WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE

Transkrypt

1 WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE. RozwiąŜ nierówność.. Dla jakiej wartości parametru a R wielomian W() = ++ a dzieli się bez reszty przez +?. Rozwiązać nierówność: a) 5 b) + 4. Wyznaczyć wartości parametru m tak, aby liczba była pierwiastkiem wielomianu W() = -4 +m-. 5.Sprowadzić wielomian W() = do postaci iloczynowej. 6. Dana jest funkcja f()=. Rozwiązać nierówność f()-f( )< f( )-f( ). 7. Rozwiązać układ nierówności -4< <. 8. Dana jest funkcja f()= +. Rozwiązać nierówność f() > f(- ). 9. Wykazać, Ŝe wielomian W()= ma dokładnie dwa miejsca zerowe. 0. Dla jakich wartości parametrów a i b równanie ³-²+a+ b = 0 ma pierwiastek podwójny =? 5. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f() =. +. Dla jakich wartości parametru m R wielomian W() = m m jest podzielny przez dwumian (-)?. Rozwiązać nierówność f(-)< f(), jeŝeli f() = Rozwiązać nierówność Dla jakich wartości a i b wielomian W()= 4-7 +a+ b jest podzielny bez reszty przez +-? 6. Ile pierwiastków ma równanie (+) (+8) = Dla jakich wartości m równanie + = m nie ma rozwiązań rzeczywistych? 8. Wiedząc, Ŝe wielomian W()= - + a dzieli się bez reszty przez (+). RozłoŜyć ten wielomian na czynniki. Jaki jest wtedy parametr a? 9. Sprawdzić, czy wielomian (-) 0 +(-) 0 - jest podzielny przez wielomian Dla jakich wartości parametru a, oraz b resztą z dzielenia wielomianu W() = 4 +a+b przez - jest wielomian R() = -?. RozłoŜyć na czynniki wielomian W() = Dla jakich wartości parametrów a i b liczba jest pierwiastkiem podwójnym wielomianu W() = +a +b-?. Zakładając, Ŝe wielomian P()= -- jest podzielnikiem wielomianu W() = +a + b+. Wyznaczyć wartości parametrów a i b. Dla wyznaczonych a i b obliczyć W(-). 4. Rozwiązać równanie:

2 a) = 0 b) - -- = 0 5. RozwiąŜ nierówność: + a) b) 0 c) Znaleźć resztę z dzielenia wielomianu przez - 7. Wyznaczyć wszystkie wartości współczynników p i q wielomianu W() = p + q tak, aby przy dzieleniu go przez wielomian -+ reszta była równa Dla jakich wartości k liczba k jest pierwiastkiem wielomianu W() = -(k+)+k-+? 9. Dla jakich wartości k reszta z dzielenia wielomianu W()= + +k -8 przez dwumian (+) jest równa? + 0. RozwiąŜ równanie: =. Wykazać, Ŝe dla kaŝdej trójki liczb rzeczywistych a, p, q (a 0) równanie + = ma pierwiastki rzeczywiste. p q a. Dwa róŝne automaty wykonują razem zadaną pracę w ciągu godzin. Gdyby pierwszy automat pracował sam przez godzinę, a następnie drugi pracował sam przez 6 godzin, to wykonałyby 75% całej pracy. W ciągu ilu godzin kaŝdy automat moŝe wykonać całą pracę samodzielnie? 4 + = y + y. Rozwiązać układ równań: 5 9 = y y 4 4. Dane są zbiory: A = {: R + } B = { : R }. Wyznaczyć A B 4 i A' B' Rozwiązać równanie: + = 6 6. Wyznaczyć parametry a i b, dla których wielomiany W() = ( a+ b) i P() = są równe. 7. Ile pierwiastków rzeczywistych moŝe mieć równanie +b+c = 0 8. Przy dzieleniu wielomianu W() przez (-) otrzymujemy resztę, a przy dzieleniu przez (-) resztę. Wyznaczyć resztę z dzielenia W() przez (-)(-) 9. Przy dzieleniu wielomianu W() przez (-) otrzymujemy resztę, a przy dzieleniu W() przez (-) otrzymujemy resztę 4. Wyznaczyć resztę z dzielenia W() przez ( +) 40. Wiedząc, Ŝe liczba + jest pierwiastkiem wielomianu W() = +m ++4 wyznaczyć m. 4. Dla jakich wartości parametru m równanie (m-) 4 -(m+4) +m = 0 ma 4 pierwiastki. 4. Wiedząc, Ŝe wielomian 4 + +a+b jest podzielny przez ( -) wyznaczyć resztę z dzielenia tego wielomianu przez (-).

3 4. Wiedząc, Ŝe spełnione są warunki y = obliczyć - y + y + y = 44. Wyznaczyć sumę S współczynników wielomianu W() = ( - +4-) 004 oraz jego wyraz wolnya Wielomian ma postać W()= Obliczyć W(-) -W(0)+W(). 46. WielomianyW () = 5 + -m + i W () = + (-m) + - mają wspólny pierwiastek wymierny, wyznaczyć m. 47. Dany jest wielomian W() stopnia 005 o wszystkich współczynnikach równych. Wyznaczyć resztę z dzielenia W() przez (+) Dane są zbiory A={: R ( ) 0 B\A jest jednoelementowy. 49. RozwiąŜ równanie + =. 50. Niech A={: R\{-} ( ) 0 A B φ A-B0 φ. 5. Uzasadnić, Ŝe jeśli g() = + ( ) ( )( + + )( + ) + } B={: R\{} 0}.WykaŜ, Ŝe zbiór } B s = {: R ( -)(-s) 0}. Uzasadnić, Ŝe to g() 0 dla kaŝdego R. 5. WykaŜ, Ŝe zbiór wszystkich liczb spełniających nierówność + > 9+9 zawiera się w zbiorze <-4; ). 5. Dane są zbiory liczbowe: A = {: R + 4} B={: R }. Sprawdź, + czy A B. 54. Wiadomo, ŜeW () = 4 iw () = - +. Znaleźć złoŝenie ( W W )(). 55. Niech w() będzie dowolnym wielomianem stopnia trzeciego, funkcja f: R R będzie funkcją przyporządkującą liczbie rzeczywistej b resztę z dzielenia wielomianu w() przez dwumian - b. Niech g: R R, g(b) = w(b)f(b). Uzasadnić, Ŝe funkcja g ma przynajmniej jedno miejsce zerowe. 56. Obliczyć sumę wszystkich pierwiastków równania = 0 jeŝeli wiadomo, Ŝe 4 = Ile pierwiastków całkowitych moŝe mieć wielomian W() = 7 +a +b +-? 58. Który ze współczynników wielomianu W() = 7 +a +b+c wyznaczony jest przez warunek W(8) + W(-8) = 4? 59. Wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu W() = +k(-k) -(-k) -(-k) przez dwumian (-+ k). 60. Reszta z dzielenia wielomianu W() przez wielomian P() = wynosi Znaleźć resztę z dzielenia wielomianu W() przez Wielomian W() = + a + b ma pierwiastek dwukrotny, a ponadto = 6. Obliczyć a i b. 6. Liczba jest trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu W() = 4 +a +b+c. Obliczyć a, b, c. 6. Wyznaczyć dziedzinę funkcji: a) f() = + +

4 5 + 6 b) f() = Wielomian W() = ( ) 99 moŝna rozłoŝyć na iloczyn. Ile czynników zawiera ten iloczyn? 65. Wyznacz parametr m tak, aby podane funkcje były równe: + a) f() = g() = m+ + m b) f() = g() = ( ) 66. Wyznaczyć funkcje odwrotne do podanych funkcji: + a) f() = b) f() = Dla jakich wartości parametru m równanie = m ma dokładnie jeden pierwiastek? 68. Wyznacz liczby naturalne nieparzyste, które spełniają nierówność Funkcja f dana jest wzorem f() = dla (-; -). Podać prostszy wzór tej funkcji. 70. Wiadomo, Ŝe równanie a + b = nie ma rozwiązania. Jakie warunki muszą spełniać parametry a i b. a 7. Dla jakich parametrów a i b równanie +b = ma jedno rozwiązanie? + 7. Wyznaczyć wartości parametru k wiedząc, Ŝe równanie = nie ma rozwiązania. + k k k 7. Wyznaczyć k wiedząc, Ŝe zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór R my = 74. Wyznaczyć parametr m wiedząc, Ŝe rozwiązaniem układu jest para liczb ( m + ) y = dodatnich. 5 y = k 75. Układ równań ma rozwiązanie spełniające warunek - y >-. Jaki k + ( k) y = 4 warunek spełnia wtedy parametr k. 76. Dla jakich wartości parametru m równanie m -(m+)+m- = 0 ma dwa róŝne rozwiązania o tych samych znakach? 77. Wyznaczyć parametr k wiedząc, Ŝe funkcja f() = k +(k+)- przyjmuje największą wartość równą liczbie. 78. Wyznaczyć najmniejszą liczbę całkowitą k, dla której zbiorem rozwiązań k + nierówności k jest zbiór R Wyznaczyć najmniejszą liczbę całkowitą k, dla której funkcja f dana wzorem f() k + k = k + k ma minimum i dwa róŝne miejsca zerowe. k 80. Wiadomo, Ŝe zachodzi równość (-y) +u +4v = 4uv. Wyznaczyć +u oraz -u. 4

5 8. Wyznaczyć sumę współczynników wielomianu (-+ ) 00 (+- ) Pierwiastkami równania +a +b+c = 0 są liczby i. Jaki warunek spełniają parametry a, b, c jeśli wiadomo, Ŝe trzeci pierwiastek tego równania jest liczbą całkowitą? 8. Dane są wielomiany W() = 4 +a +(a+6)+ i P() = - +(a+)+4 gdzie a R. Udowodnić, Ŝe dla pewnej wartości a wielomiany te mają wspólny pierwiastek, to jest on liczbą całkowitą. 84. Wyznaczyć zbiór wartości parametru m, dla których równanie m -(m-) + = 0 o niewiadomej ma co najmniej jedno rozwiązanie dodatnie. 85. Wyznaczyć zbiór wartości parametru p, dla których równanie p -(p +) + = 0 o niewiadomej ma trzy róŝne rozwiązania. 86. Wyznaczyć współczynniki a, b, c równania +a +b+c = 0 o niewiadomej tak, aby jego rozwiązaniami były tylko liczby a i b. 87. Znajdź te wartości współczynników a i b równania a + -+b = 0 o niewiadomej, dla których dwa spośród jego rozwiązań są liczbami przeciwnymi. 88. Znajdź liczby całkowite a i b, dla których rozwiązaniem równania +a +b+ = 0 o niewiadomej jest liczba. 89. Przeprowadzić dyskusję rozwiązalności równania = m w zaleŝności od m + parametru m R. p 90. Wyznaczyć zbiór wartości parametru p, dla których równanie = p p o niewiadomej ma jedno rozwiązanie, ma dwa róŝne rozwiązania. 9. Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych spełniających równanie y-y-- = 0 9. Przeprowadzić dyskusję rozwiązania równania = m w zaleŝności od parametru m. 9. RozwiąŜ równanie =. 94. Rozwiązać nierówność Dane jest równanie: m +- = 0.Wyznaczyć wartość parametru m, dla którego suma m sześcianów pierwiastków tego równania jest równa Dla jakich wartości m równanie = m ma więcej niŝ trzy pierwiastki? 97. Dana jest funkcja f() = (-a) [a(-a) -a-].wyznaczyć zbiór wszystkich wartości a, dla których równanie f() = - ma więcej pierwiastków dodatnich niŝ ujemnych. 98. Dla jakich wartości parametru m obie nierównościm oraz ( m ) ( m + ) + m 0 są prawdziwe dla kaŝdej liczby rzeczywistej. a b 99. Udowodnij, Ŝe jeśli a b i a + b = c to + =. a c b c 00. Liczby rzeczywiste a, b, c spełniają warunek a + b + c =. Udowodnij, Ŝe ab + bc + ca. 5

6 ODPOWIEDZI. (- ; -) (0; )... a = 4.. a) (- ; -) (0;) b) (-; 0). 4. m = W() = (-)(-)(+). 6. (- ;-) (0;). 7. (- ;-) ( ; ) (; ). 8. (0;) (; ) a = b = 0. (-;>. m = m = (-;0> {} 5. a = - b = 4 6. Dwa pierwiastki 7. m (-;) 8. W() = (-)(+) ; a = - 9. TAK. 0. a = b = -4. W() = ( -+)( ++). a = - b = -5. a = b = - 7 ; W(-) = a) = - = = 5 + b) = - = = 5. a) (- ; -) < - ; ) 4 5 b) <-; 0) (0; ) c) <-; > <; ) 6. R() = p = 6 q = k = k = - 9. k = k = - 0. = 9. 6

7 . Zakładamy, Ŝe p q i otrzymujemy równanie kwadratowe, które ma dwa a + p + q a + p + q + pierwiastki rzeczywiste = ; =.Są one pierwiastkami równania wymiernego, jeśli p q. JeŜeli p = q to tylko = a + p jest pierwiastkiem równania wymiernego.. Pierwszy w ciągu 4 godzin, drugi w ciągu godzin.. = ; y = A B = {: (0:> {-4}} A B = (- ;-4) (-4;0> (; ) 5. = a = b = 7. pierwiastek, lub pierwiastki. 8. R() = R() = m = m (; ). 4. R = y = S = 0; a 0 =. 45. m = - m =. 47. R = A=(- ;-) (; ) B = (- ;-> (; ); B\A = {-} Nie Wskazówka f(b)=w(b) 56. Wskazówka: MnoŜymy obie strony danego równania przez 4 i podstawiamy 4 = y. Otrzymamy równanie y + y -6y + = 0. Stądy =, y =, y = -6, więc = 4 ; = ; = i suma jest równa. Warunek podany w zadaniu przy tym 4 sposobie rozwiązania jest zbędny. 57. Dwa. 58. c =. 59. (-k) R() = a = - b =. 6. a = -; b = ; c = a) (; ) b) R\{-} a) Funkcje nie mogą być równe. b) m = a) f () =. b) f () =. 7

8 67. m = 0 m =. 68. = f() = (a b = 0) (a = b 0). 7. b a R \ {0}. 7. k {0; ; }. 7. k (-: 7). 74. m (-; -) (-; ) 75. k (- ; ) ( 5 ; ). 76. m ( ; 0) (; ). 77. k = k =. 79. k = u = (y + v); -u = (y -v). 8. S = Jeśli d jest trzecim pierwiastkiem równania to a = -5-d; b = 5d+6; c = -6d m (- ; 0) (9; ). 85. p ( ; 0) (0; ) (; ) a = b = c = 0 a = b = ; c = Wskazówka: Jeśli +p +q+ = a = ; b = ; c = = p =, =, =, wtedy a = i b = - to + + = q. = r 88. a = -; b =. 89. Równanie ma dwa róŝne rozwiązania dla m R\{-; } i jedno rozwiązanie dla m = m = Dla p = - równanie ma jedno rozwiązanie, dla p (- ; -) (; ) ma dwa rozwiązania. 9. (-; ) (0; -) (: 5) (4; ) 9. )dwa rozwiązania dla m (0; ) (; ) ) jedno rozwiązanie dla m = 0 m = ) brak rozwiązań dla m (- ; 0). 9. = ( + 5), = ( 5). 94. ; ). Wskazówka: ( 5 ) ( ) Nie istnieje takie m. Wskazówka: + = ( + ) ( + )

9 96. p ;5). Wskazówka: RozwiąŜ równanie graficznie. 97. a. Wskazówka: Dla a = 0 równanie ma jeden pierwiastek dodatni i jeden ujemny. Dla a 0 podstawić t = (-a) (t 0) i przekształcić równanie do postaci ( a-) (-a+) ( a) = 0. a 98. m (- ; ). Wskazówka: m m m R