na egzaminach z matematyki

Transkrypt

1 Błędy studentów na egzaminach z matematyki W opracowaniu omówiłem typowe błędy popełniane przez studentów na kolokwiach i egzaminach z algebry oraz analizy. Ponadto podaję błędy rzadziej spotykane, które zaskoczyły mnie pomysłowości a zdajacych. Mam nadzieję, że dzięki opracowaniu studenci nie popełni a już tego rodzaju błędów. I. Fałszywe wzory algebraiczne, trygonometryczne i inne Studenci błędnie przyjmuja, że funkcje elementarne sa liniowe i dlatego stosuja wzory a, b. a a + b 2 = a 2 + b 2 1, x + y = x + y, x + y = 1 x + 1 y ; b sin 2α = 2 sin α, tg x + y = tg x + tg y; c x 2 ln a = x, ln b = ln a b, an a m = a n m ; d a x + b y = a + b x + y, a + b = a x x + b. II. Błędne metody obliczania granic ciagów i funkcji Jednym z najczęściej popełnianych błędów przy wyznaczaniu granic ciagów i funkcji jest obliczenie granicy w dwóch etapach. Studenci najpierw przechodza do granicy z częścia zmiennych i dopiero po uproszczeniu wyrażenia, przechodza do granicy z pozostałymi zmiennymi. a lim n lim n n n 1 + 0n [! ] n 1 = 1. Prawidłowy wynik e. 1 b lim n n n n2 + n [! ] 0 = 0. Prawidłowy wynik 1. n n c lim x2 + 5x x 2 + 2x x 1 + 5x x x x x Prawidłowy wynik 3 2. [! ] x 1 x 1 0 = 0.

2 3x + sin x 0 + sin x sin x d lim [! ] x 0 x x 0 x x 0 x = 1. Prawidłowy wynik x e lim 1 + 3x x 0+ x sin x x 0+ x [! ] = sin x 1 lim x 0+ x x sin x 1 1 x x 0+ x 1 x 1 [! ] 0 = 0. x 0+ Prawidłowy wynik 5. e x 1 1 f lim x 0 sin 2x x 0 sin 2 ex 1 [! ] = 1 x sin 2 1 = 1 sin 2. Prawidłowy wynik 1 2. g Po podniesieniu wyrażenia za limesem do czwartej potęgi otrzymam: 4 16x4 + 1 lim x x x [! ] x = 16. x 2 Prawidłowy wynik 2. h Dla wielu studentów wyrażenia,, 0, 1 sa tylko pozornie nieoznaczone, gdyż ich zdaniem zachodz a wzory: = 0, = 1, 0 = 0, 1 = 1. Z poniższych równości wynika, że stwierdzenia te sa fałszywe: lim x 2 x e x =, lim =, lim sin x 2 = 2, lim x = e. x x 0+ x x i Studenci stosuja regułę de L Hospitala bez sprawdzenia założeń: x H 1 lim x e x x e [! ] = 1 =, prawidłowy wynik, x 0+ 2 x H 2 x ln 2 lim [! ] = 1 ln 2 = ln 2, prawidłowy wynik, x 0+ x x x 2 + sin x 2 lim H 2x + 2x cos x cos x 2, a ponieważ x 2 2x ostatnia granica nie istnieje, więc nie istnieje także granica poczatkowa[! ]. Prawidłowy wynik 1. Ponadto stosuj a fałszyw a "regułę de L Hospitala" do obliczania wartości wyrażenia nieoznaczonego 0 : lim [p x q x] = x x0 lim [p x q 1 x], np. lim x ctg x 1 x x 0 x 0+ x 0+ sin 2 [! ] = 1 1 x 0+ =

3 - poprawna wartość 1 oraz do wyrażenia : lim [p x q x] = [ x x0 lim [p x q x], np. lim x ln x 1 1 ] [! ] = 1 0 = 1 - x x 0 x poprawna wartość. sin x j Dla studentów granica lim zawsze równa się 1, niezależnie od x x symbolu wpisanego w ramkę. W rzeczywistości ta granica w punktach różnych od 0 ma inne wartości, np. sin x lim x π x = 0, lim x π 2 sin x x = 2 π, lim sin x x 1 x III. Błędne wzory do obliczania pochodnych a [p x q x] = p x q x, sin x = sin 1, lim x = 0. np. [ x 3 sin x ] = 3x 2 cos x [! ], poprawny wynik 3x 2 sin x + x 3 cos x; [ ] p x b = p x q x q x, [ cos x ] sin x sin x + cos x np. = [! ], poprawny wynik, e x e x e [ ] x 1 c = 1 q x q x, [ ] 1 1 np. = x 4 x 4x 3 1 [! ], poprawny wynik 4x3 1 x 4 x 2, d {f [g x]} = f [g x], 1 np. [sin ln x] = cos [! ], poprawny wynik 1 cos ln x ; x x e 9 x = x 9 x 1, arcsin x = arccos x, tg x = ctg x; f x x = x x ln x, e 7 = e 7, ln 44 = 1 44, π 5 = 5π 4 ; g arc tg x = x tg 2 x = x 1 [ 2 cos 2 x, x 3] = 3 x 2. h Studenci potrafia różniczkować nie istniej ace funkcje, np. : [ cos x 3 ] = sin x 2 cos x 3 [! ] ;

4 [ arcsin 2 + x 2 ] = 2x x 2 2 [! ] ; [ ln 1 e x2] 1 = 1 e e x2 2x [! ]. x2 i Zadanie: dla f x, y = x 4 + y 4 zbadać, czy istnieje f 0, 0. Rozwiazanie studenta: 0, 0 = [ ] x f 4x 3 x 2 = 0. Otrzymałem wyra- x 4 + y 4 0 żenie nieoznaczone, więc f f 0, 0 nie istnieje [! ]. Odp. 0, 0 = 0. x x IV. Błędne sposoby obliczania całek nieoznaczonych a [f x g x] = f x g x, np. x cos x = x2 sin x + C, poprawny wynik cos x + x sin x + C; 2 f x f x b g x =, g x x 1 np. e x = 2 x C [! ], poprawny wynik x + C; ex e x c p n x = pn+1 x + C n N, n + 1 np. cos 3 x = cos4 x + C [! ], poprawny wynik x sin3 x + C; 4 3 d = ln p x + C, p x np. e x + 1 = ln ex C [! ], poprawny wynik x ln e x C; e e px = e px + C, np. e x = e x + C [! ], poprawny wynik 2 x 1 e x + C; f = arctg p x + C, 1 + p 2 x 0,0

5 np. 1 + tg 2 x = arctg tg x+c [! ], poprawny wynik x 2 1 sin 2x+C. 4 V. Jeżeli student może utrudnić sobie życie, to tak zrobi a Rozwi azać równanie x 1 x 2 x 3 x 4 = 0. Metoda studenta: po wymnożeniu czynników po lewej stronie równania otrzymam x 4 10x x 2 50x + 24 = 0 [! ]. x 2 x + 4 b Rozwi azać nierówność < 0. Rozwi azanie studenta: po x + 1 x 3 wyznaczeniu iloczynów w liczniku i mianowniku otrzymam nierówność x 2 + 2x 8 x 2 2x 3 < 0 [! ]. c Obliczyć [ x ] 4. Rozwi azanie studenta: po obliczeniu potęgi [ x otrzymam ] 4 = x x x x [! ]. d Obliczyć x 2 3. Rozwi azanie studenta: po podniesieniu mianownika do sześcianu dostanę x 2 3 = x 3 6x x 8 [! ]. e Wyznaczyć 3 4 2i 4. Rozwi azanie studenta: po obliczeniu czwartej potęgi otrzymam 3 4 2i 4 = i [! ] f Obliczyć det Rozwiazanie studenta: po wyznaczeniu macierzy odwrotnej otrzymam det g Obliczyć det [ = det ] [! ] = 1.. Rozwi azanie studenta: po obliczeniu piatej

6 potęgi macierzy otrzymam [ ] det 1 2 = det [ ] [! ] = 1. h Znaleźć wszystkie rozwi azania równania z + 2i 6 + z 1 6 = 0. Rozwiazanie studenta: po wykonaniu działań otrzymam równanie równoważne 2z i z 5 45z i z z i z 63 = 0 [! ]. i Student napisał: po obliczeniu silni otrzymam: 8! 10! = [! ] = VI. Błędne definicje, fałszywe twierdzenia, ciekawe sformułowania, dziwne rozumowania oraz zaskakujace wnioski a Fragment rozwiazania zadania z rachunku prawdopodobieństwa o występowaniu daltonizmu wśród mężczyzn i kobiet: wyznaczę liczbę mężczyzn, którzy nie rozróżniaja kobiet. b Ponieważ cały okrag ma równanie x 2 +y 2 = r 2, więc jego dolna połowa jest opisana wzorem 1 x 2 + y 2 = r 2, a górna wzorem 1 x 2 + y 2 = r c Jeżeli twierdzenie T n określone dla n liczb naturalnych jest prawdziwe dla n + 1 liczb i zachodzi implikacja T n = T n+1, to mamy do czynienia z zasada indukcji matematycznej. d Granica lim fx nie istnieje. Zatem w punkcie x = 0 funkcja f nie x 0 może być już nigdy ciagła i dobrze jej tak! e Ciag 1 n raz daży do +, a raz do, wobec tego zachodzi stosunek +. f Mógłbym policzyć pochodn a, ale nie każa. g Funkcja f jest monotoniczna w przedziale a, b, gdy wszystkie punkty z tego przedziału daja się poł aczyć prosta lub krzywa. h Bez linijki i gumki nie potrafię narysować wykresu tej funkcji. i Monotoniczność funkcji f określę na podstawie znaku różnicy f x + 1 f x. j Z powodu braku czasu dalsza część rozwi azania przeprowadzę w formie kontemplacji. k Granica ciagu jest to ostatnia liczba ze zbioru liczb należacych do tego ciagu.

7 l Zachodzi wzór lim a n b n a n + lim b n, bo logarytm iloczynu n n n równa się sumie logarytmów. m Po pomnożeniu obu stron równania przez x otrzymam: 1 sin x + 1 cos x = 1 1 sin + 1 cos = x. n Prawdziwa jest równoważność tg x < 1 x < π + kπ k Z. 4 o Nierówność wykładnicza jest różniczkowalna, więc możemy opuścić podstawy. p Po podzieleniu obu stron równania ctg x = 3 tg x przez tg x otrzymamy, że stała c równa się 3. q Dla każdego x > 0 funkcje f, g, h spełniaj a nierówności f x g x h x, ale lim f x lim h x. Zatem granica lim g x nie istnieje. r Zakładam, że tożsamość jest prawdziwa dla każdego n = 1. s Zadanie rozwi ażę metoda spekulacji. t Wyobraźmy sobie sześcian, który ma sześć tysięcy ścian. u Granic a ciagu nazywamy wartość, jaka osiaga funkcja przy dażeniu do końca przedziału. v Z niemożliwości matematycznego rozwi azania posłużyłam się logika. w Niech zdarzenie A oznacza, że czerwony tramwaj jedzie z prawej strony. Wtedy zdarzenie przeciwne do A oznacza, że niebieski tramwaj jedzie z przeciwnej strony. x Prawie wszystkie oznacza wszystkie, oprócz tych co nie należa. y W ten sposób pokazałem rodzicom, że nie nadaję się na studia. z Zachodzi tutaj zjawisko indukcji matematycznej. A Sam się dziwię, jak zdałem maturę. B Istnieje twierdzenie, niepotrzebne w zadaniu, które brzmi.... C Prawdopodobieństwo zdarzenia wynosi 1000! 999! 998!... 1!. D Rozumowania w rozwi azaniach zadania dotyczacego wieku trzech braci. W celu skorzystania z ostatniej informacji w zadaniu dodatkowo wprowadzam czwartego brata. Inny zadajacy otrzymałujemny wiek braci, jednak nie straciłgłowy i napisał: Najstarszy brat urodzi się za 6 lat, średni za 9 lat, a najmłodszy za 12 lat. E Układ równań jest nie do rozwi azania. F Pochodn a nazywamy granicę okresów ilorazowych.

8 G W trójkacie jeden kat ma 135 0, drugi ma także 135 0, a trzeci Ponieważ suma katów w tym trójkacie równa się 360 0, więc taki trójkat nie istnieje. H Gołym okiem widać, że funkcja f x = 2x 1 jest ściśle rosnaca. I Zadanie jest tak proste, że nie ma co rozwi azywać. J Oczywiście w praktyce wybiera się dużo mniejsze ε niż na rysunku. K Zakładamy, że nierówność jest prawdziwa dla dowolnej liczby naturalnej n. Pokażemy, że jest ona prawdziwa także dla liczby n + 1. L Proste l 1 i l 2 sa prostopadłe, gdy sa w stosunku. Z prac egzaminacyjnych wybrał: Zbigniew Skoczylas