5. Całka nieoznaczona
|
|
- Ignacy Kania
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 5. Całka nieoznaczona Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
2 Całka nieoznaczona - motywacja Jeśli w matematyce istotna jest jakaś operacja, to operacja do niej odwrotna też zazwyczaj będzie interesująca. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
3 Całka nieoznaczona - motywacja Jeśli w matematyce istotna jest jakaś operacja, to operacja do niej odwrotna też zazwyczaj będzie interesująca. Dla dodawania mamy odejmowanie, dla mnożenia - dzielenie, dla potęgowania - pierwiastkowanie, dla funkcji wykładniczej - logarytm. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
4 Całka nieoznaczona - motywacja Jeśli w matematyce istotna jest jakaś operacja, to operacja do niej odwrotna też zazwyczaj będzie interesująca. Dla dodawania mamy odejmowanie, dla mnożenia - dzielenie, dla potęgowania - pierwiastkowanie, dla funkcji wykładniczej - logarytm. Nic dziwnego, że istnieje (i jest bardzo ważna) operacja odwrotna do obliczania pochodnej (różniczkowania). Jest to całkowanie, czyli obliczanie całki. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
5 Całka nieoznaczona - zastosowania rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
6 Całka nieoznaczona - zastosowania Dana jest prędkość poruszania się przez pewien czas - wzorem v(t). Jaka droga została w tym czasie przebyta? By odpowiedzieć na to pytanie, musimy wiedzieć jakiej funkcji pochodną jest v(t). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
7 Całka nieoznaczona - zastosowania Dana jest prędkość poruszania się przez pewien czas - wzorem v(t). Jaka droga została w tym czasie przebyta? By odpowiedzieć na to pytanie, musimy wiedzieć jakiej funkcji pochodną jest v(t). Mamy daną funkcję krańcową jakiejś wielkości ekonomicznej (np. koszt krańcowy C k (x)). Jak wygląda funkcja kosztu całkowitego? Oczywiście, znów szukamy funkcji, której pochodną jest C k (x). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
8 Całka nieoznaczona - zastosowania Dana jest prędkość poruszania się przez pewien czas - wzorem v(t). Jaka droga została w tym czasie przebyta? By odpowiedzieć na to pytanie, musimy wiedzieć jakiej funkcji pochodną jest v(t). Mamy daną funkcję krańcową jakiejś wielkości ekonomicznej (np. koszt krańcowy C k (x)). Jak wygląda funkcja kosztu całkowitego? Oczywiście, znów szukamy funkcji, której pochodną jest C k (x). Więcej przykładów zastosowań całek pojawi się w kolejnym zestawie - o całkach oznaczonych. Jednak, by zajmować się nimi, musimy wpierw zrozumieć całki nieoznaczone. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
9 Funkcja pierwotna Funkcja pierwotna Niech f będzie funkcją rzeczywistą. Funkcję F, określoną i różniczkowalną na D f i spełniającą warunek: x Df F (x) = f (x) nazywamy funkcją pierwotną funkcji f. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
10 Funkcja pierwotna Funkcja pierwotna Niech f będzie funkcją rzeczywistą. Funkcję F, określoną i różniczkowalną na D f i spełniającą warunek: x Df F (x) = f (x) nazywamy funkcją pierwotną funkcji f. Generalnie, nie każda funkcja ma pierwotną, aczkolwiek przykłady funkcji, które pierwotnych nie mają, są dość patologiczne : w ramach tego wykładu nie natkniemy się na funkcje, dla których pierwotnej nie da się obliczyć. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
11 Niejednoznaczność funkcji pierwotnej Funkcja F (x) = x 2 jest pierwotną funkcji f (x) = 2x. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
12 Niejednoznaczność funkcji pierwotnej Funkcja F (x) = x 2 jest pierwotną funkcji f (x) = 2x. Zauważmy jednak, że funkcją pierwotną do f będzie też np. x rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
13 Niejednoznaczność funkcji pierwotnej Funkcja F (x) = x 2 jest pierwotną funkcji f (x) = 2x. Zauważmy jednak, że funkcją pierwotną do f będzie też np. x lub x 2 2 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
14 Niejednoznaczność funkcji pierwotnej Funkcja F (x) = x 2 jest pierwotną funkcji f (x) = 2x. Zauważmy jednak, że funkcją pierwotną do f będzie też np. x lub x 2 2 i generalnie x 2 + C, gdzie C R. Dlatego funkcja f ma nieskończenie wiele funkcji pierwotnych. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
15 Niejednoznaczność funkcji pierwotnej Funkcja F (x) = x 2 jest pierwotną funkcji f (x) = 2x. Zauważmy jednak, że funkcją pierwotną do f będzie też np. x lub x 2 2 i generalnie x 2 + C, gdzie C R. Dlatego funkcja f ma nieskończenie wiele funkcji pierwotnych. Sytuacja przedstawiona powyżej nie jest jakąś osobliwością - jest to ogólna prawidłowość. O ile różniczkowanie funkcji prowadzi nas do pojedynczego wyniku to operacja odwrotna do niego (znajdowanie funkcji pierwotnej, które nazywamy też całkowaniem) jako wynik daje nam nieskończenie wiele funkcji różniących się od siebie o stałą. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
16 Niejednoznaczność funkcji pierwotnej W ogólności, mamy dokładny opis zbioru funkcji pierwotnych, jeśli tylko wyznaczymy choć jedną z nich: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
17 Niejednoznaczność funkcji pierwotnej W ogólności, mamy dokładny opis zbioru funkcji pierwotnych, jeśli tylko wyznaczymy choć jedną z nich: Niejednoznaczność funkcji pierwotnej Niech f będzie funkcją rzeczywistą, a F 1 - dowolną funkcją pierwotną f. Wtedy F 2 jest funkcją pierwotną f wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje C R takie, że dla każdego x D f F 2 (x) = F 1 (x) + C. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
18 Niejednoznaczność funkcji pierwotnej W ogólności, mamy dokładny opis zbioru funkcji pierwotnych, jeśli tylko wyznaczymy choć jedną z nich: Niejednoznaczność funkcji pierwotnej Niech f będzie funkcją rzeczywistą, a F 1 - dowolną funkcją pierwotną f. Wtedy F 2 jest funkcją pierwotną f wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje C R takie, że dla każdego x D f F 2 (x) = F 1 (x) + C. C w tym zapisie jest dowolną liczbą rzeczywistą (więc będą pojawiać się działania typu :C + C = C - bo dowolna stała to dowolna stała) i nie należy o niej zapominać przy obliczaniu całek! Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
19 Niejednoznaczność funkcji pierwotnej Zauważmy, że jeśli dodatkowo mamy daną wartość funkcji pierwotnej w jakimś punkcie (np. położenie w chwili 0, gdy chcemy wyznaczyć funkcję położenia, mając daną prędkość), to w rezultacie ta funkcja pierwotna będzie wyznaczona jednoznacznie. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
20 Niejednoznaczność funkcji pierwotnej Zauważmy, że jeśli dodatkowo mamy daną wartość funkcji pierwotnej w jakimś punkcie (np. położenie w chwili 0, gdy chcemy wyznaczyć funkcję położenia, mając daną prędkość), to w rezultacie ta funkcja pierwotna będzie wyznaczona jednoznacznie. Na przykład, gdy szukamy funkcji pierwotnej F do f (x) = 2x, takiej, że F (0) = 1, to jedyną odpowiedzią będzie F (x) = x i rozwiązanie takiego problemu będzie określone jednoznacznie. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
21 Całka nieoznaczona Całka nieoznaczona Całką nieoznaczoną funkcji f nazywamy zbiór funkcji pierwotnych funkcji f. Zapisujemy: f (x) dx = F (x) + C, (gdzie F (x) = f (x)). W powyższym zapisie jest symbolem całki, a dx - tego, że całkujemy po zmiennej x (nie wolno tego opuszczać w zapisie!), zaś f nazywa się funkcją podcałkową. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
22 Całka nieoznaczona Przykład 1 Ile wynosi 2x dx? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
23 Całka nieoznaczona Przykład 1 Ile wynosi 2x dx? Wiemy z wcześniejszych obliczeń, że 2xdx = x 2 + C, bo (x 2 + C) = 2x. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
24 Całka nieoznaczona Przykład 1 Ile wynosi 2x dx? Wiemy z wcześniejszych obliczeń, że 2xdx = x 2 + C, bo (x 2 + C) = 2x. Przykład 2 Ile wynosi 2x dy? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
25 Całka nieoznaczona Przykład 1 Ile wynosi 2x dx? Wiemy z wcześniejszych obliczeń, że 2xdx = x 2 + C, bo (x 2 + C) = 2x. Przykład 2 Ile wynosi 2x dy? W tym przykładzie x jest tylko jakimś parametrem, a y jest właściwą zmienną, względem której liczymy pochodne. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
26 Całka nieoznaczona Przykład 1 Ile wynosi 2x dx? Wiemy z wcześniejszych obliczeń, że 2xdx = x 2 + C, bo (x 2 + C) = 2x. Przykład 2 Ile wynosi 2x dy? W tym przykładzie x jest tylko jakimś parametrem, a y jest właściwą zmienną, względem której liczymy pochodne. Ponieważ (2xy) y = 2x (gdy y rozumiemy jako liczenie pochodnej po y), 2xdy = 2xy + C. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
27 Całka nieoznaczona Przykład 1 Ile wynosi 2x dx? Wiemy z wcześniejszych obliczeń, że 2xdx = x 2 + C, bo (x 2 + C) = 2x. Przykład 2 Ile wynosi 2x dy? W tym przykładzie x jest tylko jakimś parametrem, a y jest właściwą zmienną, względem której liczymy pochodne. Ponieważ (2xy) y = 2x (gdy y rozumiemy jako liczenie pochodnej po y), 2xdy = 2xy + C. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
28 Obliczanie prostych całek z definicji Niektóre całki można, tak jak robiliśmy to przed chwilą, obliczyć z definicji, zgadując rozwiązanie, a następnie sprawdzając, czy pochodna z wyniku faktycznie jest równa funkcji podcałkowej. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
29 Obliczanie prostych całek z definicji Niektóre całki można, tak jak robiliśmy to przed chwilą, obliczyć z definicji, zgadując rozwiązanie, a następnie sprawdzając, czy pochodna z wyniku faktycznie jest równa funkcji podcałkowej. Można powiedzieć, że to jedyny uniwersalny (czyli zawsze działający) sposób obliczania całek. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
30 Obliczanie prostych całek z definicji Niektóre całki można, tak jak robiliśmy to przed chwilą, obliczyć z definicji, zgadując rozwiązanie, a następnie sprawdzając, czy pochodna z wyniku faktycznie jest równa funkcji podcałkowej. Można powiedzieć, że to jedyny uniwersalny (czyli zawsze działający) sposób obliczania całek. Niestety, nie jest on zbyt praktyczny przy trudniejszych funkcjach. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
31 Całki prostych funkcji Całki prostych funkcji: f (x) 0 1 x r, r 1 1 x f (x)dx C x + C 1 r+1 x r+1 + C ln x + C rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
32 Całki prostych funkcji Całki prostych funkcji: f (x) 0 1 x r 1, r 1 x f (x)dx C x + C 1 x r+1 + C ln x + C r+1 f (x) e x a x sin x cos x f (x)dx e x a + C x + C cos x + C sin x + C ln a rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
33 Całki prostych funkcji Całki prostych funkcji: f (x) 0 1 x r 1, r 1 x f (x)dx C x + C 1 x r+1 + C ln x + C r+1 f (x) e x a x sin x cos x f (x)dx e x a + C x + C cos x + C sin x + C ln a W tabeli nie ma wzorów na całki funkcji logarytmicznych. Są one nieco bardziej skomplikowane, ale nauczymy się je obliczać. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
34 Funkcja pierwotna Dla kombinacji liniowych funkcji, których całki znamy, obliczenia prowadzimy na podstawie następującego twierdzenia: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
35 Funkcja pierwotna Dla kombinacji liniowych funkcji, których całki znamy, obliczenia prowadzimy na podstawie następującego twierdzenia: O liniowości całki Zachodzą następujące zależności: 1) f (x) ± g(x)dx = f (x)dx ± g(x) 2) a R af (x)dx = a f (x)dx. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
36 Funkcja pierwotna Dla kombinacji liniowych funkcji, których całki znamy, obliczenia prowadzimy na podstawie następującego twierdzenia: O liniowości całki Zachodzą następujące zależności: 1) f (x) ± g(x)dx = f (x)dx ± g(x) 2) a R af (x)dx = a f (x)dx. Zauważmy, że to twierdzenie jest analogiczne z odpowiednimi twierdzeniami dotyczącymi pochodnych. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
37 Proste przykłady Przykład 1 Ile wynosi x dx? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
38 Proste przykłady Przykład 1 Ile wynosi x dx? Wiemy, że x 2 dx = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
39 Proste przykłady Przykład 1 Ile wynosi x dx? Wiemy, że x 2 dx = 1 3 x 3 + C, i 1dx = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
40 Proste przykłady Przykład 1 Ile wynosi x dx? Wiemy, że x 2 dx = 1 3 x 3 + C, i 1dx = x + C, więc x dx = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
41 Proste przykłady Przykład 1 Ile wynosi x dx? Wiemy, że x 2 dx = 1 3 x 3 + C, i 1dx = x + C, więc x dx = 1 3 x 3 + x + C. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
42 Proste przykłady Przykład 1 Ile wynosi x dx? Wiemy, że x 2 dx = 1 3 x 3 + C, i 1dx = x + C, więc x dx = 1 3 x 3 + x + C. Przykład 2 Ile wynosi 5 sin x dx? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
43 Proste przykłady Przykład 1 Ile wynosi x dx? Wiemy, że x 2 dx = 1 3 x 3 + C, i 1dx = x + C, więc x dx = 1 3 x 3 + x + C. Przykład 2 Ile wynosi 5 sin x dx? Wiemy, że sin xdx = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
44 Proste przykłady Przykład 1 Ile wynosi x dx? Wiemy, że x 2 dx = 1 3 x 3 + C, i 1dx = x + C, więc x dx = 1 3 x 3 + x + C. Przykład 2 Ile wynosi 5 sin x dx? Wiemy, że sin xdx = cos x + C, więc 5 sin x dx = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
45 Proste przykłady Przykład 1 Ile wynosi x dx? Wiemy, że x 2 dx = 1 3 x 3 + C, i 1dx = x + C, więc x dx = 1 3 x 3 + x + C. Przykład 2 Ile wynosi 5 sin x dx? Wiemy, że sin xdx = cos x + C, więc 5 sin x dx = 5 cos x + C. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
46 Problemy z całkami Niestety, nie mamy równie wygodnych, jak w przypadku pochodnych, wzorów dotyczących całek iloczynu, ilorazu, czy złożenia funkcji. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
47 Problemy z całkami Niestety, nie mamy równie wygodnych, jak w przypadku pochodnych, wzorów dotyczących całek iloczynu, ilorazu, czy złożenia funkcji. Dlatego obliczanie całek jest dużo trudniejsze niż pochodnych. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
48 Problemy z całkami Niestety, nie mamy równie wygodnych, jak w przypadku pochodnych, wzorów dotyczących całek iloczynu, ilorazu, czy złożenia funkcji. Dlatego obliczanie całek jest dużo trudniejsze niż pochodnych. Nie ma metod, które działają zawsze - by nabyć umiejętność obliczania całek potrzebne jest doświadczenie wynikające z przerobienia dużej liczby przykładów. Wtedy można mieć intuicję, która zasugeruje poprawną drogę do rozwiązania (a i to wcale nie zawsze). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
49 Problemy z całkami Niestety, nie mamy równie wygodnych, jak w przypadku pochodnych, wzorów dotyczących całek iloczynu, ilorazu, czy złożenia funkcji. Dlatego obliczanie całek jest dużo trudniejsze niż pochodnych. Nie ma metod, które działają zawsze - by nabyć umiejętność obliczania całek potrzebne jest doświadczenie wynikające z przerobienia dużej liczby przykładów. Wtedy można mieć intuicję, która zasugeruje poprawną drogę do rozwiązania (a i to wcale nie zawsze). Co gorsza, istnieją całki, których konwencjonalnymi metodami nie da się obliczyć tj., precyzyjniej rzecz ujmując, funkcje pierwotne, nawet dość prostych funkcji, mogą być niemożliwe do przedstawienia za pomocą skończonej liczby działań na funkcjach elementarnych. Można jedynie za pomocą metod numerycznych obliczyć przybliżone wartości tych funkcji pierwotnych w różnych punktach. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
50 Całki nieobliczalne Przykładowe całki, dla których nie da się przedstawić wyniku za pomocą skończonej liczby działań na funkcjach elementarnych, a zatem też nie da się zastosować do nich ogólnego algorytmu obliczania: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
51 Całki nieobliczalne Przykładowe całki, dla których nie da się przedstawić wyniku za pomocą skończonej liczby działań na funkcjach elementarnych, a zatem też nie da się zastosować do nich ogólnego algorytmu obliczania: e x 2 dx, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
52 Całki nieobliczalne Przykładowe całki, dla których nie da się przedstawić wyniku za pomocą skończonej liczby działań na funkcjach elementarnych, a zatem też nie da się zastosować do nich ogólnego algorytmu obliczania: e x 2 dx, sin x dx, x rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
53 Całki nieobliczalne Przykładowe całki, dla których nie da się przedstawić wyniku za pomocą skończonej liczby działań na funkcjach elementarnych, a zatem też nie da się zastosować do nich ogólnego algorytmu obliczania: e x 2 dx, sin x x dx, 1 dx, ln x rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
54 Na szczęście... Na szczęście, obliczanie całek skomplikowanych funkcji nie jest zazwyczaj potrzebne w zagadnieniach ekonomicznych. Dlatego będziemy się przede wszystkim zajmować funkcjami, które można policzyć za pomocą dwu sprytnych sposobów: przez części i przez podstawienie. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
55 Twierdzenie o całkowaniu przez części Całkowanie przez części stosujemy, gdy chcemy znaleźć funkcję pierwotną iloczynu funkcji elementarnych. Opiera się ono na poniższym twierdzeniu: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
56 Twierdzenie o całkowaniu przez części Całkowanie przez części stosujemy, gdy chcemy znaleźć funkcję pierwotną iloczynu funkcji elementarnych. Opiera się ono na poniższym twierdzeniu: Twierdzenie o całkowaniu przez części Jeśli funkcje f i g są różniczkowalne we wspólnej dziedzinie, to zachodzi: f (x)g (x) dx = f (x)g(x) f (x)g(x) dx rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
57 Twierdzenie o całkowaniu przez części - dowód Wzór na całkowanie przez części można łatwo wyprowadzić ze wzoru na pochodną iloczynu: (f (x) g(x)) = f (x)g(x) + f (x)g (x). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
58 Twierdzenie o całkowaniu przez części - dowód Wzór na całkowanie przez części można łatwo wyprowadzić ze wzoru na pochodną iloczynu: (f (x) g(x)) = f (x)g(x) + f (x)g (x). Wystarczy obie strony przecałkować i pamiętać, że całka i pochodna to odwzorowania odwrotne: f (x) g(x) = (f (x) g(x)) dx = f (x)g(x)dx + f (x)g (x)dx. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
59 Twierdzenie o całkowaniu przez części - dowód Wzór na całkowanie przez części można łatwo wyprowadzić ze wzoru na pochodną iloczynu: (f (x) g(x)) = f (x)g(x) + f (x)g (x). Wystarczy obie strony przecałkować i pamiętać, że całka i pochodna to odwzorowania odwrotne: f (x) g(x) = (f (x) g(x)) dx = f (x)g(x)dx + f (x)g (x)dx. Wzór na całkę przez części powstaje, gdy odejmiemy f (x)g(x)dx od obu stron. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
60 Twierdzenie o całkowaniu przez części - dyskusja Twierdzenie o całkowaniu przez części f (x)g (x) dx = f (x)g(x) f (x)g(x) dx Wydaje się, że zastosowanie tej formuły nie poprawia sytuacji, bo po obu jej stronach występuje całka, którą i tak musimy obliczyć. Jednak, ten wzór jest użyteczny, gdy mamy scałkować iloczyn dwu funkcji z których jedna znacząco się upraszcza, gdy się ją różniczkuje (f ), zaś druga się nie komplikuje zanadto przy całkowaniu (g ). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
61 Wieża całkowania przez części Twierdzenie o całkowaniu przez części f (x)g (x) dx = f (x)g(x) f (x)g(x) dx rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
62 Wieża całkowania przez części Twierdzenie o całkowaniu przez części f (x)g (x) dx = f (x)g(x) f (x)g(x) dx Warto zapamiętać następującą kolejność (nie jest to żadna generalna prawidłowość, ani twierdzenie, tylko pewna wskazówka, która najczęściej, choć nie zawsze, powinna zadziałać): funkcje logarytmiczne rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
63 Wieża całkowania przez części Twierdzenie o całkowaniu przez części f (x)g (x) dx = f (x)g(x) f (x)g(x) dx Warto zapamiętać następującą kolejność (nie jest to żadna generalna prawidłowość, ani twierdzenie, tylko pewna wskazówka, która najczęściej, choć nie zawsze, powinna zadziałać): funkcje logarytmiczne rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
64 Wieża całkowania przez części Twierdzenie o całkowaniu przez części f (x)g (x) dx = f (x)g(x) f (x)g(x) dx Warto zapamiętać następującą kolejność (nie jest to żadna generalna prawidłowość, ani twierdzenie, tylko pewna wskazówka, która najczęściej, choć nie zawsze, powinna zadziałać): funkcje logarytmiczne funkcje wielomianowe i wielomianopodobne rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
65 Wieża całkowania przez części Twierdzenie o całkowaniu przez części f (x)g (x) dx = f (x)g(x) f (x)g(x) dx Warto zapamiętać następującą kolejność (nie jest to żadna generalna prawidłowość, ani twierdzenie, tylko pewna wskazówka, która najczęściej, choć nie zawsze, powinna zadziałać): funkcje logarytmiczne funkcje wielomianowe i wielomianopodobne rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
66 Wieża całkowania przez części Twierdzenie o całkowaniu przez części f (x)g (x) dx = f (x)g(x) f (x)g(x) dx Warto zapamiętać następującą kolejność (nie jest to żadna generalna prawidłowość, ani twierdzenie, tylko pewna wskazówka, która najczęściej, choć nie zawsze, powinna zadziałać): funkcje logarytmiczne funkcje wielomianowe i wielomianopodobne funkcje wykładnicze. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
67 Wieża całkowania przez części funkcje logarytmiczne funkcje wielomianowe i wielomianopodobne funkcje wykładnicze. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
68 Wieża całkowania przez części funkcje logarytmiczne funkcje wielomianowe i wielomianopodobne funkcje wykładnicze. Jeśli mamy iloczyn dwu różnych typów funkcji to zazwyczaj tę, która w poprzednim zdaniu wymieniona jest wyżej bierzemy jako f, a tę, która wymieniona jest później jako g. Jest to o tyle logiczne, że: logarytmy po zróżniczkowaniu przyjmują postać znacznie prostszą, a do scałkowania są nieelementarne, wielomiany łatwo się różniczkuje i całkuje, ale właśnie po zróżniczkowaniu znikają, a funkcje wykładnicze w zasadzie się nie zmieniają w obu wypadkach. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
69 Całkowanie przez części - przykład Całkowanie przez części - przykład Ile wynosi x 2 2 x dx? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
70 Całkowanie przez części - przykład Całkowanie przez części - przykład Ile wynosi x 2 2 x dx? Całkujemy iloczyn wielomianu (x 2 ) i funkcji wykładniczej (2 x ). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
71 Całkowanie przez części - przykład Całkowanie przez części - przykład Ile wynosi x 2 2 x dx? Całkujemy iloczyn wielomianu (x 2 ) i funkcji wykładniczej (2 x ). Skoro funkcje wielomianowe były wyżej niż wykładnicze, we wzorze podstawiamy f (x) = x 2 i g (x) = 2 x. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
72 Całkowanie przez części - przykład Całkowanie przez części - przykład Ile wynosi x 2 2 x dx? Całkujemy iloczyn wielomianu (x 2 ) i funkcji wykładniczej (2 x ). Skoro funkcje wielomianowe były wyżej niż wykładnicze, we wzorze podstawiamy f (x) = x 2 i g (x) = 2 x. Zapisujemy: x 2 2 x dx = f (x) = x 2 g (x) = 2 x f (x) = 2x g(x) = 2x ln 2 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
73 Całkowanie przez części - przykład Całkowanie przez części - przykład Ile wynosi x 2 2 x dx? Całkujemy iloczyn wielomianu (x 2 ) i funkcji wykładniczej (2 x ). Skoro funkcje wielomianowe były wyżej niż wykładnicze, we wzorze podstawiamy f (x) = x 2 i g (x) = 2 x. Zapisujemy: x 2 2 x dx = f (x) = x 2 g (x) = 2 x f (x) = 2x g(x) = 2x ln 2 = x 2 2 x ln 2 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
74 Całkowanie przez części - przykład Całkowanie przez części - przykład Ile wynosi x 2 2 x dx? Całkujemy iloczyn wielomianu (x 2 ) i funkcji wykładniczej (2 x ). Skoro funkcje wielomianowe były wyżej niż wykładnicze, we wzorze podstawiamy f (x) = x 2 i g (x) = 2 x. Zapisujemy: x 2 2 x dx = f (x) = x 2 g (x) = 2 x f (x) = 2x g(x) = 2x ln 2 = x 2 2 x ln 2 2x 2x ln 2 dx = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
75 Całkowanie przez części - przykład Całkowanie przez części - przykład Ile wynosi x 2 2 x dx? Całkujemy iloczyn wielomianu (x 2 ) i funkcji wykładniczej (2 x ). Skoro funkcje wielomianowe były wyżej niż wykładnicze, we wzorze podstawiamy f (x) = x 2 i g (x) = 2 x. Zapisujemy: x 2 2 x dx = f (x) = x 2 g (x) = 2 x f (x) = 2x g(x) = 2x ln 2 = x 2 2 x ln 2 2x 2x ln 2 dx = = x 2 2 x ln 2 2 ln 2 x2 x dx. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
76 Całkowanie przez części - przykład Całkowanie przez części - przykład Ile wynosi x 2 2 x dx? Całkujemy iloczyn wielomianu (x 2 ) i funkcji wykładniczej (2 x ). Skoro funkcje wielomianowe były wyżej niż wykładnicze, we wzorze podstawiamy f (x) = x 2 i g (x) = 2 x. Zapisujemy: x 2 2 x dx = f (x) = x 2 g (x) = 2 x f (x) = 2x g(x) = 2x ln 2 = x 2 2 x ln 2 2x 2x ln 2 dx = = x 2 2 x ln 2 2 ln 2 x2 x dx. Teraz trzeba zastosować wzór na całkowanie przez części jeszcze raz, w ten sam sposób. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
77 Całkowanie przez części - przykład Całkowanie przez części - przykład Ile wynosi x 2 2 x dx? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
78 Całkowanie przez części - przykład Całkowanie przez części - przykład Ile wynosi x 2 2 x dx? x 2 2 x dx = x 2 2 x ln 2 2 ln 2 x2 x dx = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
79 Całkowanie przez części - przykład Całkowanie przez części - przykład Ile wynosi x 2 2 x dx? x 2 2 x dx = x 2 2 x ln 2 2 ln 2 x2 x dx = f (x) = x f (x) = 1 g (x) = 2 x g(x) = 2x ln 2 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
80 Całkowanie przez części - przykład Całkowanie przez części - przykład Ile wynosi x 2 2 x dx? x 2 2 x dx = x 2 2 x ln 2 2 ln 2 x2 x dx = f (x) = x f (x) = 1 g (x) = 2 x g(x) = 2x ln 2 = = x 2 2 x ln 2 2 ln 2 (x2x ln 2 2 x ln 2 dx) = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
81 Całkowanie przez części - przykład Całkowanie przez części - przykład Ile wynosi x 2 2 x dx? x 2 2 x dx = x 2 2 x ln 2 2 ln 2 x2 x dx = f (x) = x f (x) = 1 g (x) = 2 x g(x) = 2x ln 2 = = x 2 2 x ln 2 2 ln 2 (x2x ln 2 2 x ln 2 dx) = x 2 2 x ln 2 2x2x (ln 2) 2 + 2x+1 (ln 2) 3 + C Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
82 Całkowanie przez części - przykład 2 Całkowanie przez części - przykład 2 Ile wynosi ln x dx? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
83 Całkowanie przez części - przykład 2 Całkowanie przez części - przykład 2 Ile wynosi ln x dx? Wydaje się, że nie ma tu żadnego iloczynu funkcji. Jednak możemy zapisać sprytnie tę całkę jako 1 ln x dx. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
84 Całkowanie przez części - przykład 2 Całkowanie przez części - przykład 2 Ile wynosi ln x dx? Wydaje się, że nie ma tu żadnego iloczynu funkcji. Jednak możemy zapisać sprytnie tę całkę jako 1 ln x dx. Całkujemy iloczyn wielomianu (1) i funkcji logarytmicznej (ln x). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
85 Całkowanie przez części - przykład 2 Całkowanie przez części - przykład 2 Ile wynosi ln x dx? Wydaje się, że nie ma tu żadnego iloczynu funkcji. Jednak możemy zapisać sprytnie tę całkę jako 1 ln x dx. Całkujemy iloczyn wielomianu (1) i funkcji logarytmicznej (ln x). Skoro funkcje wielomianowe były niżej niż logarytmiczne, we wzorze podstawiamy f (x) = ln x i g (x) = 1. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
86 Całkowanie przez części - przykład 2 Całkowanie przez części - przykład 2 Ile wynosi ln x dx? Wydaje się, że nie ma tu żadnego iloczynu funkcji. Jednak możemy zapisać sprytnie tę całkę jako 1 ln x dx. Całkujemy iloczyn wielomianu (1) i funkcji logarytmicznej (ln x). Skoro funkcje wielomianowe były niżej niż logarytmiczne, we wzorze podstawiamy f (x) = ln x i g (x) = 1. Zapisujemy: ln x dx = f (x) = ln x g (x) = 1 f (x) = 1 x g(x) = x = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
87 Całkowanie przez części - przykład 2 Całkowanie przez części - przykład 2 Ile wynosi ln x dx? Wydaje się, że nie ma tu żadnego iloczynu funkcji. Jednak możemy zapisać sprytnie tę całkę jako 1 ln x dx. Całkujemy iloczyn wielomianu (1) i funkcji logarytmicznej (ln x). Skoro funkcje wielomianowe były niżej niż logarytmiczne, we wzorze podstawiamy f (x) = ln x i g (x) = 1. Zapisujemy: ln x dx = f (x) = ln x g (x) = 1 f (x) = 1 x g(x) = x = x ln x rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
88 Całkowanie przez części - przykład 2 Całkowanie przez części - przykład 2 Ile wynosi ln x dx? Wydaje się, że nie ma tu żadnego iloczynu funkcji. Jednak możemy zapisać sprytnie tę całkę jako 1 ln x dx. Całkujemy iloczyn wielomianu (1) i funkcji logarytmicznej (ln x). Skoro funkcje wielomianowe były niżej niż logarytmiczne, we wzorze podstawiamy f (x) = ln x i g (x) = 1. Zapisujemy: ln x dx = f (x) = ln x g (x) = 1 f (x) = 1 x g(x) = x = x ln x x 1 x dx = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
89 Całkowanie przez części - przykład 2 Całkowanie przez części - przykład 2 Ile wynosi ln x dx? Wydaje się, że nie ma tu żadnego iloczynu funkcji. Jednak możemy zapisać sprytnie tę całkę jako 1 ln x dx. Całkujemy iloczyn wielomianu (1) i funkcji logarytmicznej (ln x). Skoro funkcje wielomianowe były niżej niż logarytmiczne, we wzorze podstawiamy f (x) = ln x i g (x) = 1. Zapisujemy: ln x dx = f (x) = ln x g (x) = 1 f (x) = 1 x g(x) = x = x ln x x 1 x dx = = x ln x rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
90 Całkowanie przez części - przykład 2 Całkowanie przez części - przykład 2 Ile wynosi ln x dx? Wydaje się, że nie ma tu żadnego iloczynu funkcji. Jednak możemy zapisać sprytnie tę całkę jako 1 ln x dx. Całkujemy iloczyn wielomianu (1) i funkcji logarytmicznej (ln x). Skoro funkcje wielomianowe były niżej niż logarytmiczne, we wzorze podstawiamy f (x) = ln x i g (x) = 1. Zapisujemy: ln x dx = f (x) = ln x g (x) = 1 f (x) = 1 x g(x) = x = x ln x x 1 x dx = = x ln x 1 dx = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
91 Całkowanie przez części - przykład 2 Całkowanie przez części - przykład 2 Ile wynosi ln x dx? Wydaje się, że nie ma tu żadnego iloczynu funkcji. Jednak możemy zapisać sprytnie tę całkę jako 1 ln x dx. Całkujemy iloczyn wielomianu (1) i funkcji logarytmicznej (ln x). Skoro funkcje wielomianowe były niżej niż logarytmiczne, we wzorze podstawiamy f (x) = ln x i g (x) = 1. Zapisujemy: ln x dx = f (x) = ln x g (x) = 1 f (x) = 1 x g(x) = x = x ln x x 1 x dx = = x ln x 1 dx = x ln x x + C. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
92 Całkowanie przez podstawienie - wstęp Całkowanie iloczynu, przynajmniej w niektórych sytuacjach, rozwiązujemy całkując przez części. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
93 Całkowanie przez podstawienie - wstęp Całkowanie iloczynu, przynajmniej w niektórych sytuacjach, rozwiązujemy całkując przez części. Okazuje się, że nie ma tak sensownego podejścia do całkowania ilorazu (chyba, że iloraz traktujemy jako iloczyn z odwrotnością). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
94 Całkowanie przez podstawienie - wstęp Całkowanie iloczynu, przynajmniej w niektórych sytuacjach, rozwiązujemy całkując przez części. Okazuje się, że nie ma tak sensownego podejścia do całkowania ilorazu (chyba, że iloraz traktujemy jako iloczyn z odwrotnością). Zostaje nam pytanie: jak radzić sobie z funkcjami złożonymi. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
95 Całkowanie przez podstawienie - wstęp Całkowanie iloczynu, przynajmniej w niektórych sytuacjach, rozwiązujemy całkując przez części. Okazuje się, że nie ma tak sensownego podejścia do całkowania ilorazu (chyba, że iloraz traktujemy jako iloczyn z odwrotnością). Zostaje nam pytanie: jak radzić sobie z funkcjami złożonymi. Wtedy przydatna może być technika zwana całkowaniem przez podstawienie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
96 Całkowanie przez podstawienie - twierdzenie Całkowanie przez podstawienie Jeśli funkcje rzeczywiste f i g są różniczkowalne i ich złożenie ma sens w pewnym przedziale otwartym, to zachodzi: f (g(x))g (x) dx = f (t) dt, gdzie t = g(x). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
97 Całkowanie przez podstawienie - twierdzenie Całkowanie przez podstawienie Jeśli funkcje rzeczywiste f i g są różniczkowalne i ich złożenie ma sens w pewnym przedziale otwartym, to zachodzi: f (g(x))g (x) dx = f (t) dt, gdzie t = g(x). Nazwa metody bierze się właśnie od podstawienia pomocniczej zmiennej t w miejsce funkcji wewnętrznej funkcji podcałkowej. Po obliczeniu prostej (przynajmniej mamy nadzieję, że prostej) całki po prawej stronie, powracamy do początkowych zmiennych. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
98 Całkowanie przez podstawienie - uwagi Całkowanie przez podstawianie wymaga trochę spostrzegawczości i jest dużo mniej schematyczne niż całkowanie przez części. Stosujemy je zasadniczo w dwu wypadkach: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
99 Całkowanie przez podstawienie - uwagi Całkowanie przez podstawianie wymaga trochę spostrzegawczości i jest dużo mniej schematyczne niż całkowanie przez części. Stosujemy je zasadniczo w dwu wypadkach: Gdy w skład funkcji podcałkowej wchodzi pewna funkcja i jej pochodna; rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
100 Całkowanie przez podstawienie - uwagi Całkowanie przez podstawianie wymaga trochę spostrzegawczości i jest dużo mniej schematyczne niż całkowanie przez części. Stosujemy je zasadniczo w dwu wypadkach: Gdy w skład funkcji podcałkowej wchodzi pewna funkcja i jej pochodna; Gdy mamy do czynienia ze złożeniem funkcji. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
101 Całkowanie przez podstawienie - uwagi Całkowanie przez podstawianie wymaga trochę spostrzegawczości i jest dużo mniej schematyczne niż całkowanie przez części. Stosujemy je zasadniczo w dwu wypadkach: Gdy w skład funkcji podcałkowej wchodzi pewna funkcja i jej pochodna; Gdy mamy do czynienia ze złożeniem funkcji. W przypadku pierwszym podstawiamy nową zmienną (t ze wzoru) za tę właśnie funkcję, która występuje razem ze swoją pochodną, w przypadku drugim - za funkcję wewnętrzną złożenia. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
102 Całkowanie przez podstawienie - uwagi Całkowanie przez podstawianie wymaga trochę spostrzegawczości i jest dużo mniej schematyczne niż całkowanie przez części. Stosujemy je zasadniczo w dwu wypadkach: Gdy w skład funkcji podcałkowej wchodzi pewna funkcja i jej pochodna; Gdy mamy do czynienia ze złożeniem funkcji. W przypadku pierwszym podstawiamy nową zmienną (t ze wzoru) za tę właśnie funkcję, która występuje razem ze swoją pochodną, w przypadku drugim - za funkcję wewnętrzną złożenia. Niestety, nie ma gwarancji, że nawet jeśli któraś z tych sytuacji ma miejsce, całkowanie przez podstawienie doprowadzi nas do wyniku. Dodatkowo, nawet jeśli jeden sposób podstawienia nie działa, nie wiemy, czy nie zadziała jakiś inny. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
103 Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć 3x + 1 dx. 3x + 1 jest funkcją złożoną, więc całkowanie przez podstawienie jest naturalnym wyborem. Oczywiście podstawiamy Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
104 Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć 3x + 1 dx. 3x + 1 jest funkcją złożoną, więc całkowanie przez podstawienie jest naturalnym wyborem. Oczywiście podstawiamy t = g(x) = 3x + 1 (bo jest to funkcja wewnętrzna złożenia). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
105 Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć 3x + 1 dx. 3x + 1 jest funkcją złożoną, więc całkowanie przez podstawienie jest naturalnym wyborem. Oczywiście podstawiamy t = g(x) = 3x + 1 (bo jest to funkcja wewnętrzna złożenia). Żeby skorzystać ze wzoru f (g(x))g (x) dx = f (t) dt potrzebujemy pod całką jeszcze g (x) = 3. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
106 Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć 3x + 1 dx. 3x + 1 jest funkcją złożoną, więc całkowanie przez podstawienie jest naturalnym wyborem. Oczywiście podstawiamy t = g(x) = 3x + 1 (bo jest to funkcja wewnętrzna złożenia). Żeby skorzystać ze wzoru f (g(x))g (x) dx = f (t) dt potrzebujemy pod całką jeszcze g (x) = 3. Możemy zapisać: 3x + 1 dx = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
107 Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć 3x + 1 dx. 3x + 1 jest funkcją złożoną, więc całkowanie przez podstawienie jest naturalnym wyborem. Oczywiście podstawiamy t = g(x) = 3x + 1 (bo jest to funkcja wewnętrzna złożenia). Żeby skorzystać ze wzoru f (g(x))g (x) dx = f (t) dt potrzebujemy pod całką jeszcze g (x) = 3. Możemy zapisać: 1 3x + 1 dx = 3x dx = 3 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
108 Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć 3x + 1 dx. 3x + 1 jest funkcją złożoną, więc całkowanie przez podstawienie jest naturalnym wyborem. Oczywiście podstawiamy t = g(x) = 3x + 1 (bo jest to funkcja wewnętrzna złożenia). Żeby skorzystać ze wzoru f (g(x))g (x) dx = f (t) dt potrzebujemy pod całką jeszcze g (x) = 3. Możemy zapisać: 1 3x + 1 dx = 3x dx = 3 g(x) = 3x + 1 = t g (x) = 3 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
109 Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć 3x + 1 dx. 3x + 1 jest funkcją złożoną, więc całkowanie przez podstawienie jest naturalnym wyborem. Oczywiście podstawiamy t = g(x) = 3x + 1 (bo jest to funkcja wewnętrzna złożenia). Żeby skorzystać ze wzoru f (g(x))g (x) dx = f (t) dt potrzebujemy pod całką jeszcze g (x) = 3. Możemy zapisać: 1 3x + 1 dx = 3x dx = 3 g(x) = 3x + 1 = t g (x) = 3 = 1 t dt = 3 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
110 Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć 3x + 1 dx. 3x + 1 jest funkcją złożoną, więc całkowanie przez podstawienie jest naturalnym wyborem. Oczywiście podstawiamy t = g(x) = 3x + 1 (bo jest to funkcja wewnętrzna złożenia). Żeby skorzystać ze wzoru f (g(x))g (x) dx = f (t) dt potrzebujemy pod całką jeszcze g (x) = 3. Możemy zapisać: 1 3x + 1 dx = 3x dx = 3 g(x) = 3x + 1 = t g (x) = 3 = 1 1 t dt = 3 3 t 1 2 dt = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
111 Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć 3x + 1 dx. 3x + 1 jest funkcją złożoną, więc całkowanie przez podstawienie jest naturalnym wyborem. Oczywiście podstawiamy t = g(x) = 3x + 1 (bo jest to funkcja wewnętrzna złożenia). Żeby skorzystać ze wzoru f (g(x))g (x) dx = f (t) dt potrzebujemy pod całką jeszcze g (x) = 3. Możemy zapisać: 1 3x + 1 dx = 3x dx = 3 g(x) = 3x + 1 = t g (x) = 3 = 1 1 t dt = 3 3 t 1 2 dt = t C = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
112 Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć 3x + 1 dx. 3x + 1 jest funkcją złożoną, więc całkowanie przez podstawienie jest naturalnym wyborem. Oczywiście podstawiamy t = g(x) = 3x + 1 (bo jest to funkcja wewnętrzna złożenia). Żeby skorzystać ze wzoru f (g(x))g (x) dx = f (t) dt potrzebujemy pod całką jeszcze g (x) = 3. Możemy zapisać: 1 3x + 1 dx = 3x dx = 3 g(x) = 3x + 1 = t g (x) = 3 = 1 1 t dt = 3 3 t dt = t C = (3x + 1) C. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
113 Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć 3x + 1 dx. Inny zapis: pod całką nie mogą pojawić się dwie zmienne naraz. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
114 Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć 3x + 1 dx. Inny zapis: pod całką nie mogą pojawić się dwie zmienne naraz. Dlatego gdy podstawiamy t = 3x + 1, musimy zastąpić też dx. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
115 Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć 3x + 1 dx. Inny zapis: pod całką nie mogą pojawić się dwie zmienne naraz. Dlatego gdy podstawiamy t = 3x + 1, musimy zastąpić też dx. Ten symbol można interpretować jako ślad po różniczkowaniu po x. By zmienić do na dt potrzebujemy obustronnie zróżniczkować t = 3x + 1, dopisując symbole śladów po różniczkowaniu. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
116 Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć 3x + 1 dx. Inny zapis: pod całką nie mogą pojawić się dwie zmienne naraz. Dlatego gdy podstawiamy t = 3x + 1, musimy zastąpić też dx. Ten symbol można interpretować jako ślad po różniczkowaniu po x. By zmienić do na dt potrzebujemy obustronnie zróżniczkować t = 3x + 1, dopisując symbole śladów po różniczkowaniu. 3x + 1 dx = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
117 Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć 3x + 1 dx. Inny zapis: pod całką nie mogą pojawić się dwie zmienne naraz. Dlatego gdy podstawiamy t = 3x + 1, musimy zastąpić też dx. Ten symbol można interpretować jako ślad po różniczkowaniu po x. By zmienić do na dt potrzebujemy obustronnie zróżniczkować t = 3x + 1, dopisując symbole śladów po różniczkowaniu. t = 3x + 1 3x + 1 dx = 1dt = 3dx = 1 dt = dx 3 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
118 Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć 3x + 1 dx. Inny zapis: pod całką nie mogą pojawić się dwie zmienne naraz. Dlatego gdy podstawiamy t = 3x + 1, musimy zastąpić też dx. Ten symbol można interpretować jako ślad po różniczkowaniu po x. By zmienić do na dt potrzebujemy obustronnie zróżniczkować t = 3x + 1, dopisując symbole śladów po różniczkowaniu. t = 3x + 1 3x + 1 dx = 1dt = 3dx = 1 dt = dx 3 t 1 3 dt = = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
119 Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć 3x + 1 dx. Inny zapis: pod całką nie mogą pojawić się dwie zmienne naraz. Dlatego gdy podstawiamy t = 3x + 1, musimy zastąpić też dx. Ten symbol można interpretować jako ślad po różniczkowaniu po x. By zmienić do na dt potrzebujemy obustronnie zróżniczkować t = 3x + 1, dopisując symbole śladów po różniczkowaniu. t = 3x + 1 3x + 1 dx = 1dt = 3dx = 1 dt = dx 3 = t C = t 1 3 dt = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
120 Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć 3x + 1 dx. Inny zapis: pod całką nie mogą pojawić się dwie zmienne naraz. Dlatego gdy podstawiamy t = 3x + 1, musimy zastąpić też dx. Ten symbol można interpretować jako ślad po różniczkowaniu po x. By zmienić do na dt potrzebujemy obustronnie zróżniczkować t = 3x + 1, dopisując symbole śladów po różniczkowaniu. t = 3x + 1 3x + 1 dx = 1dt = 3dx = 1 dt = dx 3 t 1 3 dt = = t C = (3x + 1) C. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
121 Przykład 1 - komentarz Uwaga! Zapis typu 1dt = 3dx stosujemy tylko w sposób oddzielony od właściwych działań (np. pionowymi, zębatymi lub kwadratowymi) nawiasami, gdyż (przynajmniej na poziomie wiedzy potrzebnej dla Państwa) jest to zapis zupełnie nieformalny: nie istnieje coś takiego jak samo dx lub dt bez całki. Natomiast jest to zbyt użyteczna reguła techniczna zapisu, by z niej rezygnować tylko dlatego, że jest podejrzana jeśli chodzi o prawidłowość. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
122 Całkowanie przez podstawienie - przykład 2 Zadanie Obliczyć ln x x dx. Teraz nie mamy żadnej funkcji złożonej, ale pod całką występuje jednocześnie funkcja ln x i jej pochodna 1 x. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
123 Całkowanie przez podstawienie - przykład 2 Zadanie Obliczyć ln x x dx. Teraz nie mamy żadnej funkcji złożonej, ale pod całką występuje jednocześnie funkcja ln x i jej pochodna 1. Dlatego narzuca się x podstawienie t = ln x. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
124 Całkowanie przez podstawienie - przykład 2 Zadanie Obliczyć ln x x dx. Teraz nie mamy żadnej funkcji złożonej, ale pod całką występuje jednocześnie funkcja ln x i jej pochodna 1. Dlatego narzuca się x podstawienie t = ln x. ln x x dx = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
125 Całkowanie przez podstawienie - przykład 2 Zadanie Obliczyć ln x x dx. Teraz nie mamy żadnej funkcji złożonej, ale pod całką występuje jednocześnie funkcja ln x i jej pochodna 1. Dlatego narzuca się x podstawienie t = ln x. ln x x dx = t = ln x 1dt = 1 x dx = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
126 Całkowanie przez podstawienie - przykład 2 Zadanie Obliczyć ln x x dx. Teraz nie mamy żadnej funkcji złożonej, ale pod całką występuje jednocześnie funkcja ln x i jej pochodna 1. Dlatego narzuca się x podstawienie t = ln x. ln x x dx = t = ln x 1dt = 1 x dx = t dt = = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/ / 31
6. Całka nieoznaczona
6. Całka nieoznaczona Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 1 / 35 Całka nieoznaczona - motywacja Wiemy
Bardziej szczegółowoWykład 10: Całka nieoznaczona
Wykład 10: Całka nieoznaczona dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, rok akademicki 2016/2017 Motywacja Problem 1 Kropla wody o średnicy 0,07 mm
Bardziej szczegółowoCałka nieoznaczona wykład 7 ( ) Motywacja
Całka nieoznaczona wykład 7 (12.11.07) Motywacja Problem 1 Kropla wody o średnicy 0,07 mm porusza się z prędkościa v(t) = g c (1 e ct ), gdzie g oznacza przyśpieszenie ziemskie, a stałac c = 52,6 1 s została
Bardziej szczegółowoCałka nieoznaczona, podstawowe wiadomości
Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Funkcją pierwotną funkcji w przedziale nazywamy funkcję taką, że dla każdego punktu z tego przedziału zachodzi Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale danej
Bardziej szczegółowo1 Całki funkcji wymiernych
Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora
Bardziej szczegółowo3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności
3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3a. Wstęp: w Krakowie) Elementarne równania
Bardziej szczegółowo1 Całki nieoznaczone: całkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do różniczkowania
1 Całki nieoznaczone: całkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do różniczkowania 1.1 Podstawowe definicje Def. Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f, określonej w przedziale otwartym P (skończonym
Bardziej szczegółowo13. Równania różniczkowe - portrety fazowe
13. Równania różniczkowe - portrety fazowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - portrety fazowe 1 /
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Bardziej szczegółowoCałki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,
Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,
Bardziej szczegółowoIII. Wstęp: Elementarne równania i nierówności
III. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Fryderyk Falniowski, Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie ryderyk Falniowski, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet III. Wstęp: Ekonomiczny
Bardziej szczegółowoFunkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory. Autorzy: Konrad Nosek
Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory Autorzy: Konrad Nosek 09 Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory Autor: Konrad Nosek DEFINICJA Definicja : Funkcja pierwotna Rozważmy
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Bardziej szczegółowo8. Funkcje wielu zmiennych - pochodne cząstkowe
8. Funkcje wielu zmiennych - pochodne cząstkowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie lato 2015/2016 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych
Bardziej szczegółowoCałki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej
Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,
Bardziej szczegółowoCAŁKI NIEOZNACZONE C R}.
CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Egzamin Termin: 28.01, godz. 10.15-11.45, sala 309 3 pytania teoretyczne 2 zadania wybór pytań i wybór zadań
Bardziej szczegółowo3.Funkcje elementarne - przypomnienie
3.Funkcje elementarne - przypomnienie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 1 / 51 1 Funkcje
Bardziej szczegółowo1. Granice funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic
1. Granice funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji -
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Definicja 1 (funkcja pierwotna i całka nieoznaczona). Niech f : I R. Mówimy, że F : I R jest funkcją pierwotną funkcji f, jeśli F jest różniczkowalna
Bardziej szczegółowoCIĄGI wiadomości podstawowe
1 CIĄGI wiadomości podstawowe Jak głosi definicja ciąg liczbowy to funkcja, której dziedziną są liczby naturalne dodatnie (w zadaniach oznacza się to najczęściej n 1) a wartościami tej funkcji są wszystkie
Bardziej szczegółowoElementy rachunku różniczkowego i całkowego
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami
Bardziej szczegółowoRÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych
RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )
Bardziej szczegółowo14a. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi liczbowe
14a. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi liczbowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 14a. wanaliza Krakowie) zmiennych dyskretnych: ciągi
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoMatematyka dla biologów Zajęcia nr 6.
Matematyka dla biologów Zajęcia nr 6. Dariusz Wrzosek 14 listopada 2018 Matematyka dla biologów Zajęcia 6. 14 listopada 2018 1 / 25 Pochodna funkcji przypomnienie Dzięki pochodnej można określić czy funkcja
Bardziej szczegółowoPochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego:
Podstawowe definicje Iloraz różnicowy funkcji Def. Niech funkcja będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt. Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie dla przyrostu nazywamy funkcję Pochodna
Bardziej szczegółowo13. Równania różniczkowe - rozwiązywanie
13. Równania różniczkowe - rozwiązywanie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 1 / 45
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne
Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur
Bardziej szczegółowolim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a
Wykład 3 Pochodna funkcji złożonej, pochodne wyższych rzędów, reguła de l Hospitala, różniczka funkcji i jej zastosowanie, pochodna jako prędkość zmian 3. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja złożona
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI
ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. =1+cos a) = =2cos( sin) = = sin2 = ln += =sin2 = ln 1+cos +. b) sin(+3)= =+3 = 3 =( 3) = sin= =( 6+9) sin= sin 6 sin+9sin. Obliczamy teraz pierwszą całkę: sin= ()=
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład
Bardziej szczegółowoCałki. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii
Całki Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 CAŁKI NIEOZNACZONE Motywacja Załóżmy, że znamy położenie jakiegoś obiektu w każdej chwili czasu, czyli x(t), i chcemy na tej podstawie wyznaczyć
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna - 1. Granice
Analiza matematyczna - Granice Celem tej części wykładu jest uściślenie, co rozumiemy przez stwierdzenie, że jakaś zmienna ekonomiczna zachowuje się w pewien sposób w przybliżeniu bądź w granicy Przykład
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ
ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ ZBIORY TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z
Bardziej szczegółowoGranica funkcji wykład 4
Granica funkcji wykład 4 dr Mariusz Grządziel 27 października 2008 Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t: s = gt2 2, gdzie
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1. Rozwiązanie ogólne............................... 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowoWykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej
Bardziej szczegółowoGranice funkcji-pojęcie pochodnej
Granice funkcji-pojęcie pochodnej Oznaczenie S(x 0 ) = S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie funkcja określona przynajmniej na sasiedztwie S(x 0, r) dla pewnego
Bardziej szczegółowoPORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ
PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą
Bardziej szczegółowoCałki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych
Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowo2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
Bardziej szczegółowoGranice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21
Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie
Bardziej szczegółowoCAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016
WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego
Bardziej szczegółowoRozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony
Rozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony ZBIORY TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne w przykładach
Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Bardziej szczegółowoWykład VI. Badanie przebiegu funkcji. 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) 3. Ekstrema lokalne: 4. Punkty przegięcia. Uwaga!
Wykład VI Badanie przebiegu funkcji 1. A - przedział otwarty, f D A x A f x > 0 f na A x A f x < 0 f na A 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) x A f x > 0 fwypukła ku górze na A x A f x < 0 fwypukła ku
Bardziej szczegółowoWeźmy wyrażenie. Pochodna tej funkcji wyniesie:. Teraz spróbujmy wrócić.
Po co nam całki? Autor Dariusz Kulma Całka, co to takiego? Nie jest łatwo w kilku słowach zdefiniować całkę. Najprościej można powiedzieć, że jest to pojęcie odwrotne do liczenia pochodnych, Mówimy czasami
Bardziej szczegółowoFunkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoWykorzystanie programów komputerowych do obliczeń matematycznych
Temat wykładu: Wykorzystanie programów komputerowych do obliczeń matematycznych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy Przykłady: Programy wykorzystywane
Bardziej szczegółowo2a. Przeciętna stopa zwrotu
2a. Przeciętna stopa zwrotu Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
Bardziej szczegółowoRozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna
Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej F (x, y(x), y (1) (x), y () (x),..., y (n) (x)) = 0, gdzie y (k) (x) to k ta
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.
FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów
Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowoMatematyka A kolokwium: godz. 18:05 20:00, 24 maja 2017 r. rozwiązania. ) zachodzi równość: x (t) ( 1 + x(t) 2)
Matematyka A kolokwium: godz. 18:05 0:00, 4 maja 017 r. rozwiązania 1. 7 p. Znaleźć wszystkie takie funkcje t xt, że dla każdego t π, π zachodzi równość: x t 1 + xt 1+4t 0. p. Wśród znalezionych w poprzedniej
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoPodstawy analizy matematycznej II
Podstawy analizy matematycznej II Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem..1. Całka podwójna po prostokącie.. CAŁKA POWÓJNA.. Całka podwójna po obszarach normalnych..3. Całka podwójna po obszarach regularnych..4.
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 2 Teoria liczby rzeczywiste cz.2
1 POTĘGI Definicja potęgi ł ę ę > a 0 = 1 (każda liczba różna od zera, podniesiona do potęgi 0 daje zawsze 1) a 1 = a (każda liczba podniesiona do potęgi 1 dają tą samą liczbę) 1. Jeśli wykładnik jest
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Liczby zespolone
Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział
Bardziej szczegółowoPojęcie funkcji. Funkcja liniowa
Pojęcie funkcji. Funkcja liniowa dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Wykład 2; rok akademicki 2016/2017 Zależności funkcyjne w naukach przyrodniczych Rozwój algebry
Bardziej szczegółowoPodstawianie zmiennej pomocniczej w równaniach i nie tylko
Tomasz Grębski Matematyka Podstawianie zmiennej pomocniczej w równaniach i nie tylko Zadania z rozwiązaniami Spis treści Wstęp... Typowe podstawienia... 6 Symbole używane w zbiorze... 7. Podstawienie zmiennej
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy
Matematyka dla Ciekawych Świata, 2012/2013 13 listopada 2012 Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy 0. Kangur powraca Przypomnij sobie, że nasz kangur porusza się z prędkością 4 km/h. Zamodeluj ruch kangura
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją symbolami:
Bardziej szczegółowoWykłady 11 i 12: Całka oznaczona
Wykłady 11 i 12: Całka oznaczona dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy; rok akademicki 2016/2017 Pole trójkata parabolicznego Problem. Chcemy obliczyć
Bardziej szczegółowoProjekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a
Bardziej szczegółowolim = lim lim Pochodne i róŝniczki funkcji jednej zmiennej.
Niniejsze opracowanie ma na celu przybliŝyć matematykę (analizę matematyczną) i stworzyć z niej narzędzie do rozwiązywania zagadnień z fizyki. Definicje typowo matematyczne będą stosowane tylko wtedy gdy
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowo2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24
SPIS TREŚCI WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI ALGEBRAICZNE 7 Wyrażenia algebraiczne 0 Równania i nierówności algebraiczne LICZBY RZECZYWISTE 4 Własności liczb całkowitych 8 Liczby rzeczywiste
Bardziej szczegółowoWYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU
WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:
Bardziej szczegółowoLogarytmy. Historia. Definicja
Logarytmy Historia Logarytmy po raz pierwszy pojawiły się w książce szkockiego matematyka - Johna Nepera "Opis zadziwiających tablic logarytmów" z 1614 roku. Szwajcarski astronom i matematyk Jost Burgi
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8
Pochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu sem. zimowy, r. akad. 2016/2017 Funkcja logistyczna 40 Rozważmy
Bardziej szczegółowoPochodne. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii
Pochodne Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 MOTYWACJA Rozpatrzmy gładką funkcję np. y x = x 2 w okolicach punktu (1,1) x 0 = 1, y 0 = f x 0 = 1 powiększmy wykres wokół (x 0, f(x 0
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoIII. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 1. Pojęcia wstępne Przykład 1.1. (Rozpad substancji promieniotwórczej ) Z doświadczeń wiadomo, że prędkość rozpa pierwiastka promieniotwórczego jest ujemna i proporcjonalna
Bardziej szczegółowoRok akademicki: 2013/2014 Kod: EIB s Punkty ECTS: 6. Poziom studiów: Studia I stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne
Nazwa modułu: Matematyka I Rok akademicki: 2013/2014 Kod: EIB-1-110-s Punkty ECTS: 6 Wydział: Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Kierunek: Inżynieria Biomedyczna Specjalność:
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez
Bardziej szczegółowo1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej
. Pierwsza pochodna - definicja i własności.. Definicja pochodnej Definicja Niech f : a, b) R oraz niech 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma pochodna w punkcie 0, którą oznaczamy f 0 ), jeśli istnieje granica
Bardziej szczegółowoMETODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 6 Transformata Laplace a Funkcje specjalne Przekształcenia całkowe W wielu zastosowaniach dużą rolę odgrywają tzw. przekształcenia całkowe
Bardziej szczegółowo