Podstawy informatyki 2. Podstawy informatyki 2. Wykład nr 9 ( ) Plan wykładu nr 9. Politechnika Białostocka. - Wydział Elektryczny

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Podstawy informatyki 2. Podstawy informatyki 2. Wykład nr 9 (09.05.2007) Plan wykładu nr 9. Politechnika Białostocka. - Wydział Elektryczny"

Transkrypt

1 odstawy iforatyki Wykład r 9 /44 odstawy iforatyki olitechika Białostocka - Wydział Elektryczy Elektrotechika, seestr II, studia stacjoare Rok akadeicki 006/007 la wykładu r 9 Obliczaie liczby π etodą Mote Carlo Całkowaie uerycze - etoda Mote Carlo Metody poszukiwaia ekstreu fukcji jedej zieej etoda dzieleia przedziału a połowę etoda złotego Wykład r 9 ( ) odstawy iforatyki Wykład r 9 3/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 4/44 Obliczaie liczby π etodą Mote Carlo Obliczaie liczby π etodą Mote Carlo załóŝy, Ŝe chcey obliczyć pole koła wpisaego w kwadrat o boku rówy r, gdzie r - proień koła pola koła i kwadratu opisują wzory: po porówaiu powyŝszych wzorów otrzyay: czyli: koło = π r kwadrat = ( r) = 4 r koło r = r = π 4 kwadrat koło = kwadrat π 4 koło π = 4 () kwadrat ając zate obliczoe wcześiej w pewie sposób pole kwadratu i pole koła wpisaego w te kwadrat, oŝa w prosty sposób obliczyć wartość liczby π podstawowe pytaie: jak obliczyć pole koła? Stosujey etodę Mote Carlo: wyzaczay wewątrz kwadratu bardzo duŝo losowych puktów zliczay te pukty, które wpadają do wętrza koła stosuek liczby puktów zawierających się w kole do wszystkich wylosowaych puktów będzie dąŝył w ieskończoości do stosuku pola koła do pola kwadratu: gdzie: koło - liczba puktów w kole kwadrat - liczba wszystkich puktów koło koło π = 4 4 () kwadrat kwadrat pierwsze zastosowaie: Marquis ierre-sio de Laplace (886)

2 ą odstawy iforatyki Wykład r 9 5/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 6/44 Obliczaie liczby π etodą Mote Carlo - progra w C (/) Obliczaie liczby π etodą Mote Carlo - progra w C (/) /* Nae: w09_0_pi_motecarlo.c Copyright: olitechika Białostocka, Wydział Elektryczy Author: Jarosław Forec Date: Descriptio: Obliczaie liczby i etod Mote Carlo */ #iclude <stdio.h> #iclude <tie.h> #iclude <stdlib.h> #iclude <ath.h> it ai(it argc, char *argv[]) it pkt_kwadrat = 000; /* pukty w kwadracie */ it pkt_kolo = 0; /* pukty w kole */ float x, y; /* wspolrzede puktu */ float pi; /* obliczoa wartosc liczby pi */ it i; srad(tie(null)); for (i=0; i<pkt_kwadrat; i++) x =.0 * (rad()/(float)rand_max); y =.0 * (rad()/(float)rand_max); if ((x-)*(x-)+(y-)*(y-) <= ) pkt_kolo++; pi = 4.0 * (float) pkt_kolo / pkt_kwadrat; pritf("ukty w kwadracie: %d\",pkt_kwadrat); pritf("ukty w kole: %d\",pkt_kolo); pritf("obliczoa wartosc I: %f\",pi); pritf("blad: %f\",fabs(m_i-pi)); syste("pause"); retur 0; ukty w kwadracie: 000 ukty w kole: 79 Obliczoa wartosc I: Blad: odstawy iforatyki Wykład r 9 7/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 8/44 Obliczaie liczby π etodą Mote Carlo ZaleŜość dokładości wyzaczaia liczby π od liczby losowych puktów: w kaŝdy przypadku wyzaczao liczbę π razy wartości przedstawioe w tabeli są średią arytetyczą otrzyaych wyików prostokat koło 7, , , , ,6 Średia wartość liczby π 3,3898 3, ,4543 3,434 3,499 Średi błąd bezwzględy 0, ,4593 0, ,03 0,00456 Średi błąd względy 3,9847 % 4,6055 %, % 0,40880 % 0,375 % dokładość wyiku jest zaleŝa od liczby sprawdzeń i w iejszy stopiu, jakości uŝytego geeratora liczb pseudolosowych Metoda Mote Carlo jako etodę Mote Carlo (MC) określa się dowolą techikę uŝywającą liczb losowych do rozwiązaia probleu Defiicja Haltoa (970): etoda Mote Carlo jest to etoda reprezetująca rozwiązaie probleu w postaci paraetru pewej hipotetyczej populacji i uŝywająca losowych sekwecji liczb do skostruowaia próby losowej daej populacji, z której ogą być otrzyae oszacowaia statystycze tego paraetru etoda Mote Carlo jest stosowaa do odelowaia ateatyczego procesów zbyt złoŝoych, aby oŝa było przewidzieć ich wyiki za poocą podejścia aalityczego istotą rolę w etodzie MC odgrywa losowaie (wybór przypadkowy) wielkości charakteryzujących proces zastosowaia etody MC: obliczaie całek łańcuchy procesów statystyczych optyalizacja

3 odstawy iforatyki Wykład r 9 9/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 0/44 Całkowaie uerycze - etoda Mote Carlo Całkowaie uerycze - etoda Mote Carlo obliczay przybliŝoą wartość całki ozaczoej: dla fukcji f(x), której całkę chcey obliczyć w przedziale [x p,x k ] wyzaczay prostokąt obejujący pole pod wykrese tej fukcji o wysokości h i długości podstawy (x k -x p ) losujey puktów i zliczay te pukty w, które wpadają w pole pod wykrese fukcji wartość całki obliczaa jest a podstawie wzoru przybliŝoego: x xk I = ) dx (3) x p k w I = ) dx h( xk x p ) (4) x p powyŝsza etoda azywaa jest: chybił-trafił, orzeł-reszka, sukces-poraŝka Wady etody: w ogóly przypadku ogą pojawić się probley z wyzaczeie wysokości h algoryt etody usi być dodatkowo zodyfikoway, gdy fukcja zieia zak w przedziale całkowaia Ia wersja algorytu: a podstawie serii losowo wybraych współrzędych x wyzaczay średią z wartości fukcji w przedziale całkowaia otrzyaa średia jest oŝoa przez długość przedziału całkowaia: I losowe ) i= ) dx ( xk x p ) (4) xk = x p gdzie x losowe jest wartością pseudolosową z przedziału całkowaia [x p,x k ] odstawy iforatyki Wykład r 9 /44 odstawy iforatyki Wykład r 9 /44 Całkowaie uerycze - etoda Mote Carlo Lista kroków: Krok : Czytaj: Krok : Krok 3: dla i = 0,,,-: Krok 4: s = 0 d k x p x p, xk, geeruj x losowe w przedziale [x p,x k ] s = s + losowe s s = dx Krok 5: isz s - wartość całki ) Całkowaie uerycze - etoda Mote Carlo float MetodaMoteCarlo(float xp, float xk, it ) it i; float s=0, dx, x_los; srad(tie(null)); dk-xp; for (i=0; i<; i++) x_los=xp+(float)rad()/(rand_max+)*dx; s = s + f(x_los); s = dx * s / ; retur s;

4 odstawy iforatyki Wykład r 9 3/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 4/44 Metoda Mote Carlo - progra w C (/) Metoda Mote Carlo - progra w C (/) #iclude <stdio.h> #iclude <stdlib.h> #iclude <ath.h> #iclude <tie.h> float f(float x) retur (x*x); float MetodaMoteCarlo(float xp, float xk, it ) it i; float s=0, dx, x_losowe; srad(tie(null)); dk-xp; for (i=0; i<; i++) x_losowe = xp + (float)rad()/(rand_max+)*dx; s = s + f(x_losowe); s = dx * s / ; retur s; Wartosc doklada: it ai() Metoda Mote Carlo: float xp = 0.0, xk =.0, = w0, 0 w, calka w, w3, = w4; rozica =.55863e+000 pritf("wartosc doklada: = %.0f\\",8.0/3.0); 00 calka = rozica = e-00 = 000 calka =.7036 rozica = e-00 pritf("\metoda Mote Carlo:\"); = 0000 calka = rozica = e-00 w0 = MetodaMoteCarlo(xp,xk,0); = calka = rozica = e-00 w = MetodaMoteCarlo(xp,xk,00); w = MetodaMoteCarlo(xp,xk,000); w3 = MetodaMoteCarlo(xp,xk,0000); w4 = MetodaMoteCarlo(xp,xk,00000); pritf(" = %6d calka = %.0f rozica = %e\",0,w0,fabs(w0-8.0/3.0)); pritf(" = %6d calka = %.0f rozica = %e\",00,w,fabs(w-8.0/3.0)); pritf(" = %6d calka = %.0f rozica = %e\",000,w,fabs(w-8.0/3.0)); pritf(" = %6d calka = %.0f rozica = %e\",0000,w3,fabs(w3-8.0/3.0)); pritf(" = %6d calka = %.0f rozica = %e\",00000,w4,fabs(w4-8.0/3.0)); syste("ause"); retur (0); odstawy iforatyki Wykład r 9 5/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 6/44 Ekstreu fukcji Ekstreu lokale a pochoda fukcji ekstreu globale fukcji to taki pukt, w który wartość fukcji jest większa (aksiu globale) lub iejsza (iiu globale) iŝ we wszystkich iych puktach ekstreu lokale (ekstreu) to taki pukt x, w który fukcja a wartość większą (aksiu lokale) lub odpowiedio iejszą (iiu lokale), od wszystkich iych puktów w pewy otoczeiu x rzykład: 3 ) = x + x x aksiu lokale iiu lokale fukcja a rysuku a jedo aksiu lokale i jedo iiu lokale, ie a atoiast ekstreu globalego kaŝde ekstreu globale jest jedocześie ekstreu lokaly daa fukcja oŝe ieć tylko jedo iiu globale i tylko jedo aksiu globale (lub ie ieć Ŝadego), atoiast dowolie wiele ekstreów lokalych źródło: jeśli fukcja f(x) a w pukcie x 0 lokale ekstreu oraz obustroą pochodą, to jej pochoda w ty pukcie jest rówa zeru powyŝsze stwierdzeie jest warukie koieczy istieia ekstreu fukcji róŝiczkowalej w day pukcie, ie jest to jedak waruek wystarczający aby w pukcie x 0 występowało lokale aksiu dodatkowo: w lewy sąsiedztwie puktu x 0 wartość pochodej usi być większa od zera w prawy sąsiedztwie puktu x 0 wartość pochodej usi być iejsza od zera aby w pukcie x 0 występowało lokale iiu dodatkowo: w lewy sąsiedztwie puktu x 0 wartość pochodej usi być iejsza od zera w prawy sąsiedztwie puktu x 0 wartość pochodej usi być większa od zera

5 odstawy iforatyki Wykład r 9 7/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 8/44 Ekstreu lokale a pochoda fukcji Optyalizacja jeśli pochoda fukcji f(x) w pukcie x 0 wyosi zero: f (x 0 ) = 0, to jeśli druga pochoda f (x 0 ) = (f (x 0 )) jest: poszukiwaie ekstreu fukcji jedej zieej jest jedy z eleetów szerszego działu auki azywaego optyalizacją większa od zera, to f(x) w pukcie x 0 a iiu lokale iejsza od zera, to f(x) w pukcie x 0 a aksiu lokale rówa zeru, to f(x) w pukcie x 0 a pukt przegięcia optyalizacja jest to etoda wyzaczaia ajlepszego rozwiązaia (poszukiwaia ekstreu fukcji) z puktu widzeia określoego kryteriu (wskaźika) jakości (p. kosztu, drogi, wydajości) w ateatyce teri optyalizacja odosi się do astępującego probleu: daa jest fukcja f: A R, gdzie eleety zbioru A są eleetai rzeczywistyi, poszukiway jest eleet x 0 A taki Ŝe, f(x 0 ) f(x) dla wszystkich x A (aksyalizacja) lub f(x 0 ) f(x) dla wszystkich x A (iializacja) w etodach optyalizacji fukcja f(x) ozaczaa jest jako C(x) i azywaa fukcją celu (wskaźikie jakości, kryteriu jakości, kryteriu optyalizacyjy) etody poszukiwaia ekstreu lokalego fukcji jedowyiarowych dzielą się a trzy grupy: ) etody oparte a zasadzie eliiacji przedziałów ) etody wykorzystujące aproksyacje fukcji celu 3) etody wykorzystujące wartości pochodych fukcji celu odstawy iforatyki Wykład r 9 9/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 0/44 Fukcja uiodala Metody oparte a zasadzie eliiacji przedziałów Defiicja: fukcja f(x) jest uiodala w przedziale a x b gdy jest ootoicza po obu stroach puktu iialego x * w rozpatryway przedziale jeśli x * - jedyy pukt iiu f(x) zawiera się w przedziale a x b, to f(x) jest uiodala w day przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy dla puktów x i x rzykład: z x * x x wyika, Ŝe f(x * ) f(x ) f(x ) i z x * x x wyika, Ŝe f(x * ) f(x ) f(x ) fukcja ootoiczie wzrasta przy x 0 i ootoiczie wzrasta przy x 0 fukcja osiąga iiu w pukcie * i jest ootoicza po obu stroach od puktu iiu etody te pozwalają określić ekstreu fukcji jedej zieej drogą kolejego wyboru przedziałów i kolejo drogę ziejszaia przedziału poszukiwań w etodach tych zakłada się, Ŝe badaa fukcja w dopuszczaly przedziale posiada właściwość uiodalości dzięki powyŝszej właściwości, porówując wartość fukcji f(x) w dwóch róŝych puktach przedziału poszukiwań, oŝa określić, w który z wyzaczoych tyi puktai przedziałów zajduje się ekstreu fukcja f(x) jest uiodala

6 odstawy iforatyki Wykład r 9 /44 odstawy iforatyki Wykład r 9 /44 Metody oparte a zasadzie eliiacji przedziałów Metody oparte a zasadzie eliiacji przedziałów Twierdzeie: iech f(x) będzie fukcją uiodalą w przedziale a x b oraz iech iiu fukcji f(x) zajduje się w pukcie x * jeśli pukty x i x spełiają waruek a < x < x < b, to porówując wartości fukcji w puktach x i x oŝa określić: jeśli f(x ) > f(x ), to pukt iiu ie leŝy w przedziale (a,x ), czyli x * (x,b) jeśli f(x ) < f(x ), to pukt iiu ie leŝy w przedziale (x,b), czyli x * (a,x ) przedstawioe twierdzeie pozwala stosować procedurę poszukiwań ekstreu fukcji polegającą a wykluczaiu części wejściowego przedziału poszukiwaia ekstreu są kończoe, gdy przedział ziejszy się do dostateczie ałych roziarów w opisyway procesie poszukiwaia ekstreu wyróŝiae są dwa etapy: ) etap określaia graicy przedziału ) etap ziejszaia przedziału etoda połowieia etoda złotego etoda Fiboacciego Etap określaia graicy przedziału: ajczęściej poszukiwaia graiczych puktów przedziału zawierającego ekstreu wykouje się etodai heurystyczyi (ituicyjie) wybieray jest pukt a podstawie którego buduje się odpowiedio szeroki przedział zawierający ekstreu odstawy iforatyki Wykład r 9 3/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 4/44 Metody oparte a zasadzie eliiacji przedziałów Etap określaia graicy przedziału (etoda Swaa): zakładay: x 0 - dowoly pukt początkowy, zakładay: - dobieraa pewy sposobe wielkość kroku koleje pukty określa się według wzoru rekurecyjego: k xk + = xk ±, k = 0,,,... (5) zak określa się drogą porówań wartości fukcji f(x 0 - ), f(x 0 ), f(x 0 + ) jeśli f(x 0 - ) f(x 0 + ) to z załoŝeie uiodalości pukt iiu powiie leŝeć w prawo od puktu x 0 i wielkość wybieraa jest jako dodatia jeśli f(x 0 - ) < f(x 0 + ) to wielkość wybieraa jest jako ujea jeśli f(x 0 - ) f(x 0 ) f(x 0 + ) to pukt iiu leŝy iędzy puktai x 0 - i x 0 + i poszukiwaie puktów graiczych zostaje zakończoe Metody oparte a zasadzie eliiacji przedziałów Etap określaia graicy przedziału (etoda Swaa) - przykład: zaleźć graicze pukty przedziału zawierającego iiu fukcji przy pukcie początkowy x 0 = 30 i kroku = 5 zak określa się porówując wartości w puktach: 0 ) 0 0 poiewaŝ: ) = + ) = f (5) = f (35) 565 = f (30) = 4900 ) 0 ) to wielkość powia być dodatia = 0 sprawdzeie zaku związae było takŝe z wyzaczeie puktu x : x 0 = x0 + = = 35 ) ) = (00 x)

7 odstawy iforatyki Wykład r 9 5/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 6/44 Metody oparte a zasadzie eliiacji przedziałów Etap określaia graicy przedziału (etoda Swaa) - przykład: dla k = : x = x + = = 45 x = 35 ) = 45 * ) < ) więc x > 35 x = 45 ) = 305 Metody oparte a zasadzie eliiacji przedziałów Etap określaia graicy przedziału (etoda Swaa) - przykład: dla k = 3: x 3 4 = x3 + = = = 05 x3 = 65 3) = 5 * 4) < 3) więc x > 65 x = 05 ) = dla k = : x 3 = x + = = 65 x = 35 ) = 305 * 3) < ) więc x > 45 x = 45 ) = dla k = 4: x 4 5 = x4 + = = = 85 x4 = 05 4) = 5 * 5) > 4 ) więc x < 85 x = 85 ) = stąd przedział poszukiwań ekstreu to: (65,85) odstawy iforatyki Wykład r 9 7/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 8/44 Metody oparte a zasadzie eliiacji przedziałów owę Etap ziejszaia przedziału: po ustaleiu graic przedziału zawierającego pukt iiu stosujey bardziej złoŝoą procedurę zawęŝaia przedziału poszukiwań w celu otrzyaia rozwiązaia (iiu) z załoŝoą dokładością stosując odpowiedi algoryt iteracyjy, ziejszay w kaŝdy kroku wielkość przedziału stopień ziejszeia przedziału zaleŝy jest od połoŝeia próbych puktów etoda ta pozwala a eliiację połowy przedziału w kaŝdej iteracji w przedziale poszukiwań ekstreu [a,b] wybieray trzy pukty próbe (x, x, x ), dzielące przedział a cztery rówe części: x = a + L / 4, x = ( a + b) /, x = b L / 4, L = b a (6) jeśli wartość fukcji w pukcie x jest iejsza od wartości fukcji w pukcie x (f(x )<f(x )), to jako owy przedział poszukiwań wybieray lewy podprzedział [a,x ]: a = a x = x (7)

8 odstawy iforatyki Wykład r 9 9/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 30/44 owę owę jeśli wartość fukcji w pukcie x jest iejsza od wartości fukcji w pukcie x (f(x )<f(x )), to jako owy przedział poszukiwań wybieray prawy podprzedział [x,b]: a = x x = x (8) b = b ziejszaie długości przedziału kończyy, gdy jego długość jest iejsza od załoŝoej dokładości: b a ε jako wartość ekstreu przyjujey środek przedziału: a + b L x = lub x = a + (0) () jeśli Ŝade z powyŝszych waruków ie jest prawdziwy, to pukt środkowy, x, ie zieia się, zaś do dalszych obliczeń wybieray podprzedział [x,x ]: Uwagi: w kaŝdej iteracji są potrzebe ie więcej iŝ dwa obliczeia wartości fukcji a = x x = x (9) odstawy iforatyki Wykład r 9 3/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 3/44 owę Lista kroków: Krok : Czytaj: Krok : Krok 3: x a,b,ε = ( a + b) /, Krok 4: jeśli f(x ) < f(x ), to: przejdź do: Krok 7 Krok 5: jeśli f(x ) < f(x ), to: przejdź do: Krok 7 L = b a x = a + L / 4, x = b L / 4, L = b a, x x = a = x, L = b a, x x = Krok 6: x pozostaje, zawęŝay przedział a = x,, L = b a Krok 7: jeśli b a > ε to przejdź do: Krok Krok 8: isz: x = ( a + b) / - wartość iiu owę float MetodaDwudzielosci(float a, float b, float eps) float x, x, x, fx, fx, fx, L; x = (a+b)/; fx = f(x); L = b-a; do x = a+l/4; fx = f(x); x = b-l/4; fx = f(x); if (fx < fx) ; L = b-a; ; fx = fx; else if (fx < fx) a = x; L = b-a; ; fx = fx; else a = x; ; L = b-a; while (fabs(b-a)>*eps); retur (a+l/);

9 odstawy iforatyki Wykład r 9 33/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 34/44 owę - przykład (/3) owę - przykład (/3) wyzaczyć iiu fukcji: ) = (00 x) w przedziale: [60,50] druga iteracja: obliczeia wstępe: a = 60, b = 50, L = b a = = 90 x pierwsza iteracja: x = a + L / 4 = / 4 = 8.5 x = b L / 4 = / 4 = 7.5 = ( a + b) / = ( ) / = 05, ) = f (8.5) = ) = f (7.5) = > > ) = f (05) = 5 ) = f (05) = 5 ) = f (05) = 5 x = a + L / 4 = / 4 = x = b L / 4 = / 4 = 6.5 ) = f (93.75) = ) = f (6.5) = > > ) = f (05) = 5 ) = f (05) = 5 wybieray środkowy przedział: a = x = 93.75, x = x = 05, = 6.5 L = b a = =.5 wybieray środkowy przedział: a = x = 8.5, x = x = 05, = 7.5 L = b a = = 45 odstawy iforatyki Wykład r 9 35/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 36/44 owę - przykład (3/3)... trzecia iteracja: x = a + L / 4 = / 4 = x = b L / 4 = 6.5.5/ 4 = 0.65 ) = f (99.375) = 0.39 ) = f (0.65) =.89 wybieray lewy przedział: a = a = 93.75, x = x = , L = b a = =.5 ) = f (05) = 5 obliczeia kończyy, gdy spełioy jest waruek: < = 05 b a ε w etodzie złotego stosowae są dwa pukty próbe, które dzielą przedział w sposób pokazay a rysuku wartość stałej τ wyosi: τ = ( 5 ) / = () Dlaczego taki podział? podział przedstawioy a rysuku spełia trzy waruki: ) pukty próbe są rozieszczoe w jedakowych odległościach od środka przedziału ) pukty próbe są rozieszczoe syetryczie w taki sposób, ze stosuek długości eliiowaego podprzedziału do wielkości całego podprzedziału jest stały 3) w kaŝdej iteracji obliczaa jest tylko jeda wartość fukcji

10 odstawy iforatyki Wykład r 9 37/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 38/44 Dlaczego etoda złotego? Algoryt etody złotego : w geoetrii złoty podziałe azywa się taki podział odcika a dwie części, przy który stosuek całego odcika do jego większej części jest rówy stosukowi większej części do iejszej a b = b c jeśli wartość fukcji w pukcie x jest większa od wartości fukcji w pukcie x (f(x )>f(x )), to jako owy przedział poszukiwań wybieray prawy podprzedział [x,b]: a = x + a b = b (4) Algoryt etody złotego : w przedziale poszukiwań ekstreu [a,b] wybieray dwa pukty próbe (x, x ), dzielące przedział a trzy części: gdzie: x = ( b a) τ ) + b x = ( b a) + a (3) τ = ( 5 ) / = w przeciwy przypadku jako owy przedział poszukiwań wybieray lewy podprzedział [a,x ]: a = a τ ) + b (5) odstawy iforatyki Wykład r 9 39/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 40/44 Algoryt etody złotego : ziejszaie długości przedziału kończyy, gdy jego długość jest iejsza od załoŝoej dokładości: b a ε jako wartość ekstreu przyjujey środek przedziału: a + b x = (6) (7) Lista kroków: Krok : Czytaj: Krok : a,b,ε τ ) + b + a Krok 3: jeśli f > f, to: Krok 4: jeśli f f, to: a = x f = ) Krok 7: jeśli b a > ε to przejdź do: Krok 3 Krok 8: isz: x = ( a + b) / - wartość iiu f = f f = ) x = ( b a) + a f = ) przejdź do: Krok 5 x = ( b a) τ ) + b f = ) przejdź do: Krok 5 f = f

11 odstawy iforatyki Wykład r 9 4/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 4/44 - przykład (/3) float Zlotyodzial(float a, float b, float eps) float x, x, fx, fx, t; t = (sqrt(5)-)/; x = (b-a)*(-t)+b; fx = f(x); x = (b-a)*t+a; fx = f(x); do if (fx > fx) a = x; ; fx = fx; x = (b-a)*t+a; fx = f(x); else ; ; fx = fx; x = (b-a)*(-t)+b; fx = f(x); while (fabs(b-a)>*eps); retur (a+b)/; wyzaczyć iiu fukcji: ) = (00 x) w przedziale: [60,50] obliczeia wstępe: a = 60, pierwsza iteracja: b = 50, τ = 0.68 τ ) + b = (50 60) 0.68) + 50 = a = (50 60) = 5.6 ) = f (94.38) = 3.58, ) < ) a = a = 60 = 5.6 = ) = 3.58 ) = f (8.4) = ) = f (5.6) = τ ) + b = (5.6 60) 0.68) = 8.4 wybieray lewy podprzedział: [60,5.6] ) = f (94.38) = 3.58 ) = f (5.6) = odstawy iforatyki Wykład r 9 43/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 44/44 - przykład (/3) - przykład (3/3) druga iteracja: druga iteracja: ) = f (8.4) = 35.93, ) = f (94.38) = 3.58 ) = f (94.38) = 3.58, ) = f (0.48) = 6.8 ) > ) = 8.4 b = b = 5.6 a = x = ) = 3.58 ) = f (0.48) = 6.8 wybieray prawy podprzedział: [8.4,5.6] + a = ( ) = 0.48 ) > ) = b = b = 5.6 a = x = 0.48 ) = 6.8 ) = f (07.5) = 56.5 wybieray prawy podprzedział: [94.38,5.6] + a = ( ) = obliczeia kończyy, gdy spełioy jest waruek: b a ε

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu

Bardziej szczegółowo

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3: Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego

Bardziej szczegółowo

Chemia Teoretyczna I (6).

Chemia Teoretyczna I (6). Chemia Teoretycza I (6). NajwaŜiejsze rówaia róŝiczkowe drugiego rzędu o stałych współczyikach w chemii i fizyce cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Przez

Bardziej szczegółowo

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce! Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005 Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,

Bardziej szczegółowo

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi. Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe

Bardziej szczegółowo

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic). Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

Poziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń:

Poziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń: PIOTR LUDWIKOWSKI Materiał z wykładu z aalizy dla uczestików koerecji Podstawa programowa z kometarzami Tom 6 Edukacja matematycza i techicza w szkole podstawowej, gimazjum i liceum matematyka, zajęcia

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek.

Zadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek. FUNKCJA KWADRATOWA. Zadaia zamkięte. Zadaie. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem fukcji f ( x) ( x ) ma współrzęde: A. ( ; ) B. ( ; ) C. ( ; ) D. ( ; ) Zadaie. Zbiorem rozwiązań ierówości: (x )(x

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony Wymagaia edukacyje a poszczególe ocey z matematyki w klasie III poziom rozszerzoy Na oceę dopuszczającą, uczeń: zazacza kąt w układzie współrzędych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyzacza wartości

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA

ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością

Bardziej szczegółowo

Wykład 4 Soczewki. Przyrządy optyczne

Wykład 4 Soczewki. Przyrządy optyczne Wykład 4 Soczewki. Przyrządy optycze Soczewka cieka - rówaie zlifierzy oczewek Rozważyy teraz dwie powierzchi ferycze oddzielające ośrodki o wpółczyikach załaaia kolejo i odległych od iebie o d. Niech

Bardziej szczegółowo

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień.

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień. Metoda aalizy hierarchii Saaty ego Ważym problemem podejmowaia decyzji optymalizowaej jest często występująca hierarchiczość zagadień. Istieje wiele heurystyczych podejść do rozwiązaia tego problemu, jedak

Bardziej szczegółowo

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium Marci Rociek Iformatyka, II rok Metody Obliczeiowe w Nauce i Techice laboratorium zestaw 1: iterpolacja Zadaie 1: Zaleźć wzór iterpolacyjy Lagrage a mając tablicę wartości: 3 5 6 y 1 3 5 6 Do rozwiązaia

Bardziej szczegółowo

wykład V uzupełnienie notatek: dr Jerzy Białkowski Programowanie C/C++ Język C++ klasy i obiekty wykład V dr Jarosław Mederski Spis Język C++ - klasy

wykład V uzupełnienie notatek: dr Jerzy Białkowski Programowanie C/C++ Język C++ klasy i obiekty wykład V dr Jarosław Mederski Spis Język C++ - klasy i obiekty Programowanie i obiekty uzupełnienie notatek: dr Jerzy Białkowski i obiekty 1 2 3 4 i obiekty Obiektowość języka C++ Na tym wykładzie poznamy: ˆ Klasa (w języku C++ rozszerzenie struktury, typ

Bardziej szczegółowo

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty Materiały pomocicze do e-learigu Matematyka Jausz Górczyński Moduł. Graica fukcji, asymptoty Wyższa Szkoła Zarządzaia i Marketigu Sochaczew Od Autora Treści zawarte w tym materiale były pierwotie opublikowae

Bardziej szczegółowo

Zdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe

Zdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki

Bardziej szczegółowo

I. Podzielność liczb całkowitych

I. Podzielność liczb całkowitych I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.

Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..

Bardziej szczegółowo

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość

Bardziej szczegółowo

4. PRZEKŁADNIKI PRĄDOWE I NAPIĘCIOWE

4. PRZEKŁADNIKI PRĄDOWE I NAPIĘCIOWE 4. PRZEŁDN PRĄDOWE NPĘOWE 4.. Wstęp 4.. Przekładiki prądowe Przekładikie prądowy prądu zieego azywa się trasforator przezaczoy do zasilaia obwodów prądowych elektryczych przyrządów poiarowych oraz przekaźików.

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE. Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE.  Strona 1 KURS STATYSTYKA Lekcja 3 Parametrycze testy istotości ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Stroa Część : TEST Zazacz poprawą odpowiedź (tylko jeda jest prawdziwa). Pytaie Statystykę moża rozumieć jako: a) próbkę

Bardziej szczegółowo

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012 Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0

Bardziej szczegółowo

(1) gdzie I sc jest prądem zwarciowym w warunkach normalnych, a mnożnik 1,25 bierze pod uwagę ryzyko 25% wzrostu promieniowania powyżej 1 kw/m 2.

(1) gdzie I sc jest prądem zwarciowym w warunkach normalnych, a mnożnik 1,25 bierze pod uwagę ryzyko 25% wzrostu promieniowania powyżej 1 kw/m 2. Katarzya JARZYŃSKA ABB Sp. z o.o. PRODUKTY NISKONAPIĘCIOWE W INSTALACJI PV Streszczeie: W ormalych warukach pracy każdy moduł geeruje prąd o wartości zbliżoej do prądu zwarciowego I sc, który powiększa

Bardziej szczegółowo

Ilustracja metody Monte Carlo obliczania pola obszaru D zawartego w kwadracie [a,b]x[a,b]

Ilustracja metody Monte Carlo obliczania pola obszaru D zawartego w kwadracie [a,b]x[a,b] Ilustracja metody Monte Carlo obliczania pola obszaru D zawartego w kwadracie [a,b]x[a,b] Dagna Bieda, Piotr Jarecki, Tomasz Nachtigall, Jakub Ciesiółka, Marek Kubiczek Metoda Monte Carlo Metoda Monte

Bardziej szczegółowo

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD 1 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010 Rozpatrujemy belkę swobodie podpartą obciążoą siłą skupioą, obciążeiem rówomierie

Bardziej szczegółowo

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4 Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium

Bardziej szczegółowo

SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI BITUMICZNYCH W SYSTEMIE OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN

SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI BITUMICZNYCH W SYSTEMIE OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZAŁĄCZNIK B GENERALNA DYREKCJA DRÓG PUBLICZNYCH Biuro Studiów Sieci Drogowej SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN WYTYCZNE STOSOWANIA - ZAŁĄCZNIK B ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI

Bardziej szczegółowo

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne?

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne? Jak obliczać podstawowe wskaźiki statystycze? Przeprowadzoe egzamiy zewętrze dostarczają iformacji o tym, jak ucziowie w poszczególych latach opaowali umiejętości i wiadomości określoe w stadardach wymagań

Bardziej szczegółowo

VII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3.

VII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3. KOOF Szczeci: www.of.szc.pl VII MIĘDZYNAODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretycze T3. Źródło: Komitet Główy Olimpiady Fizyczej; Olimpiada Fizycza XXIII XXIV, WSiP Warszawa 1977 Autor: Waldemar Gorzkowski

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIA NR 1 Z MATEMATYKI (Finanse i Rachunkowość, studia zaoczne, I rok) Zad. 1. Wyznaczyć dziedziny funkcji: 1 = 1, b) ( x) , c) h ( x) x x

ĆWICZENIA NR 1 Z MATEMATYKI (Finanse i Rachunkowość, studia zaoczne, I rok) Zad. 1. Wyznaczyć dziedziny funkcji: 1 = 1, b) ( x) , c) h ( x) x x ĆWICZENIA NR Z MATEMATYKI (Fiase i Rachukowość studia zaocze I rok) Zad Wyzaczyć dziedziy fukcji: a) f ( ) b) ( ) + + 6 f c) f ( ) + + d) f ( ) + e) ( ) f l f) f ( ) l( + ) + l( ) g) f ( ) l( si ) h) f

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011 Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Analiza matematyczna. Robert Rałowski Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................

Bardziej szczegółowo

Nie do końca zaawansowane elementy programowania w pakiecie R. Tomasz Suchocki

Nie do końca zaawansowane elementy programowania w pakiecie R. Tomasz Suchocki Nie do końca zaawansowane elementy programowania w pakiecie R Tomasz Suchocki Plan wykładu Metody Monte Carlo Jak bardzo można przybliżyć liczbę π? Całkowanie numeryczne R w Linuxie Tinn-R Metody Monte

Bardziej szczegółowo

Fundamentalna tabelka atomu. eureka! to odkryli. p R = nh -

Fundamentalna tabelka atomu. eureka! to odkryli. p R = nh - TEKST TRUDNY Postulat kwatowaia Bohra, czyli założoy ad hoc związek pomiędzy falą de Broglie a a geometryczymi własościami rozważaego problemu, pozwolił bez większych trudości teoretyczie przewidzieć rozmiary

Bardziej szczegółowo

MMF ćwiczenia nr 1 - Równania różnicowe

MMF ćwiczenia nr 1 - Równania różnicowe MMF ćwiczia r - Rówaia różicow Rozwiązać rówaia różicow pirwszgo rzędu: y + y = y = y + y =! y = Wsk Podzilić rówai przz! i podstawić z y /( )! Rozwiązać rówaia różicow drugigo rzędu: 5 6 F F F F F (ciąg

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1

Laboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1 1. Cel ćwiczeia: Laboratorium Sesorów i Pomiarów Wielkości Nieelektryczych Ćwiczeie r 1 Pomiary ciśieia Celem ćwiczeia jest zapozaie się z kostrukcją i działaiem czujików ciśieia. W trakcie zajęć laboratoryjych

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera Istrukcja do ćwiczeń laboratoryjych z przedmiotu: Badaia operacyje Temat ćwiczeia: Problemy trasportowe cd Problem komiwojażera Zachodiopomorski Uiwersytet Techologiczy Wydział Iżyierii Mechaiczej i Mechatroiki

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń 3 Wkład III: Waruki optmalości dla zadań bez ograiczeń Podae poiże waruki optmalości dla są uogólieiem powszechie zach waruków dla fukci ede zmiee (zerowaie się pierwsze pochode i lokala wpukłość) 3 Twierdzeie

Bardziej szczegółowo

Materiał powtarzany w II etapie. II 4. Ciągi

Materiał powtarzany w II etapie. II 4. Ciągi Materiał powtarzay w II etapie II. Ciągi 3 1, dla parzystych 1. Wyzacz sześć początkowych wyrazów ciągu a = { +1, dla ieparzystych. Które wyrazy ciągu a = są rówe 1? 3. Pomiędzy liczby 7 i 5 wstaw 5 liczb

Bardziej szczegółowo

Definicja interpolacji

Definicja interpolacji INTERPOLACJA Defiicja iterpolacji Defiicja iterpolacji 3 Daa jest fukcja y = f (x), x[x 0, x ]. Zamy tablice wartości tej fukcji, czyli: f ( x ) y 0 0 f ( x ) y 1 1 Defiicja iterpolacji Wyzaczamy fukcję

Bardziej szczegółowo

I kolokwium z Analizy Matematycznej

I kolokwium z Analizy Matematycznej I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI Miejsce a aklejkę z kodem szkoły dysleksja MIN-R_P-072 EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ ROK 2007 POZIOM ROZSZERZONY CZĘŚĆ I Czas pracy 90 miut Istrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzamiacyjy

Bardziej szczegółowo

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 + Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch

Bardziej szczegółowo

INWESTYCJE MATERIALNE

INWESTYCJE MATERIALNE OCENA EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI INWESTCJE: proces wydatkowaia środków a aktywa, z których moża oczekiwać dochodów pieiężych w późiejszym okresie. Każde przedsiębiorstwo posiada pewą liczbę możliwych projektów

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta Fukcje cze Moduł - dział -temat Fukcje cze dowolego kąta Lp 1 kąt w układzie współrzędych fukcje cze dowolego kąta zaki czych wartości czych iektórych kątów Kąt obrotu 2 dodati i ujemy kieruek obrotu wartości

Bardziej szczegółowo

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym. ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg

Bardziej szczegółowo

ANALIZA DRGAŃ POPRZECZNYCH PŁYTY PIERŚCIENIOWEJ O ZŁOŻONYM KSZTAŁCIE Z UWZGLĘDNIENIEM WŁASNOŚCI CYKLICZNEJ SYMETRII UKŁADU

ANALIZA DRGAŃ POPRZECZNYCH PŁYTY PIERŚCIENIOWEJ O ZŁOŻONYM KSZTAŁCIE Z UWZGLĘDNIENIEM WŁASNOŚCI CYKLICZNEJ SYMETRII UKŁADU Dr iż. Staisław NOGA oga@prz.edu.pl Politechika Rzeszowska ANALIZA DRGAŃ POPRZECZNYCH PŁYTY PIERŚCIENIOWEJ O ZŁOŻONYM KSZTAŁCIE Z UWZGLĘDNIENIEM WŁASNOŚCI CYKLICZNEJ SYMETRII UKŁADU Streszczeie: W publikacji

Bardziej szczegółowo

Kongruencje Wykład 4. Kongruencje kwadratowe symbole Legendre a i Jac

Kongruencje Wykład 4. Kongruencje kwadratowe symbole Legendre a i Jac Kogruecje kwadratowe symbole Legedre a i Jacobiego Kogruecje Wykład 4 Defiicja 1 Kogruecję w ostaci x a (mod m), gdzie a m, azywamy kogruecją kwadratową; jej bardziej ogóla ostać ax + bx + c może zostać

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy

Bardziej szczegółowo

Błędy kwantyzacji, zakres dynamiki przetwornika A/C

Błędy kwantyzacji, zakres dynamiki przetwornika A/C Błędy kwatyzacji, zakres dyamiki przetworika /C Celem ćwiczeia jest pozaie wpływu rozdzielczości przetworika /C a błąd kwatowaia oraz ocea dyamiki układu kwatującego. Kwatowaie przyporządkowaie kolejym

Bardziej szczegółowo

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim. Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały

Matematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały Lekcja 1. Lekcja orgaizacyja kotrakt Podręczik: W. Babiański, L. Chańko, D. Poczek Mateatyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres ateriału: Liczby rzeczywiste Wyrażeia algebraicze Rówaia i ierówości

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

Ilustracja metody Monte Carlo do obliczania pola obszaru D zawartego w kwadracie [a, b] [a, b].

Ilustracja metody Monte Carlo do obliczania pola obszaru D zawartego w kwadracie [a, b] [a, b]. Rachunek Prawdopodobienstwa MAEW104 Wydział Elektroniki, rok akad. 2008/09, sem. letni wykład: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Temat projektu: Ilustracja metody Monte Carlo do obliczania pola obszaru D zawartego

Bardziej szczegółowo

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40.

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40. Portfele polis Poieważ składka jest ustalaa jako wartość oczekiwaa rzeczywistego, losowego kosztu ubezpieczeia, więc jest tym bliższa średiej wydatków im większa jest liczba ubezpieczoych Polisy grupuje

Bardziej szczegółowo

5. METODY MONTE CARLO A SYMULACJA POTOKÓW RUCHU (wg Drew, 1968)

5. METODY MONTE CARLO A SYMULACJA POTOKÓW RUCHU (wg Drew, 1968) 5. MEODY MONE CARLO A SYMULACJA POOKÓW RUCHU (wg Drew, 968) 5.. Wprowadzeie Moeta jest rzucaa aż do osiągięcia orła. Jeżeli to zdarzy się w pierwszym rzucie, gracz otrzymuje zł od baku. Jeżeli poraz pierwszy

Bardziej szczegółowo

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu. Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ)

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Ciągi liczbowe 1.1. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowola fukcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym (ciąg skończoy), albo wszystkim (ciąg ieskończoy) liczbom aturalym.

Bardziej szczegółowo

IMPUTACJE I JĄDRO GRY

IMPUTACJE I JĄDRO GRY IMPUTACJE I JĄDRO GRY Staisław Kowalik Katedra Zarządzaia i Iżyierii bezpieczeństwa, Politechika Śląska Akademicka 2, 44-100 Gliwice, Polska e-mail: Staislaw.Kowalik@polsl.pl Abstrakt: Praca dotyczy gier

Bardziej szczegółowo

lim a n Cigi liczbowe i ich granice

lim a n Cigi liczbowe i ich granice Cigi liczbowe i ich graice Cigiem ieskoczoym azywamy dowol fukcj rzeczywist okrelo a zbiorze liczb aturalych. Dla wygody zapisu, zamiast a() bdziemy pisa a. Elemet a azywamy -tym wyrazem cigu. Cig (a )

Bardziej szczegółowo

SIECIOWA METODA LOKALIZACJI OBIEKTÓW JAKO CZYNNIK OGRANICZAJĄCY KOSZTY TRANSPORTU W ROLNICTWIE

SIECIOWA METODA LOKALIZACJI OBIEKTÓW JAKO CZYNNIK OGRANICZAJĄCY KOSZTY TRANSPORTU W ROLNICTWIE IŜyieria Rolicza 7/2005 Adrze Marczuk Katedra Maszy i Urządzeń Roliczych Akadeia Rolicza w Lubliie SIECIOWA METODA LOKALIZACJI OBIEKTÓW JAKO CZYNNIK OGRANICZAJĄCY KOSZTY TRANSPORTU W ROLNICTWIE Streszczeie

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystyczych WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wioskowaie statystycze, to proces uogóliaia wyików uzyskaych a podstawie próby a całą

Bardziej szczegółowo

Przeczytaj, zanim zaczniesz rozwiązywać

Przeczytaj, zanim zaczniesz rozwiązywać Przeczytaj, zaim zacziesz rozwiązywać Maturzysto! Zaim rozpocziesz rozwiązywaie zadań z aszych arkuszy: Przygotuj: u Arkusz I 5 kartek papieru podaiowego w kratkę a czystopis i a brudopis; Arkusz II 5

Bardziej szczegółowo

1. Błąd średni pomiaru. Leica DISTO

1. Błąd średni pomiaru. Leica DISTO Aaliza dokładości poiarów Charakterystyką dokładości istruetów poiarowych jest błąd średi poiaru. Wykoywae poiary bezpośredie w tereie pośrediczą zwykle w wyzaczaiu pewych wielkości ie poddających się

Bardziej szczegółowo

Składka ubezpieczeniowa

Składka ubezpieczeniowa Przychody zakładów ubezpieczeń Przychody i wydatki zakładów ubezpieczeń Składka ubezpieczeiowa 60-95 % Przychody z lokat 5-15 % Przychody z reasekuracji 5-30 % Wydatki zakładów ubezpieczeń Odszkodowaia

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

Przykładowy arkusz z rozwiązaniami. Arkusz II poziom rozszerzony

Przykładowy arkusz z rozwiązaniami. Arkusz II poziom rozszerzony Przykładowy arkusz z rozwiązaiai Arkusz II pozio rozszerzoy ( pkt) Pukt A( -, -) jest wierzchołkie robu, którego jede z boków zawiera się w prostej k o rówaiu x - y - 0 Środkie syetrii tego robu jest pukt

Bardziej szczegółowo

Wykład 25 Soczewki. Przyrządy optyczne

Wykład 25 Soczewki. Przyrządy optyczne Wykład 5 Soczewki. Przyrządy optycze Soczewka cieka - rówaie oczewek Rozważyy teraz dwie powierzchi erycze oddzielające ośrodki o wpółczyikach załaaia kolejo i odległych od iebie o d. Niech proień krzywizy

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta Fukcje trygoometrycze Moduł - dział -temat Fukcje trygoometry cze dowolego kąta 1 kąt w układzie współrzędych fukcje trygoometrycze dowolego kąta zaki trygoometryczych wartości trygoometryczych iektórych

Bardziej szczegółowo

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut

Bardziej szczegółowo

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW.

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW. Statytycza ocea wyików pomiaru STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczeia jet: uświadomieie tudetom, że każdy wyik pomiaru obarczoy jet błędem o ie zawze zaej przyczyie i wartości,

Bardziej szczegółowo

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ.

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ. ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ I Fukcja kwadratowa ) PODAJ POSTAĆ KANONICZNĄ I ILOCZYNOWĄ (O ILE ISTNIEJE) FUNKCJI: a) f ( ) + b) f ( ) 6+ 9 c) f ( ) ) Narysuj wykresy fukcji f

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Marek Lefik. Wykład 1 Studia doktoranckie

Metody numeryczne. Marek Lefik. Wykład 1 Studia doktoranckie Metody umerycze Marek Lefik Wykład 1 Studia doktorackie 01-013 Metody umerycze: wstęp ogóly Czemu służą MN Rozwiązaia symbolicze zagadień brzegowych dla skomplikowaej geometrii ie jest możliwe Rozwiązaia

Bardziej szczegółowo

Ć wiczenie 17 BADANIE SILNIKA TRÓJFAZOWEGO KLATKOWEGO ZASILANEGO Z PRZEMIENNIKA CZĘSTOTLIWOŚCI

Ć wiczenie 17 BADANIE SILNIKA TRÓJFAZOWEGO KLATKOWEGO ZASILANEGO Z PRZEMIENNIKA CZĘSTOTLIWOŚCI Ć wiczeie 7 BADANIE SILNIKA TRÓJFAZOWEGO KLATKOWEGO ZASILANEGO Z RZEIENNIKA CZĘSTOTLIWOŚCI Wiadomości ogóle Rozwój apędów elektryczych jest ściśle związay z rozwojem eergoelektroiki Współcześie a ogół

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów 1 Pochode wyższych rzędów 1.1 Defiicja i przykłady Def. Drugą pochodą fukcji f azywamy pochodą pochodej tej fukcji. Trzecia pochoda jest pochodą drugiej pochodej; itd. Ogólie, -ta pochoda fukcji jest pochodą

Bardziej szczegółowo

Projekt z dnia 24.05.2012 r. Wersja 0.5 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA GOSPODARKI 1) z dnia..

Projekt z dnia 24.05.2012 r. Wersja 0.5 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA GOSPODARKI 1) z dnia.. Projekt z dia 24.05.2012 r. Wersja 0.5 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA GOSPODARKI 1) z dia.. w sprawie szczegółowego zakresu obowiązku uzyskaia i przedstawieia do umorzeia świadectw efektywości eergetyczej i uiszczaia

Bardziej szczegółowo

METODYKA WYKONYWANIA POMIARÓW ORAZ OCENA NIEPEWNOŚCI I BŁĘDÓW POMIARU

METODYKA WYKONYWANIA POMIARÓW ORAZ OCENA NIEPEWNOŚCI I BŁĘDÓW POMIARU METODYKA WYKONYWANIA POMIARÓW ORAZ OCENA NIEPEWNOŚCI I BŁĘDÓW POMIARU Celem każdego ćwiczeia w laboratorium studeckim jest zmierzeie pewych wielkości, a astępie obliczeie a podstawie tych wyików pomiarów

Bardziej szczegółowo

Fraktale. Definicja ogólna. fraktala. w naturze. Samopodobieństwo. w naturze. Śnieżynka von Kocha

Fraktale. Definicja ogólna. fraktala. w naturze. Samopodobieństwo. w naturze. Śnieżynka von Kocha Defiicja ogóla fraktala Fraktale dr iż.. Piotr Steć Fraktalem azywamy obiekt, który wykazuje cechy dokładego lub statystyczego podobieństwa Fraktal jest obiektem, którego wymiar jest ułamkiem Słowo fraktal

Bardziej szczegółowo

Całkowanie numeryczne

Całkowanie numeryczne 16 kwiecień 2009 SciLab w obliczeniach numerycznych - część 4 Slajd 1 Całkowanie numeryczne 16 kwiecień 2009 SciLab w obliczeniach numerycznych - część 4 Slajd 2 Plan zajęć 1. Całkowanie przybliżone funkcji

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań

Analiza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań Aaliza Matematycza I dla Iżyierii Biomedyczej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 205/6 Logika, zbiory i otacja matematycza Zadaie Niech p, q, r będą zmieymi zdaiowymi. Pokaż, że:. = ( (p p)), 2. = (p

Bardziej szczegółowo

7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,

7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi, 7 Liczby zespoloe Liczby zespoloe to liczby postaci z a + bi, gdzie a, b R. Liczbę i azywamy jedostką urojoą, spełia oa waruek i 2 1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez C: C {a + bi; a, b R}. Liczba

Bardziej szczegółowo