( f ( + f ( + f ( + + f ( + f ( + f ( + f ( + f ( f ( + ( długoć rzedzału : ocząte -tego rzedzału (, + : wartoć cał: +,,,, f ( + f ( f ( + f ( + + f (,, s ( - / < s s + f( + + s (s+(f( +f( / sz cał Wyład r 7 5/38 Wyład r 7 6/38 Metoda traezów - fucja w języu C Metoda arabol f( float MetodaTraezow(float, float, t t ; float s, ; Uwaga: (-/; for (; <; ++ s s + f(+*; s *(s+(f(+f(/ ; retur s;,, s ( - / < s s + f( + + s (s+(f( +f( / sz cał w metodze arabol (Smsoa całę ozaczoą rzyblŝamy arabolą rzedzał całowaa [, ] dzelmy a rówyc częc o długoc : otrzymując + rówoodległyc utów,,, : rzy czym: (3 +,,,,, t t t 3 3 t 4 4 t 5 5 t 6 6 (4 (5 do rawdłowego dzałaa owyŝszej fucj ezbęde jest zdefowae fucj f( zwracającej wartoć fucj w uce dla aŝdyc dwóc sąsedc utów -, wyzaczamy ut rodowy t : + t,,,, (6

5 ć ć Wyład r 7 7/38 Wyład r 7 8/38 Metoda arabol f( Metoda arabol w aŝdym rzedzale [ -, ],,,, rzyblŝamy fucję za omocą arabol: g ( a + b + c,, dla,,, arabola g ( mus rzecodzć rzez uty:, f, ( t, f, (, f ( t (7 (8 t t t 3 3 t 4 4 t 5 5 t 6 6 ole od arabolą w rzedzale [ -, ],,,, wyzaczae jest ze wzoru: g ( d ( f 6 + f + 4 f,,,, wartoć całej cał wyzaczaa jest rzez sumowae oszczególyc ól: f ( d ( f + f + 4 ft 6 t ( ( gdze: f f (, f f ( t, f f ( t (9 wsółczy a, b, c arabol g ( wyzaczae są z uładu trzec rówań: a b + c f at + bt + c ft a + b + c f + ( oewaŝ w oblczayc sumac wartoc fucj owtarzają sę dwurote (z wyjątem erwszej ostatej węc do oblczeń stosoway jest leszy wzór: lub f ( d ( f + f + f + 4 f 6 f ( d ( f 6 + f + f + 4 t t t f + 4 f (3 (4 Wyład r 7 9/38 Wyład r 7 /38 Metoda arabol - scemat bloowy Metoda ARABOL - fucja w języu C długoć rzedzału : ocząte -tego rzedzału (, + : wartoć cał: +,,,, ( 6 f ( d f + f + f + 4 f + 4 f t t,, s s t ( - / < + s t s t + f( ī / s s + f( + s t s t +f( -/ s (f( +f( +s+4s t /6 sz cał float Metodaarabol(float, float, t t ; float s, st,, ; (-/; for (; <; ++ + *; st st + f(-/; s s + f(; st st+f(-/; s * (f(+f(+*s+4*st/6; retur s;,, s s t ( - / < + s t s t + f( ī / s s + f( + s t s t +f( -/ s (f( +f( +s+4s t /6 sz cał

6 Wyład r 7 /38 Wyład r 7 /38 Metody całowaa - rogram w C (/4 Metody całowaa - rogram w C (/4 /* Name: w8 metody_calowaac Coyrgt: olteca Balostoca, Wydzal Eletryczy Autor: Jaroslaw Forec (jaref@bedul Date: -4-7 Descrto: Metody calowaa */ #clude <stdo> #clude <stdlb> #clude <mat> float f(float retur (*; float Metodarostoatow(float, float, t t ; float s, ; (-/; for (; <; ++ s s+f(+*+/; s *s; retur s; float MetodaTraezow(float, float, t t ; float s, ; (-/; for (; <; ++ s s+f(+*; s *(s+(f(+f(/; retur s; float Metodaarabol(float, float, t t ; float s, st,, ; (-/; for (; <; ++ +*; st st+f(-/; s s+f(; st st+f(-/; s*(f(+f(+*s+4*st/6; retur s; Wyład r 7 3/38 Wyład r 7 4/38 Metody całowaa - rogram w C (3/4 Metody całowaa - rogram w C (4/4 t ma( float,, w, w, w, w3, w4; rtf("wartosc dolada: %f\\",8/3; rtf("metoda rostoatow:\"; w Metodarostoatow(,,5; w Metodarostoatow(,,; w Metodarostoatow(,,; w3 Metodarostoatow(,,; w4 Metodarostoatow(,,; rtf(" %5d cala %f rozca %e\",5,w,fabs(w-8/3; rtf(" %5d cala %f rozca %e\",,w,fabs(w-8/3; rtf(" %5d cala %f rozca %e\",,w,fabs(w-8/3; rtf(" %5d cala %f rozca %e\",,w3,fabs(w3-8/3; rtf(" %5d cala %f rozca %e\",,w4,fabs(w4-8/3; rtf("\metoda traezow:\"; w MetodaTraezow(,,5; w MetodaTraezow(,,; w MetodaTraezow(,,; w3 MetodaTraezow(,,; w4 MetodaTraezow(,,; rtf(" %5d cala %f rozca %e\",5,w,fabs(w-8/3; rtf(" %5d cala %f rozca %e\",,w,fabs(w-8/3; rtf(" %5d cala %f rozca %e\",,w,fabs(w-8/3; rtf(" %5d cala %f rozca %e\",,w3,fabs(w3-8/3; rtf(" %5d cala %f rozca %e\",,w4,fabs(w4-8/3; rtf("\metoda arabol:\"; w Metodaarabol(,,5; w Metodaarabol(,,; w Metodaarabol(,,; w3 Metodaarabol(,,; w4 Metodaarabol(,,; rtf(" %5d cala %f rozca %e\",5,w,fabs(w-8/3; rtf(" %5d cala %f rozca %e\",,w,fabs(w-8/3; rtf(" %5d cala %f rozca %e\",,w,fabs(w-8/3; rtf(" %5d cala %f rozca %e\",,w3,fabs(w3-8/3; rtf(" %5d cala %f rozca %e\",,w4,fabs(w4-8/3; system("ause"; retur (;

7 ą Wyład r 7 5/38 Wyład r 7 6/38 Metody całowaa - rogram w C (4/4 Oblczae lczby π metodą Mote Carlo Wartosc dolada: rtf(" %5d cala %f rozca %e\",5,w,fabs(w-8/3; rtf(" %5d cala Metoda %f rostoatow: rozca %e\",,w,fabs(w-8/3; rtf(" %5d cala %f rozca 5 cala %e\",,w,fabs(w-8/3; 6689 rozca e- rtf(" %5d cala %f rozca cala %e\",,w3,fabs(w3-8/3; rozca e-3 rtf(" %5d cala %f rozca cala %e\",,w4,fabs(w4-8/3; rozca 66965e-5 cala rozca e-7 rtf("\metoda arabol:\"; cala rozca e-7 w Metodaarabol(,,5; w Metodaarabol(,,; Metoda traezow: w Metodaarabol(,,; 5 cala 6879 rozca e- w3 Metodaarabol(,,; cala rozca e- w4 Metodaarabol(,,; cala rozca 337e-4 cala rozca 74843e-6 rtf(" %5d cala %f rozca cala %e\",5,w,fabs(w-8/3; rozca e-7 rtf(" %5d cala %f rozca %e\",,w,fabs(w-8/3; rtf(" %5d cala Metoda %f arabol: rozca %e\",,w,fabs(w-8/3; rtf(" %5d cala %f rozca 5 cala %e\",,w3,fabs(w3-8/3; rozca e-8 rtf(" %5d cala %f rozca cala %e\",,w4,fabs(w4-8/3; rozca e-8 cala rozca e-8 system("ause"; cala rozca e-8 retur (; cala rozca e-8 załóŝmy, Ŝe ccemy oblczyć ole oła wsaego w wadrat o bou rówym r, gdze r - romeń oła ola oła wadratu osują wzory: o orówau owyŝszyc wzorów otrzymamy: czyl: oło π r wadrat ( r 4 r oło r r π 4 wadrat oło wadrat π 4 oło π 4 (5 wadrat r r mając zatem oblczoe wczeej w ewe sosób ole wadratu ole oła wsaego w te wadrat, moŝa w rosty sosób oblczyć wartoć lczby π Wyład r 7 7/38 Wyład r 7 8/38 Oblczae lczby π metodą Mote Carlo odstawowe ytae: ja oblczyć ole oła? Stosujemy metodę Mote Carlo: wyzaczamy wewątrz wadratu bardzo duŝo losowyc utów zlczamy te uty, tóre wadają do wętrza oła stosue lczby utów zawerającyc sę w ole do wszystc wylosowayc utów będze dąŝył w esończooc do stosuu ola oła do ola wadratu: gdze: oło - lczba utów w ole wadrat - lczba wszystc utów oło oło π 4 4 (6 wadrat wadrat r r Oblczae lczby π metodą Mote Carlo - rogram w C (/ /* Name: w9 MoteCarloc Coyrgt: olteca Bałostoca, Wydzał Eletryczy Autor: Jarosław Forec (jaref@bedul Date: Descrto: Oblczae lczby metod Mote Carlo */ #clude <stdo> #clude <tme> #clude <stdlb> #clude <mat> t ma(t argc, car *argv[] t t_wadrat ; /* uty w wadrace */ t t_olo ; /* uty w ole */ float, y; /* wsolrzede utu */ float ; /* oblczoa wartosc lczby */ t ; erwsze zastosowae: Marqus erre-smo de Lalace (886

8 Wyład r 7 9/38 Wyład r 7 3/38 Oblczae lczby π metodą Mote Carlo - rogram w C (/ Oblczae lczby π metodą Mote Carlo srad(tme(null; for (; <t_wadrat; ++ * (rad(/(floatrand_max; y * (rad(/(floatrand_max; f ((-*(-+(y-*(y- < t_olo++; 4 * (float t_olo / t_wadrat; rtf("uty w wadrace: %d\",t_wadrat; rtf("uty w ole: %d\",t_olo; rtf("oblczoa wartosc I: %f\",; rtf("blad: %f\",fabs(m_i-; system("ause"; retur ; uty w wadrace: uty w ole: 79 Oblczoa wartosc I: 364 Blad: 47 ZaleŜoć doładoc wyzaczaa lczby π od lczby losowyc utów: w aŝdym rzyadu wyzaczao lczbę π razy wartoc rzedstawoe w tabel są redą arytmetyczą otrzymayc wyów rostoat oło 7, , , ,8 7853,6 Średa wartoć lczby π 3,3898 3,3955 3,4543 3,434 3,499 Śred błąd bezwzględy,47763,4593,495,3,456 Śred błąd względy 3,9847 % 4,655 %,33554 %,488 %,375 % doładoć wyu jest zaleŝa od lczby srawdzeń w mejszym stou, jaoc uŝytego geeratora lczb seudolosowyc Wyład r 7 3/38 Wyład r 7 3/38 Metoda Mote Carlo Całowae umerycze - metoda Mote Carlo jao metodę Mote Carlo (MC orela sę dowolą tecę uŝywającą lczb losowyc do rozwązaa roblemu Defcja Haltoa (97: metoda Mote Carlo jest to metoda rerezetująca rozwązae roblemu w ostac arametru ewej otetyczej oulacj uŝywająca losowyc sewecj lczb do sostruowaa róby losowej daej oulacj, z tórej mogą być otrzymae oszacowaa statystycze tego arametru metoda Mote Carlo jest stosowaa do modelowaa matematyczego rocesów zbyt złoŝoyc, aby moŝa było rzewdzeć c wy za omocą odejca aaltyczego stotą rolę w metodze MC odgrywa losowae (wybór rzyadowy weloc carateryzującyc roces zastosowaa metody MC: oblczae całe łańcucy rocesów statystyczyc otymalzacja oblczamy rzyblŝoą wartoć cał ozaczoej: dla fucj f(, tórej całę ccemy oblczyć w rzedzale [, ] wyzaczamy rostoąt obejmujący ole od wyresem tej fucj o wysooc długoc odstawy ( - losujemy utów zlczamy te uty w, tóre wadają w ole od wyresem fucj wartoć cał oblczaa jest a odstawe wzoru rzyblŝoego: I f ( d (7 w I f ( d ( (8 owyŝsza metoda azywaa jest: cybł-trafł, orzeł-resza, suces-oraŝa f( ( - w

9 ć ć Wyład r 7 33/38 Wyład r 7 34/38 Całowae umerycze - metoda Mote Carlo Całowae umerycze - metoda Mote Carlo Wady metody: w ogólym rzyadu mogą ojawć sę roblemy z wyzaczeem wysooc algorytm metody mus być dodatowo zmodyfoway, gdy fucja zmea za w rzedzale całowaa Ia wersja algorytmu: a odstawe ser losowo wybrayc wsółrzędyc wyzaczamy redą z wartoc fucj w rzedzale całowaa otrzymaa reda jest moŝoa rzez długoć rzedzału całowaa: I f ( losowe f ( d ( (9 gdze losowe jest wartocą seudolosową z rzedzału całowaa [, ] Lsta roów: Kro : : Kro : Kro 3: dla,,,-: Kro 4: s d,, geeruj losowe w rzedzale [, ] s s + f ( losowe s s d Kro 5: sz ć cał,, s d ( - < geeruj losowe w rzedzale [, ] s s + f( losowe s d s/ sz cał + Wyład r 7 35/38 Wyład r 7 36/38 Całowae umerycze - metoda Mote Carlo Metoda Mote Carlo - rogram w C (/ float MetodaMoteCarlo(float, float, t t ; float s, d, _los;,, #clude <stdo> #clude <stdlb> #clude <mat> #clude <tme> srad(tme(null; d -; for (; <; ++ _los+(floatrad(/(rand_max+*d; s s + f(_los; s d * s / ; retur s; s d ( - < geeruj losowe w rzedzale [, ] s s + f( losowe + s d s/ sz cał float f(float retur (*; float MetodaMoteCarlo(float, float, t t ; float s, d, _losowe; srad(tme(null; d -; for (; <; ++ _losowe + (floatrad(/(rand_max+*d; s s + f(_losowe; s d * s / ; retur s;

10 Wyład r 7 37/38 Wyład r 7 38/38 Metoda Mote Carlo - rogram w C (/ Metoda Mote Carlo - rogram w C (/ t ma( float,, w, w, w, w3, w4; rtf("wartosc dolada: %f\\",8/3; rtf("\metoda Mote Carlo:\"; w MetodaMoteCarlo(,,; w MetodaMoteCarlo(,,; w MetodaMoteCarlo(,,; w3 MetodaMoteCarlo(,,; w4 MetodaMoteCarlo(,,; rtf(" %6d cala %f rozca %e\",,w,fabs(w-8/3; rtf(" %6d cala %f rozca %e\",,w,fabs(w-8/3; rtf(" %6d cala %f rozca %e\",,w,fabs(w-8/3; rtf(" %6d cala %f rozca %e\",,w3,fabs(w3-8/3; rtf(" %6d cala %f rozca %e\",,w4,fabs(w4-8/3; system("ause"; retur (; Wartosc dolada: t ma( Metoda Mote Carlo: float,, w, w, cala w, w3, w4; rozca 55863e+ rtf("wartosc dolada: %f\\",8/3; cala rozca e- cala 736 rozca e- rtf("\metoda Mote Carlo:\"; cala rozca 3759e- w MetodaMoteCarlo(,,; cala rozca e- w MetodaMoteCarlo(,,; w MetodaMoteCarlo(,,; w3 MetodaMoteCarlo(,,; w4 MetodaMoteCarlo(,,; rtf(" %6d cala %f rozca %e\",,w,fabs(w-8/3; rtf(" %6d cala %f rozca %e\",,w,fabs(w-8/3; rtf(" %6d cala %f rozca %e\",,w,fabs(w-8/3; rtf(" %6d cala %f rozca %e\",,w3,fabs(w3-8/3; rtf(" %6d cala %f rozca %e\",,w4,fabs(w4-8/3; system("ause"; retur (;