Kurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Transkrypt

1 Projekt Fizyka Plus nr POKL / współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki Uwagi ogólne: przed rozpoczęciem zajęć warto zapoznać się z aktualnymi wymaganiami programowymi Centralnej Komisji Egzaminacyjnej: str.3 7. Przedsądy związane z aktualną wiedzą wynoszoną ze szkoły średniej a oparte na osobistych wspomnieniach prowadzącej/prowadzącego zajęcia mogą prowadzić do niepotrzebnych nieporozumień. Zadania staramy się rozwiązywać biorąc studentów do tablicy mimo, że większość studentów ma za sobą profil rozszerzony, praktyczne umiejętności związane choćby z redakcja odpowiedzi potrafią być zaskakująco skromne. Poziom trudności modułów rośnie, ostatni może wypełnić nawet dwa zajęcia. Zajęcia. Logarytmy. Równania kwadratowe z parametrem, wykres funkcji. Wszystkie zagadnienia pojawiły się na poziomie rozszerzonym. Cel: Uporządkowanie wiadomości. Umiejętność sformułowania dowodu matematycznego. Pierwsze trzy moduły maja charakter techniczny i warto je szybko zrobić, pozwolą na wyłapanie słabszych rachunkowo studentów, których można dodatkowo przećwiczyć zestawem z poziomu podstawowego.. Znaleźć liczbę, która daje się jednoznacznie przedstawić jako iloczyn dwóch liczb dodatnich, takich, że różnica ich logarytmów o podstawie jest równa ilorazowi tych logarytmów.. Udowodnić, że dla dowolnych liczb a, b, N spełniających warunki: a, b, N > 0, a,ab, log N, a N = + log log ab N a b. 3. Udowodnić, że dla dowolnej liczby N > 0 i N, =. log N log 3 N log 4 N log 0 N log 0! N 4. Dla jakich wartości parametru m rozwiązania równania x mx + m 4 = 0 należą do przedziału [p, q[, gdzie p jest rozwiązaniem równania x + ( ) x+ =, zaś q rozwiązaniem ln x równania =? ln(x 4) 5. Rozwiązać równanie: ln ln ln x = 0.

2 6. Narysować zbiór rozwiązań nierówności: log x (log y x) > Przedyskutować ze względu na parametr m rozwiązalność równania log(mx) log(x+) =. Zajęcia. Równania kwadratowe. Układy równań. Proste dowody. Dowody matematyczne nie są wymagane na poziomie rozszerzonym. Cel: Umiejętność przedstawienia rozwiązania skomplikowanego problemu. Poprawne zapisanie dowodu matematycznego.. Ile istnieje równań postaci x px q = 0, których współczynniki p, q N i pierwiastki dodatnie są mniejsze od 0?. Ile istnieje równań postaci x px q = 0, których współczynniki p, q N i pierwiastki dodatnie są mniejsze od danej liczby r N? 3. Wykazać, że jeżeli x, y, z spełniają równania: x + y + z = xyz, x = yz oraz x 0, to x > Wykazać, że jeżeli a + b =, to a 4 + b 4, a, b R. 8 Zajęcia 3. Funkcje trygonometryczne, badanie funkcji. Na poziomie rozszerzonym pojawiły się proste równania trygonometryczne i pojęcie asymptot poziomych i pionowych. Cel: Umiejętność badania funkcji. Studenci, których nauczyciele nie wykroczyli poza minima programowe nie mieli w szkole pojęcia pochodnej oraz granicy funkcji. Do rozwiązania zadań e, f, g wystarczą wzory na pochodną wielomianu i ilorazu dwóch funkcji.. Udowodnić, że: arctg 3 + arctg 5 + arctg 7 + arctg 8 = π 4. Rozwiązać równania: i) sin x + cos x = tg x + ctg x, ii) (cos x) sin x 3 sin x+ =, iii) arctg x + arc ctg x = π. 3. Zbadać istnienie asymptot wykresu funkcji: f(x) = x3 x Zbadać asymptoty wykresu funkcji: f(x) = x 3 3(x x ). 5. Zbadać funkcję: f(x) = x (x 3). 6. Zbadać funkcję: f(x) = (x+) x +.

3 7. Zbadać zmienność objętości prostopadłościanu o podstawie kwadratowej i danej długości d przekątnej ściany bocznej, w zależności od długości krawędzi podstawy. Zajęcia 4. Indukcja matematyczna. Cel: Umiejętność przeprowadzenia dowodu indukcyjnego.. Udowodnić, że n N + prawdziwa jest równość: n = n(n+). Udowodnić, że n N + prawdziwa jest równość:! +! + + n n! = (n + )!. 3. Udowodnić, że n N + prawdziwa jest nierówność: ( + x) n + nx, x. 4. Udowodnić, że n N + : ( + n) n n Udowodnić, że n N + : ( + n) n Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n liczba n 3 n jest podzielna przez Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n liczby n+ + n+ oraz n+ + n są podzielne przez Wykazać, że każdy n-kąt wypukły ma n(n 3) przekątnych. Zajęcia 5. Ciąg arytmetyczny i geometryczny. Ciągi rekurencyjne. Granica ciągu rekurencyjnego nie jest ujęta w minimach programowych. Cel: Umiejętność radzenia sobie z nietrywialnymi zadaniami. Metodologię związaną z badaniem granic ciągów rekurencyjnych wypracować razem ze studentami.. Udowodnić, że jeżeli liczby a, a,..., a n tworzą ciąg arytmetyczny, to dla n > spełniona jest nierówność: a ( ) n a + ( ) n a3 + + ( ) n k ( ) k a k+ + + ( ) n a n+ = 0.. W trójkąt równoboczny o boku długości a wpisano okrąg. Następnie wpisano trzy okręgi styczne do danego okręgu i boków trójkąta. Czynność tę powtórzono nieskończenie wiele razy. Obliczyć sumę pół wpisanych kół. [ 3. Wyznaczyć wartości x, dla których istnieje granica: lim n + ] x+ + + (x+)n x+ (x+) (x+) n 3

4 4. Udowodnij, że granica ciągu pól wieloboków foremnych wpisanych w koło równa jest granicy ciągu pól wieloboków foremnych opisanych na tym kole. 5. Obliczyć granicę ciągu obwodów wieloboków foremnych wpisanych w koło o promieniu r. 6. Zbadaj zbieżność ciągu określonego rekurencyjnie: x 0 ], [, x n+ = x n (x n ) 7. Zbadaj zbieżność ciągu określonego rekurencyjnie: x 0 >, x n+ = xn x n 8. Zbadaj zbieżność ciągu określonego rekurencyjnie: x 0 > 5, x n+ = 3xn+ 5x n 9. Zbadaj zbieżność ciągu określonego rekurencyjnie: x 0 =, x n+ = x n 0. Zbadaj zbieżność ciągu określonego rekurencyjnie: x 0 R, x n+ = 0. +x n Zajęcia 6. Liczby zespolone cz. I Cel: Praktyczna umiejętność operowania liczbami zespolonymi.. Uprościć wyrażenia: ( + i)(3 3i), 3i 5+4i. Znaleźć postać trygonometryczną (biegunową) liczby zespolonej z: 3. Dowieść, że: (a) z = + e iα, α R; (b) z = i. (a) + it it = ei arc tg t dla t R; (b) z z + = i tg ϕ dla z = eiϕ, ϕ ] π, π[; (c) z i ( ϕ z + i = i tg π ) dla z = e iϕ, ϕ ] π 4, 3π [; (d) Jeżeli tg ϕ = i z zn, to tg nϕ = i (e) ( + i tg x i tg x + z ) n = + i tg nx i tg nx + z n, dla z C, z zn, ϕ R 4. Uzasadnić, że pole trójkąta, którego jeden wierzchołek jest w początku układu współrzędnych, a pozostałe dwa są w punktach z, z C, wyrażają się wzorem Im ( z z ). 4

5 5. Obliczyć i narysować wszystkie wartości wyrażenia: (a) i ( + i); (b) i 3 ( cos α + i sin α)5 ; (c) + i + i. 3 Zajęcia 7. Liczby zespolone cz. II Cel: Umiejętność rozwiązywania trudniejszych związanych z funkcjami zespolonymi.. Dowieść, że: n (z λɛ p ) = z n λ n, p= gdzie ɛ jest n-tym pierwiastkiem z jedności, ɛ = e πi n.. Wyprowadzić wzory: n sin nϕ (a) cos(k )ϕ =, jeżeli sin ϕ 0; k= sin ϕ n (b) cos kϕ = sin ( ) n + ϕ k= n sin ϕ, jeżeli sin ϕ 0; 3. Zbadać i narysować podany podzbiór płaszczyzny C: (a) S = {z : Re( z z )(z z ) = 0} { (b) S = z : Im z } { } z(z + ) > 0 (z + )(z i) ; (c) S = z : Im (z )(z i) > 0 ; 4. Narysować zbiór: S = { +ti ti, t R}. 5. Zbadać i narysować zbiór f (S) := {z : f(z) S} jeżeli: (c) S = { z C : 0 < arg z < π }, f(z) := z + i 4 z i, z C \ {i}. 5