Lista 1 - Funkcje elementarne
|
|
- Bartłomiej Kasprzak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2; c) α =, 2, /2 oraz /2 3 Zapisz w postaci pojedynczej potęgi dwójki: a) /64; b 2; c) ( 2)/2; d) ( 2) 3 ( 3 2) 2 ; e) (2 3 ) 4 ; f) 2 34 ; g) ( 2 ) 2 4 Oblicz: a) log 2 24; b) log 2 4 ; c) log 2 2; d) log4 8; e) log 8 4; f) log Wyraź poniższe wyrażenia za pomocą pojedynczego logarytmu dziesiętnego: a) 2 log 2; b) log 2 2 log 5; c) log 3 ; d) log 2 3; e) log 2 ln 2 6 Wyraź y jako funkcję zmiennej, jeżeli log y = (3/2) log 7 Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = 2 ; b) y = log( + ); c) y = log ; d) y = 2 ; e) y = 2 8 Znajdź funkcję odwrotną do funkcji: a) y = 2 ; b) y = 2 ; c) y = 2, ; d)* y = 2 + 2, 9 Podaj wartości funkcji trygonometrycznych: a) tg π 3 ; b) sin 2π 3 ; c) cos 5 3 π; d) sin 5 4 π; e) cos 4 3 π; f) ctg 2π 3 Naszkicuj wykres funkcji: a) y = sin 2; b) y = cos( + π/4); c) y = sin + sin ; d) y = sin + 3 cos Korzystając z okresowości, parzystości (nieparzystości) i wzorów redukcyjnych oblicz: a) sin 5 3 π b) cos 4 π; c) tg 3 π; d) sin ( 7 4 π) ; e) cos 7 6 π; f) sin 2π 5 + sin 8π 5 2 Wykaż tożsamości: a) + tg 2 = cos 2 ; b) cos2 = + cos 2 ; c) sin 2 cos = 2 sin 3 + sin 2 3 Oblicz wartości czterech podstawowych funkcji trygonometrycznych kąta sin 5 4 Wyraź sin 3α za pomocą sin α Udowodnij, że sin 2 jest liczbą niewymierną 5 Oblicz: a) arctg ; b) arcsin( /2); c) arctg( 3); d) arcsin( 2/2) 6 Sinusoidą nazywamy krzywą, którą można otrzymać przesuwając wykres funkcji y = a sin(b + c) Wykaż, że każda z poniższych krzywych jest sinusoidą: a) y = cos ; b) y = sin 2 ; c) y = sin cos ; d) y = sin + cos ; e) y = sin 4 + cos 4 7 Pokaż, że jeśli t = tg(/2), to cos = t2 2t, sin = + t2 + t 2 8 Za pomocą odpowiedniego logarytmu podaj wzór na liczbę cyfr liczby n Ile cyfr ma w zapisie dziesiętnym liczba 2? 9 * Jednym z pierwiastków równania = 2 jest cos 2 Znajdź dwa pozostałe
2 Oblicz granice ciągów: Lista 2 - Granica a) a n = (n + 3)(2n + ); b) b n = n2 + n 3 + n + ; c) c n = 3n + 4 n 5 n ; d) d n = n ; n e) e n = n 2 + n; f) f n = n 2 + n n; g) g n = sin n n ; h) h n = n 2 n + 3 n 2 Znajdź granice niewłaściwe, o ile istnieją a) a n = (n 2 + )/(n + ); b) b n = n 2 n 3 ; c) c n = 3 n 2 n ; d) d n = 3 n ( 2) n 3 Jeżeli dla dodatnich funkcji f, g lim n f(n)/g(n) = a, gdzie < a <, to mówimy, że f, g są tego samego rzędu; jeżeli a = że są asymptotycznie równe a) Pokaż, że n jest rzędu n 2 b) Dla jakiego a ( n k) jest asymptotycznie równe an k? 4 Oblicz granice ciągów: a n = ( ( ) + n) 2n; b) bn = n n; n+ c) cn = ( ) 2n+ n; 2n d) dn = ( ) n 2 n 5 Wyjaśnij, wskazując odpowiednie przykłady, dlaczego następujące wyrażenia są nieoznaczone: a) ; b) / ; c) 6 Naszkicuj wykres funkcji f() = lim n ( n) Uważaj na dziedzinę! 7 Oblicz granice funkcji: a) lim 3 2 ; 2 b) lim ; 8 Oblicz granice funkcji: sin 2 sin 2 a) lim ; b) lim sin ; ln( ) sin e) lim ; f) lim π π ; c) lim + 2 sin ; d) lim cos e 2 c) lim 2 ; d) lim e ; g) lim cos ; h) lim sin π/2 cos π 2 9 Znajdź obie granice jednostronne (właściwe bądź niewłaściwe) we wskazanym punkcie: a) y = Znajdź asymptoty funkcji: w punkcie ; b) y = sgn w punkcie ; c) y = a) y = 3 2 ; b) y = ( 2 4) 2 ; c) y = 2 ( 2 + 6) ; d) y = w punkcie + 2 Niech P n oznacza pole n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu, L n jego obwód Znajdź granice obu ciągów i wywnioskuj z nich granicę ciągu a n = n sin(2π/n) 2 Przy stałym tempie wzrostu p% przez okres podwojenia rozumiemy czas, po jakim dana wielkość się podwaja a) Znajdź okres podwojenia odpowiadający przyrostowi p% b) Uzasadnij, że dla małych p okres ten wyraża się przybliżonym wzorem 7/p c) Czy średni przyrost naturalny w ciągu ostatnich lat był wyższy od promila czy niższy? 3 Obliczając odpowiednią granicę pokaż, że dla a > a 2 + r a + r 2a Korzystając z tego wzoru pokaż, że: a) 9/6; b) 5 3/8; c) 2 99/7
3 Lista 3 - Ciągłość i pochodna Wskaż punkty nieciągłości i określ ich rodzaj:, gdy, cos gdy >, a) y = b) y = w pp; < ; c) y = 2, gdy, 2 w pp 2 Korzystając z twierdzenie Bolzana o wartościach pośrednich dla funkcji ciągłych uzasadnij, że równanie: a) 5 ++ = ma dokładnie jeden pierwiastek; b) e = ++ 2 ma dodatni pierwiastek; 3 Gdzie i w jaki sposób w poniższych rachunkach korzystamy z ciągłości? ( lim n ln + ) ( = lim n n ln + n ( = ln lim + n n) n = ln e = n n) 4 Czy funkcję y = sin(/) można dookreślić w punkcie zero tak, aby była ciągła na całej prostej? A funkcję y = sin(/)? 5 Korzystając z definicji oblicz pochodne: a) y = + ; b) y = ; c) y = e 6 Korzystając ze wzoru na pochodną funkcji potęgowej oblicz pochodne funkcji: a) y = ( 2) 2 ; b) y = 2 ; c) y = ; d) y = ; e) y = ( + ) ( ) 7 Oblicz: a) f () dla funkcji y = ( + ) 3 ; b) f () dla funkcji y = Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji: a) y = e w punkcie (, f()); b) y = ln w punkcie (e, f(e)) 9 Znajdź kąt pomiędzy styczną do wykresu funkcji y = 2 2 poprowadzonej w punkcie (, ) a dodatnią półosią osi O Analogicznie dla stycznej w punkcie (, ) Oblicz pochodne niewłaściwe w punkcie funkcji: a) y = 2, = 2: b) y = 2, = ; c) y = arcsin, = Wskaż punkty, w których funkcja nie jest różniczkowalna (o ile takie istnieją) W punktach nieróżniczkowalności oblicz wartości obu pochodnych jednostronnych a) y = + 2 ; b) y = 2 + ; y = ; d) y = 2 Pokaż, że funkcja f() = sin(/) dla, f() = nie jest różniczkowalna w punkcie zero Czy ma w tym punkcie pochodne jednostronne? A niewłaściwe? 3 Wyraż za pomocą pochodnej związek pomiędzy polem koła a obwodem okręgu oraz pomiędzy powierzchnią kuli a jej objętością Zakładając, ze podobny związek zachodzi także w wyższych wymiarach znajdź powierzchnię kuli czterowymiarowej, wiedząc, że jej objętość wynosi π 2 /2 4 Pokaż, że styczna poprowadzona do wykresu funkcji y = f() w punkcie P = (a, f(a)) przecina oś O w punkcie o współrzędnej -owej a) Zapisz ten wzór dla funkcji y = 2 2 a = a f(a) f (a) b) Oblicz kilka początkowych wyrazów ciągu =, n+ = n i odgadnij jego granicę c) Znajdź w podobny sposób przybliżoną wartość pierwiastka 3 + = 3
4 Lista 4 - Pochodna cd Oblicz pochodną korzystając z podstawowych wzorów: a) y = 4 + ; b) y = ; c) y = e ; d) y = 2 ln ; e) y = sin cos ; f) y = ; ln g) y = ; sin h) y = ; i) y = sin ; j) y = e 2 ; k) y = sin 4; l) y = ln( 2 + ); m) y = sin sin ; n) y = + 2 ; o) y = ln sin 2 Korzystając ze wzorów na pochodne eksponenty e i logarytmu naturalnego oraz wzoru na pochodną funkcji złożonej wyprowadź wzory na pochodną: a) y = a ; b) y = log a, gdzie a dodatnie, różne od 3 Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji: a) y = e e w punkcie (, f()); + b) y = tg2 w punkcie (π/4, f(π/4)) 4 Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji y = 2 w punkcie ( 2/2, 2/2) dwiema metodami: a) geometrycznie; b) algebraicznie 5 Naszkicuj wykres wielomianu: a) y = ; b) y = ; c) ) ( + ) 3 6 Znajdź ekstrema i przedziały monotoniczności podanych funkcji: a) y = 2 2 ; b) y = e c) y = 2 ln ; d) y = 4 2 ; e) y = ln 7 Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji: y = 3 2 na przedziale [, 4] 8 Znajdź zbiór wartości i liczbę rozwiązań równania f() = m dla funkcji: a) y = ; b) y = Znajdź przedziały wypukłości i punkty przegięcia funkcji: a) y = ln ; b) y = e Korzystając z wypukłości odpowiednich funkcji uzasadnij nierówność: a) e + ; b) ln( + ) : c) sin < dla dodatnich Zilustruj nierówność szkicując fragmenty wykresów obu porównywanych funkcji Korzystając z reguły de l Hospitala oblicz granice: ln arctg sin ln a) lim b) lim ; c) lim ( ln e) lim ln2 ; f) lim + sin ) ; g) lim / ; n ; d) lim e ; 2 Naszkicuj wykres funkcji: a) y = e ; b) y = ln ; c) y = ln h) lim ( + sin ) / 3 Nie korzystając z kalkulatora rozstrzygnij, która z liczb jest większa: e π czy π e? 4 Pokaż, że dla funkcji różniczkowalnej f zachodzi równość f () = [ln f()] f() Naszkicuj wykres funkcji y = 5 Odgadnij asymptoty funkcji y = ln( + e ) i sprawdź swoje przypuszczenia za pomocą obliczeń Czy wykres przecina którąkolwiek z asymptot?
5 Lista 5 - Aproksymacje Korzystając z różniczki oblicz przybliżoną wartość: a) 3, 9; b) ln, ; c) sin 3 2 Z twierdzenia Lagrange a wynika, że przy odpowiednich założeniach f() = f(a) + f (c)( a) Znajdź c o którym tu mowa w przypadku funkcji f() = 2, oraz a =, = 2 3 Zapisz cztery kolejne przybliżenia taylorowskie dla f() = : a) wokół a = ; b) wokół a = 4 Oblicz przybliżoną wartość e sumując pięć początkowych składników rozwinięcia Maclaurina dla e Oszacuj błąd przybliżenia 5 Korzystając ze wzoru Taylora uzasadnij przybliżenie sin 3 3! + 5 5! Oszacuj błąd przybliżenie przy założeniu, że < π/2 6 Znajdź: a) trzy pierwsze wyrazy rozwinięcia Maclaurina dla y = + ; b rozwinięcie Maclaurina dla funkcji y = ln( + ) 7 Wykaż, że jeżeli funkcja f jest różniczkowalna oraz f(a + b) = f(a)f(b) i f() =, to f = f Wywnioskuj z twierdzenia Lagrange a, że f() = e
6 Lista 6 - Całka oznaczona Techniki całkowania I Oblicz podaną całę przybliżając ją za pomocą sumy prostokątów: 2 a) ; b) 2 : c)* Wsk: b) zachodzi równość n 2 = (n(n + )(2n + )/6; c) dobierz punkty podziału tak, aby tworzyły ciąg geometryczny 2 Korzystając z geometrycznej interpretacji całki oznaczonej oblicz całki: a) ; b) ( + 2 ) ; c) 2 ; d) Oblicz za pomocą całek pole obszaru ograniczonego krzywymi: a) y = 2 2, + y = ; b) y =, y =, y =, = 2; c) =, y = arcsin, y = π/2 4 Korzystając z całkowania przez podstawienie znajdź całki: a) (2 + ) 7 ; b) e + e ; c) 4 2 ; d) e e) ln ; f) e ; g) ; h) 2 + e2 5 Korzystając z całkowania przez części znajdź całki: a) sin ; b) e 2 ; c) 2 ln ; d) sin 2 ; + arctg ; e) 2 e ; f) e sin 6 Znajdź całkę nieoznaczoną 2 za pomocą podstawienia = sin t Korzystając z tej całki pokaż, że pole koła 2 + y 2 jest równe π 7 Znajdź średnią wartość funkcji: a) 2 na [, a]; b) sin na [, π]; ] c) cos na [, π] 8 Nie korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza oblicz π sin 2 9 Udowodnij, że k + 2 k + + n k jest asymptotycznie równe n k+ /(k + ) Oblicz a) lim n ( n n n n ) ( n n 2 + n 2 ; b) lim n n + + n ) 2n Aproksymując pole pod wykresem y = / za pomocą prostokątów wykaż, że suma różni się od ln n o mniej niż n 2 Funkcje hiperboliczne definiujemy wzorami cosh = (e +e )/2, sinh = (e e )/2 a) Podaj przykłady analogii (tożsamości, pochodne, całki) pomiędzy funkcjami hiperbolicznymi a trygonometrycznymi b) Czy funkcje hiperboliczne są ograniczone? okresowe? 3 Oblicz π sin bezpośrednio z definicji, korzystając ze wzoru na sumę sin α + sin 2α + + sin nα = sin nα 2 sin α 2 (n+)α sin 2
7 Lista 7 - Techniki całkowania II Całka niewłaściwa i zastosowania Oblicz poniższe całki nieoznaczone: a) 2 + : b) ; c) (2 + 3) 5 ; d) ( + 2 ) 3 2 Rozłóż na ułamki proste i znajdź całkę nieoznaczoną: a) ( ) ; b) ( 2 4 ; c) ( + ) ( + )( + 2) : d) ; (2 + 3) (2 + ) e) ; f) 2 ; g) ; h) ; i) ; j) ; k) ; l) 4 3 Oblicz całki z funkcji trygonometrycznych: a) tg ; b) cos 2 ; c) sin 3 ; d) sin 3 sin ; e) sin 4 Oblicz objętość i powierzchnię bryły utworzonej przez obrót łuku sinusoidy y = sin, π wokół osi O 5 Korzystając ze wzorów na objętość i pole powierzchni bryły utworzonej przez obrót wokół osi Oy oblicz objętość i pole powierzchni bryły powstałej w wyniku obrotu wokół osi Oy: a) odcinka y =, a; b) odcinka paraboli y = 2, a Jak rozwiązać b) korzystając ze wzoru na obrót wokół osi O? 6 Korzystając ze wzoru na długość łuku: a) oblicz długość łuku krzywej łańcuchowej y = (e + e )/2, ; b) sprawdź, że obwód okręgu 2 + y 2 = jest równy 2π 7 Oblicz całki niewłaściwe lub uzasadnij, że są rozbieżne: a) ; b) + 2 ; c) + ; d) ln ; e) ln 8 Trąbką Torricellego nazywamy powierzchnię powstałą przez obrót krzywej y = /, wokół osi O a) Pokaż, że powierzchnia trąbki jest nieskończona, a jej objętość skończona b) Wypełniając tę trąbkę farbą pomalujemy nieskończoną wewnętrzna powierzchnię za pomocą skończonej ilości farby Wyjaśnij ten paradoks 9 Oblicz całkę /( + 2 ) 2 kontynuując obliczenia: ( + 2 ) 2 = + 2 ( + 2 ) ( + 2 ) 2 = Oblicz powierzchnię torusa utworzonego przez obrót okręgu 2 + (y R) 2 = r 2 (R > r) wokół osi O Sprawdź, że powierzchnia ta jest równa iloczynowi obwodu okręgu tego okręgu przez drogę, jaka przebywa jego środek Oblicz powierzchnię czaszy wyciętej ze sfery 2 + y 2 + z 2 = płaszczyzną z = a, gdzie < a < Sprawdź, że jest ona równa powierzchni jej rzutu prostokątnego na powierzchnie walca stycznego do tej sfery
ANALIZA MATEMATYCZNA I
ANALIZA MATEMATYCZNA I Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Lista nie zawiera
Bardziej szczegółowoLista 1 - Kilka bardzo prostych funkcji. Logarytm i funkcja wykładnicza
Lista - Kilka bardzo prostych funkcji Logarytm i funkcja wykładnicza Naszkicuj wykresy funkcji: y = sgn x oraz y = x sgn x; b) y = x oraz y = x ; c) y = x x Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy
Bardziej szczegółowoTydzień 2 - Kilka bardzo prostych funkcje. Logarytm i funkcja wykładnicza. ; e)
Tydzień - Logika. Każde z poniższych zdań wyraź w postaci p = q. Wskaż założenie i tezę twierdzenia. A. W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA I
ANALIZA MATEMATYCZNA I Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co tydzień Choć zadania po symbolu potrójne karo nie są typowe, warto też poświęcić im nieco uwagi Lista nie zawiera odpowiedzi, ale poprawność
Bardziej szczegółowoLista 2 - Granica. 2n d) dn = ( 1 1 ) n 2. 2n+1 n; 1+x
Lista - Logika. Każde z poniższych twierdzeń wyraź w postaci p = q. Wskaż założenie i tezę twierdzenia. A. W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej
Bardziej szczegółowox 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =
Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć
Bardziej szczegółowoMatematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Ćwiczenia
Analiza Matematyczna Ćwiczenia Spis treści Ciągi i ich własności Granica ciągu Granica funkcji 4 4 Ciągłość funkcji 6 Szeregi 8 6 Pochodna funkcji 7 Zastosowania pochodnej funkcji 8 Badanie przebiegu zmienności
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowopostaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n
Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoPochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowo(5) f(x) = ln x + x 3, (6) f(x) = 1 x. (19) f(x) = x3 +2x
. Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie obliczyć pochodną funkcji f zdefiniowanej równością () cos (2) (3) ln (4) sin 2 (5) ln + 3 (6) cos(3 )
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoOpracowanie: mgr Jerzy Pietraszko
Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e)
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny.
Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny Zestaw I 1) Przedstaw i omów postać kanoniczną i iloczynową funkcjikwadratowej Daną funkcję przedstaw w postaci kanonicznej: y = ( )(
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między
Bardziej szczegółowoMatematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Zapisać bez użycia symbolu wartości bezwzględnej a) 1 3, b) x + y, c) x + 1 x + 2 x 2 dla 1 x 2, x
Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Zapisać bez użycia symbolu wartości bezwzględnej a) 1 b) + y c) + 1 + 2 2 dla 1 2 d) 8 e) + 1 f) 1 + + 2. 2. Korzystając z geometrycznej interpretacji wartości
Bardziej szczegółowoBlok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n
V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Zadania Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 3 4 Granice funkcji, ciągłość 4 5 Rachunek różniczkowy 5 6 Całki
Bardziej szczegółowoLISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAT 1637, 1644)
LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA MAT 67, 644) Zadania przeznaczone są do rozwiązywania na ćwiczeniach oraz samodzielnie. Dwie dodatkowe listy: POWTÓRKA i POWTÓRKA to przygotowanie do kolokwiów.
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 3 4 Granice funkcji, ciągłość 4 5 Rachunek różniczkowy
Bardziej szczegółowoKURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale
Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy
Bardziej szczegółowoRACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja
Bardziej szczegółowo1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej
. Pierwsza pochodna - definicja i własności.. Definicja pochodnej Definicja Niech f : a, b) R oraz niech 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma pochodna w punkcie 0, którą oznaczamy f 0 ), jeśli istnieje granica
Bardziej szczegółowoVIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Bardziej szczegółowoMatematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista 1
Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Sprowadzić funkcje kwadratowe do postaci iloczynowej (jeżeli istnieje) i postaci kanonicznej oraz naszkicować ich wykresy: a) 2 + b) 2 2 + 1 c) 2 + 2 d) 2 + +
Bardziej szczegółowo3. Operacje na zbiorach (1) Sprowadź poniższe zdania dotyczące zbiorów do postaci zdań logicznych i sprawdź ich prawdziwość.
1. Zapis matematyczny i elementy logiki matematycznej (1) Zapisz, używając symboliki matematycznej zdania: (a) Liczby x i y mają wspólny dzielnik większy od 2. (b) Jeśli x i y różnią się o 1, to nie mają
Bardziej szczegółowo1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.
Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A04 2 Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba π spełnia nierówność: A. + 1 > 5 B. 1 < 2 C. + 2 3 4
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
Bardziej szczegółowoLISTA 0 (materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych
LISTA 0 materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych W zadaniach 0. 0.5 n N, natomiast a, b,, y są liczbami rzeczywistymi, dla których występujące w zadaniach wyrażenia
Bardziej szczegółowoBadanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +
Badanie funkcji Zad : Funkcja f jest określona wzorem f( ) = + a) RozwiąŜ równanie f() = 5 b) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f c) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale
Bardziej szczegółowoElementy logiki (4 godz.)
Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)
Analiza Matematyczna F dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3 08/9z (zadania na ćwiczenia) (Na podstawie podręcznika M. Gewert Z. Skoczylas Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania GiS 008) 3 Granica funkcji
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowoZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol
ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego
Bardziej szczegółowoFUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006
FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9 Przykład z fizyki Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprzewodnikowej.
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony
MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład
Bardziej szczegółowo1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a.
Ćwiczenia 3032010 - omówienie zadań 1-4 z egzaminu poprawkowego Konwersatorium 3032010 - omówienie zadań 5-8 z egzaminu poprawkowego Ćwiczenia 4032010 (zad 445-473) Kolokwium nr 1, 10032010 (do zad 473)
Bardziej szczegółowoTematy: zadania tematyczne
Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO
PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. rozszerzonym. dla uczniów technikum. część III
Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie rozszerzonym dla uczniów technikum część III Granica ciągu liczbowego 1 Pojęcie granicy ciągu i ciągi zbieżne do zera sporządzać
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy):
Bardziej szczegółowoEgzamin z matematyki dla I roku Biochemii i Biotechnologii
Egzamin z matematyki dla I roku Biochemii i Biotechnologii 9..04 Zadanie (0 punktów). Rozwiązać układ + 3y z = 3 5y + z = a 5 ay + 3z = 3 dla a = oraz dla a = 4. Zadanie (0 punktów). Wyznaczyć dziedzinę,
Bardziej szczegółowo10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.
0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem..1. Całka podwójna po prostokącie.. CAŁKA POWÓJNA.. Całka podwójna po obszarach normalnych..3. Całka podwójna po obszarach regularnych..4.
Bardziej szczegółowoI. Funkcja kwadratowa
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas III w roku szkolnym 2017/2018 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze Dla każdej klasy 3 obowiązuje taka ilość poniższego
Bardziej szczegółowoCałki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,
Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2.2B (2017/18)
ANALIZA MATEMATYCZNA.B (7/8) ANALIZA MATEMATYCZNA.A,.A LISTA. (na ćwiczenia) Całki niewłaściwe Część A. Zadania do samodzielnego rozwiązania, czyli to, co należy umieć z poprzedniego semestru... Podać
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoJolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r.
Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r. Ocena dopuszczająca: Temat lekcji Stopień i współczynniki wielomianu Dodawanie i odejmowanie wielomianów Mnożenie
Bardziej szczegółowoPropozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony (według podręczników z serii MATeMAtyka) Klasa I (90 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15
Bardziej szczegółowoBAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA
BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA 1. Podaj zbiór wartości i monotoniczność funkcji: b) c) j) k) l) wskazówka: - oblicz wierzchołek (bez miejsc zerowych!) i naszkicuj wykres (zwróć uwagę na
Bardziej szczegółowoZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.
ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji f : R R
Racunek różniczkowy funkcji f : R R Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu punktu x 0 (tj. istnieje takie δ > 0, że (x 0 δ, x 0 + δ) D f - dziedzina funkcji f). Definicja 1. Ilorazem
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowo< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:
Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Katalog wymagań programowych
MATEMATYKA Katalog wymagań programowych KLASA 1H LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koniecznych lub podstawowych - na ocenę dopuszczającą () lub dostateczną przedstawiać liczby rzeczywiste w różnych
Bardziej szczegółowoĆwiczenia r.
Ćwiczenia 9..8 r.. Wyznaczyć wskazane wartości, gdy spełnione są podane równania: a)sin=?,tg=; b)ctg=?,sin= π ) 7 ; π c)sin5=?,sin + =tg ; d)cos=?,+tg9 tg + π ).. Rozwiązać nierówności: a)+4 +
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoKORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI. PRACA KONTROLNA nr 1
KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 000r 1. Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 040. Jeśli pierwszy wyraz tego ciągu zmniejszymy o 17, a jego
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRZED MATURĄ MAJ 2017 POZIOM PODSTAWOWY Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron (zadania 1 33). 2. Rozwiązania zadań wpisuj
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki - klasa I (poziom podstawowy) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury
LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koniecznych - na ocenę dopuszczającą (2) uczeń potrafi: zamieniać ułamek zwykły na ułamek dziesiętny podać przykłady liczb niewymiernych podać przybliżenie dziesiętne
Bardziej szczegółowo1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P)
Wymagania edukacyjne dla klasy IIIc technik informatyk 1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE rok szkolny 2014/2015 zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyznacza wartości
Bardziej szczegółowoRepetytorium z matematyki ćwiczenia
Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy
Matematyka dla Ciekawych Świata, 2012/2013 13 listopada 2012 Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy 0. Kangur powraca Przypomnij sobie, że nasz kangur porusza się z prędkością 4 km/h. Zamodeluj ruch kangura
Bardziej szczegółowoZADANIE 1 Ciag (a n ), gdzie n 1, jest rosnacym ciagiem geometrycznym. Wyznacz wartość największa 2xa 6 a 2 a 4 a 3 x 2 a 3 a 6. ZADANIE 2 ZADANIE 3
ZADANIE Ciag (a n ), gdzie n, jest rosnacym ciagiem geometrycznym. Wyznacz wartość największa funkcji f (x) = 2xa 6 a 2 a 4 a 3 x 2 a 3 a 6. ZADANIE 2 Długości boków trójkata tworza ciag geometryczny.
Bardziej szczegółowo2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26
Spis treści Zamiast wstępu... 11 1. Elementy teorii mnogości... 13 1.1. Algebra zbiorów... 13 1.2. Iloczyny kartezjańskie... 15 1.2.1. Potęgi kartezjańskie... 16 1.2.2. Relacje.... 17 1.2.3. Dwa szczególne
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x
WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoSpis treści. Przedmowa do wydania piątego
Zadania z matematyki wyższej. Cz. 1, [Logika, równania liniowe, wektory, proste i płaszczyzny, ciągi, szeregi, rachunek różniczkowy, funkcje uwikłane, krzywe i powierzchnie] / Roman Leitner, Wojciech Matuszewski,
Bardziej szczegółowo1. Równania i nierówności liniowe
Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x
Bardziej szczegółowoZagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania
Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania FUNKCJA KWADRATOWA Wykres funkcji f () = a Przesunięcie wykresu funkcji f() = a o wektor Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej
Bardziej szczegółowo