Otrzymali Państwo od Pani dr Cichockiej przykładowe zadania na egzamin. Na ostatnich zajęciach możemy je porozwiązywać, ale ze względu na

Transkrypt

1 Otrzymali Państwo od Pani dr Cichockiej przykładowe zadania na egzamin. Na ostatnich zajęciach możemy je porozwiązywać, ale ze względu na ograniczenie czasowe chciałam już dziś dać pewne wskazówki i porady, aby potem już tylko wyjaśnić wątpliwości. Po pierwsze, należy spróbować rozwiązać je samemu, wtedy na egzaminie będzie prościej;-) 1

2 Czy spróbowałeś samodzielnie rozwiązać? Jeśli tak, to możesz czytać dalej... 2

3 Zadanie 1. Są odpowiedzi w zbiorze zadań, 6.1 i 6.1, wprawdzie w jednym jest tylko monotoniczność a w drugim tylko ekstrema, ale łatwo "dorobić" całość. Jakby były problemy, proszę zgłaszać. To bardzo ważne zadanie. Zadanie 2. Trzeba obliczyć pochodną, potem pochodną w tym punkcie konkretnym, jeszcze wartość funkcji w tym punkcie i podstawić do wzoru. Łatwe. Jakby były problemy, proszę dać znać. Zadanie. a) najpierw rozszerzyć przez "wyrażenie sprzężone", potem wyciągnąć "n" w liczniku i mianowniku(n 2 spod pierwiastka). b) wyciągnąć n przed nawias w liczniku(n 2 spod pierwiastka) i mianowniku. d) patrz a) e) wyciągnąć n 2/ w liczniku i n w mianowniku. Zadanie. Przez regułę de L Hospitala. Pamiętać, żeby oznaczyć z jakim wyrażeniem nieoznaczonym mamy do czynienia. Zadanie 5. Pod pierwiastkiem coś nieujemnego, mianownik różny od zera, liczba logarytmowana dodatnia. I to wszystko. sin x Zadanie 6. a) można korzystać z lim x 0 x = 1, można z reguły de L Hospitala. b) sprzężenie i do licznika i do mianownika. c) reguła de L Hospitala. Zadanie 7. a) po kolei... b) po kolei d) podstawić x 2 = t e) podstawić 1 + x 2 = t c) przez części f) przez części dwa razy g) po kolei Zadanie 8. Korzystamy z : x x φ(x) x φ(x) x φ(x) φ(x) oraz (p q) p q, (p q) p q, (p q) p q. Zadanie 9. Tego nie robiliśmy, ale nie jest to trudne. Wyznacz dziedzinę i zbiór wartości funkcji f. Funkcja odwrotna f 1 będzie miała dziedzinę równą zbiorowi wartości funkcji f i zbiór wartości równy dziedzinie funkcji f. Czyli D f 1 = f(d f ), f 1 (D f 1) = D f. Potem przepisujemy wzór funkcji w postaci y =... i wyliczamy x w zależności od y. Tak otrzymujemy wzór funkcji odwrotnej: f 1 (y) = to, co wyliczyliśmy. Można zmienić y na x w tym wzorze, gdy ktoś chce. Albo można od razu w równaniu y = wzór funkcji zamienić x z y i wyliczyć y. Wtedy f 1 (x) = to, co wyliczyliśmy. Do tego wrócimy na ostatnich zajęciach, tymczasem można porozwiązywać 2.9, warto.

4 Czy te wskazówki pomogły, chciałabyś/ chciałbyś sprawdzić "wyniki"? Zajrzyj dalej...

5 To tylko dla tych, którzy sami rozwiązywali i chcą się upewnić, że dobrze!!! 5

6 6 Zadanie 1. a) D f = R, f (x) = 12x 5 12x = 12x (x 1)(x + 1), D f = R. f (x) > 0 dla x ( 1, 0) (1, ), f (x) < 0 dla x (, 1) (0, 1). A więc f jest rosnąca w przedziałach ( 1, 0), (1, ), malejąca w przedziałach (, 1), (0, 1). f ma minimum lokalne w punkcie x = 1, f( 1) =... = 1, f ma maksimum lokalne w x = 0, f(0) =... = 0, f ma minimum lokalne dla x = 1, f(1) =... = 1. b) D f = (0, ), f (x) =... = 2+ln x 2 x, D f = (0, ). Mianownik jest dodatni, znak pochodnej jest taki sam, jak znak licznika. f (x) > ln x > 0 x D f... x > e 2 x D f, f (x) < 0... x < e 2 x D f. A więc f jest rosnąca w przedziale (e 2, ) a malejąca w przedziale (0, e 2 ). W punkcie x = e 2 ma minimum lokalne f min (e 2 ) =... = 2 e. c) D f = (0, ), f (x) =... = 1 ln x x, D 2 f = (0, ). Mianownik jest dodatni, znak pochodnej jest taki sam, jak znak licznika. f (x) > 0 1 ln x > 0 x D f... x < e x D f, f (x) < 0... x > e x D f. A więc f jest rosnąca w przedziale (0, e), malejąca w przedziale (e, ). W x = e f ma maksimum lokalne f max (e) =... 1 e. d) D f = R, f (x) =... = e x2 (1 2x 2 ), D f = R. e x2 jest dodatnie, a wiec znak pochodnej jest taki sam jak znak 1 2x 2. A więc f (x) > 0 x ( 2 2, 2 2 ), f (x) < 0 x (, 2 2 ) ( 2 więc f jest rosnąca w przedziale ( 2 2, 2 2 ), a malejąca w przedziałach (, 2 lokalne: f min ( 2 2 ) =... = 1 2e. Maksimum lokalne: f max ( 2 2 ) =... = 1 2e. 2, ). A 2 ), ( 2 2, ). Minimum e) D f = R, f (x) =... = 1 x (1+x ), D 2 f = R. Mianownik jest dodatni, znak pochodnej zależy tylko od znaku licznika. Rozkładam licznik na czynniki: (1 x)(1+ x)(1+ x 2 ). Trzeci czynnik jest zawsze dodatni, więc znak tego iloczynu jest taki sam jak znak iloczynu dwóch pierwszych czynników. A więc f (x) > 0 x ( 1, 1 ), f (x) < 0 x (, 1 ) ( 1, ). A więc f jest rosnąca w przedziale ( 1, 1 ), a malejąca w przedziałach (, 1 ), ( 1, ). Minimum lokalne: f min( 1 ) =... = 1. Maksimum lokalne: f max ( 1 ) =... = 1. f) D f = (, 1] [, ), f x 2 (x) =... =, D x2 x+ f = (, 1) (, ). Mianownik jest dodatni, więc znak pochodnej zależy tylko od licznika. f (x) > 0 x 2 > 0 x D f x > 2 x D f, f (x) < 0... x < 2 x D f. Zatem f jest rosnąca w przedziale (, ), malejąca w przedziale (, 1). Minimum lokalne: f min (1) =... = 0, f min () =... = 0. Zadanie 2. a) f (x) =... = 1 x e, f (0) =... = 1, f(0) =... = 0. Podstawiam do wzoru i otrzymuję: x y = x jest styczną do wykresu funkcji f w punkcie o odciętej 0. b) f (x) =... = 1+2x2, f 1+x ( 1) =... = 2 2 2, f( 1) =... = 2. Styczna: y + 2 = 2 2 (x + 1). c) f (x) =... = e x (cos x sin x), f (0) =... = 1, f(0) =... = 1. Styczna: y = x + 1. d) f (x) = 1 cos 2 x, f ( π ) =... = 2, f( π ) = 1. Styczna: y = 2x π Zadanie. a) 5, b), c), d) 0, e) 0, f). Zadanie. a) [ 0 0 ], 1, b) [0 ( )], 0, c) [ 0], 1, d) 0 0 ], 1. Zadanie 5. a) Rozwiązujemy układ D f = (1, ). b) D f = [, ). c) x+1 x 1 0 x > 0 x 1 0 x x 1 > 0 x { x 2 2x + 0 x + 1 0

7 7 D f = [, 1) ( 1, 1]. d) { x 2 > 0 x D f = (, 5) ( 5, 2) (2, ). Zadanie 6. a) 2, b) 1, c) [ 0 0 ], 1. Zadanie 7. a) 1 x + x 2 7x + ln x + C b) [ cos x + 2 sin x] c) przez części u = x, v = sin x. d) przez podstawienie t = x 2. π 2 0 =... =. x cos x + sin x + C ex e) przez podstawienie t = 1 + x ln(1 + x2 ) 1 =... 1 ln Lub 1 2 ln t 2 =... = 1 ln f) dwa razy przez części. Pierwszy raz: u = x 2, v = e x. Otrzymujemy: x 2 e x 2 x e x dx. Drugą z tych całek znowu przez części: u = x, v = e x. Ostatecznie: g) arc tg x 1 x + C. b) c) Zadanie 8. a) x 2 e x 2xe x + 2e x + C. x > 1 x 1 x R x R y R x,y R z R (x y x y) (z x 2 + y 2 z 0) Zadanie 9. a) f : R na ( 1, 2), f 1 : ( 1, 2) R. Obliczam x ze wzoru: y = 2 ex 1+e. Wyszło mi: x = x ln( 2 y y+1 ), a więc f 1 (y) = ln( 2 y y+1 ). Jak się komuś nie podoba y, to można teraz po prostu zmienić: f 1 (x) = 2 ex ). Jak komuś wygodniej, może zrobić to tak: w równaniu y = 1+e od razu zamieniamy x z y i x wyliczamy z tego zmienionego y, czyli: x = 2 ey 1+e, po wyliczeniu: y = ln( 2 x y x+1 ), no i mamy wzór funkcji odwrotnej: f 1 (x) = ln( 2 x x+1 ). ln( 2 x x+1 b) f 1 : [2, ) [ 5, ). f 1 (x) = x2 x 1. c) f 1 : (, 1 ) R. ( x f 1 2 ) 2x 2 (x) = log 2. 5 d) f 1 : R (5, ). f 1 (x) = e x + 5.

8 Gdyby jeszcze coś było niejasnego, proszę się nie wahać i pytać. W szczególności tam, gdzie licząc granice podawałam same wyniki. Nie wykluczam literówek i błędów w obliczeniach. Gdyby takowe się zdarzyły, uprzejmie proszę o poinformowanie mnie, uprzedzę wtedy innych. Proszę się jednak liczyć z tym, że są to tylko przykładowe zadania, co oznacza, że podobne muszą Państwo umieć liczyć... 8