Wykład 13. Informatyka Stosowana. 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 34

Transkrypt

1 Wykład 13 Informatyka Stosowana 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 34

2 Pochodne z funkcji elementarnych c = 0 (x n ) = nx n 1 (a x ) = a x ln a, (e x ) = e x (log a x) = 1 x ln a, (tg x) = 1 cos 2 x (ctg x) = 1 sin 2 x (arc sin x) = 1 1 x 2 (arc cos x) 1 = 1 x 2 (ln x) = 1 x (sin x) = cos x (cos x) = sin x (arc tg x) = x 2 (arc ctg x) = x 2 Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 2 / 34

3 Pochodne z działań na funkcjach (cf (x)) = c f (x) (f (x) ± g(x)) = f (x) ± g (x) (f (x) g(x)) = f (x) g(x) + f (x) g (x) ( ) f (x) = f (x) g(x) f (x) g (x) g(x) g 2 (x) (f (g(x))) = f (g(x)) g (x) Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 3 / 34

4 Pochodne wyższych rzędów Pochodna n-tego rzędu funkcji f określamy wzorem f (n) (x) = (f (n 1) (x)) czyli jest to pochodna z pochodnej rzędu (n 1). Zatem f (x) = (f (x)) - druga pochodna jest pochodna z pierwszej pochodnej f (x) = f (3) (x) = (f (x)) f (n) (x) = (f (n 1) (x)) - trzecia pochodna jest pochodna z drugiej pochodnej... - n-ta pochodna jest pochodna z (n-1)-szej pochodnej Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 4 / 34

5 Reguła de L Hospitala Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 5 / 34

6 Regułę de L Hospitala stosujemy do liczenia granic typu lim x x 0 f (x) g(x) albo f (x) lim x ± g(x), w których po podstawieniu granicznej wartości x otrzymujemy symbol [ 0 0 ] albo [ ]. Zakładamy, że f i g sa funkcjami różniczkowalnymi. Wersja skrócona twierdzenia : f (x) lim x A g(x) = co rozumiemy następujaco: [ 0 0 albo f " jeśli istnieje granica lim (x) x A g (x) również wynosi k." ] H = lim x A f (x) g (x) = k, f (x) i wynosi k, to granica lim x A g(x) Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 6 / 34

7 Przykład ln sin x f) lim x 0 + ln tg x g) lim x ln x x 0 + h) lim x ln(x 1) x 1 + Wskazówka W przykładzie g) skorzystać z przedstawienia f g = [0 ] = f 1 g albo = g 1 f Wskazówka W przykładzie h) skorzystać z tego, że dla wyrażeń f g przedstawiajacych symbole 1, 0, 0 0 mamy przedstawienie: f g = e g ln f. Dodatkowo z granica możemy przejść wtedy do wykładnika funkcji wykładniczej. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 7 / 34

8 Rozwiazanie przykładu g): ln x lim x ln x = [0 ( )] = lim x 0 + x x = [ ] H (ln x) = lim = x 0 + ( 1 x ) = lim x x 1 x 2 = lim ( x) = 0. x 0 + Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 8 / 34

9 Rozwiazanie przykładu h) : bo lim x ln(x 1) = [1 ] = lim eln(x 1) ln x = e lim [ln(x 1) ln x] x 1 + x 1 + x 1 + = e ( ) = e 0 = 1, ln(x 1) ( ) = lim [ln(x 1) ln x] = [( ) 0] = lim x 1 + x H (ln(x 1)) = lim x 1 + ( 1 ln x ) H (x(ln x) 2 ) = lim x 1 + ( x + 1) 1 x 1 = lim x ln 2 x x (ln x) ln x = lim x ln x = x(ln x) 2 = lim x 1 + x + 1 = = = 0. [ ] [ ] 0 0 Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 9 / 34

10 Monotoniczność funkcji Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 10 / 34

11 Twierdzenie o monotoniczności funkcji Jeżeli dla każdego x z pewnego przedziału A funkcja f spełnia warunek: f (x) = 0, to f jest stała dla x A f (x) > 0, to f jest rosnaca dla x A f (x) < 0, to f jest malejaca dla x A Uwaga Jeżeli f (x) 0 dla każdego x A, przy czym równość f (x) = 0 zachodzi tylko dla skończonej liczby punktów tego przedziału (a nie na pewnym przedziale), to funkcja f jest rosnaca dla x A. Analogicznie dla funkcji malejacej. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 11 / 34

12 Schemat 1) obliczyć f (x) 2) wyznaczyć miejsca zerowe pochodnej, czyli f (x) = 0 3) zbadać znak f (kiedy f (x) > 0, < 0) albo sporzadzić wykres f i odczytać z wykresu 4) Wnioski Przykład Znaleźć przedziały monotoniczności funkcji a) f (x) = x 1 + x 2 b) f (x) = (x + 1)e x c) f (x) = ln 3 x 3 ln x Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 12 / 34

13 Ekstrema funkcji Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 13 / 34

14 Definicja Funkcja f ma w x 0 R minimum lokalne (właściwe), jeśli δ>0 x (x0 δ,x 0 +δ) f (x) > f (x 0 ). Funkcja f ma w x 0 R maksimum lokalne (właściwe), jeśli δ>0 x (x0 δ,x 0 +δ) f (x) < f (x 0 ). Czyli można wskazać takie (małe) otoczenie punktu x 0 w którym wartość f (x 0 ) jest najmniejsza (odpowiednio największa). Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 14 / 34

15 Twierdzenie Fermata Jeżeli funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie x 0 oraz f (x 0 ) istnieje, to f (x 0 ) = 0. Zauważmy, że implikacja odwrotna jest fałszywa, tzn. sam fakt że punkt x 0 jest miejscem zerowym pochodnej nie gwarantuje tego, że f (x 0 ) jest ekstremum lokalnym. Wystarczy rozważyć funkcję f (x) = x 3. f (x) = (x 3 ) = 3x 2 punkt podejrzany: f (x 0 ) = 0 dla x 0 = 0, ale ekstremum lokalnego w zerze nie ma (patrz wykres). Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 15 / 34

16 Jeżeli funkcja ma ekstremum lokalne w punkcie oraz jeżeli w tym punkcie wykres funkcji ma styczna, to ta styczna jest pozioma. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 16 / 34

17 Fakt - o lokalizacji ekstremów funkcji (tzw. punkty podejrzane) Funkcja może mieć ekstrema lokalne tylko w punktach, w których pochodna równa się zero albo w punktach, w których jej pochodna nie istnieje. Twierdzenie - I warunek dostateczny Jeżeli f (x 0 ) = 0 oraz f (x) zmienia w x 0 znak, to f ma w x 0 ekstremum lokalne. Jeżeli zmiana: + - maksimum lokalne w x minimum lokalne w x 0 Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 17 / 34

18 Schemat ekstremów = schemat monotoniczności (różne wnioski) 1) obliczyć f (x) 2) wyznaczyć miejsca zerowe pochodnej, czyli f (x) = 0 3) zbadać znak f (kiedy f (x) > 0, < 0) albo sporzadzić wykres f i odczytać z wykresu 4) Wnioski (sprawdzić, czy w otoczeniu punktów podejrzanych następuje zmiana znaku f ) Zadanie Korzystajac z I warunku dostatecznego istnienia ekstremum znaleźć ekstrema lokalne funkcji: a) f (x) = x 3 3x b) f (x) = ln x x c) f (x) = (x 5)e x Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 18 / 34

19 Rozwiazanie a) f (x) = x 3 3x 2 + 4, D f = R, f (x) = 3x 2 6x, D f = R f (x) = 0 x = 0 x = 2 Metoda 1 Z wykresu f (x) = 3x 2 6x odczytujemy, że w punktach x = 0 oraz x = 2 następuje zmiana znaku. W x = 0 zmiana z "+" na " ", zatem f ma w x = 0 maksimum lokalne. W x = 2 zmiana z " " na "+", zatem f ma w x = 2 minimum lokalne. Odp. f max (0) = 4, f min (2) = 0. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 19 / 34

20 Rozwiazanie b) f (x) = ln x x, D f = (0, ), f (x) = 1 ln x x 2, D f = (0, ) f (x) = 0 ln x = 1 x = e Metoda 1 Badamy znak f (x). Zauważmy, że znak f zależy tylko od 1 ln x, bo mianownik jest zawsze dodatni, więc na znak całości nie wpływa. Zatem f (x) > 0 1 ln x > 0 ln x < 1 x (0, e) f (x) < 0 1 ln x < 0 ln x > 1 x (e, ). Dla x = e następuje zmiana znaku z "+" na " ", zatem f ma w x = e maksimum lokalne. Odp. f max (e) = e 1. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 20 / 34

21 Rozwiazanie c) f (x) = (x 5) e x, D f = R, f (x) = ( x + 6)e x, D f = R f (x) = 0 x = 6 (bo e x > 0 dla x R) Metoda 1 Badamy znak f. Ponieważ e x > 0 dla x R, więc nie wpływa na znak f. Zatem f (x) > 0 x + 6 > 0 x < 6. f (x) < 0 x + 6 < 0 x > 6. Stad w x = 6 zmiana z "+" na " ", zatem f ma w x = 6 maksimum lokalne. Odp. f max (6) = e 6. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 21 / 34

22 Zadanie Korzystajac z I warunku dostatecznego istnienia ekstremum znaleźć ekstrema lokalne funkcji: Zauważmy, że D f = R oraz f (x) = 3 (x 2 2x) 2 = (x 2 2x) 2 3. f (x) = 4 3 x 1 3 x 2 2x = 4 3 x 1 3 x 3 x 2, D f = R\{0, 2} f (x) = 0 x = 1. Stad mamy punkty podejrzane: x = 1 x = 0 x = 2. (bo w 0 i 2 pochodna nie istnieje) Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 22 / 34

23 Badamy znak f. Zauważmy, że x 1 > 0 x > 1 3 x > 0 x > 0 Stad ( na podstawie pomocniczej tabeli): 3 x 2 > 0 x 2 > 0 x > 2 f (x) > 0 x (0, 1) (2, ) f (x) < 0 x (, 0) (1, 2) W x = 0 zmiana z " " na "+", zatem f ma w x = 0 minimum lokalne. (tzw. minimum ostrzowe) W x = 1 zmiana z "+" na " ", zatem f ma w x = 1 maksimum lokalne. W x = 2 zmiana z " " na "+", zatem f ma w x = 2 minimum lokalne. (tzw. minimum ostrzowe ) Odp. f min (0) = 0, f max (1) = 1, f min (2) = 0. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 23 / 34

24 Alternatywna metoda badania ekstremów funkcji (nie będzie omawiana na wykładzie, ale można ja stosować na egzaminie) wykorzystuje druga pochodna funkcji. Twierdzenie - II warunek dostateczny Jeżeli f (x 0 ) = 0 oraz f (x) istnieje w otoczeniu punktu x 0, to a) f (x 0 ) > 0, to f ma w x 0 minimum lokalne b) f (x 0 ) < 0, to f ma w x 0 maksimum lokalne c) f (x 0 ) = 0, to nie można nic stwierdzić. Zadanie Korzystajac z II warunku dostatecznego istnienia ekstremum znaleźć ekstrema lokalne funkcji: a) f (x) = x 3 3x b) f (x) = ln x x c) f (x) = (x 5)e x Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 24 / 34

25 Rozwiazanie a) f (x) = x 3 3x 2 + 4, D f = R, f (x) = 3x 2 6x, D f = R f (x) = 0 x = 0 x = 2 Metoda 2 f (x) = (f (x)) = (3x 2 6x) = 6x 6, D f = R. Wyliczamy teraz wartość f w punktach podejrzanych x = 0 oraz x = 2 : f (0) = 6 < 0, zatem f ma w x = 0 maksimum lokalne. f (2) = 6 > 0, zatem f ma w x = 2 minimum lokalne. Odp. f max (0) = 4, f min (2) = 0. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 25 / 34

26 Rozwiazanie b) f (x) = ln x x, D f = (0, ), f (x) = 0 ln x = 1 x = e f (x) = 1 ln x x 2, D f = (0, ) Metoda 2 f (x) = (f (x)) = ( 1 ln x ) = 2 ln x 3, D x 2 x 3 f = (0, ). Wyliczamy teraz wartość f w punkcie podejrzanym x = e : f (e) = 1 e 3 < 0, zatem f ma w x = e maksimum lokalne. Odp. f max (e) = e 1 Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 26 / 34

27 Rozwiazanie c) f (x) = (x 5) e x, D f = R, f (x) = ( x + 6)e x, D f = R f (x) = 0 x = 6 (bo e x > 0 dla x R) Metoda 2 f (x) = (f (x)) = (x 7)e x, D f = R. Wyliczamy teraz wartość f w punkcie podejrzanym x = 6 : f (6) = e 6 < 0, zatem f ma w x = 6 maksimum lokalne. Odp. f max (6) = e 6 Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 27 / 34

28 Wypukłość i wklęsłość funkcji Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 28 / 34

29 Mówimy, że f (x) jest wypukła w punkcie x = x 0, jeżeli dla pewnego sasiedztwa punktu x 0 wykres tej funkcji leży całkowicie nad styczna w punkcie (x 0, f (x 0 )). Mówimy, że f (x) jest wklęsła w punkcie x = x 0, jeżeli dla pewnego sasiedztwa punktu x 0 wykres tej funkcji leży całkowicie pod styczna w punkcie (x 0, f (x 0 )). Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 29 / 34

30 Twierdzenie - warunek dostateczny Jeżeli f (x) > 0 dla każdego x (a, b), to f jest wypukła na (a, b). Jeżeli f (x) < 0 dla każdego x (a, b), to f jest wklęsła na (a, b). Punkty przegięcia Punktem przegięcia (p.p.) funkcji nazywamy taki punkt x 0, w którym zmienia się charakter funkcji z wypukłej na wklęsła, albo z wklęsłej na wypukła. Punkty przegięcia moga istnieć w punktach, w których f (x) = 0 albo takich, w których f nie istnieje. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 30 / 34

31 Przykład Jeżeli f (x) = x 3, to f jest wypukła dla x > 0, f jest wklęsła dla x < 0, x = 0 jest punktem przegięcia Przykład Jeżeli f (x) = x 2, to f jest wypukła dla x R, punktów przegięcia nie ma Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 31 / 34

32 UWAGA f jest wypukła - jest "kawałkiem" paraboli skierowanej ramionami do góry (o a > 0); f jest wklęsła - jest "kawałkiem" paraboli skierowanej ramionami do dołu (o a < 0); Przykład Określić przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia funkcji: a) f (x) = x 4 b) f (x) = x 2 ln x. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 31 / 34

33 Rozwiazanie a) f (x) = x 4, x R f (x) = 4x 3, f (x) = 12x 2 f (x) = 0 x = 0 Na podstawie wykresu f (x) = 12x 2 stwierdzamy, że f (x) 0 dla x R, zatem f jest wypukła dla x R i punktów przegięcia nie ma. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 32 / 34

34 Rozwiazanie b) f (x) = x 2 ln x, x (0, ) f (x) = 2x ln x + x, f (x) = 2 ln x + 3 f (x) = 0 2 ln x + 3 = 0 ln x = 3 2 x = e 3 2. Zauważmy, że f (x) > 0 2 ln x + 3 > 0 ln x > 3 2 x > e 3 2 f (x) < 0 2 ln x + 3 < 0 ln x < < x < e 3 2 Zatem f jest wypukła dla x > e 3 2 oraz wklęsła dla 0 < x < e 3 2. Punkt x = e 3 2 jest punktem przegięcia. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 33 / 34

35 Dziękuję za uwagę! Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 34 / 34