Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania b; stąd b = (6 π 3)/12. 3 Wzór stycznej: 2 x + 6 π
|
|
- Rafał Pawłowski
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie 1. Styczne do krzywej: (a) y = sin x x 0 = π/6 (b) y = x 3 2x 2 + x 1 x 0 = 1 Tą styczną to już gdzieś objaśniałem. Jest to prosta o równaniu y = ax + b. Współczynnik a to wartość pochodnej funkcji w punkcie x 0, a współczynnik b ustalamy tak, aby prosta dotykała wykresu funkcji, czyli f(x 0 ) = ax 0 + b. Patrz proszę niżej. (a) Liczymy pochodną: f (x) = cos x. W punkcie x 0 = π/6 mamy cos(π/6) = 3/2. Czyli nasza prosta ma mieć postać: y = ( 3/2) x + b. Wartość f(π/6) = 1/2. Dostajemy równość: = π b; stąd b = (6 π 3)/12. 3 Wzór stycznej: 2 x + 6 π (a) Liczymy pochodną: f (x) = 3x 2 4x + 1. Wartość pochodnej w punkcie x 0 = 1 wynosi zero więc styczna będzie poziomą prostą. Funkcja ma w tym punkcie wartość f(1) = 1, czyli wzór stycznej nie zawiera x : y = 1. UWAGA! To, że styczna jest pozioma nie oznacza jeszcze, że jest w tym punkcie ekstremum f(x), bo może być jeszcze punkt przegięcia, tak jak np. dla funkcji f(x) = x 3 w punkcie x 0 = 0. Zadanie 2. Monotoniczność i ekstrema. (a) f(x) = x 4 2x (b) h(x) = 2x 3 6x (c) f(x) = 3x 4 16x (d) f(x) = x 3 + 6x 2 9x + 4 (e) g(x) = x 2 /(x 3) (f) s(x) = x 3 /(x 2 x 2) Monotoniczność jest łatwa - funkcja jest rosnąca gdy jej pochodna jest dodatnia, malejąca - gdy pochodna jest ujemna. Gdy pochodna jest zerem to może, ale nie musi być ekstremum. Najprościej jest zbadać, czy pochodna zmienia znak gdy x przechodzi przez punkt podejrzany o bycie ekstremum. (a) Liczymy pochodną: f (x) = 4x 2 4x = 4x(x+1)(x 1). Rozłożyłem pochodną na czynniki aby łatwo było znaleźć jej miejsca zerowe. Pochodna jest zerem w punktach: x 1 = 1; oraz x 2 = 0; x 3 = 1. Gdy x < 1 wszystkie trzy czynniki we wzorze na pochodną są ujemne i mamy f (x) < 0, czyli funkcja jest malejąca. Potem na odcinku od 1 do 0 wyrażenie x + 1 jest dodatnie, pozostałe ujemne i f (x) > 0. Na kolejnym odcinku od 0 do 1 jest f (x) < 0 i potem dla x > 1 mamy f (x) > 0. Pochodna zmienia więc elegancko znak przy przechodzeniu przez jej punkty zerowe. Wnioski: Funkcja jest malejąca dla x ( ; 1) (0; 1) Funkcja jest rosnąca dla x ( 1; 0) (1; + ) W punktach x 1 = 1; x 3 = 1 funkcja ma lokalne minimum, a w punkcie x 2 = 0 - maksimum lokalne. Wykres tej funkcji przypomina damski biust, mniej lub bardziej kształtny, zależnie od przedziału, w jakim się go rysuje... Skoro jesteś chłopakiem to się nie obrazisz za ten tekst. Zauważ, że przy określaniu przedziałów monotoniczności używam przedziałów otwartych. Jest tak dlatego, że punkcie ekstremum nie można powiedzieć, że funkcja jest rosnąca lub malejąca. Jest nijaka - ani taka, ani taka. To jest moje zdanie, jeśli wykładowca powie inaczej, to trzymaj się proszę jego zdania. ciąg dalszy na następnej stronie
2 ciąg dalszy zadania 2 (b) Liczymy pochodną: h (x) = 6x 2 12x = 6x(x 2). Jak poprzednio badamy znak pochodnej. Jest ona ujemna dla x od 0 do 2, zerowa dla x 1 = 0; x 2 = 2, poza tym dodatnia, czyli: Funkcja jest malejąca dla x (0; 2) Funkcja jest rosnąca dla x ( ; 0) (2; + ) W punkcie x 1 = 0 funkcja ma lokalne minimum, a w punkcie x 2 = 2 - maksimum lokalne. (c) Liczymy pochodną: f (x) = 12x 3 48x 2 = 12x 2 (x 4). Pochodna ma miejsca zerowe w x 1 = 0 i x 2 = 4. Ale gdy przechodzimy przez punkt x = 0 to pochodna nie zmienia znaku (gdyż x 2 > 0 dla niezerowych x). W tym punkcie nie ma więc ekstremum, jest tylko punkt przegięcia. Aż do x = 4 pochodna jest poza tym ujemna, a dla x > 4 staje się dodatnia. Wnioski: Funkcja jest malejąca dla x ( ; 4) \ {0} Funkcja jest rosnąca dla x (4; + ) W punkcie x 1 = 4 funkcja ma lokalne minimum. Powód dlaczego wyłączamy x = 0 z przedziału monotoniczności wyjaśniam w przykładzie (a). (d) Liczymy pochodną: f (x) = 3x x 9 = 3(x 1)(x 3) (do rozkładu na czyyiki trzeba rozwiązać równania kwadratowe f (x) = 0, pominąłem to. Ważne jest to minus 3 przed nawiasami). Pamiętając o 3 przed nawiasem we wzorze na pochodną wnioskujemy, że: Funkcja jest malejąca dla x ( ; 1) (3; + ) Funkcja jest rosnąca dla x (1; 3) W punkcie x 1 = 1 funkcja ma lokalne minimum, a dla x 2 = 3 - maksimum. (e) Liczymy pochodną. To jest pochodna ilorazu czyli: g (x) = 2x (x 3) 1 (2x) (x 3) 2 = x(x 6) (x 3) 2 Zarówno funkcja, jaki jej pochodna nie istnieją w punkcie x = 3. poza tym punktem mianownik we wzorze pochodnej jest dodatni, a licznik jest dodatni dla x < 0 oraz x > 6 i ujemny pomiędzy 0 i 6. Dlatego: Funkcja jest malejąca dla x (0; 6) \ {3} Funkcja jest rosnąca dla x ( ; 0) (6; + ) W punkcie x 1 = 6 funkcja ma lokalne minimum, a dla x 2 = 0 - maksimum. Zwróć proszę uwagę, co dzieje się w okolicy x = 3. Gdy podchodzimy do tego punktu z lewej strony to g(x) zmierza w dół do. Natomiast z prawej strony f(x) dąży od + do jakiegoś minimum. Czyli g(x) może przyjmować wartości mniejsze niż w swoim minimum i większe niż w maksimum! Dlatego te ekstrema nazywają się lokalne, gdyż ten termin opisuje tylko zachowanie się funkcji blisko punktów ekstremalnych, a NIE funkcji w całej jej dziedzinie! ciąg dalszy na kolejnej stronie bo chcę mieć cały przykład (f) razem
3 ciąg dalszy zadania 2 (e) Liczymy pochodną. To jest pochodna ilorazu czyli: s (x) = 3x2 (x 2 x 2) x 3 (2x 1) = x2 (x 2 2x 6) (x 2 x 2) 2 (x 2 x 2) 2 Mianownik jest zerem dla x = 1 lub x = 2 (rozwiązujemy równanie x 2 x 2 = 0 aby dostać ten rezultat) wobec tego funkcja i jej pochodna nie istnieją w tych punktach. Dla pozostałych x mianownik jest dodatni. Badamy licznik pochodnej. Licznik jest zerem dla x = 0, ale ponieważ jest tam x 2 to pochodna nie zmienia znaku gdy przechodzimy przez zero. A blisko x = 0 pochodna jest ujemna. Wyrażenie w nawiasie po rozwiązaniu równania: x 2 2x 6 = 0 ma dwa miejsca zerowe: x 1 = 1 7 i x 2 = Dla x < x 1 licznik jest więc dodatni, podobnie jak dla x > x 2. Pomiędzy x = 1, x 1 i x 2 mamy ujemny licznik z wyjątkiem tych szczególnych punktów x = 0 i x = 3. Rozwiązanie zapiszemy więc tak: Funkcja jest malejąca dla x (1 7; 1 + 7) \ { 1; 0; 3} Funkcja jest rosnąca dla x ( ; 1 7) (1 + 7; + ) W punkcie x 2 = funkcja ma lokalne minimum, a dla x 1 = maksimum. W punktach x = 1 oraz x = 2 zachowanie funkcji jest takie samo jak w przykładzie (e), patrz proszę komentarz pod tamtym przykładem. Uwagi do zadań 3. i 4. W tych zadaniach stosujemy metodę przybliżania wartości funkcji w pobliżu punktu, w którym znamy jej dokładną wartość (np: wiedząc, że 9 = 3 możemy oszacować ile wynosi 9,1). Metoda opiera się na tym, ze wykres jakiejkolwiek normalnej funkcji obserwowany w dużym powiększeniu (tzn, dla x mało się różniących od wybranego x 0 ) wygląda praktycznie jak linia prosta. A dla linii prostej, opisanej równaniem: f(x) = ax + b, jeśli zwiększymy x o małe x to wartość f(x) zmieni się o: f = f(x 0 + x) f(x 0 ) = a(x 0 + x) + b (ax 0 + b) = a x Zauważ, że współczynnik a w równaniu stycznej do wykresu f(x) jest równy wartości pochodnej tej funkcji w punkcie x 0, dla przyzwoitej funkcji możemy więc napisać poprzedni wzór jako: df df f = x zatem f(x dx 0 + x) = f(x 0 ) + x x=x0 dx x=x0 gdzie zapis df/dx x=x0 oznacza pochodną f (x) braną dokładnie w punkcie x 0, podobnie f(x 0 ) oznacza dokładną wartość f(x) w tym punkcie. Zaznaczam!!! Ta metoda nie działa gdy x 0 jest w ekstremum funkcji. Wtedy pochodna równa jest zero i guano z mnożenia przez nią. W okolicy ekstremum funkcja zmienia się zbyt dynamicznie i jej wykres nie przypomina linii prostej. Metoda staje się też niedokładna, gdy funkcja gwałtownie dąży do nieskończoności. Ta wielkość f gdy jest nieskończenie mała nazywa się właśnie różniczką df funkcji f(x) i formalnie zapisuje się to tak: df = f (x) dx zatem f(x 0 + dx) = f(x 0 ) + df = f(x 0 ) + f (x 0 ) dx Zadania - od nowej strony
4 Zadanie 3. Za pomocą różniczki oblicz: (a) ln 1,02 (b) 3 28 (c) 4 15 (d) 1/ ,1 (e) e (a) Jako punkt x 0, w którym znamy dokładną wartość funkcji logarytm, bierzemy x 0 = 1. Wtedy ln x 0 = ln 1 = 0. Jako przyrost argumentu funkcji bierzemy x = 0,02. Obliczamy pochodną logarytmu i bierzemy jej wartość w x 0. Mamy wzór: (ln x) 1 x0 =1 = x x0 =1 = 1 1 = 1 f(x 0 + x) = f(x 0 ) + f (x 0 ) x Podstawiamy wartość pochodnej do wzoru na różniczkę f f(x) = f (x 0 ) x zatem f(x 0 + x) = ln ,02 = 0,02 Dla porównania: Dokładniejsza wartość ln 1,02, liczona kalkulatorem, to 0,0198, więc błąd względny wynosi: (0,02 0,0198) / 0,02 = około 1%. (b) Bierzemy funkcję f(x) = 3 x i punkt x 0 = 27. Wtedy znamy f(27) = 3. Przyrost x = 1. Liczymy: ( ) f(27 + 1) = f(27) + 3 x 1 x = 3 + x= x 2 Wartość z kalkulatora: 3,03659 x0 =27 1 = ,037 (c) Jak poprzednio, tylko tutaj x jest ujemna f(x) = 4 x, x 0 = 16, x = 1 ( ) f(16 1) = f(16) x x = 2 + x= ( 1) = 2 1 x 3 x= ,031 Wartość z kalkulatora: 2,03054 (d) Jak W przykładzie b. f(x) = 3 x, x 0 = 8, x = 0,1 ( ) f(8 + 0,1) = f(8) + 3 x 1 x = 2 + x= ,1 = 2 + 0,1 x 2 x=8 12 2,0833 Wartość z kalkulatora: 2, (e) Tutaj mamy zagwozdkę bo trudno jest znaleźć odpowiednie x 0. Zróbmy tak: Wiemy (z tablic), że liczba e 2, Z pomocą kalkulatora obliczamy 1, = 2,714, czyli jest to różne od e jedynie o x 0,0043. Bierzemy f(x) = 10 x oraz x 0 = 2,714 i liczymy: ( f(2,714+0,0043) = f(2,714)+ 10 x ) 1 x=2,714 x = 1, ,10518 x 9 x=2,714 0,0043 Wartość z kalkulatora: około 1, Błąd jest pomijalnie mały.
5 Zadanie 4. Różniczką I-go rzędu oblicz: (a) f(x) = 5 x dla x = 245, (b) g(x) = cos x dla x = (11/40)π To stwierdzenie różniczka I-go rzędu oznacza to samo, co w poprzednim zadaniu, czyli po prostu przybliżamy funkcję w okolicy punktu x 0 wzorem: f(x 0 + x) = f(x 0 ) + f (x 0) x (a) Szczerze: Najpierw policzyłem sobie na kalkulatorze pierwiastek piątego stopnia z 245, a potem pisałem to, co niżej. Zauważmy, że na szczęście liczba 3 5 = 243 jest bardzo bliska liczby 245 z zadania. Bierzemy więc x 0 = 243, x = 2 i liczymy: = 3 5 ( + 2 = 3 + Wartość z kalkulatora: x ) x=243 2 = ,0025 (b) Weźmy x 0 = (1/4)π, bo 1/4 = 10/40 to całkiem dobre przybliżenie 11/40 i wtedy przyjmujemy x = π/40. Sinus π/4 to 2/2, tą liczbę liczymy na kalkulatorze, powiedzmy, że mamy liczydełko z pierwiastkiem, ale bez sinusa. Następnie: ( ) ( 11 1 sin 40 π = sin 4 40) π + π ( ) π = sin + 4 ( ) π cos 4 x=π/4 ( ) 11 Jak się to policzy to wychodzi sin 40 π 0,7626, a kalkulator daje 0, Błąd względny wynosi około 0,3%, całkiem dobre przybliżenie. π 40 Zadanie 6. Z de l Hospitala policzyć granice (wszędzie dla x 0 z jednym wyjątkiem) 2x 2 / tg x [cos(2x) 1]/x 2 (3 x 1)/[sin(2x)] log 2 (1 + 5x)/x ln(x + 1)/(4 tg x) oraz dla x 1 granicę (5 x 5)/(x 1) Przypominam, ż tw. de l Hospitala można stosować gdy licznik i mianownik są różniczkowalne i oba dążą do zera lub do nieskończoności. Wtedy granica ilorazu licznika i mianownika jest taka sama jak granica ilorazu pochodnych licznika i mianownika, oczywiście liczonych osobno, a nie jako pochodna ilorazu. Wszystkie granice poniżej są dla x 0 poza jedną, więc pomijam to oznaczenie x 0 aby sobie ułatwić pisanie. (a) Warunki stosowalności twierdzenia są spełnione, zarówno x 2 jak i tg x dążą w zerze do zera. lim x2 tg x (x2 ) 2x (tg x) 1 + tg 2 x = = 0 (b) Warunki stosowalności są spełnione, ponieważ cos x 1 w zerze więc licznik dąży do zera, podobnie jak mianownik. W tym przykładzie po zróżniczkowaniu otrzymujemy nadal granicę 0/0 i stosujemy tw. de l Hospitala ponownie. lim cos(2x) 1 [cos(2x) 1] 2 sin(2x) x 2 (x 2 ) 2x 4 cos(2x) 2 = 2 ciąg dalszy na następnej stronie
6 (c) Warunki stosowalności są spełnione, ponieważ 3 x 1 w zerze więc licznik dąży do zera, podobnie jak mianownik. Pochodną (3 x ) liczymy zastępując 3 x = e x ln 3, był podobny przykład w któryś z poprzednich zestawów. lim 3x 1 sin(2x) (3x 1) ln 3 3x [sin(2x)] 2 cos(2x) = ln 3 2 (d) Warunki stosowalności są spełnione, ponieważ wielkość logarytmowana dąży do jedynki więc licznik dąży do zera, podobnie jak mianownik. Poniżej ułamek 1/ ln 2 bierze się z zamiany podstawy logarytmy z dwójkowego na naturalny. lim log 2(1 + 5x) x [log 2(1 + 5x)] (x) 1 [ln(1 + 5x)] ln 2 (x) 5 (1 + 5x) 1 = 5 ln 2 (e) Warunki stosowalności są spełnione, ponieważ x + 1 dąży do 1 więc logarytm i licznik dąży do zera, podobnie jak mianownik. lim ln(x + 1) 4 tg x 1 [ln(x + 1] ) x + 1 [4 tg x] 4(1 + tg 2 x) = 1 4 (f) Tutaj jest granica dla x dążącego do 1. Gdy x 1 to 5 x 5 i mamy zero w liczniku, podobnie jak w mianowniku. Pochodną 5 x liczymy jak w przykładzie (c). 5 x 5 lim x 1 x 1 (5x 5) 5x ln 5 (x 1) 1 = 5 ln 5 Zadanie 7. Ustal liczbę rozwiązań w zależności od parametru m (a) 2x 3 + 3x 2 12x m = 0 (b) e x = m (c) ln x = m (a) Zapiszmy podane równanie jako: f(x) = m, gdzie f(x) = 2x 3 + 3x 2 12x. W akim zapisie zadanie sprowadza się do badania ile razy pozioma prosta prowadzona na wysokości m przetnie wykres f(x). Funkcja f(x) jest wielomianem 3-go stopnia, przyjmuje więc wartości od minus do plis nieskończoności, czyje jedno rozwiązanie istnieje zawsze. Pytanie, czy f(x) rośnie monotonicznie, czy ma też ekstrema - wtedy jej wykres jest garbaty i może istnieć więcej rozwiązań. Obliczamy pochodną i porównujemy ją do zera: f (x) = 6x 2 + 6x 12 = 0 zatem x 1 = 2 oraz x 2 = 1 Pochodna zeruje się w punktach x = 2 i x = 1 więc funkcja ma maksimum dla x = 2 oraz minimum dla x = 1. Obliczamy wartości funkcji w tych punktach: f( 2) = 2 ( 2) ( 2) 2 12 ( 2) = 20 oraz f(1) = = 7 Jeśli poprowadzimy poziomą linię niżej niż m = 7 to przetnie ona wykres funkcji tylko raz. Podobnie dla m > 20 będzie tylko jedno przecięcie. Dla m = 2 i m = 1 pozioma linia jest styczna do wykresu f(x) w punkcie ekstremum i są dwa rozwiązania, a dla pośrednich m istnieją trzy przecięcia. Wniosek: Dla m ( ; 7) (20; + ) równanie ma jedno rozwiązanie. Dla dokładnie dwóch wartości m { 7; 20} równanie ma dwa rozwiązania. Dla m ( 7; 20) równanie ma trzy rozwiązania. ciąg dalszy na następnej stronie
7 ciąg dalszy zadania 7. (b) Funkcja e x jest monotonicznie malejąca i przyjmuje wszystkie wartości od minus do plus nieskończoności więc równanie ma jedno rozwiązanie dla każdego m R. Udowodnimy monotoniczność. Zauważ, że e x jest zawsze dodatnie. Liczymy pochodną ( e x ) = e x < 0 dla x R (c) Sama funkcja ln x (bez wartości bezwzględnej) jest monotonicznie rosnąca i przyjmuje wszystkie wartości od minus do plus nieskończoności. Logarytm jest ujemny dla 0 < x < 1, dodatni dla x > 1 i ma wartość zero dla x = 1. Gdy wstawimy ln x do wartości bezwzględnej to ujemne wartości przejdą na dodatnie (wykres będzie miał dziób w x = 1). Wobec tego: Dla m ( ; 0) równanie nie ma rozwiązań. Dla dokładnie jednej wartości m = 0} równanie ma jedno rozwiązanie, mianowicie x = 1. Dla m (0; + ) równanie ma dwa rozwiązania. Jeszcze udowodnijmy monotoniczność licząc pochodną. Logarytm jest określony dla x > 0, a wtedy: (ln x) = 1 x > 0 dla x > 0 W razie pytań albo jak się pomyliłem pisz proszę na priv. Pozdrowienia - Antek
1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Bardziej szczegółowo10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.
0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()
Bardziej szczegółowoRozwiązania prac domowych - Kurs Pochodnej. x 2 4. (x 2 4) 2. + kπ, gdzie k Z
1 Wideo 5 1.1 Zadanie 1 1.1.1 a) f(x) = x + x f (x) = x + f (x) = 0 x + = 0 x = 1 [SZKIC] zatem w x = 1 występuje minimum 1.1. b) f(x) = x x 4 f (x) = x(x 4) x (x) (x 4) f (x) = 0 x(x 4) x (x) (x 4) =
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoOtrzymali Państwo od Pani dr Cichockiej przykładowe zadania na egzamin. Na ostatnich zajęciach możemy je porozwiązywać, ale ze względu na
Otrzymali Państwo od Pani dr Cichockiej przykładowe zadania na egzamin. Na ostatnich zajęciach możemy je porozwiązywać, ale ze względu na ograniczenie czasowe chciałam już dziś dać pewne wskazówki i porady,
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Z definicji wyprowadź wzory na pochodne funkcji. Przypominam definicję pochodnej f (x)
Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie. Z definicji wyprowadź wzory na pocodne funkcji. Przypominam definicję pocodnej f (x) f (x) lim f(x + ) f(x) przy czym, aby pocodna istniała,
Bardziej szczegółowoPochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoOpracowanie: mgr Jerzy Pietraszko
Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e)
Bardziej szczegółowoFunkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:
Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie
Bardziej szczegółowoWykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania
Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Definicja pochodnej Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu f (x x 0 jeśli istnieje
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Bardziej szczegółowo9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoMateriały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji
Materiały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa Zadanie 1. Zbadać przebieg zmienności funkcji Rozwiązanie. I Analiza funkcji f(x) = x 3 3x 2 + 2.
Bardziej szczegółowoPochodna i jej zastosowania
Pochodna i jej zastosowania Andrzej Musielak Str Pochodna i jej zastosowania Definicja pochodnej f( Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu 0 jeśli istnieje skończona granica 0+h)
Bardziej szczegółowoFUNKCJE. Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Teoria funkcje cz.1. Definicja funkcji i wiadomości podstawowe
1 FUNKCJE Definicja funkcji i wiadomości podstawowe Jeżeli mamy dwa zbiory: zbiór X i zbiór Y, i jeżeli każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkujemy dokładnie jeden element ze zbioru Y, to takie przyporządkowanie
Bardziej szczegółowof(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x
Iloraz różnicowy Niech x 0 R i niech funkcja y = fx) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Niech x oznacza przyrost argumentu x może być ujemny!). Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi: y =
Bardziej szczegółowoRACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoVIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Bardziej szczegółowoWykład 13. Informatyka Stosowana. 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 34
Wykład 13 Informatyka Stosowana 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 13 14.01.2019, M.A-B 1 / 34 Pochodne z funkcji elementarnych c = 0 (x n ) = nx n 1 (a x ) = a x ln a,
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowo3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności
3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3a. Wstęp: w Krakowie) Elementarne równania
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe
MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ). Ciągi liczbowe.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym.
Bardziej szczegółowoWykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39
Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(
Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101 MAP1067
1 Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 14 Funkcje wielu zmiennych. Płaszczyzna styczna. Ekstrema Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoIII. Wstęp: Elementarne równania i nierówności
III. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Fryderyk Falniowski, Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie ryderyk Falniowski, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet III. Wstęp: Ekonomiczny
Bardziej szczegółowo1 Całki funkcji wymiernych
Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Zastosowania
Pochodna funkcji Zastosowania Informatyka (sem.1 2015/16) Analiza Matematyczna Temat 3 1 / 33 Niektóre zastosowania pochodnych 1 Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości 2 Pochodna jako narzędzie
Bardziej szczegółowoFunkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje
Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowo1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej
. Pierwsza pochodna - definicja i własności.. Definicja pochodnej Definicja Niech f : a, b) R oraz niech 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma pochodna w punkcie 0, którą oznaczamy f 0 ), jeśli istnieje granica
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowoMatematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoLogarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Bardziej szczegółowoBadanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +
Badanie funkcji Zad : Funkcja f jest określona wzorem f( ) = + a) RozwiąŜ równanie f() = 5 b) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f c) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją symbolami:
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji odwrotnej
Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie
Bardziej szczegółowoWykład 11. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 18 grudnia Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22
Wykład 11 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 18 grudnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Wykład 11 18 grudnia 2017 1 / 22 Twierdzenie Granica lim f (x) x x 0 istnieje i wynosi a wtedy i tylko wtedy,
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoZadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:
Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoRachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Sąsiedztwo punktu Liczby rzeczywiste będziemy teraz nazywać również punktami. Dla ustalonego punktu x 0 i promienia r > 0 zbiór S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r) nazywamy sąsiedztwem
Bardziej szczegółowoEkstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW
5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW Drugą pochodną nazywamy pochodną funkcji pochodnej f () i zapisujemy f () = [f ()] W ten sposób możemy też obliczać pochodne n-tego rzędu. Obliczmy wszystkie pochodne wielomianu
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3
Bardziej szczegółowoWykresy i własności funkcji
Wykresy i własności funkcji Zad : (profil matematyczno-fizyczny) a) Wykres funkcji f(x) = x 6x + bx + c przechodzi przez punkt P = (, ), a współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoWykłady z matematyki - Granica funkcji
Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Granica funkcji Otoczenie punktu 0 to przedział ( 0 ɛ, 0 + ɛ) dla każdego ɛ > 0 Sąsiedztwo punktu 0 to jego otoczenie bez punktu 0. Jeżeli funkcja jest określona w
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 2018 Spis treści Definicja ciągłości funkcji. Przykłady Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji Własności funkcji
Bardziej szczegółowoDEFINICJA. E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa
Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa 2015 Spis treści Pochodna funkcji w punkcie. Pochodna jednostronna, niewłaściwa i funkcji
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II
Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 10.1.010r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f (x) = x 4x + 3 x + x + log arc sin 1 x. Rozwiązanie. Wymagane
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II
Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 15.1.010r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f x) = arc cos x x + x 5 ) ) log x + 5. Rozwiązanie. Wymagane
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoMatematyka licea ogólnokształcące, technika
Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem
Bardziej szczegółowolim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a
Wykład 3 Pochodna funkcji złożonej, pochodne wyższych rzędów, reguła de l Hospitala, różniczka funkcji i jej zastosowanie, pochodna jako prędkość zmian 3. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja złożona
Bardziej szczegółowo1 Funkcje elementarne
1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N
Bardziej szczegółowoEgzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014
Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), Analiza Matematyczna I W rozwiązaniach prosimy formułować lub nazywać wykorzystywane twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski oraz
Bardziej szczegółowoFUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str
FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str. 178-180. Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Bardziej szczegółowoZajęcia nr. 3 notatki
Zajęcia nr. 3 notatki 22 kwietnia 2005 1 Funkcje liczbowe wprowadzenie Istnieje nieskończenie wiele funkcji w matematyce. W dodaktu nie wszystkie są liczbowe. Rozpatruje się funkcje które pobierają argumenty
Bardziej szczegółowoMateriały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej
Materiały do ćwiczeń z matematyki Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej 3.1 Podstawowe wzory i metody różniczkowania Definicja. Niech funkcja
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej
Bardziej szczegółowoFunkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.
Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w
Bardziej szczegółowoWykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.
Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej
Bardziej szczegółowoPodstawy analizy matematycznej II
Podstawy analizy matematycznej II Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI
Wykłady z matematyki inżynierskiej ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI IMiF UTP 04 JJ (IMiF UTP) ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI 04 1 / 13 Reguła de L Hospitala TWIERDZENIE (Reguła de L Hospitala). Załóżmy,
Bardziej szczegółowoZastosowania pochodnych
Zastosowania pochodnych Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIAROWEJ Przykład: objętość kuli Kulka z łożyska tocznego ma średnicę 2,3 mm, co oznacza, że objętość
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013
Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoZestaw zadań przygotowujących do egzaminu z Matematyki 1
Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach Wydział Finansów i Ubezpieczeń, Kierunek: Finanse i Zarządzanie w Ochronie Zdrowia Zestaw zadań przygotowujących do egzaminu z Matematyki 1 Powtórka materiału przed
Bardziej szczegółowoZajęcia nr. 5: Funkcja liniowa
Zajęcia nr. 5: Funkcja liniowa 6 maja 2005 1 Pojęcia podstawowe. Definicja 1.1 (funkcja liniowa). Niech a i b będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Funkcję f : R R daną wzorem: f(x) = ax + b nazywamy
Bardziej szczegółowo13. Równania różniczkowe - portrety fazowe
13. Równania różniczkowe - portrety fazowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - portrety fazowe 1 /
Bardziej szczegółowoWKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA.
WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA. Załóżmy, że funkcja y f jest dwukrotnie różniczkowalna w Jeżeli Jeżeli przedziale a;b. Punkt P, f nazywamy punktem przegięcia funkcji y f wtedy i tylko
Bardziej szczegółowoWstęp do analizy matematycznej
Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
Bardziej szczegółowoPojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki
Wymagania edukacyjne z matematyki Liceum Ogólnokształcące Klasa I Poniżej przedstawiony został podział wymagań edukacyjnych na poszczególne oceny. Wiedza i umiejętności konieczne do opanowania (K) to zagadnienia,
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Bardziej szczegółowoKup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność
Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Spis treści WSTĘP 5 ROZDZIAŁ 1. Matematyka Europejczyka. Program nauczania matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych
Bardziej szczegółowoPochodne wyższych rzędów definicja i przykłady
Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów Drugą pochodną funkcji nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji. Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej; itd. Ogólnie, -ta
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji f : R R
Racunek różniczkowy funkcji f : R R Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu punktu x 0 (tj. istnieje takie δ > 0, że (x 0 δ, x 0 + δ) D f - dziedzina funkcji f). Definicja 1. Ilorazem
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 2 Teoria liczby rzeczywiste cz.2
1 POTĘGI Definicja potęgi ł ę ę > a 0 = 1 (każda liczba różna od zera, podniesiona do potęgi 0 daje zawsze 1) a 1 = a (każda liczba podniesiona do potęgi 1 dają tą samą liczbę) 1. Jeśli wykładnik jest
Bardziej szczegółowoy f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.
Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowo1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych
Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Definicja Spis treści: Wykres Ciągłość, granica iterowana i podwójna Pochodne cząstkowe Różniczka zupełna Gradient Pochodna kierunkowa Twierdzenie Schwarza
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowo