Podstawy informatyki 2. Podstawy informatyki 2. Wykład nr 9 ( ) Plan wykładu nr 9. Politechnika Białostocka. - Wydział Elektryczny

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Podstawy informatyki 2. Podstawy informatyki 2. Wykład nr 9 (09.05.2007) Plan wykładu nr 9. Politechnika Białostocka. - Wydział Elektryczny"

Transkrypt

1 odstawy iforatyki Wykład r 9 /44 odstawy iforatyki olitechika Białostocka - Wydział Elektryczy Elektrotechika, seestr II, studia stacjoare Rok akadeicki 006/007 la wykładu r 9 Obliczaie liczby π etodą Mote Carlo Całkowaie uerycze - etoda Mote Carlo Metody poszukiwaia ekstreu fukcji jedej zieej etoda dzieleia przedziału a połowę etoda złotego Wykład r 9 ( ) odstawy iforatyki Wykład r 9 3/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 4/44 Obliczaie liczby π etodą Mote Carlo Obliczaie liczby π etodą Mote Carlo załóŝy, Ŝe chcey obliczyć pole koła wpisaego w kwadrat o boku rówy r, gdzie r - proień koła pola koła i kwadratu opisują wzory: po porówaiu powyŝszych wzorów otrzyay: czyli: koło = π r kwadrat = ( r) = 4 r koło r = r = π 4 kwadrat koło = kwadrat π 4 koło π = 4 () kwadrat ając zate obliczoe wcześiej w pewie sposób pole kwadratu i pole koła wpisaego w te kwadrat, oŝa w prosty sposób obliczyć wartość liczby π podstawowe pytaie: jak obliczyć pole koła? Stosujey etodę Mote Carlo: wyzaczay wewątrz kwadratu bardzo duŝo losowych puktów zliczay te pukty, które wpadają do wętrza koła stosuek liczby puktów zawierających się w kole do wszystkich wylosowaych puktów będzie dąŝył w ieskończoości do stosuku pola koła do pola kwadratu: gdzie: koło - liczba puktów w kole kwadrat - liczba wszystkich puktów koło koło π = 4 4 () kwadrat kwadrat pierwsze zastosowaie: Marquis ierre-sio de Laplace (886)

2 ą odstawy iforatyki Wykład r 9 5/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 6/44 Obliczaie liczby π etodą Mote Carlo - progra w C (/) Obliczaie liczby π etodą Mote Carlo - progra w C (/) /* Nae: w09_0_pi_motecarlo.c Copyright: olitechika Białostocka, Wydział Elektryczy Author: Jarosław Forec Date: Descriptio: Obliczaie liczby i etod Mote Carlo */ #iclude <stdio.h> #iclude <tie.h> #iclude <stdlib.h> #iclude <ath.h> it ai(it argc, char *argv[]) it pkt_kwadrat = 000; /* pukty w kwadracie */ it pkt_kolo = 0; /* pukty w kole */ float x, y; /* wspolrzede puktu */ float pi; /* obliczoa wartosc liczby pi */ it i; srad(tie(null)); for (i=0; i<pkt_kwadrat; i++) x =.0 * (rad()/(float)rand_max); y =.0 * (rad()/(float)rand_max); if ((x-)*(x-)+(y-)*(y-) <= ) pkt_kolo++; pi = 4.0 * (float) pkt_kolo / pkt_kwadrat; pritf("ukty w kwadracie: %d\",pkt_kwadrat); pritf("ukty w kole: %d\",pkt_kolo); pritf("obliczoa wartosc I: %f\",pi); pritf("blad: %f\",fabs(m_i-pi)); syste("pause"); retur 0; ukty w kwadracie: 000 ukty w kole: 79 Obliczoa wartosc I: Blad: odstawy iforatyki Wykład r 9 7/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 8/44 Obliczaie liczby π etodą Mote Carlo ZaleŜość dokładości wyzaczaia liczby π od liczby losowych puktów: w kaŝdy przypadku wyzaczao liczbę π razy wartości przedstawioe w tabeli są średią arytetyczą otrzyaych wyików prostokat koło 7, , , , ,6 Średia wartość liczby π 3,3898 3, ,4543 3,434 3,499 Średi błąd bezwzględy 0, ,4593 0, ,03 0,00456 Średi błąd względy 3,9847 % 4,6055 %, % 0,40880 % 0,375 % dokładość wyiku jest zaleŝa od liczby sprawdzeń i w iejszy stopiu, jakości uŝytego geeratora liczb pseudolosowych Metoda Mote Carlo jako etodę Mote Carlo (MC) określa się dowolą techikę uŝywającą liczb losowych do rozwiązaia probleu Defiicja Haltoa (970): etoda Mote Carlo jest to etoda reprezetująca rozwiązaie probleu w postaci paraetru pewej hipotetyczej populacji i uŝywająca losowych sekwecji liczb do skostruowaia próby losowej daej populacji, z której ogą być otrzyae oszacowaia statystycze tego paraetru etoda Mote Carlo jest stosowaa do odelowaia ateatyczego procesów zbyt złoŝoych, aby oŝa było przewidzieć ich wyiki za poocą podejścia aalityczego istotą rolę w etodzie MC odgrywa losowaie (wybór przypadkowy) wielkości charakteryzujących proces zastosowaia etody MC: obliczaie całek łańcuchy procesów statystyczych optyalizacja

3 odstawy iforatyki Wykład r 9 9/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 0/44 Całkowaie uerycze - etoda Mote Carlo Całkowaie uerycze - etoda Mote Carlo obliczay przybliŝoą wartość całki ozaczoej: dla fukcji f(x), której całkę chcey obliczyć w przedziale [x p,x k ] wyzaczay prostokąt obejujący pole pod wykrese tej fukcji o wysokości h i długości podstawy (x k -x p ) losujey puktów i zliczay te pukty w, które wpadają w pole pod wykrese fukcji wartość całki obliczaa jest a podstawie wzoru przybliŝoego: x xk I = ) dx (3) x p k w I = ) dx h( xk x p ) (4) x p powyŝsza etoda azywaa jest: chybił-trafił, orzeł-reszka, sukces-poraŝka Wady etody: w ogóly przypadku ogą pojawić się probley z wyzaczeie wysokości h algoryt etody usi być dodatkowo zodyfikoway, gdy fukcja zieia zak w przedziale całkowaia Ia wersja algorytu: a podstawie serii losowo wybraych współrzędych x wyzaczay średią z wartości fukcji w przedziale całkowaia otrzyaa średia jest oŝoa przez długość przedziału całkowaia: I losowe ) i= ) dx ( xk x p ) (4) xk = x p gdzie x losowe jest wartością pseudolosową z przedziału całkowaia [x p,x k ] odstawy iforatyki Wykład r 9 /44 odstawy iforatyki Wykład r 9 /44 Całkowaie uerycze - etoda Mote Carlo Lista kroków: Krok : Czytaj: Krok : Krok 3: dla i = 0,,,-: Krok 4: s = 0 d k x p x p, xk, geeruj x losowe w przedziale [x p,x k ] s = s + losowe s s = dx Krok 5: isz s - wartość całki ) Całkowaie uerycze - etoda Mote Carlo float MetodaMoteCarlo(float xp, float xk, it ) it i; float s=0, dx, x_los; srad(tie(null)); dk-xp; for (i=0; i<; i++) x_los=xp+(float)rad()/(rand_max+)*dx; s = s + f(x_los); s = dx * s / ; retur s;

4 odstawy iforatyki Wykład r 9 3/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 4/44 Metoda Mote Carlo - progra w C (/) Metoda Mote Carlo - progra w C (/) #iclude <stdio.h> #iclude <stdlib.h> #iclude <ath.h> #iclude <tie.h> float f(float x) retur (x*x); float MetodaMoteCarlo(float xp, float xk, it ) it i; float s=0, dx, x_losowe; srad(tie(null)); dk-xp; for (i=0; i<; i++) x_losowe = xp + (float)rad()/(rand_max+)*dx; s = s + f(x_losowe); s = dx * s / ; retur s; Wartosc doklada: it ai() Metoda Mote Carlo: float xp = 0.0, xk =.0, = w0, 0 w, calka w, w3, = w4; rozica =.55863e+000 pritf("wartosc doklada: = %.0f\\",8.0/3.0); 00 calka = rozica = e-00 = 000 calka =.7036 rozica = e-00 pritf("\metoda Mote Carlo:\"); = 0000 calka = rozica = e-00 w0 = MetodaMoteCarlo(xp,xk,0); = calka = rozica = e-00 w = MetodaMoteCarlo(xp,xk,00); w = MetodaMoteCarlo(xp,xk,000); w3 = MetodaMoteCarlo(xp,xk,0000); w4 = MetodaMoteCarlo(xp,xk,00000); pritf(" = %6d calka = %.0f rozica = %e\",0,w0,fabs(w0-8.0/3.0)); pritf(" = %6d calka = %.0f rozica = %e\",00,w,fabs(w-8.0/3.0)); pritf(" = %6d calka = %.0f rozica = %e\",000,w,fabs(w-8.0/3.0)); pritf(" = %6d calka = %.0f rozica = %e\",0000,w3,fabs(w3-8.0/3.0)); pritf(" = %6d calka = %.0f rozica = %e\",00000,w4,fabs(w4-8.0/3.0)); syste("ause"); retur (0); odstawy iforatyki Wykład r 9 5/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 6/44 Ekstreu fukcji Ekstreu lokale a pochoda fukcji ekstreu globale fukcji to taki pukt, w który wartość fukcji jest większa (aksiu globale) lub iejsza (iiu globale) iŝ we wszystkich iych puktach ekstreu lokale (ekstreu) to taki pukt x, w który fukcja a wartość większą (aksiu lokale) lub odpowiedio iejszą (iiu lokale), od wszystkich iych puktów w pewy otoczeiu x rzykład: 3 ) = x + x x aksiu lokale iiu lokale fukcja a rysuku a jedo aksiu lokale i jedo iiu lokale, ie a atoiast ekstreu globalego kaŝde ekstreu globale jest jedocześie ekstreu lokaly daa fukcja oŝe ieć tylko jedo iiu globale i tylko jedo aksiu globale (lub ie ieć Ŝadego), atoiast dowolie wiele ekstreów lokalych źródło: jeśli fukcja f(x) a w pukcie x 0 lokale ekstreu oraz obustroą pochodą, to jej pochoda w ty pukcie jest rówa zeru powyŝsze stwierdzeie jest warukie koieczy istieia ekstreu fukcji róŝiczkowalej w day pukcie, ie jest to jedak waruek wystarczający aby w pukcie x 0 występowało lokale aksiu dodatkowo: w lewy sąsiedztwie puktu x 0 wartość pochodej usi być większa od zera w prawy sąsiedztwie puktu x 0 wartość pochodej usi być iejsza od zera aby w pukcie x 0 występowało lokale iiu dodatkowo: w lewy sąsiedztwie puktu x 0 wartość pochodej usi być iejsza od zera w prawy sąsiedztwie puktu x 0 wartość pochodej usi być większa od zera

5 odstawy iforatyki Wykład r 9 7/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 8/44 Ekstreu lokale a pochoda fukcji Optyalizacja jeśli pochoda fukcji f(x) w pukcie x 0 wyosi zero: f (x 0 ) = 0, to jeśli druga pochoda f (x 0 ) = (f (x 0 )) jest: poszukiwaie ekstreu fukcji jedej zieej jest jedy z eleetów szerszego działu auki azywaego optyalizacją większa od zera, to f(x) w pukcie x 0 a iiu lokale iejsza od zera, to f(x) w pukcie x 0 a aksiu lokale rówa zeru, to f(x) w pukcie x 0 a pukt przegięcia optyalizacja jest to etoda wyzaczaia ajlepszego rozwiązaia (poszukiwaia ekstreu fukcji) z puktu widzeia określoego kryteriu (wskaźika) jakości (p. kosztu, drogi, wydajości) w ateatyce teri optyalizacja odosi się do astępującego probleu: daa jest fukcja f: A R, gdzie eleety zbioru A są eleetai rzeczywistyi, poszukiway jest eleet x 0 A taki Ŝe, f(x 0 ) f(x) dla wszystkich x A (aksyalizacja) lub f(x 0 ) f(x) dla wszystkich x A (iializacja) w etodach optyalizacji fukcja f(x) ozaczaa jest jako C(x) i azywaa fukcją celu (wskaźikie jakości, kryteriu jakości, kryteriu optyalizacyjy) etody poszukiwaia ekstreu lokalego fukcji jedowyiarowych dzielą się a trzy grupy: ) etody oparte a zasadzie eliiacji przedziałów ) etody wykorzystujące aproksyacje fukcji celu 3) etody wykorzystujące wartości pochodych fukcji celu odstawy iforatyki Wykład r 9 9/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 0/44 Fukcja uiodala Metody oparte a zasadzie eliiacji przedziałów Defiicja: fukcja f(x) jest uiodala w przedziale a x b gdy jest ootoicza po obu stroach puktu iialego x * w rozpatryway przedziale jeśli x * - jedyy pukt iiu f(x) zawiera się w przedziale a x b, to f(x) jest uiodala w day przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy dla puktów x i x rzykład: z x * x x wyika, Ŝe f(x * ) f(x ) f(x ) i z x * x x wyika, Ŝe f(x * ) f(x ) f(x ) fukcja ootoiczie wzrasta przy x 0 i ootoiczie wzrasta przy x 0 fukcja osiąga iiu w pukcie * i jest ootoicza po obu stroach od puktu iiu etody te pozwalają określić ekstreu fukcji jedej zieej drogą kolejego wyboru przedziałów i kolejo drogę ziejszaia przedziału poszukiwań w etodach tych zakłada się, Ŝe badaa fukcja w dopuszczaly przedziale posiada właściwość uiodalości dzięki powyŝszej właściwości, porówując wartość fukcji f(x) w dwóch róŝych puktach przedziału poszukiwań, oŝa określić, w który z wyzaczoych tyi puktai przedziałów zajduje się ekstreu fukcja f(x) jest uiodala

6 odstawy iforatyki Wykład r 9 /44 odstawy iforatyki Wykład r 9 /44 Metody oparte a zasadzie eliiacji przedziałów Metody oparte a zasadzie eliiacji przedziałów Twierdzeie: iech f(x) będzie fukcją uiodalą w przedziale a x b oraz iech iiu fukcji f(x) zajduje się w pukcie x * jeśli pukty x i x spełiają waruek a < x < x < b, to porówując wartości fukcji w puktach x i x oŝa określić: jeśli f(x ) > f(x ), to pukt iiu ie leŝy w przedziale (a,x ), czyli x * (x,b) jeśli f(x ) < f(x ), to pukt iiu ie leŝy w przedziale (x,b), czyli x * (a,x ) przedstawioe twierdzeie pozwala stosować procedurę poszukiwań ekstreu fukcji polegającą a wykluczaiu części wejściowego przedziału poszukiwaia ekstreu są kończoe, gdy przedział ziejszy się do dostateczie ałych roziarów w opisyway procesie poszukiwaia ekstreu wyróŝiae są dwa etapy: ) etap określaia graicy przedziału ) etap ziejszaia przedziału etoda połowieia etoda złotego etoda Fiboacciego Etap określaia graicy przedziału: ajczęściej poszukiwaia graiczych puktów przedziału zawierającego ekstreu wykouje się etodai heurystyczyi (ituicyjie) wybieray jest pukt a podstawie którego buduje się odpowiedio szeroki przedział zawierający ekstreu odstawy iforatyki Wykład r 9 3/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 4/44 Metody oparte a zasadzie eliiacji przedziałów Etap określaia graicy przedziału (etoda Swaa): zakładay: x 0 - dowoly pukt początkowy, zakładay: - dobieraa pewy sposobe wielkość kroku koleje pukty określa się według wzoru rekurecyjego: k xk + = xk ±, k = 0,,,... (5) zak określa się drogą porówań wartości fukcji f(x 0 - ), f(x 0 ), f(x 0 + ) jeśli f(x 0 - ) f(x 0 + ) to z załoŝeie uiodalości pukt iiu powiie leŝeć w prawo od puktu x 0 i wielkość wybieraa jest jako dodatia jeśli f(x 0 - ) < f(x 0 + ) to wielkość wybieraa jest jako ujea jeśli f(x 0 - ) f(x 0 ) f(x 0 + ) to pukt iiu leŝy iędzy puktai x 0 - i x 0 + i poszukiwaie puktów graiczych zostaje zakończoe Metody oparte a zasadzie eliiacji przedziałów Etap określaia graicy przedziału (etoda Swaa) - przykład: zaleźć graicze pukty przedziału zawierającego iiu fukcji przy pukcie początkowy x 0 = 30 i kroku = 5 zak określa się porówując wartości w puktach: 0 ) 0 0 poiewaŝ: ) = + ) = f (5) = f (35) 565 = f (30) = 4900 ) 0 ) to wielkość powia być dodatia = 0 sprawdzeie zaku związae było takŝe z wyzaczeie puktu x : x 0 = x0 + = = 35 ) ) = (00 x)

7 odstawy iforatyki Wykład r 9 5/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 6/44 Metody oparte a zasadzie eliiacji przedziałów Etap określaia graicy przedziału (etoda Swaa) - przykład: dla k = : x = x + = = 45 x = 35 ) = 45 * ) < ) więc x > 35 x = 45 ) = 305 Metody oparte a zasadzie eliiacji przedziałów Etap określaia graicy przedziału (etoda Swaa) - przykład: dla k = 3: x 3 4 = x3 + = = = 05 x3 = 65 3) = 5 * 4) < 3) więc x > 65 x = 05 ) = dla k = : x 3 = x + = = 65 x = 35 ) = 305 * 3) < ) więc x > 45 x = 45 ) = dla k = 4: x 4 5 = x4 + = = = 85 x4 = 05 4) = 5 * 5) > 4 ) więc x < 85 x = 85 ) = stąd przedział poszukiwań ekstreu to: (65,85) odstawy iforatyki Wykład r 9 7/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 8/44 Metody oparte a zasadzie eliiacji przedziałów owę Etap ziejszaia przedziału: po ustaleiu graic przedziału zawierającego pukt iiu stosujey bardziej złoŝoą procedurę zawęŝaia przedziału poszukiwań w celu otrzyaia rozwiązaia (iiu) z załoŝoą dokładością stosując odpowiedi algoryt iteracyjy, ziejszay w kaŝdy kroku wielkość przedziału stopień ziejszeia przedziału zaleŝy jest od połoŝeia próbych puktów etoda ta pozwala a eliiację połowy przedziału w kaŝdej iteracji w przedziale poszukiwań ekstreu [a,b] wybieray trzy pukty próbe (x, x, x ), dzielące przedział a cztery rówe części: x = a + L / 4, x = ( a + b) /, x = b L / 4, L = b a (6) jeśli wartość fukcji w pukcie x jest iejsza od wartości fukcji w pukcie x (f(x )<f(x )), to jako owy przedział poszukiwań wybieray lewy podprzedział [a,x ]: a = a x = x (7)

8 odstawy iforatyki Wykład r 9 9/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 30/44 owę owę jeśli wartość fukcji w pukcie x jest iejsza od wartości fukcji w pukcie x (f(x )<f(x )), to jako owy przedział poszukiwań wybieray prawy podprzedział [x,b]: a = x x = x (8) b = b ziejszaie długości przedziału kończyy, gdy jego długość jest iejsza od załoŝoej dokładości: b a ε jako wartość ekstreu przyjujey środek przedziału: a + b L x = lub x = a + (0) () jeśli Ŝade z powyŝszych waruków ie jest prawdziwy, to pukt środkowy, x, ie zieia się, zaś do dalszych obliczeń wybieray podprzedział [x,x ]: Uwagi: w kaŝdej iteracji są potrzebe ie więcej iŝ dwa obliczeia wartości fukcji a = x x = x (9) odstawy iforatyki Wykład r 9 3/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 3/44 owę Lista kroków: Krok : Czytaj: Krok : Krok 3: x a,b,ε = ( a + b) /, Krok 4: jeśli f(x ) < f(x ), to: przejdź do: Krok 7 Krok 5: jeśli f(x ) < f(x ), to: przejdź do: Krok 7 L = b a x = a + L / 4, x = b L / 4, L = b a, x x = a = x, L = b a, x x = Krok 6: x pozostaje, zawęŝay przedział a = x,, L = b a Krok 7: jeśli b a > ε to przejdź do: Krok Krok 8: isz: x = ( a + b) / - wartość iiu owę float MetodaDwudzielosci(float a, float b, float eps) float x, x, x, fx, fx, fx, L; x = (a+b)/; fx = f(x); L = b-a; do x = a+l/4; fx = f(x); x = b-l/4; fx = f(x); if (fx < fx) ; L = b-a; ; fx = fx; else if (fx < fx) a = x; L = b-a; ; fx = fx; else a = x; ; L = b-a; while (fabs(b-a)>*eps); retur (a+l/);

9 odstawy iforatyki Wykład r 9 33/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 34/44 owę - przykład (/3) owę - przykład (/3) wyzaczyć iiu fukcji: ) = (00 x) w przedziale: [60,50] druga iteracja: obliczeia wstępe: a = 60, b = 50, L = b a = = 90 x pierwsza iteracja: x = a + L / 4 = / 4 = 8.5 x = b L / 4 = / 4 = 7.5 = ( a + b) / = ( ) / = 05, ) = f (8.5) = ) = f (7.5) = > > ) = f (05) = 5 ) = f (05) = 5 ) = f (05) = 5 x = a + L / 4 = / 4 = x = b L / 4 = / 4 = 6.5 ) = f (93.75) = ) = f (6.5) = > > ) = f (05) = 5 ) = f (05) = 5 wybieray środkowy przedział: a = x = 93.75, x = x = 05, = 6.5 L = b a = =.5 wybieray środkowy przedział: a = x = 8.5, x = x = 05, = 7.5 L = b a = = 45 odstawy iforatyki Wykład r 9 35/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 36/44 owę - przykład (3/3)... trzecia iteracja: x = a + L / 4 = / 4 = x = b L / 4 = 6.5.5/ 4 = 0.65 ) = f (99.375) = 0.39 ) = f (0.65) =.89 wybieray lewy przedział: a = a = 93.75, x = x = , L = b a = =.5 ) = f (05) = 5 obliczeia kończyy, gdy spełioy jest waruek: < = 05 b a ε w etodzie złotego stosowae są dwa pukty próbe, które dzielą przedział w sposób pokazay a rysuku wartość stałej τ wyosi: τ = ( 5 ) / = () Dlaczego taki podział? podział przedstawioy a rysuku spełia trzy waruki: ) pukty próbe są rozieszczoe w jedakowych odległościach od środka przedziału ) pukty próbe są rozieszczoe syetryczie w taki sposób, ze stosuek długości eliiowaego podprzedziału do wielkości całego podprzedziału jest stały 3) w kaŝdej iteracji obliczaa jest tylko jeda wartość fukcji

10 odstawy iforatyki Wykład r 9 37/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 38/44 Dlaczego etoda złotego? Algoryt etody złotego : w geoetrii złoty podziałe azywa się taki podział odcika a dwie części, przy który stosuek całego odcika do jego większej części jest rówy stosukowi większej części do iejszej a b = b c jeśli wartość fukcji w pukcie x jest większa od wartości fukcji w pukcie x (f(x )>f(x )), to jako owy przedział poszukiwań wybieray prawy podprzedział [x,b]: a = x + a b = b (4) Algoryt etody złotego : w przedziale poszukiwań ekstreu [a,b] wybieray dwa pukty próbe (x, x ), dzielące przedział a trzy części: gdzie: x = ( b a) τ ) + b x = ( b a) + a (3) τ = ( 5 ) / = w przeciwy przypadku jako owy przedział poszukiwań wybieray lewy podprzedział [a,x ]: a = a τ ) + b (5) odstawy iforatyki Wykład r 9 39/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 40/44 Algoryt etody złotego : ziejszaie długości przedziału kończyy, gdy jego długość jest iejsza od załoŝoej dokładości: b a ε jako wartość ekstreu przyjujey środek przedziału: a + b x = (6) (7) Lista kroków: Krok : Czytaj: Krok : a,b,ε τ ) + b + a Krok 3: jeśli f > f, to: Krok 4: jeśli f f, to: a = x f = ) Krok 7: jeśli b a > ε to przejdź do: Krok 3 Krok 8: isz: x = ( a + b) / - wartość iiu f = f f = ) x = ( b a) + a f = ) przejdź do: Krok 5 x = ( b a) τ ) + b f = ) przejdź do: Krok 5 f = f

11 odstawy iforatyki Wykład r 9 4/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 4/44 - przykład (/3) float Zlotyodzial(float a, float b, float eps) float x, x, fx, fx, t; t = (sqrt(5)-)/; x = (b-a)*(-t)+b; fx = f(x); x = (b-a)*t+a; fx = f(x); do if (fx > fx) a = x; ; fx = fx; x = (b-a)*t+a; fx = f(x); else ; ; fx = fx; x = (b-a)*(-t)+b; fx = f(x); while (fabs(b-a)>*eps); retur (a+b)/; wyzaczyć iiu fukcji: ) = (00 x) w przedziale: [60,50] obliczeia wstępe: a = 60, pierwsza iteracja: b = 50, τ = 0.68 τ ) + b = (50 60) 0.68) + 50 = a = (50 60) = 5.6 ) = f (94.38) = 3.58, ) < ) a = a = 60 = 5.6 = ) = 3.58 ) = f (8.4) = ) = f (5.6) = τ ) + b = (5.6 60) 0.68) = 8.4 wybieray lewy podprzedział: [60,5.6] ) = f (94.38) = 3.58 ) = f (5.6) = odstawy iforatyki Wykład r 9 43/44 odstawy iforatyki Wykład r 9 44/44 - przykład (/3) - przykład (3/3) druga iteracja: druga iteracja: ) = f (8.4) = 35.93, ) = f (94.38) = 3.58 ) = f (94.38) = 3.58, ) = f (0.48) = 6.8 ) > ) = 8.4 b = b = 5.6 a = x = ) = 3.58 ) = f (0.48) = 6.8 wybieray prawy podprzedział: [8.4,5.6] + a = ( ) = 0.48 ) > ) = b = b = 5.6 a = x = 0.48 ) = 6.8 ) = f (07.5) = 56.5 wybieray prawy podprzedział: [94.38,5.6] + a = ( ) = obliczeia kończyy, gdy spełioy jest waruek: b a ε

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

Chemia Teoretyczna I (6).

Chemia Teoretyczna I (6). Chemia Teoretycza I (6). NajwaŜiejsze rówaia róŝiczkowe drugiego rzędu o stałych współczyikach w chemii i fizyce cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Przez

Bardziej szczegółowo

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi. Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

Wykład 4 Soczewki. Przyrządy optyczne

Wykład 4 Soczewki. Przyrządy optyczne Wykład 4 Soczewki. Przyrządy optycze Soczewka cieka - rówaie zlifierzy oczewek Rozważyy teraz dwie powierzchi ferycze oddzielające ośrodki o wpółczyikach załaaia kolejo i odległych od iebie o d. Niech

Bardziej szczegółowo

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień.

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień. Metoda aalizy hierarchii Saaty ego Ważym problemem podejmowaia decyzji optymalizowaej jest często występująca hierarchiczość zagadień. Istieje wiele heurystyczych podejść do rozwiązaia tego problemu, jedak

Bardziej szczegółowo

4. PRZEKŁADNIKI PRĄDOWE I NAPIĘCIOWE

4. PRZEKŁADNIKI PRĄDOWE I NAPIĘCIOWE 4. PRZEŁDN PRĄDOWE NPĘOWE 4.. Wstęp 4.. Przekładiki prądowe Przekładikie prądowy prądu zieego azywa się trasforator przezaczoy do zasilaia obwodów prądowych elektryczych przyrządów poiarowych oraz przekaźików.

Bardziej szczegółowo

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty Materiały pomocicze do e-learigu Matematyka Jausz Górczyński Moduł. Graica fukcji, asymptoty Wyższa Szkoła Zarządzaia i Marketigu Sochaczew Od Autora Treści zawarte w tym materiale były pierwotie opublikowae

Bardziej szczegółowo

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium Marci Rociek Iformatyka, II rok Metody Obliczeiowe w Nauce i Techice laboratorium zestaw 1: iterpolacja Zadaie 1: Zaleźć wzór iterpolacyjy Lagrage a mając tablicę wartości: 3 5 6 y 1 3 5 6 Do rozwiązaia

Bardziej szczegółowo

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów

Bardziej szczegółowo

(1) gdzie I sc jest prądem zwarciowym w warunkach normalnych, a mnożnik 1,25 bierze pod uwagę ryzyko 25% wzrostu promieniowania powyżej 1 kw/m 2.

(1) gdzie I sc jest prądem zwarciowym w warunkach normalnych, a mnożnik 1,25 bierze pod uwagę ryzyko 25% wzrostu promieniowania powyżej 1 kw/m 2. Katarzya JARZYŃSKA ABB Sp. z o.o. PRODUKTY NISKONAPIĘCIOWE W INSTALACJI PV Streszczeie: W ormalych warukach pracy każdy moduł geeruje prąd o wartości zbliżoej do prądu zwarciowego I sc, który powiększa

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012 Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0

Bardziej szczegółowo

SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI BITUMICZNYCH W SYSTEMIE OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN

SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI BITUMICZNYCH W SYSTEMIE OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZAŁĄCZNIK B GENERALNA DYREKCJA DRÓG PUBLICZNYCH Biuro Studiów Sieci Drogowej SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN WYTYCZNE STOSOWANIA - ZAŁĄCZNIK B ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIA NR 1 Z MATEMATYKI (Finanse i Rachunkowość, studia zaoczne, I rok) Zad. 1. Wyznaczyć dziedziny funkcji: 1 = 1, b) ( x) , c) h ( x) x x

ĆWICZENIA NR 1 Z MATEMATYKI (Finanse i Rachunkowość, studia zaoczne, I rok) Zad. 1. Wyznaczyć dziedziny funkcji: 1 = 1, b) ( x) , c) h ( x) x x ĆWICZENIA NR Z MATEMATYKI (Fiase i Rachukowość studia zaocze I rok) Zad Wyzaczyć dziedziy fukcji: a) f ( ) b) ( ) + + 6 f c) f ( ) + + d) f ( ) + e) ( ) f l f) f ( ) l( + ) + l( ) g) f ( ) l( si ) h) f

Bardziej szczegółowo

Fundamentalna tabelka atomu. eureka! to odkryli. p R = nh -

Fundamentalna tabelka atomu. eureka! to odkryli. p R = nh - TEKST TRUDNY Postulat kwatowaia Bohra, czyli założoy ad hoc związek pomiędzy falą de Broglie a a geometryczymi własościami rozważaego problemu, pozwolił bez większych trudości teoretyczie przewidzieć rozmiary

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011 Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Analiza matematyczna. Robert Rałowski Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................

Bardziej szczegółowo

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne?

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne? Jak obliczać podstawowe wskaźiki statystycze? Przeprowadzoe egzamiy zewętrze dostarczają iformacji o tym, jak ucziowie w poszczególych latach opaowali umiejętości i wiadomości określoe w stadardach wymagań

Bardziej szczegółowo

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD 1 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010 Rozpatrujemy belkę swobodie podpartą obciążoą siłą skupioą, obciążeiem rówomierie

Bardziej szczegółowo

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń 3 Wkład III: Waruki optmalości dla zadań bez ograiczeń Podae poiże waruki optmalości dla są uogólieiem powszechie zach waruków dla fukci ede zmiee (zerowaie się pierwsze pochode i lokala wpukłość) 3 Twierdzeie

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

MMF ćwiczenia nr 1 - Równania różnicowe

MMF ćwiczenia nr 1 - Równania różnicowe MMF ćwiczia r - Rówaia różicow Rozwiązać rówaia różicow pirwszgo rzędu: y + y = y = y + y =! y = Wsk Podzilić rówai przz! i podstawić z y /( )! Rozwiązać rówaia różicow drugigo rzędu: 5 6 F F F F F (ciąg

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1

Laboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1 1. Cel ćwiczeia: Laboratorium Sesorów i Pomiarów Wielkości Nieelektryczych Ćwiczeie r 1 Pomiary ciśieia Celem ćwiczeia jest zapozaie się z kostrukcją i działaiem czujików ciśieia. W trakcie zajęć laboratoryjych

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera Istrukcja do ćwiczeń laboratoryjych z przedmiotu: Badaia operacyje Temat ćwiczeia: Problemy trasportowe cd Problem komiwojażera Zachodiopomorski Uiwersytet Techologiczy Wydział Iżyierii Mechaiczej i Mechatroiki

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI Miejsce a aklejkę z kodem szkoły dysleksja MIN-R_P-072 EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ ROK 2007 POZIOM ROZSZERZONY CZĘŚĆ I Czas pracy 90 miut Istrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzamiacyjy

Bardziej szczegółowo

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 + Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały

Matematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały Lekcja 1. Lekcja orgaizacyja kotrakt Podręczik: W. Babiański, L. Chańko, D. Poczek Mateatyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres ateriału: Liczby rzeczywiste Wyrażeia algebraicze Rówaia i ierówości

Bardziej szczegółowo

INWESTYCJE MATERIALNE

INWESTYCJE MATERIALNE OCENA EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI INWESTCJE: proces wydatkowaia środków a aktywa, z których moża oczekiwać dochodów pieiężych w późiejszym okresie. Każde przedsiębiorstwo posiada pewą liczbę możliwych projektów

Bardziej szczegółowo

ANALIZA DRGAŃ POPRZECZNYCH PŁYTY PIERŚCIENIOWEJ O ZŁOŻONYM KSZTAŁCIE Z UWZGLĘDNIENIEM WŁASNOŚCI CYKLICZNEJ SYMETRII UKŁADU

ANALIZA DRGAŃ POPRZECZNYCH PŁYTY PIERŚCIENIOWEJ O ZŁOŻONYM KSZTAŁCIE Z UWZGLĘDNIENIEM WŁASNOŚCI CYKLICZNEJ SYMETRII UKŁADU Dr iż. Staisław NOGA oga@prz.edu.pl Politechika Rzeszowska ANALIZA DRGAŃ POPRZECZNYCH PŁYTY PIERŚCIENIOWEJ O ZŁOŻONYM KSZTAŁCIE Z UWZGLĘDNIENIEM WŁASNOŚCI CYKLICZNEJ SYMETRII UKŁADU Streszczeie: W publikacji

Bardziej szczegółowo

Błędy kwantyzacji, zakres dynamiki przetwornika A/C

Błędy kwantyzacji, zakres dynamiki przetwornika A/C Błędy kwatyzacji, zakres dyamiki przetworika /C Celem ćwiczeia jest pozaie wpływu rozdzielczości przetworika /C a błąd kwatowaia oraz ocea dyamiki układu kwatującego. Kwatowaie przyporządkowaie kolejym

Bardziej szczegółowo

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40.

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40. Portfele polis Poieważ składka jest ustalaa jako wartość oczekiwaa rzeczywistego, losowego kosztu ubezpieczeia, więc jest tym bliższa średiej wydatków im większa jest liczba ubezpieczoych Polisy grupuje

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

Wykład 25 Soczewki. Przyrządy optyczne

Wykład 25 Soczewki. Przyrządy optyczne Wykład 5 Soczewki. Przyrządy optycze Soczewka cieka - rówaie oczewek Rozważyy teraz dwie powierzchi erycze oddzielające ośrodki o wpółczyikach załaaia kolejo i odległych od iebie o d. Niech proień krzywizy

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.

Bardziej szczegółowo

5. METODY MONTE CARLO A SYMULACJA POTOKÓW RUCHU (wg Drew, 1968)

5. METODY MONTE CARLO A SYMULACJA POTOKÓW RUCHU (wg Drew, 1968) 5. MEODY MONE CARLO A SYMULACJA POOKÓW RUCHU (wg Drew, 968) 5.. Wprowadzeie Moeta jest rzucaa aż do osiągięcia orła. Jeżeli to zdarzy się w pierwszym rzucie, gracz otrzymuje zł od baku. Jeżeli poraz pierwszy

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu. Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują

Bardziej szczegółowo

SIECIOWA METODA LOKALIZACJI OBIEKTÓW JAKO CZYNNIK OGRANICZAJĄCY KOSZTY TRANSPORTU W ROLNICTWIE

SIECIOWA METODA LOKALIZACJI OBIEKTÓW JAKO CZYNNIK OGRANICZAJĄCY KOSZTY TRANSPORTU W ROLNICTWIE IŜyieria Rolicza 7/2005 Adrze Marczuk Katedra Maszy i Urządzeń Roliczych Akadeia Rolicza w Lubliie SIECIOWA METODA LOKALIZACJI OBIEKTÓW JAKO CZYNNIK OGRANICZAJĄCY KOSZTY TRANSPORTU W ROLNICTWIE Streszczeie

Bardziej szczegółowo

Przeczytaj, zanim zaczniesz rozwiązywać

Przeczytaj, zanim zaczniesz rozwiązywać Przeczytaj, zaim zacziesz rozwiązywać Maturzysto! Zaim rozpocziesz rozwiązywaie zadań z aszych arkuszy: Przygotuj: u Arkusz I 5 kartek papieru podaiowego w kratkę a czystopis i a brudopis; Arkusz II 5

Bardziej szczegółowo

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym. ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,

Bardziej szczegółowo

Składka ubezpieczeniowa

Składka ubezpieczeniowa Przychody zakładów ubezpieczeń Przychody i wydatki zakładów ubezpieczeń Składka ubezpieczeiowa 60-95 % Przychody z lokat 5-15 % Przychody z reasekuracji 5-30 % Wydatki zakładów ubezpieczeń Odszkodowaia

Bardziej szczegółowo

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW.

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW. Statytycza ocea wyików pomiaru STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczeia jet: uświadomieie tudetom, że każdy wyik pomiaru obarczoy jet błędem o ie zawze zaej przyczyie i wartości,

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystyczych WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wioskowaie statystycze, to proces uogóliaia wyików uzyskaych a podstawie próby a całą

Bardziej szczegółowo

Ć wiczenie 17 BADANIE SILNIKA TRÓJFAZOWEGO KLATKOWEGO ZASILANEGO Z PRZEMIENNIKA CZĘSTOTLIWOŚCI

Ć wiczenie 17 BADANIE SILNIKA TRÓJFAZOWEGO KLATKOWEGO ZASILANEGO Z PRZEMIENNIKA CZĘSTOTLIWOŚCI Ć wiczeie 7 BADANIE SILNIKA TRÓJFAZOWEGO KLATKOWEGO ZASILANEGO Z RZEIENNIKA CZĘSTOTLIWOŚCI Wiadomości ogóle Rozwój apędów elektryczych jest ściśle związay z rozwojem eergoelektroiki Współcześie a ogół

Bardziej szczegółowo

Projekt z dnia 24.05.2012 r. Wersja 0.5 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA GOSPODARKI 1) z dnia..

Projekt z dnia 24.05.2012 r. Wersja 0.5 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA GOSPODARKI 1) z dnia.. Projekt z dia 24.05.2012 r. Wersja 0.5 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA GOSPODARKI 1) z dia.. w sprawie szczegółowego zakresu obowiązku uzyskaia i przedstawieia do umorzeia świadectw efektywości eergetyczej i uiszczaia

Bardziej szczegółowo

METODYKA WYKONYWANIA POMIARÓW ORAZ OCENA NIEPEWNOŚCI I BŁĘDÓW POMIARU

METODYKA WYKONYWANIA POMIARÓW ORAZ OCENA NIEPEWNOŚCI I BŁĘDÓW POMIARU METODYKA WYKONYWANIA POMIARÓW ORAZ OCENA NIEPEWNOŚCI I BŁĘDÓW POMIARU Celem każdego ćwiczeia w laboratorium studeckim jest zmierzeie pewych wielkości, a astępie obliczeie a podstawie tych wyików pomiarów

Bardziej szczegółowo

Fraktale. Definicja ogólna. fraktala. w naturze. Samopodobieństwo. w naturze. Śnieżynka von Kocha

Fraktale. Definicja ogólna. fraktala. w naturze. Samopodobieństwo. w naturze. Śnieżynka von Kocha Defiicja ogóla fraktala Fraktale dr iż.. Piotr Steć Fraktalem azywamy obiekt, który wykazuje cechy dokładego lub statystyczego podobieństwa Fraktal jest obiektem, którego wymiar jest ułamkiem Słowo fraktal

Bardziej szczegółowo

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie błądzenia przypadkowego do testowania generatorów liczb pseudolosowych

Zastosowanie błądzenia przypadkowego do testowania generatorów liczb pseudolosowych Uiwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Iformatyki Istytut Iformatyki Grzegorz Łoś Zastosowaie błądzeia przypadkowego do testowaia geeratorów liczb pseudolosowych Praca magisterska apisaa pod kierukiem

Bardziej szczegółowo

OKREŚLENIE CHARAKTERYSTYK POMPY WIROWEJ I WYZNACZENIE PAGÓRKA SPRAWNOŚCI

OKREŚLENIE CHARAKTERYSTYK POMPY WIROWEJ I WYZNACZENIE PAGÓRKA SPRAWNOŚCI Ćwiczeie 5 OKREŚLENIE CARAKTERYSTYK POMPY WIROWEJ I WYZNACZENIE PAGÓRKA SPRAWNOŚCI Wykaz ważiejszych ozaczeń c 1 rędkość bezwzględa cieczy a wlocie do wirika, m/s c rędkość bezwzględa cieczy a wylocie

Bardziej szczegółowo

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych 8. Optymalizacja decyzji iwestycyjych 8. Wprowadzeie W wielu różych sytuacjach, w tym rówież w czasie wyboru iwestycji do realizacji, podejmujemy decyzje. Sytuacje takie azywae są sytuacjami decyzyjymi.

Bardziej szczegółowo

4. MODELE ZALEŻNE OD ZDARZEŃ

4. MODELE ZALEŻNE OD ZDARZEŃ 4. MODELE ZALEŻNE OD ZDARZEŃ 4.. Wrowadzeie W sysemach zależych od zdarzeń wyzwalaie określoego zachowaia się układu jes iicjowae rzez dyskree zdarzeia. Modelowaie akich syuacji ma a celu symulacyją aalizę

Bardziej szczegółowo

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia wyrówawcze z fizyki -Zestaw 5 -Teoria Optyka geometrycza i optyka falowa. Prawo odbicia i prawo załamaia światła, Bieg promiei świetlych w pryzmacie, soczewki i zwierciadła. Zjawisko dyfrakcji

Bardziej szczegółowo

Okresy i stopy zwrotu nakładów inwestycyjnych w ocenie efektywności inwestycji rzeczowych

Okresy i stopy zwrotu nakładów inwestycyjnych w ocenie efektywności inwestycji rzeczowych Ekoomia Meedżerska 2009, r 5, s. 45 62 Marek Łukasz Michalski* Okresy i stopy zwrotu akładów iwestycyjych w oceie efektywości iwestycji rzeczowych 1. Wprowadzeie Podstawowym celem przedsiębiorstwa, w długim

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fiasowy gospodarki Zajęcia r 5 Matematyka fiasowa Wartość pieiądza w czasie 1 złoty posiaday dzisiaj jest wart więcej iż 1 złoty posiaday w przyszłości, p. za rok. Powody: Suma posiadaa dzisiaj

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM RACHUNEK EKONOMICZNY W ELEKTROENERGETYCE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA

Bardziej szczegółowo

TRANSFORMACJA DO UKŁADU 2000 A PROBLEM ZGODNOŚCI Z PRG

TRANSFORMACJA DO UKŁADU 2000 A PROBLEM ZGODNOŚCI Z PRG Tomasz ŚWIĘTOŃ 1 TRANSFORMACJA DO UKŁADU 2000 A ROBLEM ZGODNOŚCI Z RG Na mocy rozporządzeia Rady Miistrów w sprawie aństwowego Systemu Odiesień rzestrzeych już 31 grudia 2009 roku upływa termi wykoaia

Bardziej szczegółowo

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI StatSoft Polska, tel. () 484300, (60) 445, ifo@statsoft.pl, www.statsoft.pl BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI ZA POMOCĄ ANALIZY ROZKŁADÓW Agieszka Pasztyła Akademia Ekoomicza w Krakowie, Katedra Statystyki;

Bardziej szczegółowo

Konspekt lekcji (Kółko matematyczne, kółko przedsiębiorczości)

Konspekt lekcji (Kółko matematyczne, kółko przedsiębiorczości) Kospekt lekcji (Kółko matematycze, kółko przedsiębiorczości) Łukasz Godzia Temat: Paradoks skąpej wdowy. O procecie składaym ogólie. Czas lekcji 45 miut Cele ogóle: Uczeń: Umie obliczyć procet składay

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 L.Kowalski zadaia ze statystyki matematyczej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadaie 3. Cecha X populacji ma rozkład N m,. Z populacji tej pobrao próbę 7 elemetową i otrzymao wyiki x7 = 9, 3, s7 =, 5 a Na poziomie

Bardziej szczegółowo

Wykład. Inwestycja. Inwestycje. Inwestowanie. Działalność inwestycyjna. Inwestycja

Wykład. Inwestycja. Inwestycje. Inwestowanie. Działalność inwestycyjna. Inwestycja Iwestycja Wykład Celowo wydatkowae środki firmy skierowae a powiększeie jej dochodów w przyszłości. Iwestycje w wyiku użycia środków fiasowych tworzą lub powiększają majątek rzeczowy, majątek fiasowy i

Bardziej szczegółowo

2. ANALIZA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARÓW

2. ANALIZA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARÓW . ANALIZA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARÓW Z powodu iedokładości przyrządów i metod pomiarowych, iedoskoałości zmysłów, iekotrolowaej zmieości waruków otoczeia (wielkości wpływających) i iych przyczy, wyik

Bardziej szczegółowo

POMIARY WARSZTATOWE. D o u ż y t k u w e w n ę t r z n e g o. Katedra Inżynierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego. Ćwiczenia laboratoryjne

POMIARY WARSZTATOWE. D o u ż y t k u w e w n ę t r z n e g o. Katedra Inżynierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego. Ćwiczenia laboratoryjne D o u ż y t k u w e w ę t r z e g o Katedra Iżyierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego POMIARY WARSZTATOWE Ćwiczeia laboratoryje Opracowaie: Urszula Goik, Maciej Kabziński Kraków, 2015 1 SUWMIARKI Suwmiarka

Bardziej szczegółowo

µ = Test jest następujący: jeŝeli X > 0.01 to odrzucamy H. 0

µ = Test jest następujący: jeŝeli X > 0.01 to odrzucamy H. 0 7. Testowaie hipotez statystyczych 7. Populacja ma rozkład ciągły opisay fukcją gęstości f ( x) ( + ) x dla x [,]. Testowaa jest hipoteza, Ŝe wobec hipotezy alteratywej, Ŝe. Wioskujemy a podstawie jedoelemetowej

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA NR 06-2 POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ

INSTRUKCJA NR 06-2 POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ LABORATORIUM OCHRONY ŚRODOWISKA - SYSTEM ZARZĄDZANIA JAKOŚCIĄ - INSTRUKCJA NR 06- POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ 1. Cel istrukcji Celem istrukcji jest określeie metodyki postępowaia w celu

Bardziej szczegółowo

Prace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011. Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska

Prace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011. Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska Prace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011 Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska 5 pa¹dzierika 2010 Rozdziaª 0 Uwagi Prace domowe ie s obowi zkowe aczkolwiek zach cam gor co do ich robieia i oddawaia mi a kartkach.

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA LOKALIZACJI DLA NOWOPOWSTAŁEGO OBIEKTU

OPTYMALIZACJA LOKALIZACJI DLA NOWOPOWSTAŁEGO OBIEKTU STUDI I PRCE WYDZIŁU NUK EKONOMICZNYCH I ZRZĄDZNI NR 36, T. a Turczak * Zachodiopoorska Szkoła Bizesu w Szczeciie Patrycja Zwiech ** Uiwersytet Szczeciński 2 OPTYMLIZCJ LOKLIZCJI DL NOWOPOWSTŁEGO OBIEKTU

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ INSTYTUT EKSPLOATACJI MASZYN I TRANSPORTU ZAKŁAD STEROWANIA ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA ĆWICZENIE: E20 BADANIE UKŁADU

Bardziej szczegółowo

O PEWNEJ MOŻLIWOŚCI UWZGLĘDNIENIA SUBSTYTUCJI NAKŁADÓW W MODELACH DEA. 1. Wstęp

O PEWNEJ MOŻLIWOŚCI UWZGLĘDNIENIA SUBSTYTUCJI NAKŁADÓW W MODELACH DEA. 1. Wstęp B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y Z J E Nr 3 4 2007 Bogusław GUZIK* O PEWNEJ MOŻLIWOŚCI UWZGLĘDNIENIA SUBSTYTUCJI NAKŁADÓW W MODELACH DEA W klasyczych wariatach etody DEA (p. CCR czy super-efficiecy

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja sieci powiązań układu nadrzędnego grupy kopalń ze względu na koszty transportu

Optymalizacja sieci powiązań układu nadrzędnego grupy kopalń ze względu na koszty transportu dr hab. iż. KRYSTIAN KALINOWSKI WSIiZ w Bielsku Białej, Politechika Śląska dr iż. ROMAN KAULA Politechika Śląska Optymalizacja sieci powiązań układu adrzędego grupy kopalń ze względu a koszty trasportu

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie. metody elementów skończonych

Wprowadzenie. metody elementów skończonych Metody komputerowe Wprowadzeie Podstawy fizycze i matematycze metody elemetów skończoych Literatura O.C.Ziekiewicz: Metoda elemetów skończoych. Arkady, Warszawa 972. Rakowski G., acprzyk Z.: Metoda elemetów

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz

Bardziej szczegółowo

Analiza drgań wybranych dźwigarów powierzchniowych metodą elementów brzegowych

Analiza drgań wybranych dźwigarów powierzchniowych metodą elementów brzegowych a prawach rękopisu Istytut Iżyierii Lądowej Politechiki Wrocławskiej Aaliza drgań wybraych dźwigarów powierzchiowych metodą elemetów brzegowych Raport serii PRE r 5/ Praca doktorska autor mgr iż. Jacek

Bardziej szczegółowo

co wskazuje, że ciąg (P n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy K 0 r. Pierwszy wyraz tego ciągu a więc P 1 z uwagi na wzór (3) ma postać P

co wskazuje, że ciąg (P n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy K 0 r. Pierwszy wyraz tego ciągu a więc P 1 z uwagi na wzór (3) ma postać P Wiadomości wstępe Odsetki powstają w wyiku odjęcia od kwoty teraźiejszej K kwoty początkowej K, zatem Z = K K. Z ekoomiczego puktu widzeia właściciel kapitału K otrzymuje odsetki jako zapłatę od baku za

Bardziej szczegółowo

WYBRANE METODY DOSTĘPU DO DANYCH

WYBRANE METODY DOSTĘPU DO DANYCH WYBRANE METODY DOSTĘPU DO DANYCH. WSTĘP Coraz doskoalsze, szybsze i pojemiejsze pamięci komputerowe pozwalają gromadzić i przetwarzać coraz większe ilości iformacji. Systemy baz daych staowią więc jedo

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA. Temat wykładu: Co to jest model ekonometryczny? Dobór zmiennych objaśniających w modelu ekonometrycznym CZYM ZAJMUJE SIĘ EKONOMETRIA?

EKONOMETRIA. Temat wykładu: Co to jest model ekonometryczny? Dobór zmiennych objaśniających w modelu ekonometrycznym CZYM ZAJMUJE SIĘ EKONOMETRIA? EKONOMETRIA Temat wykładu: Co to jest model ekoometryczy? Dobór zmieych objaśiających w modelu ekoometryczym Prowadzący: dr iż. Zbigiew TARAPATA e-mail: Zbigiew.Tarapata Tarapata@isi.wat..wat.edu.pl http://

Bardziej szczegółowo

Materiały do wykładu 4 ze Statystyki

Materiały do wykładu 4 ze Statystyki Materiały do wykładu 4 ze Statytyki CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE STRUKTURY ZBIOROWOŚCI (dok.) 1. miary położeia - wykład 2 2. miary zmieości (dyperji, rozprozeia) - wykład 3 3. miary aymetrii (kośości) 4.

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO Agieszka Jakubowska ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO. Wstęp Skąplikowaie współczesego życia gospodarczego powoduje, iż do sterowaia procesem zarządzaia

Bardziej szczegółowo

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją

Bardziej szczegółowo

Metody oceny efektywności projektów inwestycyjnych

Metody oceny efektywności projektów inwestycyjnych Opracował: Leszek Jug Wydział Ekoomiczy, ALMAMER Szkoła Wyższa Meody ocey efekywości projeków iwesycyjych Niezbędym warukiem urzymywaia się firmy a ryku jes zarówo skuecze bieżące zarządzaie jak i podejmowaie

Bardziej szczegółowo

a[1] a[2] a[3] a[4] a[5] a[6] a[7] a[8] a[9] a[10] 3-2 5 8 12-4 -26 12 45-76

a[1] a[2] a[3] a[4] a[5] a[6] a[7] a[8] a[9] a[10] 3-2 5 8 12-4 -26 12 45-76 . p. 1 Algorytmem nazywa się poddający się interpretacji skończony zbiór instrukcji wykonania zadania mającego określony stan końcowy dla każdego zestawu danych wejściowych W algorytmach mogą występować

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia IV i V. 1 Rozwiązanie: Π. średnia liczba obsługiwanych klientów: 6.67 w ciągu godziny = Π1

Ćwiczenia IV i V. 1 Rozwiązanie: Π. średnia liczba obsługiwanych klientów: 6.67 w ciągu godziny = Π1 Ćwiczeia IV i V We wszystkich poiższych zadaiach ależy przyjąć, że zgłoszeia (lub ich odpowiediki) przychodzą zgodie z rozkładem Poissoa, a czasy obsługi podlegają rozkładowi wykładiczemu. Zadaia r i pochodzą

Bardziej szczegółowo

Entropia w układach dynamicznych

Entropia w układach dynamicznych Etropia w układach dyamiczych Wstęp Środowiskowe studia doktorackie Uiwersytet Jagielloński Kraków, marzec-kwiecień 203 Tomasz Dowarowicz Część II Etropia topologicza i zasada wariacyja Zaczijmy od początku.

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne - powtórzenie Tożsamości trygonometry czne

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne - powtórzenie Tożsamości trygonometry czne Fukcje trygoometrycze Fukcje trygoometry cze - powtórzeie Tożsamości trygoometry cze 3 podstawowe tożsamości trygoometrycze metoda uzasadiaia tożsamości trygoometryczych Fukcje trygoometry cze sumy i różicy

Bardziej szczegółowo

Politechnika Poznańska

Politechnika Poznańska Politechika Pozańska Temat: Laboratorium z termodyamiki Aaliza składu spali powstałych przy spalaiu paliw gazowych oraz pomiar ich prędkości przepływu za pomocą Dopplerowskiego Aemometru Laserowego (LDA)

Bardziej szczegółowo

SYSTEM KOMPUTEROWY UŁATWIAJĄCY WYKORZYSTANIE INFORMACJI O ZJAWISKACH SOCJALNO-EKONOMICZNYCH PRZY WYBORZE FIRM INWESTUJĄCYCH NA DANYM TERENIE

SYSTEM KOMPUTEROWY UŁATWIAJĄCY WYKORZYSTANIE INFORMACJI O ZJAWISKACH SOCJALNO-EKONOMICZNYCH PRZY WYBORZE FIRM INWESTUJĄCYCH NA DANYM TERENIE Autoreferat rozprawy doktorskiej SYSTEM KOMPUTEROWY UŁATWIAJĄCY WYKORZYSTANIE INFORMACJI O ZJAWISKACH SOCJALNO-EKONOMICZNYCH PRZY WYBORZE FIRM INWESTUJĄCYCH NA DANYM TERENIE mgr iŝ. Jausz Rybarski PROMOTOR:

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę dzieci ustawioo w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie, b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło

Bardziej szczegółowo

Niepewności pomiarowe

Niepewności pomiarowe Niepewości pomiarowe Obserwacja, doświadczeie, pomiar Obserwacja zjawisk fizyczych polega a badaiu ych zjawisk w warukach auralych oraz a aalizie czyików i waruków, od kórych zjawiska e zależą. Waruki

Bardziej szczegółowo