POCHODNE. dr Sławomir Brzezowski

Transkrypt

1 POCHODNE dr Sławomir Brzezowski Instytut Fizyki im Mariana Smoluchowskiego Uniwersytet Jagielloński Zawarte w tym opracowaniu materiały przeznaczone są do wspomagania pracy studentów w czasie zajęć laboratoryjnych w I Pracowni Fizycznej IF UJ

2 Bez pojęcia pochodnej nie da się uprawiać fizyki, z czego przyrodnicy zdali sobie sprawę juŝ w wieku XVII tak więc moŝna powiedzieć, Ŝe jest to temat bardzo stary NiŜej znajdą Państwo krótki, wykład o pochodnych Pochodna przedstawiona jest poglądowo; za kilka miesięcy Wasz wykladowca matematyki zapewne przedstawi to zagadnienie bardziej eleganckim językiem Wyobraźmy sobie funkcję f ( ), którą da się opisać gładkim wykresem Pod pojęciem gładki przyjmiemy prowizorycznie wykres o płynnych zakrętach, pozbawiony ostrych załamań (bo matematycy ujmują to inaczej) Spróbujmy teraz zdefiniować jakąś wielkość, która będzie zdawała sprawę z szybkości zmieniania się wartości funkcji f ( ), gdy zmienia się Przesuwamy się więc wzdłuŝ osi o niewielki odcinek i obserwujemy, jak zmienia się wartość funkcji Niech przyrost funkcji nad odcinkiem wyniesie f f Na podstawie rysunków moŝemy stwierdzić, Ŝe iloraz jest duŝy tam, gdy wykres funkcji stromo się podnosi (lewy rysunek), i jest mały w tych okolicach osi, gdzie wykres jest prawie poziomy (prawy rysunek) Chcąc uchwycić ilościowo nachylenie wykresu nad wybranym punktem f, naleŝy obliczyć wielkość bardzo małego przedziału zawierającego punkt, a najlepiej rozwaŝyć granicę ( + ) f ( ) f f lim 0 0 Symbol f zastępującym pełny zapis granicy ilorazu po prawej stronie ostatniej równości jest uzasadnionym umownym znakiem drukarskim dla, stojący po stronie lewej: w rachunku róŝniczkowym, którego elementy tu poznajemy, symbol d umieszczony przed dowolną wielkością oznacza bowiem nieskończenie f mały przyrost tej wielkości Występującą w definicji pochodnej wielkość Zamiast symbolu uŝywa się często zapisu f nazwano ilorazem róŝnicowym Oczywiście przejście graniczne 0 wykonać naleŝy w ten sposób, aby zmierzający do zera przedział wciąŝ zawierał w sobie punkt MoŜna się na przykład umówić, aby przedział rozciągał się od punktu do punktu + RozwaŜając (w wyobraźni) coraz mniejsze przedziały, zrozumiemy, Ŝe dr Sławomir Brzezowski

3 szukana granica równa jest tangensowi kąta ϕ nachylenia stycznej do wykresu funkcji nad punktem (rysunek poniŝej) nazywamy pochodną funkcji f ( ) po zmiennej Pochodna funkcji f teŝ jest funkcją zmiennej, co łatwo stwierdzić patrząc na rysunek: nachylenie wykresu nad punktem zaleŝy od wyboru tego punktu Zanim udowodnimy kilka poŝytecznych twierdzeń pomocnych w obliczaniu pochodnych, znajdziemy pochodne kilku prostych funkcji Zacznijmy od funkcji stałej: RozwaŜaną tu granicę ( ) f C Wykres tej funkcji jest oczywiście prostą linią poziomą Kąt ϕ wynosi więc w tym wypadku zero (dla tg 0 ) Obliczmy teraz pochodną funkcji liniowej kaŝdej wartości ), czyli pochodna ze stałej wynosi zero (bo 0 f ( ) a + b Wykres funkcji jest w tym przypadku linią prostą (zwykle nachyloną) Kąt nachylenia stycznej do wykresu tej funkcji (styczna pokrywa się tu z wykresem funkcji) jest wszędzie taki sam i jego tangens jak wiemy ze szkoły wynosi a JuŜ tylko dla ćwiczenia obliczamy: d ( a + b) ( a + b) W szczególności dla funkcji ( ) f Obliczmy jeszcze pochodną z funkcji ( ) [ a( + ) + b] [ a + b] a 0 otrzymamy : ( ) ( ) d ( ) ( ) 0 i pochodną dowolnej potęgi ( ) f n dla naturalnego wykładnika n : n n n n n n ( ) ( + ) + n + n n 0 0 dr Sławomir Brzezowski 3

4 Umownym symbolem oznaczyliśmy sumę wszystkich składników wyraŝenia ( + ) n, oprócz dwóch jawnie wypisanych Obliczając iloczyn ( + ) n ( + )( + ) ( + ) łatwo się przekonać, Ŝe składniki wyraŝenia są proporcjonalne do przyrostu podniesionego do drugiej lub wyŝszej potęgi, co prowadzi do powyŝszego wyniku MoŜna pokazać, Ŝe wyprowadzony przez nas wzór n ( ) n n jest prawdziwy dla dowolnych (niekoniecznie naturalnych) liczb n, czyli na przykład 3 ( ) Na koniec obliczymy pochodne funkcji sinus i kosinus: ( sin ) sin 0 ( + ) cos sin cos sin 0 Musimy więc zbadać dwie granice: sin sin cos + cos sin sin 0 lim sin δ δ 0 δ oraz lim cos δ δ 0 δ Zacznijmy od tej pierwszej Jak wiadomo, dla małego kąta δ jego sinus upodabnia się do samego kąta wyraŝonego w mierze łukowej Dlatego lim sin δ δ 0 δ Dla obliczenia drugiej granicy posłuŝymy się rysunkiem, na którym pokazano fragment wykresu funkcji cosδ w okolicy punktu δ 0 Szukamy granicy stosunku długości dwóch odcinków AB lim tgβ 0 β 0 BC β 0 Ostatecznie mamy więc: (sin ) cos Podobne rozumowanie prowadzi do wzoru (cos ) sin Pominiemy wyprowadzenia następujących pochodnych: dr Sławomir Brzezowski 4

5 a a ln a, ln +, ( ) ( ) ( ) ( ) ln Przejdźmy teraz do funkcji bardziej skomplikowanych Okazuje się, Ŝe obliczanie pochodnych takich funkcji moŝliwe jest po udowodnieniu dodatkowych trzech ogólnych wzorów Pochodna sumy funkcji jest sumą pochodnych tych funkcji f ( g) f + g Dowód: + Obliczamy granicę ilorazu róŝnicowego ( + g) [ f ( + ) + g( + ) ] [ f ( ) + g( ) ] d f 0 f ( + ) f ( ) g( + ) g( ) + lim dg, cbdo Pochodna iloczynu funkcji ma postać (tzw wzór Leibniza) f [ ( ) g( ) ] f g + fg Dowód: Badamy granicę ilorazu róŝnicowego lim 0 f ( + ) g( + ) f ( ) g( ) w liczniku dodajemy zero lim 0 f ( + ) g( + ) f ( ) g( + ) + f ( ) g( + ) f ( ) g( ) f ( + ) f ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) g( + ) + lim f ( ) g g ( ) + ( ) g f dg 0 0, ( ) g 3 Pochodna funkcji złoŝonej (Przykład: funkcja sin( ) z funkcją f ( g) sin g ) jest złoŝeniem funkcji potęgowej cbdo dr Sławomir Brzezowski 5

6 f [ ( g( ) )] dg dg Dowód: Obliczamy granicę f f g f g dg lim lim 0 0 g g 0 g o dg, cbdo g (Na przykład [ sin( )] [ cos( )][ ] cos( ) Korzystając z wyŝej wyprowadzonych wzorów moŝna latwo pokazać, Ŝe f ( ) f g fg g( ) g Wystarczy potraktować ułamek po lewej stronie jako iloczyn dwóch funkcji: funkcji ( ) ( ), z zastosowaniem zasad roŝniczkowania funkcji złoŝonej w odniesieniu do funkcji ( ( ) ) ) f i funkcji g Jako ćwiczenie naleŝy napisac sobie kilka coraz bardziej skomplikowanych funkcji i obliczyć ich pochodne Okaze się, Ŝe kilka podanych tu wzorow wystarczy do obliczenia pochodnej kaŝdej funkcji Przyklad: f + sin a Obliczamy pochodną funkcji ( ) Na wstępie analizujemy strukturę funkcji Mamu tu iloczyn dwóch funkcji (tego ułamka i funkcji wykładniczej), a sam ułamek jest funkcją złoŝoną Przystępujemy do róŝniczkowania Do iloczynu stosujemy wzor Leibnitza: f ' + sin a + + sin ( ) a W pierwszym składniku pozostało doliczyć pochodną + sin, w drugim pochodną ( ) a Na tę drugą znajdziemy wyŝej gotowy przepis ( ) Pozostaje obliczyć pochodną + sin a a ln a ( ), czyli ( + sin ) Najbardziej zewnętrzną funcją jest podnoszenie do potęgi -, tak więc: ( + ) ) ( + ) ( + ) sin ( ) sin sin Mamy tu funkcję złoŝoną dr Sławomir Brzezowski 6

7 Pozostaje obliczyć pochodną ( ) + sin Mamy tu sumę dwóch funcji: jedna jest stałą (ta dwójka), druga kwadratem sinusa Jak juŝ wiemy, pochodna sumy funkcji jest sumą pochodnych: ( + ) + ( ) sin sin Pierwsza z tych pochodnych wynosi zero, druga jest znowu pochodną funkcji złoŝonej Najbardziej zewnętrzne jest podnoszenie do kwadratu, czyli ( sin ) ( sin ) ( sin ) sin cos Wystarczy teraz wszystko podstawić na swoje miejsce: f ( + sin ) ( sin cos ) a + a ln a ( ) + sin Jak to zwykle bywa przy róŝniczkowaniu, taki surowy wzór na pochodną funkcji wyjściowej, moŝe być przekształcony do bardziej czytelnej postaci W tym przypadku moŝemy go na przykład zapisać tak: ln a sin f a + sin ( ) + sin Mając pochodną funkcji moŝemy łatwo obliczyć jej przyrost (róŝniczkę), gdy zmienna rośnie od + : jakiejś wartości do (wartość pochodnej w punkcie pomnoŝona przez przyrost ) Dla małego (ale nie nieskończenie małego) przyrostu podobny wzór na przyrost funkcji: f daje oczywiście wynik przybliŝony, W przypadku funkcji wielu zmiennych f (,, ) zmianę wartości funkcji, wywołaną przez przejście od kompletu wartości zmiennych,,, n do wartości zmienionych ( + ), ( + ),, ( n + n ), oblicza się w zaskakujaco prosty sposób Obliczamy pochodną tej funkcji po zmiennej (traktując pozostałe zmienne, jak stałe jest to tak zwana pochodna cząstkowa po zmiennej, oznaczana symbolem f ) i tak obliczoną pochodną (wzięta w punkcie,,, n ) mnoŝymy f przez przyrost, do tego dodajemy i tak dalej, czyli n f f f n n dr Sławomir Brzezowski 7

8 Tak więc jeŝeli na przykład chcemy wyliczyć zmianę objętości walca V ( r, h) πr h podstawy zmieni się o dr, a wysokość o dh, to, gdy promień dv V V dr + dh r h ( π rh) dr + ( πr )dh Dla przyrostów małych, ale nie nieskończenie małych, odpowiedni wzór V V r V r + h h ( π rh) r + ( πr ) h daje wynik przybliŝony dr Sławomir Brzezowski 8