Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania

Transkrypt

1 Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz

2 Definicja pochodnej Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu f (x x 0 jeśli istnieje skończona granica lim 0 +h) f (x 0 ) h 0 h to nazywamy ją pochodną funkcji f w punkcie x 0 i oznaczamy f (x 0 ). Jeżeli pochodna istnieje w każdym puncie pewnego zbioru D, to przyporządkowanie każdemu x D liczby f (x) nazywamy funkcją pochodną. Mówimy, że f(x) jest różniczkowalna w D.

3 Interpretacja geometryczna pochodnej Pochodna f (x 0 ) jest równa tangensowi kąta jaki tworzy styczna do wykresu f (x) z osią układu Ox w punkcie x 0. Równanie tej stycznej to: y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ). Funkcja różniczkowalna jest ciągła. Twierdzenie odwrotne jest nieprawdziwe (np. f (x) = x nie jest różniczkowalna chociaż jest ciągła w punkcie x 0 = 0).

4 Interpretacja fizyczna pochodnej Jeżeli t oznacza czas a s(t) jest długością drogi od początku ruchu do chwili t wtedy s (t 0 ) = lim jest s(t 0 + t) s(t 0 ) t 0 t prędkością chwilową tego ruchu w chwili t 0.

5 Definicja pochodnej Formalnie rzecz biorąc pochodna w punkcie jest granicą ilorazów różnicowych. Jednak do praktycznego liczenia pochodnych wystarczy znać wyłącznie pochodne funkcji elementarnych oraz kilka podstawowych wzorów.

6 Pochodne funkcji elementarnych (x n ) = nx n 1 dla n R, w szczególności: (c) = 0 (x) = 1 ( 1 x ) = 1 ( x) = 1 x 2 2 x (e x ) = e x, (a x ) = a x ln a, (ln x) = 1 x, (log a x) = 1 x ln a (sin x) = cos x, (cos x) = sin x, (tg x) = 1 cos 2 x, (ctg x) = 1 sin 2 x (arc sin x) 1 =, (arc cos 1 x 2 x) = 1, 1 x 2 (arc tan x) = 1 1+x 2, (arc ctg x) = 1 1+x 2 Tych wzorów warto nauczyć się na pamięć, bo sprawdzanie za każdym razem pochodnej danej funkcji w tablicach (nawet jeśli te tablice ma się akurat pod ręką) jest czasochłonne.

7 Liczenie pochodnych Pochodna sumy (różnicy) funkcji to suma (różnica) pochodnych: (f (x) ± g(x)) = f (x) ± g (x) Stałą zawsze można wyłączyć przed pochodną: (af (x)) = af (x) Pochodną iloczynu oblicza się według wzoru: (f (x)g(x)) = f (x)g(x) + f (x)g (x)

8 Liczenie pochodnych Pochodną ilorazu oblicza się według wzoru: ( f (x) g(x) ) = f (x)g(x) f (x)g (x) (g(x)) 2 Pochodną funkcji złożonej oblicza się według wzoru: [f (g(x))] = f (g(x)) g (x) Pochodna funkcji odwrotnej przy pewnych założeniach to: (f 1 ) (x 0 ) = 1 f (y 0 )

9 Przykładowe pochodne (x sin x ln x) = 4x cos x 1 x (x 2 e x ) = (x 2 ) e x + x 2 (e x ) = 2xe x + x 2 e x = e x (2x + x 2 ) ( x2 e ) = (x2 ) e x x 2 (e x ) x (e x ) = 2xex x 2 e x 2 e 2x = 2x x2 e x Nieznacznie trudniejsze jest obliczanie pochodnej funkcji złożonych: (sin(ln(x 2 + 4x))) =... Póki nie nabierze się wprawy można podstawić za wnętrze funkcji zmienną t, tak aby nowa funkcja od t była funkcją elementarną:... = (sin t) t=ln(x 2 +4x)=...

10 Przykładowe pochodne Następnie obliczamy pochodną funkcji elementarnej, pamiętając o domnożeniu przez pochodną funkcji wewnętrznej (czyli tej za którą wstawiliśmy zmienną t):... = cos t t t=ln(x 2 +4x)=... i wracamy do podstawienia:... = cos(ln(x 2 + 4x)) (ln(x 2 + 4x)) =... I tak dalej. Jeśli nabierze się już wprawy, to można darować sobie wprowadzanie nowej zmiennej i liczyć w pamięci - pochodna logarytmu to odwrotność tego co w środku razy pochodna tego co w środku :... = cos(ln(x x)) x 2 +4x (2x + 4)

11 Kolejne przykłady pochodnych (2 ln tg x2 ) = 2 ln tg x2 1 1 ln 2 tg x 2 cos 2 x 2x 2 (najbardziej zewnętrzną funkcją jest 2 t, stąd zaczynamy od liczenia jej pochodnej, a następnie domnażamy przez pochodną funkcji wewnętrznej) (e x2 arc sin x) = (e x2 ) arc sin x + e x2 (arc sin x) = e x2 2x arc sin x + e x x 2 x

12 Kolejne przykłady pochodnych Jeszcze jednym typem pochodnej jest pochodna z funkcji typu f (x) g(x) Oblicza się ją korzystając z przekształcenia: f (x) = e ln f (x) skąd f (x) g(x) = e g(x) ln f (x) i już mamy do czynienia ze zwykłą funkcją złożoną. Przykładowo: (x sin x ) = (e sin x ln x ) = e sin x ln x (sin x ln x) = x sin x (cos x ln x + sin x 1 x )

13 Reguła de l Hospitala Jednym z wielu zastosowań pochodnych jest reguła de l Hospitala, czyli metoda obliczania granic w przypadku niektórych wyrażeń nieoznaczonych. Reguła ta to jedno z najsilniejszych narzędzi do obliczania granic. Jeśli obliczamy granicę (w punkcie lub w nieskończoności): i obie funkcje f, g dążą jednocześnie do zera lub do nieskończoności, czyli mamy do czynienia z nieoznaczonością typu [ 0] 0 lub [ ], to granicę można obliczyć według wzoru: lim x a f (x) g(x) f (x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x) (o ile granica po prawej stronie istnieje)

14 Reguła de l Hospitala Przykłady: e lim x e x =... Łatwo widać, że mamy do czynienia z x 0 x nieoznaczonością typu [ 0 ], 0 zatem możemy użyć reguły de l Hospitala: (e... = (H) = lim x e x ) e = lim x + e x = 2 x 0 (x) x 0 1 ln sin 2x lim == (H) lim = x 0 ln sin x x 0 = lim x 0 2 tg x = lim x 0 tg 2x = (H) = 2 cos 2 x 2 cos 2 2x = lim x 0 cos 2 2x cos 2 x = 1 2 cos 2x sin 2x cos x sin x

15 Reguła de l Hospitala Niektóre inny typy nieoznaczoności można doprowadzić do postaci w której można użyć reguły de l Hospitala: Nieoznaczoność typu [0 ] Jeśli w iloczynie dwóch funkcji jedna dąży do zera, a druga do nieskończoności, możemy odwrócić (w sensie liczbowym) którąkolwiek z nich i w ten sposób otrzymać nieskończoność z założeń reguły de l Hospitala: lim x 0 (ex 1) ctg x =... Oczywiście e x 1 dąży w zerze do zera, a ctg x do nieskończoności. Ale: ctg x = 1 tg x więc nasza granica jest równa: e lim x 1 e = (H) = lim x x 0 tg x x 0 1 cos 2 x = 1

16 Reguła de l Hospitala Nieoznaczoność typu [ ] W takim wypadku można sprowadzić wyrażenie z którego liczymy granicę do wspólnego mianownika: lim (1 x 0 x 1 sin x ) = lim sin x x x 0 x sin x = (H) = cos x 1 sin x = lim x 0 sin x+x cos x = (H) = lim x 0 2 cos x x sin x = 0 Nieoznaczoności typu [0 0 ], [ 0 ], [1 ] W takim wypadku używamy podobnego przekształcenia jak w wypadku liczenia pochodnej funkcji typu f (x) g(x) : lim x x = lim e x ln x = e lim x 0 x ln x x 0 x 0 (ostatnie przekształcenie wynika z ciągłości funkcji e x ) Policzymy osobno granicę z wykładnika: ln x lim x ln x = lim = (H) = lim = lim( x) = 0 x 0 x 0 1 x 0 x 0 x 1 x 1 x 2 więc nasza granica to: e 0 = 1

17 Reguła de l Hospitala Zadanie: Obliczyć lim x x x 2 ln(1 + 1 x ) Po prostu należy wyłączyć x 2 przed nawias. lim x x 2 ln(1 + 1 x x ) = lim x 2 ( 1 x x ln(1 + 1 x )) = 1 x = lim ln(1 + 1 x ) = 0 1 x 1 0 = lim x x x 2 x x+1 x x x = lim x 2 = lim x x 2 + x x 2 2x + 2 ( 1 x 2 ) 2 1 x 3 = x = lim x 2x + 2 = 1 2

18 Ćwiczenia Oblicz pochodne funkcji: a) f (x) = e x sin x g) f (x) = x b) f (x) = sin x e h) f (x) = e x x2 +1 sin cos x c) f (x) = 2 tg x earc sin x i) f (x) = sin 3 2x d) f (x) = sin e x2 +1 j) f (x) = ln x sin(x 2 + 1) e) f (x) = (x 2 + 1) 2012 k) f (x) = x arc sin x f) f (x) = arc sin ln arc tan x l) f (x) = (sin x) x

19 Ćwiczenia Oblicz granice: 1 cos x a) lim x 0 x 2 e b) lim x x 1 x 0 sin 2 x x arc tan x c) lim x 0 x 2 d) lim x 1 x 10 9x + 8 x 7 6x + 5 e) lim ( 1 ctg x) x 0 x (e f) lim x e x ) 2 x 0 x 2 cos x g) lim ( 1 x 0 x 1 2 sin 2 x ) x h) lim 2 1 tg 1 x 1 2 πx x 2 i) lim x 1 (1 x) tg 1 2 π j) lim x (x x 2 ln (1 + 1 x )) x k) lim +(1 + x)ln x 0 l) lim x ( 2 π arc tan x) x

20 Ekstremum funkcji i monotoniczność Funkcja f (x) ma w punkcie x 0 maksimum lokalne jeżeli istnieje sąsiedztwo S punktu x 0, że f (x) < f (x 0 ). Funkcja x S f (x) ma w punkcie x 0 minimum lokalne jeżeli istnieje sąsiedztwo S punktu x 0, że f (x) > f (x 0 ). Jeżeli funkcja f(x) x S jest różniczkowalna w przedziale otwartym i ma ekstremum w puncie x 0 z tego przedziału to f (x 0 ) = 0.

21 Ekstremum funkcji i monotoniczność Jeżeli f(x) jest różniczkowalna w pewnym sąsiedztwie punktu x 0 i jest ciągła w puncie x 0 wtedy: gdy pochodna f (x) przy przejściu przez punkt x 0 zmienia znak z + na -, to funkcja ma maksimum w tym punkcie. Tak samo jest gdy f (x) > 0. gdy pochodna f (x) przy przejściu przez punkt x 0 zmienia znak z - na +, to funkcja ma minimum w tym punkcie. Tak samo jest gdy f (x) < 0.

22 Ekstremum funkcji i monotoniczność Jeżeli f(x) jest różniczkowalna w pewnym sąsiedztwie punktu x 0 i jest ciągła w puncie x 0 wtedy: funkcja jest rosnąca w przedziale (a,b) gdy f (x) > 0. x (a,b) funkcja jest malejąca w przedziale (a,b) gdy f (x) < 0. x (a,b)

23 Ekstrema globalne Liczbę M nazywamy wartością największa (maksimum globalnym) funkcji f(x) w zbiorze D, jeśli f (x 1 ) = M f (x) M. x 1 D x D Liczbę M nazywamy wartością najmniejszą (minimum globalnym) funkcji f(x) w zbiorze D, jeśli f (x 1 ) = M f (x) M. x 1 D x D

24 Wklęsłość i wypukłość funkcji Jeżeli f(x) ma pochodną w puncie x 0 wtedy: funkcja jest wypukła w puncie x 0, gdy dla pewnego sąsiedztwa punktu x 0 wykres tej funkcji leży całkowicie nad styczną w tym puncie. funkcja jest wklęsła w puncie x 0, gdy dla pewnego sąsiedztwa punktu x 0 wykres tej funkcji leży całkowicie pod styczną w tym puncie. Mówimy, że punkt (x 0, f (x 0 )) jest puntem przegięcia funkcji gdy wypukłość zmienia się na wklęsłość w x 0 lub odwrotnie tzn. wklęsłość na wypukłość.

25 Wklęsłość i wypukłość funkcji Jeżeli f (x) jest ciągła w pewnym przedziale otwartym (a,b) wtedy: gdy pochodna f (x) > 0 w tym przedziale to f(x) jest w tym przedziale wypukła. gdy pochodna f (x) < 0 w tym przedziale to f(x) jest w tym przedziale wklęsła.

26 Przebieg zmienności funkcji Badając pierwszą i drugą pochodną funkcji można uzyskać informacje o samej funkcji. Pierwsza pochodna Jeśli w jakimś przedziale jest f (x) > 0, to w tym przedziale f (x) jest rosnąca. Jeśli w jakimś przedziale jest f (x) < 0, to w tym przedziale f (x) jest malejąca. Jeśli w jakimś punkcie jest f (x 0 ) = 0 oraz w tym punkcie f (x) zmienia znak, to w tym punkcie jest ekstremum lokalne.

27 Przebieg zmienności funkcji Druga pochodna Jeśli w jakimś przedziale jest f (x) > 0, to w tym przedziale f (x) jest wypukła. Jeśli w jakimś przedziale jest f (x) < 0, to w tym przedziale f (x) jest wklęsła. Jeśli w jakimś punkcie jest f (x 0 ) = 0 oraz w tym punkcie f (x) zmienia znak, to w tym punkcie jest punkt przegięcia.

28 Przykład Przykładowo jeśli chcemy znaleźć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji f (x) = x x 2 +1, to (po zauważeniu, że dziedzina to R) liczymy pierwszą pochodną: f (x) = x2 +1 x 2x (x 2 +1) = 1 x2 2 (x 2 +1) = (1 x)(1+x) 2 (x 2 +1) Widać stąd, że pochodna 2 zeruje się tylko w punktach x = 1 i w x = 1. Nietrudno też zbadać (metodą wężyka ), że f (x) > 0 w przedziale ( 1, 1) oraz f (x) < 0 w przedziałach (, 1) i (1, + ).

29 Przykład Wnioski na temat samej funkcji można sformułować słownie, ale najwygodniej jest przedstawić je w tabelce: x (, 1) 1 ( 1, 1) 1 (1, ) f (x) f (x) min max Z tabelki można odczytać gdzie funkcja rośnie, a gdzie maleje, a także, że ma minimum lokalne w x = 1 (równe f ( 1) = 1 2 ) oraz maksimum lokalne w x = 1 (równe f (1) = 1 2 ).

30 Przykład Gdybyśmy natomiast chcieli znaleźć przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia funkcji f (x) = x 4 6x 2 + 2x + 5, to trzeba znaleźć drugą pochodną: f (x) = 4x 3 12x + 2 f (x) = 12x 2 12 = 12(x 1)(x + 1) Jak poprzednio bardzo łatwo sprawdzić gdzie druga pochodna się zeruje, gdzie jest dodatnia i gdzie jest ujemna. I jak poprzednio wnioski najwygodniej zamieścić w tabelce: x (, 1) 1 ( 1, 1) 1 (1, ) f (x) f (x) p.p. p.p. Jak widać punkty przegięcia są w x = 1 (wówczas f (1) = 2) oraz w x = 1 (wówczas f ( 1) = 2). Uwaga!: Jeśli badamy pełen przebieg zmienności funkcji, to w pierwszym wierszu punktami wyróżnionymi muszą być miejsca zerowe obu pochodnych oraz punkty spoza dziedziny.

31 Przebieg zmienności funkcji Wykorzystując całą zebraną do tej pory wiedzy możemy wyciągnąć wszystkie informacje o zachowaniu funkcji, czyli zbadać tytułowy przebieg zmienności funkcji. Schemat postępowania wygląda mniej więcej tak: Zebranie wstępnych informacji o funkcji: Dziedzina (koniecznie) Miejsca zerowe (niekoniecznie, ale warto wiedzieć gdzie wykres przecina oś OX ) Parzystość, nieparzystość, okresowość (opcjonalnie) Asymptoty Granice na wszystkich końcach przedziałów określoności Wnioski na temat asymptot pionowych i poziomych Ewentualne szukanie asymptot ukośnych

32 Przebieg zmienności funkcji Badanie pierwszej pochodnej Doprowadzenie pochodnej do najprostszej postaci (najlepiej iloczynowej) Zbadanie miejsc zerowych pochodnej oraz jej znaku Badanie drugiej pochodnej Doprowadzenie drugiej pochodnej do najprostszej postaci (najlepiej iloczynowej) Zbadanie miejsc zerowych drugiej pochodnej oraz jej znaku Tabelka Informacje o obu pochodnych zamieszczamy w tabelce i na ich podstawie wnioskujemy na temat zachowania funkcji Wykres W rozwiązaniu powinny być uwzględnione wszystkie istotne rzeczy choć nie koniecznie w podanej kolejności.

33 Przykład Zbadajmy funkcję f (x) = ex x. Oczywiście jej dziedzina to D f = (, 0) (0, + ). Widać też, że w dziedzinie funkcja nie ma miejsc zerowych. Poszukajmy zatem asymptot, zaczynając od liczenia granic na końcach przedziałów określoności: e lim x x x = [ 0 ] = 0 lim x + x = [ 1 ] 0 = lim x 0 + ex x e x x e = (H) = lim x x + ] = + Możemy 1 = + e lim x = [ 1 x 0 +0 zatem wywnioskować, że obustronną asymptotą pionową jest x = 0, lewostronną asymptotą poziomą jest y = 0, natomiast nie ma asymptoty poziomej prawostronnej. Analogiczny rachunek (dwukrotnie użyta reguła de l Hospitala) pokazuje, że nie ma też prawostronnej asymptoty ukośnej.

34 Przykład Przejdźmy więc do analizy pochodnych. Mamy: f (x) = ex x e x x = ex (x 1) 2 x oraz 2 f (x) = ex x x 2 e x (x 1) 2x x = ex (x 2 2x+2) 4 x Łatwo widać, że pierwsza 3 pochodna zeruje się w jedynce, dla argumentów mniejszych od jedynki jest ujemna, a dla większych od jedynki dodatnia. Natomiast druga pochodna nie ma miejsc zerowych, ale jest dodatnia dla iksów dodatnich i ujemna dla ujemnych. Zamieśćmy te informacje w tabelce:

35 Przykład x (, 0) 0 (0, 1) 1 (1, ) f (x) 0 + f (x) + + f (x) min Minimum lokalne w jedynce jest równe f (1) = e Wypełnianie tabelki należy zacząć od pierwszego miejsca - wyróżniamy w nim wszystkie miejsca zerowe obu pochodnych, punkty które wypadły z dziedziny oraz wszystkie przedziały między tymi punktami. Następnie uwzględniamy dziedzinę, to znaczy wykreślamy te miejsca, w których funkcja i jej pochodne nie istnieją. Później wypełniamy kolejne wiersze, zapisując w nich informacje uzyskane przy badaniu obu pochodnych (tzn. znak i miejsca zerowe), a na koniec uzupełniamy ostatni wiersz na podstawie dwóch wcześniejszych.

36 Przykład Na końcu na podstawie asymptot i tabelki możemy zrobić wykres funkcji:

37 Ćwiczenia Znajdź przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji: a) f (x) = x 3 + 3x 2 9x + 2 b) f (x) = x3 x+2 c) f (x) = x 1 x+2 d) f (x) = (x 2 3)e x Znajdź przedziały wklęsłości i wypukłości oraz punkty przegięcia funkcji: a) f (x) = x 4 6x 2 + x + 3 b) f (x) = ln(x 2 + 4) c) f (x) = (1 + x 2 )e x d) f (x) = x ln x Zbadaj przebieg zmienności funkcji: a) f (x) = xe x b) f (x) = x2 x 2 1