Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory. Autorzy: Konrad Nosek

Transkrypt

1 Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory Autorzy: Konrad Nosek 09

2 Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory Autor: Konrad Nosek DEFINICJA Definicja : Funkcja pierwotna Rozważmy przedział I zawarty w zbiorze liczb rzeczywistych ( I R ). Funkcję rzeczywistą mającą pochodną w każdym punkcie przedziału I nazywamy funkcją pierwotną funkcji f w przedziale I, jeżeli w każdym punkcie I zachodzi F () = f() (tj. gdy w każdym punkcie z przedziału I pochodna funkcji F równa się wartości funkcji f ). Przykład : Rozważmy wielomian f() = 3 3. Wówczas wielomian określony wzorem F() = + 06 jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale (, ), gdyż F = f() R. Istnieją też inne funkcje pierwotne funkcji f, np.: F () = +,,, F () = F 3 () = UWAGA Uwaga : Z powyższego przykładu wynika, że funkcja pierwotna danej funkcji nie jest wyznaczona jednoznacznie, a jednak mając jedną funkcję pierwotną łatwo wyznaczyć wszystkie pozostałe. Spostrzeżenie to precyzuje następujące twierdzenie: TWIERDZENIE Twierdzenie : O funkcji pierwotnej Dwie dowolne funkcje pierwotne tej samej funkcji f różnią się o stałą tzn. Jeśli F i G są funkcjami pierwotnymi na przedziale I do funkcji f, to c R I : F() = G() + c.

3 UWAGA Uwaga : Prawdziwość powyższego twierdzenia wynika z własności pochodnych, tj. wzoru na pochodną sumy oraz z faktu, iż pochodna ze stałej c wynosi zero. DEFINICJA Definicja : Całka nieoznaczona Rodzinę wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f w przedziale I nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f w przedziale I i oznaczamy ją symbolem f(). Zatem f() = F() + c F () = f(). UWAGA Uwaga 3: Wprost z powyższej definicji wynika ważna własność całki nieoznaczonej, że pochodna całki jest równa funkcji podcałkowej, czyli ( f() ) = f(). Przykład : sin = cos + c, bo ( cos ) = sin. Przykład 3: = arctg + c, bo (arctg ) =. + +

4 TWIERDZENIE Twierdzenie : Wzory podstawowe. α = α+ + c, gdy α (całka z funkcji potęgowej) ; α+. = ln + c ; 3. a = a + c, gdy a > 0 i a (całka z funkcji wykładniczej) ; ln a 4. sin = cos + c ; 5. cos = sin + c ; 6. = tg + c ; cos 7. = ctg + c ; sin 8. = arcsin + c ; 9. = arctg + c. + UWAGA Uwaga 4: Powyższe wzory łatwo sprawdzić - wystarczy pokazać, że pochodna wyniku jest równa funkcji podcałkowej. Przykładowo a ( ) ln a = ( ) = ln a a = a. ln a ln a a Przykład 4: Obliczmy całkę. 3 Korzystając z działań na potęgach oraz ze wzoru. powyższego twierdzenia otrzymujemy 3 = 3 = + c = + c. Przykład 5: Obliczmy całkę e. Korzystając ze wzoru na całkę nieoznaczoną dla funkcji wykładniczej (por. twierdzenie - wzory podstawowe ) otrzymujemy gdyż ln e =. e = e + c = e + c, ln e

5 {OPENAGHCONCLUSION (name="z twierdzenia Wzory podstawowe")} W szczególności prawdziwe są wzory:. = + c ;. = + c, gdy α, więc tym samym np. = + c ; α (α ) α 3. e = e + c ; {OPENAGHCONCLUSION} TWIERDZENIE Twierdzenie 3: O całce sumy Jeżeli funkcje f oraz g mają funkcje pierwotne w przedziale I, to suma f + g ma również funkcję pierwotną w przedziale I. Ponadto zachodzi równość: (f() + g()) = f() + g(). Przykład 6: Obliczmy całkę z funkcji f() = Skorzystamy tu z twierdzenia o całce sumy oraz ze wzoru podstawowego na całkę z funkcji potęgowej. ( + + ) = ( ) = = + c. Przykład 7: Obliczmy całkę +. + Stosując proste dopełnienie algebraiczne, otrzymujemy = ( + ) = + = + arctg + c. TWIERDZENIE Twierdzenie 4: o wyciąganiu stałej przed znak całki Jeżeli funkcja f ma funkcję pierwotną w przedziale I, to dla dowolnej stałej a iloczyn a f ma również funkcję pierwotną w przedziale I. Ponadto dla dowolnej stałej a prawdziwa jest równość: a f() = a f().

6 Należy przy tym pamiętać, że przed całkę można wyciągnąć stałą, ale nie zmienną (czyli nic z -em, jeśli całkujemy funkcję od ). Przykład 8: Obliczmy całkę. Korzystając z działań na potęgach oraz z twierdzenia o wyciąganiu stałej przed znak całki mamy 4 = = = + c = + c. 4 ln ln 6 Przykład 9: sin Obliczmy całkę. cos sin cos sin cos cos = = sin = cos + c. Dlaczego pisząc symbol całki należy zawsze pisać człon, oznaczający że całkujemy po tłumaczą następujące przykłady. Przykład 0: = + c, gdyż. ( ) = = dt = dt = t + c, gdyż (t) = (t) =. Całkę nieoznaczoną, a potem oznaczoną stosujemy głównie w fizyce, gdzie rzadko kiedy argumenty funkcji są oznaczane jako, np. s = s(t) funkcja drogi od czasu (t time). W pierwszym przytoczonym przykładzie dopisek oznacza, że poszukujemy funkcji pierwotnej od funkcji o argumencie. Czyli widzimy, że całkujemy funkcję f() = względem. W drugim zaś przykładzie jest stałą, którą wolno wziąć przed całkę. Wówczas całkujemy funkcję f(t) = względem t. {OPENAGHCONCLUSION (name="z twierdzenia ((Automatycznie #thr:nieoznaczonakn-sumacalek o całce sumy i z twierdzenia o wyciąganiu stałej przed znak całki")} Jeżeli funkcje f oraz g mają funkcje pierwotne w przedziale I, to różnica f g ma również funkcję pierwotną w przedziale I. Ponadto zachodzi równość (f() g()) = f() g(). {OPENAGHCONCLUSION}

7 Przykład : Obliczmy całkę (cos ). (cos ) = cos = sin ln + c. {OPENAGHCONCLUSION (name="z twierdzenia O całce sumy i z twierdzenia o wyciąganiu stałej przed znak całki" anchor="cl:nieoznaczonakn-wn3")} Jeżeli funkcje f oraz g mają funkcje pierwotne w przedziale I, to dla dowolnych liczb a i b funkcja a f + b g ma również funkcję pierwotną w przedziale I oraz (af() + bg()) = a f() + b g(). {OPENAGHCONCLUSION} Przykład : Obliczmy całkę z wielomianu W() = ( ) = = c. Przykład 3: Obliczmy całkę. + Żeby można było użyć wzorów podstawowych, zastosujemy tutaj proste dopełnienie algebraiczne oraz wykorzystamy powyższy wniosek = ( ) = ( ) = = arctg + c. + Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie Data generacji dokumentu: :0:59 Oryginalny dokument dostępny pod adresem: link=5a99cc9d5a978fc5db39a89d6f9353

8 Autor: Konrad Nosek