Obliczenia iteracyjne

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Obliczenia iteracyjne"

Transkrypt

1 Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej zmiennej różni to, że zwykłe zmienne mogą przyjmować jedynie jedną wartość. Zmienne iteracyjne natomiast przyjmują wiele wartości z pewnego zakresu z określonym stałym krokiem. Krok, z jakim zmienna iteracyjna przyjmuje wartości z danego przedziału może być domyślnie jeden, lub też możemy go dowolnie zdefiniować. W obliczeniach, gdy użyjemy w wyrażeniu zmiennej iteracyjnej, MathCad oblicza wartość wyrażenia dla każdej wartości zmiennej iteracyjnej z definiowanego przedziału. Definiując zmienną iteracyjną korzystamy z klawisza ; lub z menu "Calculator Toolbar", przycisk m..n. W każdym z tych przypadków uzyskamy.., będącym zaproszeniem do wpisania dolnej (znacznik po lewej stronie..) i górnej (znacznik po prawej stronie..) granicy definiowanej zmiennej. Definicja zmiennej iteracyjnej musi zawierać: (i) nazwę zmiennej; (ii) znak : lub ; (iii) poprawnie określony zakres zmian dla zmiennej iteracyjnej. j :.. piszemy: j:; Ten zapis oznacza, że zmienna j przyjmuje wartości,,,,,. Czyli kolejne wartości z przedziału od do z domyślnym krokiem. j k :,... Piszemy k:,.; Ten zapis oznacza, że zmienna k przyjmuje kolejne wartości od do z krokiem wyliczonym jako różnica dwóch pierwszych liczb, czyli krok wynosi. -. k Jeśli użyjemy zmiennej iteracyjnej, MathCad przeprowadzi obliczenia dla każdej wartości tej zmiennej zawartej w definiowanym przedziale. Jednym z możliwych zastosowań zmiennej iteracyjnej jest niejawne definiowanie (wypełnianie elementów) wektora lub macierzy...

2 Lekcja Strona z xt j : j + Piszemy xt[j:^{spacja}+ W tym przypadku MathCad oblicza kolejne elementy wektora xt j począwszy od indeksu, a skończywszy na indeksie dla każdej wartości j zgodnie z podaną formułą. xt j Uwaga! Nie można definiować zmiennych iteracyjnych w oparciu o inne zmienne iteracyjne. Zapis i:j+, gdzie j jest wcześniej zdefiniowaną zmienną iteracyjną jest błędny i prowadzi do wygenerowania przez MathCad odpowiedniego komunikatu. i : j + Definiując zmienne iteracyjne, do podawania zakresu zmian, używać możemy zarówno liczb jak i innych wcześniej zdefiniowanych zmiennych. Zmienne iteracyjne definiować możemy zarówno jako rosnące jak i malejące. N Zmienna kk zmienia się malejąco Zmienna kk zmienia się rosnąco : kk : N, N.. kk :,.. N kk kk Zmienne iteracyjne pozwalają na tablicowanie funkcji, oraz wyświetlanie zawartości tablic etapami. Chcąc wyświetlić elementy tablicy możemy skorzystać z zmiennej indeksowanej lub nie indeksowanej. Tablicujemy funkcję sin(x) Wartości funkcji sin(x) zapisujemy w wektorze xp. Wektor xp zawiera wartości funkcji sin(x) dla x należącego do przedziału [,π] i zmieniającego się z krokiem π/. xp i sin i π i :.. : ii :,....

3 Lekcja Strona z Wyświetlamy wszystkie elementy wektora xp i Stosujemy zmienne indeksowane Wyświetlamy co drugi element wektora xp xp i xp ii ii Stosujemy zmienną nie indeksowaną Jeżeli stosujemy nazwę wektora bez indeksów, nasze działania dotyczą wszystkich elementów wektora. xp Wielokrotne przedziały zmiennych. Podwójne indeksy dolne Jeżeli w równaniu użyjemy dwóch lub więcej przedziałów zmiennych (zmiennych iteracyjnych) MathCad wykona obliczenia dla każdej wartości z każdego przedziału zmian oddzielnie. Można to wykorzystać przy definiowaniu macierzy. Kolejność definiowania zmiennych iteracyjnych (indeksów w macierzy) nie ma wpływu na przebieg obliczeń. Należy tylko pamiętać, że MathCad przyjmuje domyślną numerację wierszy i kolumn od (zera). j i :.. :.. xx ij, : i + j xx Kolejnym elementom macierzy xx nadawane są wartości i+j. Macierz xx wypełniana jest wierszami od góry yy ii, : i yy Miejsca w wektorze lub macierzy, które nie zostaną przez nas zdefiniowane, MathCad wypełni zerami..

4 Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Obliczenia iteracyjne polegają na wykonaniu obliczeń dla zmiennej przyjmującej wartości z danego przedziału z określonym krokiem. r N : i :.. N r i : cos Θ i + x i : r i cos Θ i y i : r i sin Θ i π Θ i : N i Ten zapis oznacza, że zmienna Θ przyjmuje N wartości z przedziału [,*π] z założonym krokiem π/n. x y Sposób postępowania jest następujący: tworzymy zmienną iteracyjną i, a następnie obliczamy Θ i r oraz x i y. W tym przykładzie zmienną iteracyjną jest i przyjmujące wartości całkowitych z przedziału od do N. Podobny efekt jak powyżej uzyskać można stosując operator wektoryzacji r : cos( Θ) + x : r cos( Θ) y : r sin( Θ) r.... x y

5 Lekcja Strona z Zamiast używać zmiennej iteracyjnej przyjmującej wartości całkowite, zastosować możemy zmienną iteracyjną przyjmującą wartości ułamkowe. W tym przypadku zamiast wektorów wygodniej jest użyć funkcji N : cos( Θ) + r Θ ΘΘ ΘΘ :, π.. π N : x Θ r( ΘΘ) r( Θ) cos ( Θ ) : y Θ x( ΘΘ) y( ΘΘ) : r( Θ) sin ( Θ ) Iteracja rekurencyjna Iteracja rekurencyjna jednej zmiennej. W tym przypadku należy ustalić pierwszy element układu, a następnie obliczyć następne, bazujące na wcześniejszych wynikach. Algorytm Newtona znajdywania pierwiastka kwadratowego zadanej liczby a a : Definiujemy liczbę a N : i :.. N Definiujemy liczbę kroków iteracyjnych N pierw : a Definiujemy wartość startową procedury iteracyjnej pierw i + pierw i+ : a pierw i Obliczamy kolejne przybliżenia pierwiastka kwadratowego z liczby a..

6 Lekcja Strona z Sprawdzenie obliczeń i pierw i ( pierw i ). ( pierw i ) a Zmieniając wartość zmiennej a przeprowadzić obliczenia sprawdzając jak wielkość liczby a wpływa na szybkość uzyskania poprawnego przybliżenia Należy zwrócić uwagę na to, że wartość początkowa zdefiniowana jest jako zerowy element ciągu rozwiązań. Każde nowe przybliżenie zdefiniowane jest w oparciu o poprzednio obliczony element. Ta zależność kolejnych rozwiązań od poprzednio obliczonych jest charakterystyczna dla iteracji rekurencyjnej. Iteracja rekurencyjna kilka zmiennych Korzystając z wektorów i macierzy definiować można obliczenia iteracji rekurencyjnej realizowane równocześnie dla kilku zmiennych. Pozwala to na równoczesne rozwiązywanie układów równań przyrostowych. W przypadku obliczeń iteracyjnych dla pojedynczych równań, obliczenia wykonywane są niezależnie i kolejno dla każdego z tych równań. Stosując wektory i macierze. obliczenia dla kilku równań wykonywane są równocześnie. Prowadzimy obliczenia równocześnie dla wszystkich czterech równań N : t :.. N i s d r : i t+ s t+ d t+ r t+ : s t. s t d t + r t + i t. s t. i t. i t i t W powyższym układzie równań indeksy dolne t+ znajdują się po lewej stronie znaku równości, natomiast po prawej indeksy t. MathCad najpierw oblicza wartość wyrażeń po prawej stronie, a następnie podstawia pod zmienne zapisane po stronie lewej...

7 Lekcja Strona z Wyniki obliczeń t i t s t d t r t Proszę sprawdzić, czy jest możliwe rozwiązanie tego problemu jako cztery niezależne równania. Iteracja rekurencyjna wektora Podobnie jak dla pojedynczych zmiennych iterację rekurencyjną można przeprowadzać na całych wektorach. W tym przypadku mając dany wektor startowy kolejny obliczamy wykorzystując z wektora poprzedniego. W obliczeniach korzystamy z indeksów górnych. Sposób postępowania jest następujący:. Definiujemy tzw. macierz przejścia od jednego wektora do drugiego;. Definiujemy wektor początkowy z indeksem górnym <>;. Definiujemy zmienną iteracyjną określającą liczbę iteracji;. Definiujemy regułę rekurencyjną korzystając z indeksów górnych;. Wyświetlamy wynik obliczeń. Macierz przejścia: A : Wektor początkowy: Liczba iteracji: v : k :.. Reguła rekurencyjna: v k : Av k..

8 Lekcja Strona z Wyniki: v Operator z indeksem górnym określa jedną kolumnę macierzy. Definiując każdą kolumnę k v jako funkcję v k właściwie definiujemy kolejne kolumny macierzy jako funkcję poprzednich. W efekcie uzyskujemy macierz, w której kolejne kolumny stanowią kolejne przybliżenia naszych obliczeń. Jednostki i wymiary w obliczeniach iteracyjnych Jednostek używać możemy również w przypadku zmiennych iteracyjnych, wektorów i macierzy. Jeżeli wynik w tablicy ma jakiś wymiar MathCad pokaże jednostkę wymiaru dla każdej wartości w tablicy. Jeżeli uważamy to za niepożądane, to wynik taki należy podzielić przez jednostkę. φ : deg, deg.. deg fx : cos( x) sin( φ) f( φ).... t : sec, sec.. sec g : m. sec ft () g t : ft ()..... m ft () m

9 Lekcja Strona z Problemy do samodzielnego rozwiązania Wykonać obliczenia dla następujących formuł rekurencyjnych:. F(), F(), F(N) F(N-) + F(N-);. F(), F(N) F(N-) * N;. F(), F(N) + /F(N-);. F(), F(N) N + F(N-). Tablicować funkcje x. ( x x) x, dla x zmieniającego się od. do z krokiem.;. x x +, dla x zmieniającego się od do z krokiem ;. x. f( x). f α. x + x, dla x zmieniającego się od - do z krokiem / : sin( x) cot( x) acos( x), dla x zmieniającego się od -π do π z krokiem π/; x :, dla x zmieniającego się od do π z krokiem π/; cot α x x x + x x + + x x x, dla x zmieniającego się od do z krokiem π/ Metoda Eulera rozwiązywanie równań różniczkowych postaci x i x i h d dt x fx ma postać fx, gdzie x.i oraz x.i- są kolejnymi przybliżeniami rozwiązania, a h krokiem całkowania, zwykle h <.. Znaleźć rozwiązanie następujących równań: d. dt x e x, x.o ;.. d dt x d dt x x, x. ; sin( x), x....

WEKTORY I MACIERZE. Strona 1 z 11. Lekcja 7.

WEKTORY I MACIERZE. Strona 1 z 11. Lekcja 7. Strona z WEKTORY I MACIERZE Wektory i macierze ogólnie nazywamy tablicami. Wprowadzamy je:. W sposób jawny: - z menu Insert Matrix, - skrót klawiszowy: {ctrl}+m, - odpowiedni przycisk z menu paska narzędziowego

Bardziej szczegółowo

Numeryczne rozwiązywanie równań i układów równań

Numeryczne rozwiązywanie równań i układów równań Lekcja Strona z 2 Numeryczne rozwiązywanie równań i układów równań Rozwiązywanie pojedynczego równania - funkcja root Do rozwiązywania jednego równania z jedną niewiadomą służy funkcja root(f(z), z), gdzie:

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do programu Mathcad 15 cz. 1

Wprowadzenie do programu Mathcad 15 cz. 1 Wpisywanie tekstu Wprowadzenie do programu Mathcad 15 cz. 1 Domyślnie, Mathcad traktuje wpisywany tekst jako wyrażenia matematyczne. Do trybu tekstowego można przejść na dwa sposoby: Zaczynając wpisywanie

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje

Bardziej szczegółowo

Wykresy. Lekcja 10. Strona 1 z 11

Wykresy. Lekcja 10. Strona 1 z 11 Lekcja Strona z Wykresy Wykresy tworzymy:. Z menu Insert Graph i następnie wybieramy rodzaj wykresu jaki chcemy utworzyć;. Z menu paska narzędziowego "Graph Toolbar" wybierając przycisk z odpowiednim wykresem;

Bardziej szczegółowo

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej 15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

Obliczenia Symboliczne

Obliczenia Symboliczne Lekcja Strona z Obliczenia Symboliczne MathCad pozwala na prowadzenie obliczeń zarówno numerycznych, dających w efekcie rozwiązania w postaci liczbowej, jak też obliczeń symbolicznych przeprowadzanych

Bardziej szczegółowo

Edycja wyrażeń, definiowanie zmiennych i funkcji

Edycja wyrażeń, definiowanie zmiennych i funkcji Strona z Edycja wyrażeń, definiowanie zmiennych i funkcji Kursory Krzyżyk - - pozwala umiejscowić równanie, wykres lub pole tekstowe na stronie. Punkt wstawienia - - "pionowa kreska" - używany do edycji

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1) ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do Mathcada 1

Wprowadzenie do Mathcada 1 Wprowadzenie do Mathcada Ćwiczenie. - Badanie zmienności funkcji kwadratowej Ćwiczenie. pokazuje krok po kroku tworzenie prostego dokumentu w Mathcadzie. Dokument ten składa się z następujących elementów:.

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI.

OBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI. OBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH. ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH. Obliczanie pochodnych funkcji. Niech będzie dana funkcja y(x określona i różniczkowalna na przedziale

Bardziej szczegółowo

Kubatury Gaussa (całka podwójna po trójkącie)

Kubatury Gaussa (całka podwójna po trójkącie) Kubatury Gaussa (całka podwójna po trójkącie) Całka podwójna po trójkącie Dana jest funkcja dwóch zmiennych f (x, y) ciągła i ograniczona w obszarze trójkątnym D. Wierzchołki trójkąta wyznaczają punkty

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3 ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +

Bardziej szczegółowo

METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Jednym z zastosowań metod numerycznych jest wyznaczenie pierwiastka lub pierwiastków równania nieliniowego. W tym celu stosuje się szereg metod obliczeniowych np:

Bardziej szczegółowo

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje elementarne

1 Funkcje elementarne 1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N

Bardziej szczegółowo

Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014

Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014 Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), Analiza Matematyczna I W rozwiązaniach prosimy formułować lub nazywać wykorzystywane twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski oraz

Bardziej szczegółowo

. Funkcja ta maleje dla ( ) Zadanie 1 str. 180 b) i c) Zadanie 2 str. 180 a) i b)

. Funkcja ta maleje dla ( ) Zadanie 1 str. 180 b) i c) Zadanie 2 str. 180 a) i b) Lekcja 1 -. Lekcja organizacyjna kontrakt diagnoza i jej omówienie Podręcznik: W. Babiański, L. Chańko, D. Ponczek Matematyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres materiału: Funkcje kwadratowe Wielomiany

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 4A/15 Liczby Fibonacciego Spośród ciągów zdefiniowanych rekurencyjnie, jednym z najsłynniejszych jest ciąg Fibonacciego (z roku 1202)

Bardziej szczegółowo

Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 3: jak liczy kalkulator i o źródłach chaosu

Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 3: jak liczy kalkulator i o źródłach chaosu Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 3: jak liczy kalkulator i o źródłach chaosu P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy 2011-12 P.

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe. Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

2. Równania nieliniowe i ich uk lady

2. Równania nieliniowe i ich uk lady Metoda Newtona stycznych dla równania f(x) 0: x n+ x n f(x n) f (x n ) Chcemy rozwia ι zać uk lad N równań dla N niewiadomych f (x,x,,x N ) 0 f (x,x,,x N ) 0, f N (x,x,,x N ) 0 krócej: Czy jest jakaś analogia?

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku Egzamin pisemny zestaw czerwca 0 roku Imię i nazwisko:.... ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x

Bardziej szczegółowo

Laboratorium nr 1. i 2.

Laboratorium nr 1. i 2. Laboratorium nr 1. i 2. Celem laboratorium jest zapoznanie się ze zintegrowanym środowiskiem programistycznym, na przykładzie podstawowych aplikacji z obsługą standardowego wejścia wyjścia, podstawowych

Bardziej szczegółowo

Wartości i wektory własne

Wartości i wektory własne Dość często przy rozwiązywaniu problemów naukowych czy technicznych pojawia się konieczność rozwiązania dość specyficznego układu równań: Zależnego od n nieznanych zmiennych i pewnego parametru. Rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Elementy algebry liniowej. Macierze i wyznaczniki. Ciągi liczbowe, granica ciągu i granica funkcji, rachunek granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

(mniejszych od 10 9 ) podanych przez użytkownika, wypisze komunikat TAK, jeśli są to liczby bliźniacze i NIE, w przeciwnym przypadku.

(mniejszych od 10 9 ) podanych przez użytkownika, wypisze komunikat TAK, jeśli są to liczby bliźniacze i NIE, w przeciwnym przypadku. Zadanie 1 Już w starożytności matematycy ze szkoły pitagorejskiej, którzy szczególnie cenili sobie harmonię i ład wśród liczb, interesowali się liczbami bliźniaczymi, czyli takimi parami kolejnych liczb

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

III TUTORIAL Z METOD OBLICZENIOWYCH

III TUTORIAL Z METOD OBLICZENIOWYCH III TUTORIAL Z METOD OBLICZENIOWYCH ALGORYTMY ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH Opracowanie: Agata Smokowska Marcin Zmuda Trzebiatowski Koło Naukowe Mechaniki Budowli KOMBO Spis treści: 1. Wstęp do

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str

FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str. 178-180. Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski

Metody numeryczne. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski Metody numeryczne Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski Elektrotechnika stacjonarne-dzienne pierwszego stopnia

Bardziej szczegółowo

Przykład 2 układ o rozwiązaniu z parametrami. Rozwiążemy następujący układ równań:

Przykład 2 układ o rozwiązaniu z parametrami. Rozwiążemy następujący układ równań: Przykład 2 układ o rozwiązaniu z parametrami Rozwiążemy następujący układ równań: Po zapisaniu układu w postaci macierzy rozszerzonej będziemy dążyć do uzyskania macierzy jednostkowej po lewej stronie

Bardziej szczegółowo

Podstawy Programowania C++

Podstawy Programowania C++ Wykład 3 - podstawowe konstrukcje Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2014 Wstęp Plan wykładu Struktura programu, instrukcja przypisania, podstawowe typy danych, zapis i odczyt danych, wyrażenia:

Bardziej szczegółowo

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY Ac λ c (*) ( A λi) c nietrywialne rozwiązanie gdy det A λi problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej A - macierzowa

Bardziej szczegółowo

Typy danych. 2. Dane liczbowe 2.1. Liczby całkowite ze znakiem i bez znaku: 32768, -165, ; 2.2. Liczby rzeczywiste stało i zmienno pozycyjne:

Typy danych. 2. Dane liczbowe 2.1. Liczby całkowite ze znakiem i bez znaku: 32768, -165, ; 2.2. Liczby rzeczywiste stało i zmienno pozycyjne: Strona 1 z 17 Typy danych 1. Dane tekstowe rozmaite słowa zapisane w różnych alfabetach: Rozwój metod badawczych pozwala na przesunięcie granicy poznawania otaczającego coraz dalej w głąb materii: 2. Dane

Bardziej szczegółowo

Baltie 3. Podręcznik do nauki programowania dla klas I III gimnazjum. Tadeusz Sołtys, Bohumír Soukup

Baltie 3. Podręcznik do nauki programowania dla klas I III gimnazjum. Tadeusz Sołtys, Bohumír Soukup Baltie 3 Podręcznik do nauki programowania dla klas I III gimnazjum Tadeusz Sołtys, Bohumír Soukup Czytanie klawisza lub przycisku myszy Czytaj klawisz lub przycisk myszy - czekaj na naciśnięcie Polecenie

Bardziej szczegółowo

Geomatyka02 Wczytanie danych, obliczenie długości, azymutu i kąta ze współrzędnych. Przygotowanie do pracy

Geomatyka02 Wczytanie danych, obliczenie długości, azymutu i kąta ze współrzędnych. Przygotowanie do pracy Przygotowanie do pracy 1. Utwórz nowy dokument Excela. 2. Plik zapisz pod nazwą N-C1-Geom02-NazwiskoImię.xls (zmieniając N na S w przypadku studiów stacjonarnych, C1 na odpowiedni numer grupy, NazwiskoImię

Bardziej szczegółowo

Zadania rachunkowe z termokinetyki w programie Maxima

Zadania rachunkowe z termokinetyki w programie Maxima Zadania rachunkowe z termokinetyki w programie Maxima pliku, polecenia do wpisywania w programie Maxima zapisane są czcionką typu: zmienna_w_maximie: 10; inny przykład f(x):=x+2*x+5; Problem 1 komorze

Bardziej szczegółowo

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji

Bardziej szczegółowo

Rys.1. Technika zestawiania części za pomocą polecenia WSTAWIAJĄCE (insert)

Rys.1. Technika zestawiania części za pomocą polecenia WSTAWIAJĄCE (insert) Procesy i techniki produkcyjne Wydział Mechaniczny Ćwiczenie 3 (2) CAD/CAM Zasady budowy bibliotek parametrycznych Cel ćwiczenia: Celem tego zestawu ćwiczeń 3.1, 3.2 jest opanowanie techniki budowy i wykorzystania

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych ( )

Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych ( ) Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych Równanie różniczkowe jest to równanie, w którym występuje pochodna (czyli różniczka). Przykładem najprostszego równania różniczkowego może być: y ' = 2x które

Bardziej szczegółowo

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji. 0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Równania nieliniowe. Janusz Szwabiński.

Metody numeryczne. Równania nieliniowe. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl nm_slides-9.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 7/1/2003 20:18 p.1/64 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym

Bardziej szczegółowo

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 3 ALGORYTMY OBLICZENIOWE W ELEKTRONICE I TELEKOMUNIKACJI. Wprowadzenie do środowiska Matlab

LABORATORIUM 3 ALGORYTMY OBLICZENIOWE W ELEKTRONICE I TELEKOMUNIKACJI. Wprowadzenie do środowiska Matlab LABORATORIUM 3 ALGORYTMY OBLICZENIOWE W ELEKTRONICE I TELEKOMUNIKACJI Wprowadzenie do środowiska Matlab 1. Podstawowe informacje Przedstawione poniżej informacje maja wprowadzić i zapoznać ze środowiskiem

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Zdania proste i złożone

Elementy logiki. Zdania proste i złożone Elementy logiki Zdania proste i złożone. Jaka jest wartość logiczna następujących zdań: (a) jest dzielnikiem 7 lub suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 80. (b) Jeśli sin 0 =, to 5 < 5. (c) Równanie

Bardziej szczegółowo

Dokąd on zmierza? Przemieszczenie i prędkość jako wektory

Dokąd on zmierza? Przemieszczenie i prędkość jako wektory A: 1 OK Muszę to powtórzyć... Potrzebuję pomocy Dokąd on zmierza? Przemieszczenie i prędkość jako wektory Łódź żegluje po morzu... Płynie z szybkością 10 węzłów (węzeł to 1 mila morska na godzinę czyli

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

Całkowanie numeryczne

Całkowanie numeryczne Całkowanie numeryczne Nie zawsze możliwe jest wyznaczenie analitycznego wzoru będącego wynikiem całkowania danej funkcji f(x). Praktycznie zawsze możne jednak wyznaczyć całkę oznaczoną funkcji przy podanych

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d

Matematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d C. Bagiński Materiały dydaktyczne 1 Matematyka Dyskretna /008 rozwiązania 1. W każdym z następujących przypadków podać jawny wzór na s n i udowodnić indukcyjnie jego poprawność: (a) s 0 3, s 1 6, oraz

Bardziej szczegółowo

Po zapoznaniu się z funkcją liniową możemy przyjśd do badania funkcji kwadratowej.

Po zapoznaniu się z funkcją liniową możemy przyjśd do badania funkcji kwadratowej. Po zapoznaniu się z funkcją liniową możemy przyjśd do badania funkcji kwadratowej. Definicja 1 Jednomianem stopnia drugiego nazywamy funkcję postaci: i a 0. Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych

Bardziej szczegółowo

x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. x a 1 = x a 2 ( a 1) = x 1 = 1 x.

x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. x a 1 = x a 2 ( a 1) = x 1 = 1 x. Zestaw. Funkcja potęgowa, wykładnicza i logarytmiczna. Elementarne równania i nierówności. Przykład 1. Wykonać działanie x a x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. Rozwiązanie. Niech

Bardziej szczegółowo

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

Programowanie w języku C++ Grażyna Koba

Programowanie w języku C++ Grażyna Koba Programowanie w języku C++ Grażyna Koba Kilka definicji: Program komputerowy to ciąg instrukcji języka programowania, realizujący dany algorytm. Język programowania to zbiór określonych instrukcji i zasad

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do Scilab: macierze

Wprowadzenie do Scilab: macierze Wprowadzenie do Scilab: macierze Narzędzia Informatyki Magdalena Deckert Izabela Szczęch Barbara Wołyńska Bartłomiej Prędki Politechnika Poznańska Instytut Informatyki Agenda Definiowanie macierzy Funkcje

Bardziej szczegółowo

Microsoft EXCEL SOLVER

Microsoft EXCEL SOLVER Microsoft EXCEL SOLVER 1. Programowanie liniowe z wykorzystaniem dodatku Microsoft Excel Solver Cele Po ukończeniu tego laboratorium słuchacze potrafią korzystając z dodatku Solver: formułować funkcję

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne w przykładach

Metody numeryczne w przykładach Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0 Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................

Bardziej szczegółowo

Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne)

Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne) Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne) Przygotował: Dr inż. Wojciech Artichowicz Katedra Hydrotechniki PG Zima 2014/15 1 TABLICE ROZKŁADÓW... 3 ROZKŁAD

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do Scilab: macierze

Wprowadzenie do Scilab: macierze Wprowadzenie do Scilab: macierze Narzędzia Informatyki Magdalena Deckert Izabela Szczęch Barbara Wołyńska Bartłomiej Prędki Politechnika Poznańska Instytut Informatyki Agenda Definiowanie macierzy Funkcje

Bardziej szczegółowo

Lekcja 2. Pojęcie równania kwadratowego. Str Teoria 1. Równaniem wielomianowym nazywamy równanie postaci: n

Lekcja 2. Pojęcie równania kwadratowego. Str Teoria 1. Równaniem wielomianowym nazywamy równanie postaci: n Lekcja 1. Lekcja organizacyjna kontrakt. Podręcznik: A. Ceve, M. Krawczyk, M. Kruk, A. Magryś-Walczak, H. Nahorska Matematyka w zasadniczej szkole zawodowej. Wydawnictwo Podkowa. Zakres materiału: Równania

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo