x 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =

Transkrypt

1 Zadanie.. Obliczyć granice (a) lim (d) lim = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć granice /2 = 24 5, (c) lim =, sin 5 (f) lim 0sin = 5, (i) lim ( + 0 )/ = e. (a) lim ( ) =, (b) lim = 0, (c) lim 6 ( ) = 9, 4 + ( (d) lim 4 2 =, (e) lim ) ( ) (g) lim = 2, (h) lim = e 4, (i) lim /2 + Zadanie.. Obliczyć granice jednostronne (a) (d) ( ) = 0, (f) lim sin + sin = 0, lim =, (b) lim =, (c) lim = 0, / + 2 ( ) ( ) lim =, (e) lim 0 2 2/ = ( ) ( ), (f) lim = 9 6. Zadanie.4. Czy funkcjom (a) f() = 2 /2 (tak), (b) g() = arc tg (nie), (c) h() = sin można nadać wartość w punkcie = 0 tak, aby były funkcjami ciągłymi na R? Zadanie.5. Zbadać ciągłość funkcji { cos π (a) f() = 2, gdy, (b) g() =, (c) h() = +., gdy > (a) jest ciągła, (b) i (c) są nieciągłe w Z. Zadanie.6. Niech f n () := n+ (n + ) + n n 2 ( ) 2, R, <, n N, i niech a n := lim f n (), n N, f() := lim f n(), <. n Obliczyć lim n a n = 2 i lim f() = 0. Zadanie.7. Zbadać ciągłość funkcji f n () :=, n N (ciągła), f := lim + 2n f n (nieciągła w ). n Zadanie.8. Niech funkcja f : R R spełnia warunek lim (f( + h) f( h)) = 0, R. h 0 Czy warunek ten pociaga ciągłość f? Nie. Zadanie.9. Niech f C([0, ], [0, ]). Wykazać, że istnieje [0, ] taki, że f() =. ( ) 2 5 = e 4. + (nie),

2 2. Pochodne. Reguła de l Hospitala. Asymptoty odpowiedzi Zadanie 2.. Wyznaczyć pochodne funkcji cyklometrycznych, hiperbolicznych i area (odwrotnych do hiperbolicznych). (arc sin ) =, (arc cos 2 ) =, (arc tg 2 ) = + 2, (arc ctg ) = + 2, (sinh ) = cosh, (cosh ) = sinh, (tgh ) = cosh 2, (ctgh ) = sinh 2, (arsinh ) = 2 +, (arcosh ) = 2, (artgh ) = 2, (arctgh ) = 2. Zadanie 2.2. Wyznaczyć pochodną funkcji (a) f () = 2 (cos + ln 2 sin ), (b) f () = ( ) 2, (c) f () = cos(2) sin(2), (d) f () = ( ) 2, (e) f () = a 2 2, (f) f arc sin () = 2, ( (g) f () = ( + ln ) ln ), (h) f ctg () = cos 2 ln sin. Zadanie 2.. Wykazać, że funkcja f() = jest różniczkowalna, ale nie ma pochodnej ciągłej. { 2 sin, gdy 0 0, gdy = 0 Zadanie 2.4. Dowieść, że dla asteroidy 2/ + y 2/ = a 2/, a > 0, długość odcinka stycznej zawartego pomiędzy osiami układu współrzędnych jest stała. Zadanie 2.5. Obliczyć granice korzystając z reguły de l Hospitala 2 cos (a) lim =, (b) lim 0 2 = e, (c) lim 4 5 =, e e ( cosh (d) lim = 2, (e) lim =, (f) lim 0 sin( ) 0 cos ) = ln 2, ( (g) lim 0 sin 2 ) 2 =, (h) lim (cos 2) 2 = ( ) +, (i) lim = e 2, 0 e6 (j) lim =, (k) lim 4+ln = e, (l) lim ( + sin ) = e Zadanie 2.6. Wyznaczyć asymptoty funkcji (a) f() = , (b) f() = , (c) f() = 2 + ( + ) 2, (d) f() = ln 2 π 2, (e) f() = e 2, (f) f() = + cos (a) =, y = + 6, (b) = 5, =, y = 0, (c) =, y =, (d) = 2, y = ln 2 + 2, (e) = 2, y = +, (f) y =. Guillaume François Antoine, markiz de l Hospital lub l Hôpital (ur. w 66 w Paryżu, zm. 2 lutego 704 tamże) matematyk francuski.

3 y Rysunek. Wykres funkcji f() = Badanie przebiegu zmienności funkcji odpowiedzi Zadanie.. Znaleźć a i b, jeśli wiadomo, że funkcja a + b f() = ( )( 4) osiąga w punkcie = 2 ekstremum lokalne równe. Rozstrzygnąć, czy jest to maksimum czy minimum. Odp. a =, b = 0. Jest to maksimum. Zadanie.2. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji (a) f() = ln( + 4 ) ln( + 2 ), (b) g() = e /( 2). Odp. f rośnie w ( ) ( ) 2, 0, 2,, zaś maleje w (, ) 2, (0, ) 2. g rośnie w przedziałach (0, ), (4, ), zaś maleje w przedziałach (, 0), (, 2), (2, 4). Zadanie.. Wyznaczyć punkty przegięcia oraz przedziały wypukłości i wklęsłości dla funkcji (a) f() = e e e, (b) f() = + + e 2. Odp. (a)f ma punkt przegięcia w 0, f jes wypukła w (, 0), f jest wklęsła w (0, ). (b) f ma punkt przegięcia w 2 ln( ± 2), f jest wypukła w (, 2 ln( 2) ) i ( 2 ln( + 2), ), f jest wklęsła w ( 2 ln( 2), 2 ln( + 2) ). Zadanie.4. Zbadać przebieg zmienności (uwzględniając asymptoty, ekstrema, przedziały monotoniczności, punkty przegięcia i przedziały wypukłości) oraz naszkicować wykres funkcji + (a) f() = , (b) f() = 2 + 4, (c) f() = 22 (2 + ) 2, (d) f() = 4 +, (e) f() = ln(2 ) + 2, (f) f() = ( 5)e2/( ). Odp. Wykresy przestawione są na rysunkach. Zadanie.5. Wyznaczyć liczbę rozwiązań równania w zależności od parametru c R. Odp. Równanie ma 0 rozwiązań dla c < 0; 2 rozwiązania dla c = 0 lub c > 8; ( ) 2 = c

4 60 y Rysunek 2. Wykres funkcji f() = Rysunek. Wykres funkcji f() = 22 (2+) Rysunek 4. Wykres funkcji f() = 4 +.

5 Rysunek 5. Wykres funkcji f() = ln( 2 ) Rysunek 6. Wykres funkcji f() = ( 5)e 2/( ). rozwiązania dla c = 8; 4 rozwiązania dla 0 < c < 8. Zadanie.6. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji () f() = w przedziale [, 5], (2) f() = w przedziale [ 2, ], () f() = 00 2 w przedziale [6, 8], (4) f() = 2 e w przedziale [, ], (5) f() = sin 2 w przedziale [ π/2, π/2], (6) f() = ln w przedziale [, e 8/ ], (7) f() = e 2 2 w przedziale [ 2/2, 2]. Odp. () Wartość najmniejsza to f() = 6, wartość największa to f(5) = 266. Zadanie.7. () Zaprojektować namiot w kształcie stożka o powierzchni bocznej równej 0 m 2 tak, aby miał największą objetość.

6 (2) Jakie wymiary powinna mieć puszka w kształcie walca o maksymalnej objętości, jeśli chcemy do jej produkcji zużyć 50 cm 2 blachy? () Należy sporządzić skrzynkę prostopadłościenną z pokrywką. Objętość skrzynki ma wynosić 72 cm, długości krawędzi podstawy mają być w stosunku 2 :. Jakiej długości powinny być krawędzie, aby powierzchnia całkowita skrzynki była najmniejsza? (4) Na kuli o promieniu R opisano stożek. Jaka będzie wysokość stożka o najmniejszej objętości? (5) Który z punktów paraboli y 2 = 6 leży najbliżej prostej y + 5 = 0? Zadanie.8. Wykazać, że dla dowolnych p, q R oraz dowolnej liczby nieparzystej n N wielomian ma co najwyżej trzy pierwiastki rzeczywiste. w() = n + p + q Zadanie.9. Wykazać, że jeśli stałe a j R, j = 0,..., n, spełniają równość a 0 + a 2 + a a n n + = 0, to równanie a 0 + a + + a n n = 0 ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty 0 (0, ).

7 Zadanie 4.. Obliczyć 4. Ciągi i szeregi liczbowe odpowiedzi (a) 2n lim n n + = 2 n 2 5n +, (b) lim n n = 0, n n 2 = 2, (c) lim ( n 2 + n n) =, (d) lim n 2 n n 2 (e) lim n n =, (f) lim n n sin2 cos n = 0, n n (g) lim + n + 2 n = ma{, }, (h) lim αn + β n 4 n = β, 0 α β, n ( (i) lim n n + n n n) = 2 n. Zadanie 4.2. Niech a >, k > 0. Wykazać, że n k lim n a n = 0. Zadanie 4.. P jest punktem na jednym z ramion kąta ostrego α, P jest rzutem punktu P na drugie ramię, P 2 rzutem punktu P na pierwsze ramię, itd. Oznaczając P P = s, znaleźć i wykazać, że s n := P P + P P P n P n lim s n = ( cos α). n Zadanie 4.4. Wykazać zbieżność ciagu (a n ) n N oraz znaleźć jego granicę, jeśli a := 2, a n+ = 2 + an, n N. Zadanie 4.5. Podać przykłady ciągów (a n ) n N, (b n ) n N R +, aby lim n a n =, lim n b n = + oraz lim n a bn n = 2. Zadanie 4.6. Naszkicować wykres funkcji Odp. Zauważmy, że f() = lim n 2 n + n + 2 n. + 2, gdy < 0 f() = 2, gdy = 0., gdy > 0 Zadanie 4.7. Obliczyć n-tą sumę i zbadać zbieżność szeregu a n, jeśli (a) a n = ( 2 n, (b) a n = ln + ), (c) a n = ln ( n ) n 2, n 2. Odp. (a) s n = ( 2 n, (b) s n = ln(n + ), (c) s n = ln 2 + ) ln 2. n

8 Zadanie 4.8. Zbadać zbieżność szeregu (a) n + n n + n, (b), n (c) (e) n 2 2 n, (f), n(n + ) (g) (i) (m) ((2n)!)(n)!, (j) n!(4n)! ln n + n cos nπ 2, (n) ((00n)!) 2 (50n)!(50n)!, (k) ( ) n n n 2 +. Odp. (a) rozbieżny (b) zbieżny (c) zbieżny (d) zbieżny (e) zbieżny (f) rozbieżny (g) zbieżny (h) rozbieżny (i) rozbieżny (j) zbieżny (k) zbieżny (l) zbieżny (m) zbieżny (n) zbieżny warunkowo, ale nie bezwzględnie Zadanie 4.9. Obliczyć sumę n=2 + 2 n, (d) n n, (n!) 2 (2n)! n!(n)!, (h) (4n)! ((2n)!) 2, ( ) n(n+) n ( ) (n+)! n!, (l), n + n! + n 2 n =.

9 5. Szeregi potęgowe odpowiedzi Zadanie 5.. Wyznaczyć dziedzinę funkcji zadanej szeregiem 2n 2 + n + (a) f() = n ( 2) n, n + (b) f() = n 2 n (2 9)n, n (c) f() = (n 2 + )( 2) n ( + )n, (d) f() = (e) f() = (f) f() = n 2 ( 2) n ( )n, 2 n n! ( π)n, n!( e) n. Odp. (a) [, ), (b) (, 6), (c) (, 5], (d) [ ], (e) R, (f) {e}.

10 6. Całki nieoznaczone odpowiedzi Zadanie 6.. Stosując metody całkowania przez części i przez podstawienie zweryfikować wzory (6.) tg d = ln cos + C, ctg d = ln sin + C, (6.2) arc sin d = arc sin C, (6.) arc tg d = arc tg ln C, (6.4) d a2 = arc sin 2 a + C, (6.5) d a2 + 2 = ln + a C, a2 (6.6) 2 d = a a2 2 arc sin a + C, a d = (6.7) a a2 2 ln + a C. Zadanie 6.2. Obliczyć całki () (2) () (4) (5) (6) (7) (8) (9) (0) () (2) () (4) (5) (6) (7) (8) ( 2 ) d = ln + C, ( 2 + 4) 5 d = 2 (4 + 2 ) 6 + C, d ( 2 + ) 6 = 0( + 2 ) 5 + C, d = 4 + /4 / + C, ( ) d = / / /4 + C, d = 9 2 2/ / + C, a 2 + b d = b (a + b)/2 + C, + 2 d = ( + 2 ) /2 + C, d = + 5 ( 4 + )( + )2/ + C, 2 d 5 + = 5 2 ( + ) 4/5 + C, e 2 d = 2 e 2 + C, sin(2 2 + ) d = 4 cos( + 22 ) + C, cos d = 2 + sin + C, + sin cos e sin d = e sin + C, tg cos 2 d = 2 tg2 + C, ln 2 d = ln + C, e d 2e + = 2 ln( + 2e ) + C, 2 + ln d = 2 (2 + ln )/2 + C,

11 d (9) = arc sin ln + C, ln 2 (20) e 2 ( 2 + ) d = 2 e2 2 + C, d (2) ( + 2 = ln arc tg + C, ) arc tg d (22) 4 + = 2 arc tg 2 + C, (2) 2 e d = e ( ) + C, (24) 4 e 2 d = 4 e2 ( ) + C, (25) 2 cos d = 2 cos + ( ) sin + C, (26) e cos d = 2 e (cos + sin ) + C, (27) e cos 2 d = e ( 9 cos sin 2 ) + C, (28) ln d = ln ln 2 + ln + C, (29) ln d = 2 27 /2 ( ln 8 ln ln ) + C, ln 2 (0) d = 2 (8 4 ln + ln 2 ) + C. Zadanie 6.. Obliczyć całki z funkcji wymiernych d (a) ( 2) 4 = (9(2 ) + C, 2 (b) 2 + d = ln( + 2 ) + C, (c) 2 2 d == 2 ( 2 ln( + ) + 52 ) + + ln( + 2) + C, 4 5 (d) d = ln( ) + C, 5 6 (e) d = 2 ln( ) + 7 ln(6 + ) + C, d (f) d = 5 ln(2 ) + ln( 2) + C, 5 7 (g) d = 7 0 ln( ) + C, d (h) + 2 d = ln( 5 + 2) 5 ln( 5 + 2) + C, + 2 (i) 2 2 d = 8 ln(2 ) + ln( + ) + C, (j) d = ( ) + ln( 2) + C, (k) ( + 2) 2 d = 5 + ln(2 + ) + C, 2 + d (l) = arc tg + + C, (m) d = arc tg ln( ) + C, (n) ( 2) 2 d = ln( 2) + C, 2 + (o) ( 2 + ) 2 d = ( ) 2 2 ( 2 + arc tg + C, +

12 (p) 2 d = ln( 4) + C, ( 72 6 (q) d = ) 6 arc tg C, (r) ( 2 )( 2 4) d = 5 0 ln( ) + ln(2 ) 4 ln( + ) ln(2 + ) + C.