Drgania. W Y K Ł A D X Ruch harmoniczny prosty. k m

Transkrypt

1 Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 119 W Y K Ł A D X Drgania. Drgania pojawiają się wtedy, gdy układ zostanie wytrącony ze stanu równowagi stabilnej. MoŜna przytoczyć szereg znanych przykładów: kołysząca się łódka na wodzie, wahadło zegara poruszające się tam i z powrotem, czy wibrujące struny instrumentów muzycznych. Inne, mniej znane przykłady to drgania cząsteczek powietrza w fali głosowej, lub drgania prądów elektrycznych w układach radiowych, czy telewizyjnych Ruch harmoniczny prosty. Powszechnym i bardzo waŝnym rodzajem ruchu drgającego jest ruch harmoniczny prosty, na przykład taki, jak ruch ciała połączonego ze spręŝyną ( Rysunek 11-1 ). W stanie równowagi spręŝyna nie wywiera Ŝadnej siły na ciało. Kiedy ciało jest przemieszczone o x z połoŝenia równowagi, wtedy spręŝyna wywiera siłę określoną prawem Hooke a : Równowaga Rysunek 11-1 F x = kx 11-1 gdzie k jest stałą spręŝystości spręŝyny, określającą sztywność spręŝyny. Znak minus wskazuje, Ŝe zwrot siły jest zawsze przeciwny do zwrotu wychylenia. Łącząc drugą zasadę dynamiki z równaniem 11-1 otrzymamy: F x = ma x lub d x kx = m dt a = 11- d x dt k = x m Przyspieszenie jest proporcjonalne do przemieszczenia i jest przeciwnie skierowane do niego. Jest to ogólna własność ruchu harmonicznego prostego i moŝe być uŝyta do rozpoznawania układów, które będą tak się zachowywać: JeŜeli przyspieszenie układu jest proporcjonalne do przemieszczenia i przeciwnie skierowane do tego przemieszczenia, to ciało wykonuje ruch harmoniczny prosty. Warunek ruchu harmonicznego prostego

2 Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 10 PoniewaŜ przyspieszenie jest proporcjonalne do siły wypadkowej, to zawsze gdy siła wypadkowa działająca na ciało jest proporcjonalna do przemieszczenia i przeciwnie skierowana, będziemy mieli do czynienia z ruchem harmonicznym prostym. Czas jaki jest potrzebny aby poruszające się ciało wykonało jedno pełną drganie wokół swojego połoŝenia równowagi nazywa się okresem T. Odwrotnością okresu jest częstotliwość f, która określa ilość wahnięć w jednostce czasu ( np. w ciągu jednej sekundy ): 1 f = 11-3 T Jednostką częstości jest odwrotność sekundy ( s -1 ) zwana hercem ( Hz ). Na przykład, jeŝeli czas jednego pełnego drgania wynosi 0,5s, to częstotliwość jest równa 4Hz. Rysunek 11- pokazuje jak moŝemy otrzymać eksperymentalnie zaleŝność wychylenia x w funkcji czasu w przypadku masy wiszącej na spręŝynie. Postać ogólna takiej krzywej jest następująca: Rysunek 11- gdzie ( ω + δ ) x = Acos t 11-4 Wychylenie w ruchu harmonicznym prostym A, ω i δ są stałymi. Maksymalne przemieszczenie z połoŝenia równowagi nazywa się amplitudą A. Argument funkcji kosinus początkowa zaleŝy od wyboru t = 0 zakładamy, Ŝe dla 0 ω t + δ nazywa się fazą drgań, a stała δ jest nazywana fazą początkową. Faza t = δ = 0. JeŜeli mamy do czynienia z jednym układem drgającym, to zwykle. JeŜeli mamy dwa układy drgające z tymi samymi amplitudami i częstościami, ale róŝnymi fazami początkowymi, to dla jednego z nich moŝemy wybraćδ = 0. Wtedy równania dla dwu drgających układów będą miały postać: i x 1 x = Acos ( ωt) = Acos t ( ω + δ ) Zwróć uwagę, Ŝe cos( ω t δ ) = sin( ωt + δ + π / ) +, dlatego czy równanie jest wyraŝone przez kosinus,czy sinus; zaleŝy to tylko od fazy początkowej drgań w chwili, którą przyjmujemy za t = 0.

3 Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 11 JeŜeli róŝnica faz początkowych δ wynosi 0 lub całkowitą wielokrotność π, to x = x1 i mówimy, Ŝe układy są w fazie ( mają zgodną fazę). JeŜeli róŝnica faz początkowych δ wynosi π lub nieparzystą wielokrotność π, to x = x1 i mówimy, Ŝe układy drgają w przeciwnych fazach. PokaŜemy, Ŝe równanie 11-4 jest rozwiązaniem równania 11-. W tym celu policzymy dwa razy pochodną x po czasie. Pierwsza pochodna daje nam wyraŝenie na prędkość : dx = = Aω sin t + dt ( ω δ ) v 11-5 Prędkość w ruchu harmonicznym prostym Licząc pochodną po czasie z prędkości otrzymujemy przyspieszenie: lub: dv d x = = = ω Acos t + dt dt a ( ω δ ) 11-6 a = ω x 11-7 Przyspieszenie w ruchu harmonicznym prostym Porównując a = ω x z a ( k / m)x rozwiązaniem d x / dt a = ( k / m)x = ( Równanie 11- ) widzimy, Ŝe = Acos( ω t + δ ) = jeŝeli: x jest = k m ω 11-8 Amplitudę A i fazę początkową δ moŝna określić poprzez podanie połoŝenia początkowego x 0 i prędkości początkowej v 0 układu. Podstawiając 0 t = do = Acos( ω t + δ ) x otrzymamy: x 0 = Acosδ 11-9 Podobnie podstawiając 0 t = do = dx / dt = Aω sin( ωt + δ ) v otrzymamy: v 0 = Aω sinδ Równania te moŝna rozwiązać i wyliczyć A i δ mając x 0 i v 0. Okres T jest czasem, po którym x powtarza się. Zatem: ( t) = x( t T ) cos( ω t + δ ) = Acos[ ω( t + T ) + δ ] = Acos( ωt + δ + ωt ) x + A Wartość funkcji kosinus (lub sinus) jest taka sama, jeŝeli faza zwiększa się o π, czyli

4 Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 1 lub ωt = π π ω = T Stała ω nazywa się częstością kątową. Jednostką jej jest radian na sekundę, a zatem tak samo jak w przypadku prędkości kątowej oznaczanej równieŝ ω. Częstotliwość jest odwrotnością okresu: PoniewaŜ ω = masą m następująco: 1 ω f = T π = k / m Definicja częstość, okres, częstość kątowa., to częstość i okres ciała ciała na spręŝynie są związane ze stałą spręŝystości k i f 1 1 = T π k m = 11-1 Częstotliwość i okres ciała na spręŝynie Widać, Ŝe częstość zwiększa się gdy wzrasta k (sztywniejsza spręŝyna) i maleje wraz ze zwiększaniem się masy. Rysunek 11-3 przedstawia dwie identyczne masy połączone z jednakowymi spręŝynami i początkowo spoczywającymi na gładkiej powierzchni. Jedna spręŝyna zostaje rozciągnięta o 10cm, a druga o 5cm. JeŜeli teraz obie masy zostaną puszczone jednocześnie, to która z nich pierwsza osiągnie połoŝenie równowagi? Zgodnie z równaniem 11-1 okres drgań zaleŝy tylko od k i m, a nie od amplitudy. PoniewaŜ k i m są jednakowe dla obu spręŝyn, to okres teŝ musi być jednakowy. W rezultacie obie masy dotrą do połoŝenia równowagi w tym samym czasie. Drugie ciało ma dwa razy dłuŝszą drogę do przebycia niŝ pierwsze, ale jego prędkość średnia teŝ jest dwa razy większa. Rysunek 11-4 przedstawia zaleŝność wychylenia od czasu dla obu tych ciał. Równowaga Rysunek 11-3 Masa Masa 1 Rysunek 11-4 PowyŜsza analiza prowadzi do waŝnej własności ruchu harmonicznego prostego:

5 Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 13 Częstotliwość i okres prostych drgań harmonicznych są niezaleŝne od amplitudy. Z faktu tego wynikają waŝne konsekwencje w wielu dziedzinach. Na przykład w muzyce, jeŝeli jakaś nuta powstaje poprzez uderzenie w klawisz pianina, to wysokość wydawanego dźwięku ( która odpowiada częstotliwości ) nie zaleŝy jak głośna zagrana jest ta nuta ( co odpowiada amplitudzie ). JeŜeli faza początkowa δ = 0, to równania 11-4, 11-5 i 11-6 przyjmą postać: x v Acosωt = 11-13a ωa sinωt = 11-13b a = ω Acosωt 11-13c Wykresy tych funkcji są przedstawione na rysunku Rysunek 11-5 Wykres x, v i a w funkcji czasu t dla δ = 0 t = 0. Dla przemieszczenie jest maksymalne, prędkość równa zero, a przyspieszenie ujemne i równe ω A. Prędkość staje się ujemna gdy ciało porusza się z powrotem w kierunku poło Ŝenia równowagi. Po czasie równym jednej czwartej okresu ( t = T/4) ciało osiąga połoŝenie równowagi: x = 0, a = 0, a prędkość osiąga swoją ma ksymalną wartość ωa. Po czasie t = T/ przemieszczenie jest równe A, prędkość jest ponownie równa zero, a przyspieszenie osiąga wartość +ω A. Dla t = 3T/4, x = 0, a = 0 i v = +ωa 11- Energia w ruchu harmonicznym prostym. Kiedy ciało wykonuje ruch harmoniczny prosty, energia potencjalna i kinetyczna układu zmienia się w czasie. Jednak ich suma działa siła spręŝystości E = K + U jest stała. RozwaŜmy ciało w odległości x od połoŝenia równowagi, na które kx 1 U = kx. Energia potencjalna układu jest równa: Jest to równanie 6-3. Dla ruchu harmonicznego prostego x = Acos( ω t + δ ). Podstawienie daje: 1 U = ka cos t Energia kinetyczna układu wynosi: 1 K = mv ( ω + δ ) Energia potencjalna ruchu harmonicznego prostego gdzie m jest masą ciała, a v jego prędkością. Dla ruchu harmonicznego prostego = Aω sin( ωt + δ ) v.

6 Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 14