CIĄGI wiadomości podstawowe

Transkrypt

1 1 CIĄGI wiadomości podstawowe Jak głosi definicja ciąg liczbowy to funkcja, której dziedziną są liczby naturalne dodatnie (w zadaniach oznacza się to najczęściej n 1) a wartościami tej funkcji są wszystkie liczby rzeczywiste nazywamy je wyrazami ciągu i oznaczamy np. a 1, a 2, a 3,, a n (pierwszy wyraz ciągu, drugi wyraz ciągu, trzeci wyraz ciągu,, n-ty wyraz ciągu) W praktyce powyższe oznacza, że gdy mamy jakiś ciąg określony wzorem ogólnym np. a n 4n 1, to za n możemy podstawiać tylko liczby naturalne (dziedzina funkcji) w wyniku mogą czego nam już wychodzić dowolne liczby rzeczywiste (wartości funkcji). Zauważ, że ze wzoru ogólnego ciągu mogę zawsze obliczyć dowolny wyraz ciągu. Jeśli a n 4n 1, to a a a itd Ciąg liczbowy nazwiemy nieskończonym jeśli dziedziną będą wszystkie liczby naturalne. Ciąg liczbowy nazwiemy skończonym jeśli dziedziną będzie określona ilość liczb naturalnych. Monotoniczność ciągu Ciąg jest rosnący, jeśli każdy kolejny wyraz tego ciągu jest większy od poprzedniego (wynika z tego, że gdy od danego wyrazu ciągu odejmę wcześniejszy wyraz, to w wyniku otrzymam liczbę dodatnią). np. mamy rosnący ciąg a n 2, 7, 12, 20,, a n, a n+1,, to widać, że np > 0 Rozumując w podobny sposób otrzymamy związek, który określa ciąg rosnący a n+1 a n > 0 Ciąg jest malejący, jeśli każdy kolejny wyraz tego ciągu jest mniejszy od poprzedniego (wynika z tego, że gdy od danego wyrazu ciągu odejmę wcześniejszy wyraz, to w wyniku otrzymam liczbę ujemną). np. mamy malejący ciąg a n 18, 12, 6,, a n, a n+1,, to widać, że np < 0 Rozumując w podobny sposób otrzymamy związek, który określa ciąg rosnący a n+1 a n < 0 Ciąg jest stały, jeśli każdy kolejny wyraz tego ciągu jest taki sam jak poprzedni (wynika z tego, że gdy od danego wyrazu ciągu odejmę wcześniejszy wyraz, to w wyniku otrzymam 0). np. mamy rosnący ciąg a n 6, 6, 6,, a n, a n+1,, to widać, że np Rozumując w podobny sposób otrzymamy związek, który określa ciąg rosnący a n+1 a n 0

2 2 Przykład 1 Oblicz szósty wyraz ciągu a n a 6 Przykład 2 Ciąg (a n) jest określony wzorem a n, dla n 1. Oblicz ile jest wszystkich nieujemnych wyrazów tego ciągu. Nieujemnych - oznacza większych lub równych 0. Zapisujemy i rozwiązujemy więc nierówność: 0 Ponieważ n jest na pewno dodatnie możemy taką nierówność pomnożyć obustronnie przez n 0 n Otrzymujemy: 16 2n n :2 8 n a czytając od końca n 8 Czyli ciąg ten ma 8 nieujemnych wyrazów

3 3 Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny Ciąg arytmetyczny to taki, w którym każdy następny wyraz ciągu powstaje poprzez dodanie do wcześniejszego jakiejś stałej liczby (nazywamy ją różnicą ciągu i oznaczamy literą r). Np. 2, 6, 10, 14, 18, 22, - w tym ciągu różnica r 4, a pierwszy wyraz ciągu a 1 2 Ważne! Aby otrzymać różnicę ciągu arytmetycznego od dowolnego wyrazu odejmij wcześniejszy otrzymamy z tego taką zależność a n+1 a n a n+2 a n+1 r Aby obliczyć dowolny (n-ty) wyraz ciągu arytmetycznego skorzystaj ze wzoru a n a 1 + (n 1) r Aby policzyć sumę pewnej ilości początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (n wyrazów) zastosuj wzór S n n W ciągu arytmetycznym dowolny wyraz ciągu jest średnią arytmetyczną wyrazu wcześniejszego i następnego (spójrz na wcześniejszy przykład ciągu 10 - zgadza się?), co zapisujemy wzorem a n Ciąg geometryczny to taki, w którym każdy następny wyraz ciągu powstaje poprzez pomnożenie wcześniejszego przez jakąś stałą liczbę (nazywamy ją ilorazem ciągu i oznaczamy literą q). Np. 2, 6, 18, 54, 162, - w tym ciągu różnica q 3, a pierwszy wyraz ciągu a 1 2 Ważne! Aby otrzymać iloraz ciągu geometrycznego dowolny wyraz podziel przez wcześniejszy otrzymujemy z tego taką zależność: q Aby obliczyć dowolny (n-ty) wyraz ciągu geometrycznego skorzystaj ze wzoru a n a 1 q n - 1 Aby policzyć sumę pewnej ilości początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (n wyrazów) zastosuj wzór S n a1 W ciągu geometrycznym dowolny wyraz ciągu jest średnią geometryczną wyrazu wcześniejszego i następnego (spójrz na wcześniejszy przykład ciągu zgadza się?), co zapisujemy wzorem a n Przykład 3 Liczby 5, 11, 17 są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego (a n) określonego dla liczb naturalnych n. Znajdź wzór ogólny tego ciągu. Widać we wzorze na wyraz ogólny a n a 1 + (n 1) r, że do szczęścia brakuje nam tylko r, bo przecież a 1 5 mamy. r po podstawieniu do wzoru na wyraz ogólny otrzymamy a n 5 + (n 1) 6 a to musimy jeszcze doprowadzić do najprostszej postaci czyli a n 5 + 6n 6 6n 1 Zatem wzór ogólny tego ciągu arytmetycznego to a n 6n 1

4 4 Przykład 4 Wyznacz wzór ogólny ciągu arytmetycznego (a n), w którym a 2 7, a 5 19 Sytuacja nieco inna niż w poprzednim przykładzie, gdyż nie mamy ani a 1 ani r, aby podstawić do wzoru a n a 1 + (n 1) r Ale zauważmy, że z powyższego wzoru wynika, że a 2 a 1 + r oraz a 5 a 1 + 4r stad a 1 + r 7 a 1 + 4r 19 obydwa te równania utworzyły nam układ równań z 2 niewiadomymi właśnie tymi, których szukamy, czyli a 1 i r. Jeśli powyższy układ zaczniemy rozwiązywać np. metodą przeciwnych współczynników szybko otrzymamy, że 3r 12, czyli r 4. a skoro tak, to: a , czyli a 1 3 Otrzymane liczby podstawiamy do wzoru a n a 1 + (n 1) r a n 3 + (n 1) n 4 4n - 1 Zatem wzór ogólny tego ciągu arytmetycznego to a n 4n 1 Przykład 5 W ciągu arytmetycznym (a n) a 5 13, zaś a Oblicz: a) sumę dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu b) sumę wyrazów od a 12 do a 17 a) Zauważmy, że w wzorze na sumę w ciągu arytmetycznym S n! " n, która w przypadku obliczania sumy 10 pierwszych wyrazów będzie mieć postać S 10!!# 10, brakuje nam a 1 i a 10. Przy obliczaniu a 1 oraz r postąpimy podobnie jak w przykładzie 2 a 5 a 1 + 4r a 8 a 1 + 7r stąd a 1 + 4r 13 a 1 + 7r 19 rozwiązujemy ten układ metodą przeciwnych współczynników i otrzymujemy 3r 6 :3 r 2 i dalej a a a 1 5 Mając a 1 i r możemy policzyć dowolny wyraz ciągu, choć my potrzebujemy konkretnie a 10 a 10 a 1 + 9r a 10 23

5 5 I teraz podstawiamy do wzoru na sumę: S 10!!# 10 S 10 $ 10 S S Zatem suma 10 początkowych wyrazów tego ciągu arytmetycznego wynosi 140. b) Mamy policzyć wyrazów od a 12 do a 17. W praktyce oznacza to, że najpierw musimy policzyć sumę 11 początkowych wyrazów ciągu, potem sumę 17 początkowych wyrazów ciągu i na końcu od tej drugiej odjąć pierwszą: S 17 S 11 S 11!!! 11 (potrzeba nam obliczyć a 11, więc a 11 a r ) S 11 $ $ S 17!!% 17 (potrzeba nam obliczyć a 17, więc a 17 a r ) S 17 $ & S 17 S czyli suma wyrazów od 12 do 17 wynosi 192 Przykład 6 Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego (a n), w którym a 3 9, a 4 27 Zapisujemy wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego a n a 1 q n 1 i widzimy, że brakuje nam zarówno a 1 oraz q. Zauważmy, że podane są wartości 2 kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego, mianowicie a 3 9, a 4 27, więc q obliczymy szybko dzieląc ' ( co daje 27 : 9 3 zatem q 3 teraz a 1 obliczymy ze wzoru na ogólny wyraz ciągu a n a 1 q n 1 podstawiając za a n któryś z podanych w zadaniu wyrazów ciągu, np. a 3 9 otrzymamy: 9 a a 1 :9 a 1 1 Znając już a 1 oraz q możemy te liczby podstawić do wzoru na ogólny wyraz ciągu: a n a 1 q n n 1 3 n 1 Otrzymaliśmy w ten sposób wzór naszego ciągu geometrycznego a n 3 n - 1

6 6 Przykład 7 Oblicz sumę 5 początkowych wyrazów rosnącego ciągu geometrycznego (a n), jeśli a 1 4 i a 3 36 )" Wzór na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego to S n ) a1 My chcemy obliczyć sumę 5 początkowych wyrazów, więc wzór dla pięciu, będzie wyglądał tak: S 5 )* ) a1 mamy a 1 ale brakuje nam q Wiemy, że wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego ma postać a n a 1 q n 1, wynika stąd, że: a 3 a 1 q 2 stąd 36 4q 2 :4 q 2 9 q 3 Więc suma S 5 * Zatem suma 5 początkowych wyrazów tego ciągu geometrycznego wynosi 484. Przykład 8 Liczby 2x, 11, 3x + 2 tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny. Oblicz x. Pamiętamy, że jeśli 3 kolejne liczby tworzą ciąg arytmetyczny, to liczba w środku jest średnią arytmetyczną liczby stojącej przed nią i liczby stojącej za nią. u nas: x + 3x x 5x 20 :5 x 4 Uwaga! To samo zadanie równie łatwo rozwiążemy wykorzystując zależność a n+1 a n a n+2 a n+1 Przykład 9 Liczby 3, 5x - 1, 27 tworzą w podanej kolejności rosnący ciąg geometryczny. Oblicz x. Pamiętamy, że jeśli 3 kolejne liczby tworzą ciąg arytmetyczny, to liczba w środku jest średnią geometryczną liczby stojącej przed nią i liczby stojącej za nią. u nas: 5x x x 1 9 5x 10 :5 x 2 Uwaga! To samo zadanie równie łatwo rozwiążemy wykorzystując zależność "! " " "!

7 7 Przykład 10 Dane są liczby -1, a, b, 9. Trzy pierwsze tworzą rosnący ciąg arytmetyczny, a trzy ostatnie ciąg geometryczny. Oblicz a i b. W tym zadaniu moglibyśmy postąpić w podobny sposób jak w przykładzie 6 oraz 7. Ale wykorzystamy tym razem zależności, o których wspomnieliśmy pod hasłem UWAGA w przykładzie 6 i 7, aby pokazać, że można też nieco inaczej. Dla ciągu arytmetycznego mamy a n+1 a n a n+2 a n+1, co u nas przyjmie postać a (-1) b a b 2a + 1 Dla ciągu geometrycznego mamy "! ", co nam u nas da " "!. a po przemnożeniu na krzyż otrzymamy. b 2 9a Otrzymaliśmy w ten sposób układ równań z 2 niewiadomymi a oraz b rozwiążemy go metodą podstawiania i podstawimy za b do drugiego równania (2a + 1) 2 9a Obliczamy korzystając ze wzoru skróconego mnożenia 4a 2 + 4a + 1 9a 4a 2 5a Rozwiązujemy takie równanie kwadratowe Δ (-5) / 3 a 1 $ a 2 $ 1 otrzymane wyniki podstawiamy do wcześniej wyznaczonego wzoru na b b 2a + 1 b b Odp: a 0 i b 1 lub a 1 i b 3