Układy równań liniowych. Ax = b (1)

Transkrypt

1 Układy równań liniowych Dany jest układ m równań z n niewiadomymi. Liczba równań m nie musi być równa liczbie niewiadomych n, tj. m<n, mn lub m>n. a a... a b n n a a... a b n n... a a... a b m m mn n m () W zapisie macierzowym moŝemy przedstawić układ () następująco: A b () gdzie a a... an A a a... an am am... amn... n b b b... bm DEFINICJA { n } niewiadomych { n } Rozwiązaniem układu równań () nazywamy kaŝdy ciąg n liczb,,...,, które po podstawieniu do układu równań w miejsce DEFINICJA,,..., przekształcają te równania w toŝsamości. Układ () nazywamy oznaczonym, gdy ma dokładnie jedno rozwiązanie, nieoznaczonym, gdy ma więcej niŝ jedno rozwiązanie lub sprzecznym, gdy nie posiada Ŝadnego rozwiązania. Układ równań () moŝna rozwiązać wykorzystując między innymi macierz odwrotną operacje elementarne

2 Rozwiązywanie układów równań liniowych z wykorzystaniem macierzy odwrotnej ZałóŜmy, Ŝe liczba równań m jest taka sama jak liczba niewiadomych n, tj. mn oraz, Ŝe macierz A jest macierzą nieosobliwą, tj. istnieje macierz odwrotna A-. Układ równań () moŝna wówczas tak przekształcić, aby wyznaczyć niewiadome A b A A A I A b A b lewostronnie Stąd wzór na wartości zmiennych jest następujący A b PRZYKŁAD Dany jest układ równań 9 7 () A b 9 7 A 0 0 / / / / / / / / / 4/ 9 / 4/

3 Rozwiązywanie układów równań liniowych z wykorzystaniem operacji elementarnych Sposobem, który pozwala ustalić typ układu równań (oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny) oraz wyznaczyć rozwiązanie (gdy układ jest oznaczony) jest wykorzystanie operacji elementarnych. Schemat postępowania jest analogiczny do tego, jaki uŝyliśmy przy odwracaniu macierzy. RóŜnica dotyczy wpisania po prawej stronie wektora b zamiast macierzy jednostkowej I. Schemat ten wygląda następująco A b... ciąg operacji elementarnych... I b* Wektor b* zawiera rozwiązanie układu równań liniowych (). PRZYKŁAD 9 7 Dany jest układ równań / 0 0 / 0 / / / 5/ / 9/ 9 7 W W ( / ) W W W ( ) W W W ( / ) W W W W W ( ) W W W W W W ( ) W W W / W W / Rozwiązanie wyjściowego układu równań jest następujące:

4 Fakt, Ŝe układ jest sprzeczny wykryjemy w chwili gdy "wyzerowany" zostanie np. k-ty wiersz macierzy po lewej stronie i jednocześnie k-ty wiersz wektora po prawej stronie będzie zawierał liczbę róŝną od zera. PRZYKŁAD Dany jest układ równań / / / / W W ( / ) W W W ( ) W W W ( / ) W wierszu macierzy otrzymaliśmy zera [0 0 0]. W wierszu wektora otrzymaliśmy [4] ( 0). Wniosek: rozwiązywany układ równań jest sprzeczny. Fakt, Ŝe układ jest nieoznaczony wykryjemy w chwili gdy "wyzerowany" zostanie np. k-ty wiersz macierzy po lewej stronie i jednocześnie k- ty wiersz wektora po prawej stronie będzie zawierał zero. PRZYKŁAD Dany jest układ równań / / / / W W ( / ) W W W ( ) W W W ( / ) W wierszu macierzy otrzymaliśmy zera [0 0 0]. W wierszu wektora otrzymaliśmy [0]. Wniosek: rozwiązywany układ równań jest nieoznaczony.

5 Rozwiązania bazowe układu równań liniowych RozwaŜamy niesprzeczny układ m równań liniowych z n niewiadomymi. Zakładamy, Ŝe liczba równań m jest mniejsza od liczby niewiadomych n, tj. m < n Na przykład układ równań liniowych z 4 niewiadomymi (m < n4) Układ ten posiada nieskończenie wiele rozwiązań. Technika generowania dowolnego rozwiązania takiego układu jest następująca. Wybierz zmienne (równań jest m) względem których chcesz rozwiązać ten układ, np. niech będą to zmienne oraz. MoŜna to zrobić na maksymalnie 6 sposobów. Ogólnie maksymalna liczba sposobów w jaki moŝna wybrać zestaw zmiennych n n!!! względem których chcemy rozwiązać układ równań wynosi m m ( nm) Pozostałe (ogólnie nm 4 ) "nadwyŝkowe" zmienne, tj. oraz 4 przenieś na prawą stronę układu równań Przyjmij dowolnie wybrane wartości na "nadwyŝkowe" zmienne, np. Otrzymasz układ równań 6 oraz 4 4 Stąd rozwiązanie wyjściowego układu równań będzie następujące,, 4, 4

6 JeŜeli dla "nadwyŝkowych" zmiennych przyjmiemy wartości zerowe, tj. oraz oraz 4 0 oraz 4 0 to otrzymamy tzw. BAZOWY układ równań Rozwiązanie wyjściowego układu równań nazywamy w tej sytuacji ROZWIĄZANIEM BAZOWYM i jest ono następujące 4, 0,, 4 0 ZMIENNE BAZOWE zmienne niebazowe Ogólnie maksymalna liczba rozwiązań bazowych układu m równań liniowych z n niewiadomymi (n > m) wynosi n m n! m! n m! ( ) Iteracyjna metoda wyznaczania rozwiązań bazowych. Wybierz zmienne względem których chcesz rozwiązać układ równań.. Wykorzystaj operacje elementarne i tak przekształć układ równań, aby kaŝda z wybranych zmiennych została wydzielona w osobnym równaniu, tzn. aby występowała ze współczynnikiem tylko w jednym równaniu wn ws wn ws ws ( ) ( ) wn ws ws wn ws. Przenieś współczynniki przekształconego układu do tabeli 4. Przejdź do kolejnego rozwiązania bazowego wymieniając na liście zmiennych bazowych jedną zmienną

7 5. Zapisz w nowej tabeli kolumnę współczynników dla nowej zmiennej w postaci kolumny macierzy jednostkowej z w tym wierszu, na którym znajduje się nowa zmienna na liście zmiennych bazowych 6. Przekształć za pomocą operacji elementarnych tabelę poprzednią tak, aby uzyskać kolumnę opisaną w punkcie 5 nr rozwiąz. zmienne bazowe 4 4 wartości zmiennych bazowych operacje elementarne wnwsws () 0 wnws () wnws 0 wnws () 4 / 0 0 0/ wnws (/) 4 / 0 4/ wnwsws (/) 5 / 0 0 0/ wnws / 0 4/ wnws () W tabeli 5 nie ma moŝliwości przekształcenia kolumny 0 w kolumnę 0, tj. nie ma moŝliwości wymiany zmiennej na zmienną 4. Komplet (5 zamiast 6) rozwiązań bazowych jest następujący: nr rozwiązania zmienne / 0 0 0/ 0/ / 0