Pochodna funkcji. Zastosowania

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Pochodna funkcji. Zastosowania"

Transkrypt

1 Pochodna funkcji Zastosowania Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 1 / 33

2 Niektóre zastosowania pochodnych 1 Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości 2 Pochodna jako narzędzie do obliczania granic 3 Pochodna jako narzędzie optymalizacyjne 4 Pochodna jako narzędzie do badania funkcji Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 2 / 33

3 Przypomnienie Pochodna właściwa funkcji y = f(x) w punkcie x 0 f f(x 0 + h) f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) (x 0 ) = lim = lim h 0 h x x 0 x x 0 Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 3 / 33

4 Przypomnienie Pochodna właściwa funkcji y = f(x) w punkcie x 0 f f(x 0 + h) f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) (x 0 ) = lim = lim h 0 h x x 0 x x 0 f (x 0 ) jest współczynnikiem kierunkowym stycznej do krzywej w punkcie (x 0, f(x 0 )). Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 3 / 33

5 Przypomnienie Pochodna właściwa funkcji y = f(x) w punkcie x 0 f f(x 0 + h) f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) (x 0 ) = lim = lim h 0 h x x 0 x x 0 f (x 0 ) jest współczynnikiem kierunkowym stycznej do krzywej w punkcie (x 0, f(x 0 )). Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 3 / 33

6 Przybliżanie wartości. Różniczka funkcji Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości Załóżmy, że f jest różniczkowalna w przedziale zawierającym x 0 Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 4 / 33

7 Przybliżanie wartości. Różniczka funkcji Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości Załóżmy, że f jest różniczkowalna w przedziale zawierającym x 0 Współczynnik kierunkowy stycznej do f w (x 0, f(x 0 )) to f (x 0 ) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 4 / 33

8 Przybliżanie wartości. Różniczka funkcji Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości Załóżmy, że f jest różniczkowalna w przedziale zawierającym x 0 Współczynnik kierunkowy stycznej do f w (x 0, f(x 0 )) to f (x 0 ) Równanie stycznej y = L(x) w punkcie x = x 0 L(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 4 / 33

9 Przybliżanie wartości. Różniczka funkcji Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości Załóżmy, że f jest różniczkowalna w przedziale zawierającym x 0 Współczynnik kierunkowy stycznej do f w (x 0, f(x 0 )) to f (x 0 ) Równanie stycznej y = L(x) w punkcie x = x 0 L(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) gdy zbliżamy się do punktu (x 0, f(x 0 )), wykres f(x) przybliża się do wykresu stycznej L(x) w tym punkcie Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 4 / 33

10 Przybliżanie wartości. Różniczka funkcji Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości Załóżmy, że f jest różniczkowalna w przedziale zawierającym x 0 Współczynnik kierunkowy stycznej do f w (x 0, f(x 0 )) to f (x 0 ) Równanie stycznej y = L(x) w punkcie x = x 0 L(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) gdy zbliżamy się do punktu (x 0, f(x 0 )), wykres f(x) przybliża się do wykresu stycznej L(x) w tym punkcie Wartość funkcji f w pobliżu x 0 przybliżamy używając L f(x) L(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 4 / 33

11 Przybliżanie wartości. Różniczka funkcji Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 5 / 33

12 Przybliżanie wartości. Różniczka funkcji Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości L(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 5 / 33

13 Przybliżanie wartości. Różniczka funkcji Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości przyrost x x = dx = x x 0 L(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 5 / 33

14 Przybliżanie wartości. Różniczka funkcji Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości przyrost x x = dx = x x 0 przyrost f y = f(x) f(x 0 ) L(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 5 / 33

15 Przybliżanie wartości. Różniczka funkcji Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości przyrost x x = dx = x x 0 przyrost f y = f(x) f(x 0 ) przyrost L dy = L(x) L(x 0 ) L(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 5 / 33

16 Przybliżanie wartości. Różniczka funkcji Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości przyrost x x = dx = x x 0 przyrost f y = f(x) f(x 0 ) przyrost L dy = L(x) L(x 0 ) różniczka funkcji dy = f (x 0 )dx L(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 5 / 33

17 Przybliżanie wartości. Różniczka funkcji Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości Jak używamy różniczki funkcji? Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 6 / 33

18 Przybliżanie wartości. Różniczka funkcji Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości Jak używamy różniczki funkcji? Przybliżanie wartości przy pomocy różniczki Przybliżona wartość funkcji f w punkcie x jest dana wzorem f(x) f(x 0 ) + dy, gdzie dy = f (x 0 )dx Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 6 / 33

19 Przybliżanie wartości. Wzór Taylora Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )dx Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 7 / 33

20 Przybliżanie wartości. Wzór Taylora Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )dx Czy możemy znaleźć lepsze przybliżenie f(x)? Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 7 / 33

21 Przybliżanie wartości. Wzór Taylora Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )dx Czy możemy znaleźć lepsze przybliżenie f(x)? Wielomian Taylora Niech funkcja f ma w punkcie x 0 pochodną właściwą rzędu n. Wielomian P n (x) = f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 )+ f (x 0 ) 2! (x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! nazywamy wielomianem Taylora rzędu n funkcji f w punkcie x 0. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 7 / 33

22 Przybliżanie wartości. Wzór Taylora Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości Wielomian Taylora Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 8 / 33

23 Przybliżanie wartości. Wzór Taylora Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości Twierdzenie Taylora Jeżeli f ma ciągłą pochodną rzędu n + 1 na przedziale otwartym zawierającym x 0, to dla każedgo x z tego przedziału istnieje punkt c (x 0, x) (lub c (x, x 0 )) taki, że f(x) = P n (x) + R n (x) (czyli f(x) P n (x)) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 9 / 33

24 Przybliżanie wartości. Wzór Taylora Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości Twierdzenie Taylora Jeżeli f ma ciągłą pochodną rzędu n + 1 na przedziale otwartym zawierającym x 0, to dla każedgo x z tego przedziału istnieje punkt c (x 0, x) (lub c (x, x 0 )) taki, że f(x) = P n (x) + R n (x) (czyli f(x) P n (x)) gdzie P n (x) jest wielomianem Taylora rzędu n funkcji f w punkcie x 0, Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 9 / 33

25 Przybliżanie wartości. Wzór Taylora Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości Twierdzenie Taylora Jeżeli f ma ciągłą pochodną rzędu n + 1 na przedziale otwartym zawierającym x 0, to dla każedgo x z tego przedziału istnieje punkt c (x 0, x) (lub c (x, x 0 )) taki, że f(x) = P n (x) + R n (x) (czyli f(x) P n (x)) gdzie P n (x) jest wielomianem Taylora rzędu n funkcji f w punkcie x 0, a R n jest n tą resztą R n (x) = f (n+1) (c) (n + 1)! (x x 0) n+1 Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 9 / 33

26 Przybliżanie wartości. Wzór Taylora Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości Twierdzenie Taylora Jeżeli f ma ciągłą pochodną rzędu n + 1 na przedziale otwartym zawierającym x 0, to dla każedgo x z tego przedziału istnieje punkt c (x 0, x) (lub c (x, x 0 )) taki, że f(x) = P n (x) + R n (x) (czyli f(x) P n (x)) gdzie P n (x) jest wielomianem Taylora rzędu n funkcji f w punkcie x 0, a R n jest n tą resztą R n (x) = f (n+1) (c) (n + 1)! (x x 0) n+1 Dla x 0 = 0 wielomian P n (x) nazywamy wielomianem McLaurina. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 9 / 33

27 Reguła de l Hopitala Pochodna jako narzędzie do obliczania granic sin x lim x 0 x = [ ] 0 0 ln x [ ], lim x x = cos x 1, lim = x 0 x [ ] 0 0 Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 10 / 33

28 Reguła de l Hopitala Pochodna jako narzędzie do obliczania granic sin x lim x 0 x = [ ] 0 0 ln x [ ], lim x x = cos x 1, lim = x 0 x [ ] 0 0 Reguła de l Hopitala Jeżeli dziedziny funkcji f g i f g zawierają sąsiedztwo S(x 0 ) punktu x 0 oraz lim x x0 f(x) = lim x x0 g(x) = 0 lub lim x x0 f(x) = lim x x0 g(x) = ±, to f(x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 10 / 33

29 Reguła de l Hopitala Pochodna jako narzędzie do obliczania granic sin x lim x 0 x = [ ] 0 0 ln x [ ], lim x x = cos x 1, lim = x 0 x [ ] 0 0 Reguła de l Hopitala Jeżeli dziedziny funkcji f g i f g zawierają sąsiedztwo S(x 0 ) punktu x 0 oraz lim x x0 f(x) = lim x x0 g(x) = 0 lub lim x x0 f(x) = lim x x0 g(x) = ±, to f(x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x) o ile granica (właściwa lub niewłaściwa) po prawej stronie równości istnieje. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 10 / 33

30 Reguła de l Hopitala Pochodna jako narzędzie do obliczania granic sin x lim x 0 x = [ ] 0 0 ln x [ ], lim x x = cos x 1, lim = x 0 x [ ] 0 0 Reguła de l Hopitala Jeżeli dziedziny funkcji f g i f g zawierają sąsiedztwo S(x 0 ) punktu x 0 oraz lim x x0 f(x) = lim x x0 g(x) = 0 lub lim x x0 f(x) = lim x x0 g(x) = ±, to f(x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x) o ile granica (właściwa lub niewłaściwa) po prawej stronie równości istnieje. Twierdzenie jest również prawdziwe dla x x + 0, x x 0 i x ±. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 10 / 33

31 Reguła de l Hopitala Inne symbole nieoznaczone f(x)g(x) [0 ] Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 11 / 33

32 Reguła de l Hopitala Inne symbole nieoznaczone f(x)g(x) [0 ] stosujemy f(x) 1 g(x) [ ] 0 0 Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 11 / 33

33 Reguła de l Hopitala Inne symbole nieoznaczone f(x)g(x) [0 ] stosujemy f(x) 1 g(x) [ ] 0 0 lub g(x) 1 f(x) [ ] Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 11 / 33

34 Reguła de l Hopitala Inne symbole nieoznaczone f(x)g(x) [0 ] stosujemy f(x) 1 g(x) [ ] 0 0 lub g(x) 1 f(x) [ ] f(x) g(x) [ ] Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 11 / 33

35 Reguła de l Hopitala Inne symbole nieoznaczone f(x)g(x) [0 ] f(x) g(x) [ ] stosujemy f(x) 1 g(x) stosujemy [ ] 0 0 lub 1 g(x) 1 f(x) 1 f(x)g(x) g(x) 1 f(x) [ ] [ ] 0 0 Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 11 / 33

36 Reguła de l Hopitala Inne symbole nieoznaczone f(x)g(x) [0 ] f(x) g(x) [ ] f(x) g(x) [ 0 0, 0, 1 ] stosujemy f(x) 1 g(x) stosujemy [ ] 0 0 lub 1 g(x) 1 f(x) 1 f(x)g(x) g(x) 1 f(x) [ ] [ ] 0 0 Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 11 / 33

37 Reguła de l Hopitala Inne symbole nieoznaczone f(x)g(x) [0 ] f(x) g(x) [ ] stosujemy f(x) 1 g(x) stosujemy [ ] 0 0 lub 1 g(x) 1 f(x) 1 f(x)g(x) g(x) 1 f(x) [ ] [ ] 0 0 f(x) g(x) [ 0 0, 0, 1 ] stosujemy f g = e g ln f [ e 0 ] Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 11 / 33

38 Reguła de l Hopitala Unikaj błędów w stosowaniu reguły de l Hopitala Oblicz iloraz pochodnych nie pochodną ilorazu [ ] f(x) f(x) lim x a g(x) lim x a g(x) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 12 / 33

39 Reguła de l Hopitala Unikaj błędów w stosowaniu reguły de l Hopitala Oblicz iloraz pochodnych nie pochodną ilorazu [ ] f(x) f(x) lim x a g(x) lim x a g(x) Najpierw upewnij się, że granica z lewej daje symbol nieoznaczony Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 12 / 33

40 Reguła de l Hopitala Unikaj błędów w stosowaniu reguły de l Hopitala Oblicz iloraz pochodnych nie pochodną ilorazu [ ] f(x) f(x) lim x a g(x) lim x a g(x) Najpierw upewnij się, że granica z lewej daje symbol nieoznaczony Upewnij się, że granica iloczynu pochodnych istnieje (właściwa lub niewłaściwa) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 12 / 33

41 Reguła de l Hopitala Unikaj błędów w stosowaniu reguły de l Hopitala Oblicz iloraz pochodnych nie pochodną ilorazu [ ] f(x) f(x) lim x a g(x) lim x a g(x) Najpierw upewnij się, że granica z lewej daje symbol nieoznaczony Upewnij się, że granica iloczynu pochodnych istnieje (właściwa lub niewłaściwa) Wielokrotne używanie reguły czasem prowadzi do niekończącego się cyklu użyj innych metod Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 12 / 33

42 Optymalizacja. Maksima i minima Pochodna jako narzędzie optymalizacyjne Jak zmaksymalizować/zminimalizować: zyski i koszty ilość materiału użytego do produkcji... czegokolwiek prędkość promu kosmicznego... = problemy optymalizacyjne Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 13 / 33

43 Optymalizacja. Maksima i minima Pochodna jako narzędzie optymalizacyjne Jak zmaksymalizować/zminimalizować: zyski i koszty ilość materiału użytego do produkcji... czegokolwiek prędkość promu kosmicznego... = problemy optymalizacyjne W języku matematyki: gdzie dana funkcja osiąga maksymalną/minimalną wartość? Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 13 / 33

44 Optymalizacja. Maksima i minima Wartość największa i najmniejsza Liczba m R jest minimum absolutnym funkcji f w zbiorze A D f, jeżeli istnieje taki punkt x 0 A, że f(x 0 ) = m oraz dla dowolnego x A f(x) m = inf x A f(x) Liczba M R jest maksimum absolutnym funkcji f w zbiorze A D f, jeżeli istnieje taki punkt x 0 A, że f(x 0 ) = M oraz dla dowolnego x A f(x) M = sup f(x) x A Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 14 / 33

45 Optymalizacja. Maksima i minima Wartość największa i najmniejsza Liczba m R jest minimum absolutnym funkcji f w zbiorze A D f, jeżeli istnieje taki punkt x 0 A, że f(x 0 ) = m oraz dla dowolnego x A f(x) m = inf x A f(x) Liczba M R jest maksimum absolutnym funkcji f w zbiorze A D f, jeżeli istnieje taki punkt x 0 A, że f(x 0 ) = M oraz dla dowolnego x A f(x) M = sup f(x) x A Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 14 / 33

46 Optymalizacja. Maksima i minima Wartość największa i najmniejsza Liczba m R jest minimum absolutnym funkcji f w zbiorze A D f, jeżeli istnieje taki punkt x 0 A, że f(x 0 ) = m oraz dla dowolnego x A f(x) m = inf x A f(x) Liczba M R jest maksimum absolutnym funkcji f w zbiorze A D f, jeżeli istnieje taki punkt x 0 A, że f(x 0 ) = M oraz dla dowolnego x A f(x) M = sup f(x) x A Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 14 / 33

47 Optymalizacja. Maksima i minima Czy funkcja zawsze posiada wartość największą i najmniejszą w dowolnym przedziale A D f? Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 15 / 33

48 Optymalizacja. Maksima i minima Czy funkcja zawsze posiada wartość największą i najmniejszą w dowolnym przedziale A D f? f(x) = x 4, f(x) = sin x, f(x) = arc tg x, f(x) = { x 3, 0 x x + 1, 1 < x 2 Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 15 / 33

49 Optymalizacja. Maksima i minima Czy funkcja zawsze posiada wartość największą i najmniejszą w dowolnym przedziale A D f? f(x) = x 4, f(x) = sin x, f(x) = arc tg x, f(x) = { x 3, 0 x x + 1, 1 < x 2 Twierdzenie (Weierstrassa) Jeżeli funkcja jest ciągła na przedziale domkniętym [a, b] to osiąga na tym przedziale ekstrema absolutne. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 15 / 33

50 Optymalizacja. Maksima i minima Ekstrema lokalne Funkcja f ma w punkcie x 0 maksimum lokalne, jeżeli r > 0 takie, że x S(x 0, r) f(x) f(x 0 ) minimum lokalne, jeżeli r > 0 takie, że x S(x 0, r) f(x) f(x 0 ) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 16 / 33

51 Optymalizacja. Maksima i minima Jak znaleźć ekstrema lokalne funkcji f? Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 17 / 33

52 Optymalizacja. Maksima i minima Jak znaleźć ekstrema lokalne funkcji f? Warunek konieczny istnienia ekstremum Jeżeli f osiąga ekstermum w punkcie x 0 to f (x 0 ) = 0 albo f (x 0 ) nie istnieje. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 17 / 33

53 Optymalizacja. Maksima i minima Jak znaleźć ekstrema lokalne funkcji f? Warunek konieczny istnienia ekstremum Jeżeli f osiąga ekstermum w punkcie x 0 to f (x 0 ) = 0 albo f (x 0 ) nie istnieje. Jeżeli f (x 0 ) = 0, to punkt x 0 nazywa się punktem stacjonarnym funkcji f. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 17 / 33

54 Optymalizacja. Maksima i minima Twierdzenie odwrotne (jak to zwykle bywa) nie jest prawdziwe. f (x 0 ) = 0 lub f (x 0 ) nie gwarantuje ekstremum. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 18 / 33

55 Optymalizacja. Maksima i minima Twierdzenie odwrotne (jak to zwykle bywa) nie jest prawdziwe. f (x 0 ) = 0 lub f (x 0 ) nie gwarantuje ekstremum. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 18 / 33

56 Optymalizacja. Maksima i minima Po zlokalizowaniu punktów które mogą być ekstremami, jak stwierdzić czy są to wartości lokalnie największe/najmniejsze? Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 19 / 33

57 Optymalizacja. Maksima i minima Po zlokalizowaniu punktów które mogą być ekstremami, jak stwierdzić czy są to wartości lokalnie największe/najmniejsze? Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 19 / 33

58 Optymalizacja. Maksima i minima Po zlokalizowaniu punktów które mogą być ekstremami, jak stwierdzić czy są to wartości lokalnie największe/najmniejsze? Przedziały monotoniczności Jeżeli f (x) > 0 dla każdego x I to funkcja f jest rosnąca na I. Jeżeli f (x) < 0 dla każdego x I to funkcja f jest malejąca na I. Jeżeli f (x) = 0 dla każdego x I to funkcja f jest stała na I. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 19 / 33

59 Optymalizacja. Maksima i minima Po zlokalizowaniu punktów które mogą być ekstremami, jak stwierdzić czy są to wartości lokalnie największe/najmniejsze? Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 20 / 33

60 Optymalizacja. Maksima i minima Po zlokalizowaniu punktów które mogą być ekstremami, jak stwierdzić czy są to wartości lokalnie największe/najmniejsze? Funkcja f musi zmieniać monotonicznośc w punkcie x 0. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 20 / 33

61 Optymalizacja. Maksima i minima Po zlokalizowaniu punktów które mogą być ekstremami, jak stwierdzić czy są to wartości lokalnie największe/najmniejsze? Funkcja f musi zmieniać monotonicznośc w punkcie x 0. Jeżeli f zmienia znak z + na lub z na + to mamy lokalne max lub min. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 20 / 33

62 Optymalizacja. Maksima i minima Warunek wystarczający istnienia ekstremum na podstawie f Niech f będzie 1 ciągła w otoczeniu punktu x 0 2 różniczkowalna w pewnym sąsiedztwie x 0. Jeżeli f (x 0 ) = 0 lub f (x 0 ) nie istnieje, a ponadto dla rosnących x w sąsiedztwie x 0, f zmienia znak z + na = f ma w x 0 maksimum lokalne z na + = f ma w x 0 minimum lokalne Jeżeli f nie zmienia znaku to f nie ma ekstremum lokalnego w x 0. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 21 / 33

63 Optymalizacja. Maksima i minima Warunek wystarczający istnienia ekstremum na podstawie f Jeżeli funkcja f ma w pewnym otoczeniu punktu x 0 drugą pochodną, która jest ciągła w punkcie x 0, a ponadto f (x 0 ) = 0 oraz f (x 0 ) 0 to funkcja ma w punkcie x 0 maksimum lokalne gdy f (x 0 ) < 0 minimum lokalne gdy f (x 0 ) > 0 Notka Powyższe twierdzenie w ogólnej postaci mówi o parzystej n tej pochodnej i jej znaku. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 22 / 33

64 Optymalizacja. Maksima i minima Maksimum i minimum absolutne Jak znaleźć maksimum i minimum absolutne Niech f będzie ciągła na przedziale [a, b]. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 23 / 33

65 Optymalizacja. Maksima i minima Maksimum i minimum absolutne Jak znaleźć maksimum i minimum absolutne Niech f będzie ciągła na przedziale [a, b]. 1 Znajdź punkty x 0 (a, b) w których f (x 0 ) nie istnieje lub f (x 0 ) = 0. To są kandydaci na ekstrema absolutne. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 23 / 33

66 Optymalizacja. Maksima i minima Maksimum i minimum absolutne Jak znaleźć maksimum i minimum absolutne Niech f będzie ciągła na przedziale [a, b]. 1 Znajdź punkty x 0 (a, b) w których f (x 0 ) nie istnieje lub f (x 0 ) = 0. To są kandydaci na ekstrema absolutne. 2 Oblicz wartości f w tych punktach i na krańcach przedziału [a, b]. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 23 / 33

67 Optymalizacja. Maksima i minima Maksimum i minimum absolutne Jak znaleźć maksimum i minimum absolutne Niech f będzie ciągła na przedziale [a, b]. 1 Znajdź punkty x 0 (a, b) w których f (x 0 ) nie istnieje lub f (x 0 ) = 0. To są kandydaci na ekstrema absolutne. 2 Oblicz wartości f w tych punktach i na krańcach przedziału [a, b]. 3 Wybierz nawiększą i najmniejszą z wyliczonych wartości. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 23 / 33

68 Optymalizacja. Maksima i minima Problem Rolnika Rolnik ma 400 m ogrodzenia do zbudowania prostokątnej zagrody. Jedną stronę zagrody będzie stanowiła stodoła, więc nie wymaga ogrodzenia. Trzy zewnętrzne ogrodzenia i dwie wewnętrzne przegrody dzielą zagrodę na trzy prostokątne obszary. Jakie wymiary (zewnętrzne) zagrody zmaksymalizują wykorzystane miejsce? Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 24 / 33

69 Optymalizacja. Maksima i minima Idealny ogródek Prostokątny ogródek o powierzchni 50 m 2 jest ogrodzony pasem trawy szerokości 1 m po dwóch stronach i 2 m po dwóch stronach. Jakie wymiary ogródka zminimalizują całą powierzchnię trawy i ogródka? Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 25 / 33

70 Optymalizacja. Maksima i minima Kapitalizm Skrzynia o podstawie kwadratu ma miec 16 m 3 objetosci. Material uzyty do wykonania podstawy kosztuje dwa razy tyle co material uzyty na wykonanie bokow, a material na pokrywe kosztuje polowe tego co material na boki. Jakie wymiary powinna miec skrzynia aby zminimalizowac koszt produkcji? Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 26 / 33

71 Optymalizacja. Maksima i minima Człowiek głodny, a czasu niewiele... Łódka na morzu znajduje sie 4 km od najblizszego punktu na prostym wybrzezu; ten punkt jest oddalony o 6 km od restauracji na wybrzezu. Student w lodce planuje plynac do brzegu w linii prostej, a potem isc wzdluz brzegu do restauracji. Jezeli student idzie z predkoscia 3 km/h a plynie z predkosica 2 km/h, w ktorym punkcie powinien dobic do brzegu aby zminimalizowac calkowity czas podrozy? Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 27 / 33

72 Druga pochodna a wykres funkcji O czym mówi nam druga pochodna? Wklęsłość, wypukłość Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 28 / 33

73 Druga pochodna a wykres funkcji O czym mówi nam druga pochodna? Wklęsłość, wypukłość Niech f będzie różniczkowalna w przedziale(a, b). Mówimy, że krzywa y = f(x) jest wypukła w dół (wypukła) w przedziale (a, b) styczna w każdym punkcie x 0 (a, b) jest położona pod krzywą y = f(x) wypukła w górę (wklęsła) w przedziale (a, b) styczna w każdym punkcie x 0 (a, b) jest położona nad krzywą y = f(x) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 28 / 33

74 Druga pochodna a wykres funkcji O czym mówi nam druga pochodna? Wklęsłość, wypukłość Niech f będzie różniczkowalna w przedziale(a, b). Mówimy, że krzywa y = f(x) jest wypukła w dół (wypukła) w przedziale (a, b) styczna w każdym punkcie x 0 (a, b) jest położona pod krzywą y = f(x) wypukła w górę (wklęsła) w przedziale (a, b) styczna w każdym punkcie x 0 (a, b) jest położona nad krzywą y = f(x) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 28 / 33

75 Druga pochodna a wykres funkcji Warunki wklęsłości/wypukłości Jeżeli dla każdego x (a, b) zachodzi f (x) < 0, to krzywa y = f(x) jest wklęsła na (a, b) f (x) > 0, to krzywa y = f(x) jest wypukła na (a, b) Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 29 / 33

76 Druga pochodna a wykres funkcji Punkt przegięcia Jeżeli w punkcie (x 0, f(x 0 )) istnieje styczna do krzywej y = f(x) i funkcja zmienia się z wklęsłej na wypukłą (lub odwrotnie) wokół tego punktu, to (x 0, f(x 0 )) nazywamy punktem przegięcia krzywej. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 30 / 33

77 Asymptoty wykresu funkcji A skoro mowa o wykresach funkcji... Asymptoty pionowe, x = x 0 asymptota lewostronna wykresu funkcji y = f(x) lim f(x) = ± x x 0 asymptota prawostronna wykresu funkcji y = f(x) lim f(x) = ± x x + 0 aysmptota obustronna = lewo- + prawostronna Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 31 / 33

78 Asymptoty wykresu funkcji Asymptoty ukośne, y = ax + b asymptota lewostronna wykresu funkcji y = f(x) lim [f(x) (ax + b)] = 0 x asymptota prawostronna wykresu funkcji y = f(x) lim [f(x) (ax + b)] = 0 x aysmptota obustronna = lewo- + prawostronna a = f(x) lim x ± x, b = lim [f(x) ax] x ± Jeżeli a = 0 to mamy asymptotę poziomą y = b. Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 32 / 33

79 Badanie przebiegu zmienności funkcji Badanie przebiegu zmienności funkcji Analiza funkcji: dziedzina punkty przecięcia wykresu z osiami układu parzystość, nieparzystość, okresowość granice w nieskończoności lub na krańcach przedziału asymptoty pionowe i ukośne Analiza pierwszej pochodnej: pochodna i jej dziedzina znak pochodnej monotoniczność funkcji ekstrema funkcji Analiza drugiej pochodnej: pochodna i jej dziedzina znak pochodnej wklęsłość/wypukłość funkcji punkty przegięcia (Tabelka zmienności funkcji) Wykres funkcji Informatyka (sem /16) Analiza Matematyczna Temat 3 33 / 33

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

Materiały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji

Materiały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji Materiały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa Zadanie 1. Zbadać przebieg zmienności funkcji Rozwiązanie. I Analiza funkcji f(x) = x 3 3x 2 + 2.

Bardziej szczegółowo

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji. 0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()

Bardziej szczegółowo

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ). Ciągi liczbowe.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym.

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami

Analiza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 4 4 Granice funkcji, ciągłość 5 5 Rachunek różniczkowy

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry

Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Kryteria oceniania z matematyki ( poziom rozszerzony) klasa 2 Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Funkcja liniowa Uczeń: - rozpoznaje funkcję liniową na podstawie wzoru - zna postać ogólną

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry

Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Kryteria oceniania z matematyki ( poziom rozszerzony) klasa 2 Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Funkcja liniowa Uczeń: - rozpoznaje funkcję liniową na podstawie wzoru - zna postać ogólną

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,

Bardziej szczegółowo

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P)

1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P) Wymagania edukacyjne dla klasy IIIc technik informatyk 1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE rok szkolny 2014/2015 zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyznacza wartości

Bardziej szczegółowo

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0. Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: Obowiązkowy w ramach treści wspólnych z kierunkiem Matematyka, moduł kierunku obowiązkowy Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia I KARTA PRZEDMIOTU CEL

Bardziej szczegółowo

Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty

Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty November 20, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Znajdź równanie asymptot funkcji f jeśli: a) f(x)

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 4 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych

MATeMAtyka 4 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych MATeMAtyka 4 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające

Bardziej szczegółowo

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a.

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a. Ćwiczenia 3032010 - omówienie zadań 1-4 z egzaminu poprawkowego Konwersatorium 3032010 - omówienie zadań 5-8 z egzaminu poprawkowego Ćwiczenia 4032010 (zad 445-473) Kolokwium nr 1, 10032010 (do zad 473)

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury STEREOMETRIA Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wskazać płaszczyzny równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny wskazać proste równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1 Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient Dla prostoty ograniczymy się do

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

Matematyka dla DSFRiU zbiór zadań

Matematyka dla DSFRiU zbiór zadań I Matematyka dla DSFRiU zbiór zadań do użytku wewnętrznego Sumowanie skończone W zadaniach -4 obliczyć podaną sumę. dr Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski Wydział Zarządzania. 5 i. i= 4 i. i= 5 ( ) i i=

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1.1 Sprawdzić, czy następujące wyrażenia są tautologiami: (1.5 pkt): a)p [( q q) (r p)], (1.5 pkt): b)[(p q)] [ p q].

Zadanie 1.1 Sprawdzić, czy następujące wyrażenia są tautologiami: (1.5 pkt): a)p [( q q) (r p)], (1.5 pkt): b)[(p q)] [ p q]. RACHUNEK RÓŻNICZKOY I CAŁKOY I KOLOKIUM Zadanie 1.1 Sprawdzić, czy następujące wyrażenia są tautologiami: (1.5 pkt): a)p [( q q) (r p)], (1.5 pkt): b)[(p q)] [ p q]. Symbol p oznacza zaprzeczenie zdaniap.

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zastosowania matematki w analitce medcznej zestaw do kol. semestr. - rozwiązania i odpowiedzi (część I). ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. a) Rozważając dwa przpadki ze względu na moduł mam: skąd ostatecznie,3>.

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA IV etap edukacyjny. I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.

MATEMATYKA IV etap edukacyjny. I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Cele kształcenia wymagania ogólne MATEMATYKA IV etap edukacyjny I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje otrzymany wynik. Uczeń

Bardziej szczegółowo

Dariusz Jakóbczak Podstawy analizy matematycznej

Dariusz Jakóbczak Podstawy analizy matematycznej Dariusz Jakóbczak Podstawy analizy matematycznej skrypt Wydziału Elektroniki i Informatyki Politechniki Koszalińskiej Wydawnictwo Uczelniane Politechniki Koszalińskiej Koszalin 2007 1 Spis treści Literatura...3

Bardziej szczegółowo

Weronika Siwek, Układ biegunowy, płaszczyzna Gaussa i nie tylko... 1

Weronika Siwek, Układ biegunowy, płaszczyzna Gaussa i nie tylko... 1 Weronika Siwek, Układ biegunowy, płaszczyzna Gaussa i nie tylko... Spis treści. Badanie przebiegu zmienności funkcji.................. Co i jak, czyli trochę teorii........................ Przykłady................................

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki klasa I i II ZSZ 2013/2014

Przedmiotowy system oceniania z matematyki klasa I i II ZSZ 2013/2014 I. Liczby rzeczywiste K-2 P-3 R-4 D-5 W-6 Rozpoznaje liczby: naturalne (pierwsze i złożone),całkowite, wymierne, niewymierne, rzeczywiste Stosuje cechy podzielności liczb przez 2, 3,5, 9 Podaje dzielniki

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa 3 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

Wykład I. Literatura. Oznaczenia. ot(x 0 ) zbiór wszystkich otoczeń punktu x 0

Wykład I. Literatura. Oznaczenia. ot(x 0 ) zbiór wszystkich otoczeń punktu x 0 Wykład I Literatura Podręczniki 1. G. M. Fitherholz Rachunek różniczkowy i całkowy 2. W. Żakowski Matematyka tom I Zbiory zadań 1. W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach tom I i II

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Analiza matematyczna I Mathematical analysis I Kierunek: Kod przedmiotu: Matematyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Poziom kwalifikacji:

Bardziej szczegółowo

KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA

KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA I. 1 Nazwa modułu kształcenia I. Informacje ogólne Analiza matematyczna 2 Nazwa jednostki prowadzącej moduł Instytut Informatyki, Zakład Informatyki Stosowanej 3 Kod modułu (wypełnia

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy MATeMAtyka cz.1 Zakres podstawowy Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania (W). Wymienione

Bardziej szczegółowo

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę):

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę): Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę): 3 3 3 ( ) 1 4 2 5 8 3 100 3 2 4 1 3 4 2 4 9 1 3 3 9 3. 5 2. Rozwiązać równania i nierówności: 4 2x+1 = 8 5x

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA

Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Szkoła: Liceum Ogólnokształcące Klasa: pierwsza Poziom nauczania: podstawowy Numer programu: DPN-5002-31/08 Podręcznik: MATEMATYKA Anna Jatczak, Monika Ciołkosz,

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 1. OKNO - Ośrodek Kształcenia na Odległość Politechnika Warszawska. Krystyna Lipińska Dominik Jagiełło Rafał Maj

MATEMATYKA 1. OKNO - Ośrodek Kształcenia na Odległość Politechnika Warszawska. Krystyna Lipińska Dominik Jagiełło Rafał Maj MATEMATYKA 1 OKNO - Ośrodek Kształcenia na Odległość Politechnika Warszawska Krystyna Lipińska Dominik Jagiełło Rafał Maj 2010 Spis treści 1 Ciągi i szeregi liczbowe 9 1.1 Definicja i podstawowe własności........................

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWY REGULAMIN OCENIANIA OSIĄGNIĘĆ EDUKACYJNYCH Z MATEMATYKIW KLASIE III b LO rok szkolny 2015/2016

SZCZEGÓŁOWY REGULAMIN OCENIANIA OSIĄGNIĘĆ EDUKACYJNYCH Z MATEMATYKIW KLASIE III b LO rok szkolny 2015/2016 SZCZEGÓŁOWY REGULAMIN OCENIANIA OSIĄGNIĘĆ EDUKACYJNYCH Z MATEMATYKIW KLASIE III b LO rok szkolny 2015/2016 I. Podstawa prawna: Rozdział 33a ustawy o systemie oświaty z dnia 7 września 1991r. z późniejszymi

Bardziej szczegółowo

BLOK I. , x = 2 2. 3. Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, obliczyć pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach:

BLOK I. , x = 2 2. 3. Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, obliczyć pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach: BLOK I. Rachunek różniczkowy i całkowy. Znaleźć przyrost funkcji f(x) = 3x 3 przy x = zakładając, że przyrost x zmiennej niezależnej jest równy: a), ; b), ;, 5.. Znaleźć iloraz różnicowy funkcji y = f(x)

Bardziej szczegółowo

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki poziom podstawowy rozumowanie i argumentacja karty pracy ZESTAW II Zadanie. Wiadomo, że,7 jest przybliżeniem liczby 0,5 z zaokrągleniem do miejsc po przecinku. Wyznacz przybliżenie

Bardziej szczegółowo

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.)

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.) IV etap edukacyjny Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.01 r.) Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki w klasie III zsz. 5. Statystyka-średnia arytmetyczna, średnia ważona, mediana, dominanata.

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki w klasie III zsz. 5. Statystyka-średnia arytmetyczna, średnia ważona, mediana, dominanata. Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki w klasie III zsz 1. Wzajemne położenia prostych, płaszczyzn w przestrzeni. 2. Graniastosłupy- podział, pole powierzchni i objętość. 3. Ostrosłupy- podział,

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA - CYKL 5 GODZINNY. DATA : 8 czerwca 2009

MATEMATYKA - CYKL 5 GODZINNY. DATA : 8 czerwca 2009 MATURA EUROPEJSKA 2009 MATEMATYKA - CYKL 5 GODZINNY DATA : 8 czerwca 2009 CZAS TRWANIA EGZAMINU: 4 godziny (240 minut) DOZWOLONE POMOCE : Europejski zestaw wzorów Kalkulator (bez grafiki, bez możliwości

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1

Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1 Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1 Matematyka Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Klasa 1 Liceum i technikum Katalog

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. podstawowym dla uczniów technikum. część II

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. podstawowym dla uczniów technikum. część II Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie podstawowym dla uczniów technikum część II Figury na płaszczyźnie kartezjańskiej L.p. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2 wymagania edukacyjne

Matematyka 2 wymagania edukacyjne Matematyka wymagania edukacyjne Zakres podstawowy POZIOMY WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń używa języka matematycznego

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych (c.d.)

Funkcje wielu zmiennych (c.d.) Funkcje wielu zmiennych (c.d.) Ekstrema funkcji wielu zmiennych Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 1/40 Minimum lokalne

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Katalog wymagań programowych

MATEMATYKA Katalog wymagań programowych MATEMATYKA Katalog wymagań programowych KLASA 1H LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koniecznych lub podstawowych - na ocenę dopuszczającą () lub dostateczną przedstawiać liczby rzeczywiste w różnych

Bardziej szczegółowo

Spis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich

Spis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich Spis treści Liczby zespolone Macierze wyznaczniki równania liniowe 4 Geometria analityczna 9 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7 Pochodne

Bardziej szczegółowo

ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY

ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY Zadanie Wskaż w zbiorze A = Zadanie Usuń niewymierność z wyrażenia,(0); 0,9; ; 0; 8; 0; 0 liczby wymierne 6 Zadanie Rozwiąż nierówność x + > Rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne. Hasło z podstawy programowej 1. Liczby naturalne 1 Liczby naturalne, cechy podzielności. Liczba godzin

Wymagania edukacyjne. Hasło z podstawy programowej 1. Liczby naturalne 1 Liczby naturalne, cechy podzielności. Liczba godzin . Liczby rzeczywiste (3 h) PRZEDMIOT: Matematyka KLASA: I zasadnicza szkoła zawodowa Dział programowy Temat Wymagania edukacyjne Liczba godzin Hasło z podstawy programowej. Liczby naturalne Liczby naturalne,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony

MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI KLASA I Lb TECHNIKUM \ rok. LICZBY I DZIAŁANIA Liczby naturalne, całkowite, wymierne i niewymierne Działania na liczbach Przedziały liczbowe,działania na

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY /

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem powinny być opanowane przez każdego ucznia. Wymagania

Bardziej szczegółowo

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego 1. Liczby rzeczywiste P1.1. Przedstawianie liczb rzeczywistych w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego,

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI WPISUJE ZDAJĄCY IMIĘ I NAZWISKO UCZNIA NUMER UCZNIA W DZIENNIKU PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron (zadania 1 33). Ewentualny

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. MATEMATYKA Z SENSEM Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Klasa I Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania konieczne (K)

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ

ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTEP Zadanie minimalizacji bez ograniczeń f(ˆx) = min x R nf(x) f : R n R funkcja ograniczona z dołu Algorytm rozwiazywania Rekurencyjny

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA LICEUM. 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń:

MATEMATYKA LICEUM. 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: MATEMATYKA LICEUM Stopień niedostateczny otrzymuje uczeń, który nie opanował wiadomości i umiejętności określonych w podstawie programowej i braki uniemożliwiają dalsze zdobywanie wiedzy z tego przedmiotu,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA CYKL 3 GODZINNY

MATEMATYKA CYKL 3 GODZINNY MATURA EUROPEJSKA 010 MATEMATYKA CYKL 3 GODZINNY DATA 4 czerwca 010 CZAS TRWANIA EGZAMINU : 3 godziny (180 minut) DOZWOLONE POMOCE Europejski zestaw wzorów Kalkulator (bez grafiki, bez programowania) UWAGI:

Bardziej szczegółowo

Kurs matematyki dla chemików

Kurs matematyki dla chemików Kurs matematyki dla chemików nr 136 Joanna Ger Kurs matematyki dla chemików Wydanie piąte poprawione Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego Katowice 2012 Redaktor serii: Matematyka Tomawsz Dłotko Recenzenci

Bardziej szczegółowo

Wymagania z wiedzy i umiejętności na poszczególne stopnie szkolne z matematyki Technikum Mechaniczne nr 15

Wymagania z wiedzy i umiejętności na poszczególne stopnie szkolne z matematyki Technikum Mechaniczne nr 15 Wymagania z wiedzy i umiejętności na poszczególne stopnie szkolne z matematyki Technikum Mechaniczne nr 15 Uczeń, aby otrzymać daną ocenę powinien opanować umiejętności wymagane na daną ocenę oraz wymagania

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA - - MATEMATYKA ROK SZKOLNY 2015/2016. opracowała: mgr Anna Przybylska

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA - - MATEMATYKA ROK SZKOLNY 2015/2016. opracowała: mgr Anna Przybylska PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA - - MATEMATYKA ROK SZKOLNY 2015/2016 opracowała: mgr Anna Przybylska I. CELE EDUKACJI MATEMATYCZNEJ w zakresie rozwoju intelektualnego ucznia (cele związane z kształceniem):

Bardziej szczegółowo

Klasa 3. Odczytywanie wykresów.

Klasa 3. Odczytywanie wykresów. Klasa 3 Odczytywanie wykresów 1 Wykres obok przedstawia zmiany temperatury podczas pewnego zimowego dnia w Giżycku Jaką temperaturę powietrza pokazywał tego dnia termometr o godzinie 18 00? A 0 C B 1 C

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA IV etap edukacyjny

MATEMATYKA IV etap edukacyjny MATEMATYKA IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje otrzymany wynik Uczeń uŝywa

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje i ich granice

1 Funkcje i ich granice Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

ZAKRES PODSTAWOWY CZĘŚĆ II. Wyrażenia wymierne

ZAKRES PODSTAWOWY CZĘŚĆ II. Wyrażenia wymierne CZĘŚĆ II ZAKRES PODSTAWOWY Wyrażenia wymierne Temat: Wielomiany-przypomnienie i poszerzenie wiadomości. (2 godz.) znać i rozumieć pojęcie jednomianu (2) znać i rozumieć pojęcie wielomianu stopnia n (2)

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

AB = x a + yb y a + zb z a 1

AB = x a + yb y a + zb z a 1 1. Wektory w przestrzeni trójwymiarowej EFINICJA. Uporzadkowana pare punktów (A, B) nazywamy wektorem i oznaczamy AB. Punkt A to poczatek wektora, punkt B to koniec wektora. EFINICJA. Je±li B = A, to wektor

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJ

SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJ SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU BUDOWNICTWA WNT UWM W ROKU AKADEMICKIM 2012/2013 Nazwa przedmiotu: Zajęcia wyrównawcze z matematyki Rodzaj studiów:

Bardziej szczegółowo

Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia (licencjackie), rok I

Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia (licencjackie), rok I Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia (licencjackie), rok I Sylabus modułu: Analiza matematyczna 1A (03-MO1S-12-AMa1A) 1. Informacje ogólne koordynator

Bardziej szczegółowo

Klasa pierwsza: I TE 1, I TE 2, 1 TG, 1 TH, I TRA, 1TI Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Liczby rzeczywiste

Klasa pierwsza: I TE 1, I TE 2, 1 TG, 1 TH, I TRA, 1TI Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Liczby rzeczywiste Klasa pierwsza: I TE 1, I TE 2, 1 TG, 1 TH, I TRA, 1TI Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 0 nr programu DKOS-5002-7/07 I. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne. 1 Wykonalność

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe, rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania (W). Wymienione poziomy wymagań odpowiadają w przybliżeniu

Bardziej szczegółowo