Elementy rachunku różniczkowego i całkowego

Transkrypt

1 Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami x, y, z oznaczać będziemy elementy zbiorów, wielkimi literami X, Y, Z zbiory, natomiast symbolami f(x), g(x), funkcje. Wyrażenie x X znaczy element x należy do zbioru X. Zbiór jest pojęciem pierwotnym, którego nie definiujemy. Funkcją f (function) nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X jednego i tylko jednego elementu zbioru Y, co symbolicznie zapisujemy następująco: f : X Y. Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji (domain of a function), zbiór Y zbiorem wartości funkcji (range of a function). Funkcje mogą być określone na zbiorach liczbowych, przestrzeniach wektorowych, macierzach, operatorach i innych obiektach matematycznych. W przypadku funkcji liczbowej możemy wyrazić ją w postaci równania: y f (x), gdzie f (x) określa sposób przyporządkowania elementów jednego zbioru elementom drugiego zbioru. Zależność y f (x) możemy przedstawić na płaszczyźnie, otrzymując w ten sposób wykres funkcji. Na osi OX reprezentujemy dziedzinę funkcji, natomiast na osi OY zbiór wartości funkcji. Granica funkcji w punkcie. Funkcja y f (x) ma granicę (limit) równą g w punkcie x = a wtedy i tylko wtedy, jeżeli dla każdej dowolnie małej liczby 0 istnieje taka liczba 0, że jeżeli x a to g. Zapisujemy to następująco:

2 lim g. xa Czytamy limes przy x dążącym do a f (x) równa się g (łac. limes granica). Występujący w definicji symbol x nazywamy wartością bezwzględną (modułem) liczby x i definiujemy następująco: x x dla x 0 -x dla x 0 Z definicji wynika, że wartość bezwzględna każdej liczby jest nieujemna. Niekiedy mamy do czynienia z taką sytuacją, że musimy określić granicę funkcji, gdy x rośnie nieograniczenie, co zapisujemy symbolicznie: lim g, x co czytamy: limes przy x dążącym do nieskończoności f (x) równa się g. Na przykład wartość siły grawitacji w teorii Newtona jest proporcjonalna do iloczynu mas tych ciał i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między przyciągającymi się ciałami (G jest pewną uniwersalną stałą fizyczną, zwaną stałą grawitacji): m m F G r 1 Znaczy to, że jeżeli ciała odsuniemy na odległość dwa razy większą, to będą się przyciągać cztery razy słabiej, jeżeli odsuniemy je na odległość trzy razy większą, to będą się przyciągać dziewięć razy słabiej itd., ale dla żadnej skończonej odległości nie otrzymamy wartości równej zero. Wartość siły grawitacji asymptotycznie dąży do zera, gdy odległość między 1

3 ciałami dąży do nieskończoności (por. rys. #). Asymptotą funkcji nazywamy prostą, do której dana krzywa zbliża się nieograniczenie, ale nigdy jej nie osiąga. Rys #. Wykres wartości siły grawitacji w teorii Newtona w zależności od odległości między dwoma ciałami. Ciągłość funkcji. Funkcja f (x) jest ciągła w punkcie x a wtedy i tylko wtedy, gdy posiada ona granicę w tym punkcie, posiada wartość w tym punkcie i granica równa jest wartości: lim xa f ( a) Innymi słowy, funkcja f (x) jest ciągła w punkcie x a wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona określona w tym punkcie i dla każdej dowolnie małej liczby 0 istnieje taka liczba 0, że jeżeli x a to f ( a). Pochodna funkcji jednej zmiennej. Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła w przedziale granica a x b oraz dla pewnego punktu x w tym przedziale istnieje

4 lim 0 x f ( x x) x to granicę tę nazywamy pochodną funkcji (derivative) w tym punkcie i d oznaczamy symbolem f '( x) albo. Niekiedy możemy obliczyć pochodną pochodnej funkcji, co nazywamy drugą pochodną i dx zapisujemy d f ''( x) albo. Ogólnie możemy mówić o n-tej pochodnej funkcji (o dx ile taka istnieje). Interpretacja geometryczna pochodnej. Na rysunku # przedstawiono wykres funkcji w przedziale a x b. Sieczna przecina wykres funkcji w punktach o współrzędnych A ( x, ) oraz B( x x, f ( x x)) pod kątem do osi OX. Jeżeli przyrost wartości argumentu x dąży do zera, wówczas sieczna przechodzi w styczną do wykresu funkcji w punkcie x. Tangens nachylenia stycznej do wykresu funkcji w punkcie x jest równy pochodnej funkcji w tym punkcie (por. rys. #): d tg dx Interpretacja fizyczna pochodnej. Jeżeli jakaś funkcja wyraża zależność pewnej wielkości fizycznej od czasu t, co zapisujemy y f (t), wówczas pochodna po czasie danej wielkości fizycznej wyraża szybkość zmian tej wielkości. Jeżeli pochodna po czasie funkcji jest równa 0, to znaczy, że wielkość ta nie zmienia się w czasie (jest stała). Na przykład w mechanice klasycznej, jeżeli zależność położenia od czasu poruszającego się ciała wyraża się funkcją x (t), to pochodna tej funkcji po czasie jest prędkością ciała: dx( t) v. dt 3

5 Rys. #. Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji w punkcie. Różniczka (differential). W fizyce często mamy do czynienia z wielkościami nieskończenie małymi (infinitezymalnymi). Jeżeli przyrost pewnej wielkości dąży do zera, to zamiast x piszemy dx i obiekt taki nazywamy różniczką, co znaczy właśnie, że mamy na myśli nieskończenie małą zmianę x. Różniczką funkcji nazywamy iloczyn jej pochodnej przez różniczkę zmiennej niezależnej, co zapisujemy następująco: dy f '( x) dx Równanie różniczkowe (differential equation). Równanie różniczkowe wyraża związek między funkcją y f (x), jej pochodnymi i zmienną niezależną x: F ( y, y',..., x) 0 4

6 Jeżeli najwyższy rząd pochodnej funkcji y wynosi n, to równanie różniczkowe nazywamy równaniem n-tego stopnia. Wiele problemów w fizyce sprowadza się do rozwiązania odpowiednich równań różniczkowych. Na przykład druga zasada dynamiki Newtona dla cząstki o masie m poruszającej się wzdłuż osi OX pod działaniem siły F może być przedstawiona w postaci następującego równania różniczkowego: d x m F dt Możemy je odczytać następująco: iloczyn masy cząstki i jej przyspieszenia (czyli drugiej pochodnej położenia po czasie) jest równy działającej sile. Rozwiązanie tego równania pozwala na obliczenie trajektorii poruszającej się cząstki, a zatem na jednoznaczne przewidywanie jej ruchu. Rozwiązanie równań różniczkowych otrzymujemy dzięki działaniu zwanym całkowaniem, dlatego potrzebna będzie nam jeszcze definicja całki (integral). Całka nieoznaczona (indefinite integral). Całką nieoznaczoną funkcji f (x) nazywamy funkcję F (x), której pochodna jest równa funkcji f (x), co zapisujemy: dx F( x) C Całkowanie jest działaniem odwrotnym do różniczkowania i polega na poszukiwaniu funkcji F (x), zwanej funkcją pierwotną (antiderivative). Ponieważ pochodna dowolnej stałej C z definicji wynosi 0, to wszystkie funkcje pierwotne funkcji f (x) wyrażają się wzorem: F( x) C. 5

7 Rys. #. Interpretacja geometryczna całki oznaczonej wartość całki oznaczonej jest równa polu powierzchni pod krzywą między punktami a i b. Całkę oznaczoną (definite integral) obliczamy następująco (por. rys. #): jeżeli F (x) jest funkcją pierwotną funkcji f (x), to: b a dx F( b) F( a) Interpretacja geometryczna całki oznaczonej: całka oznaczona z funkcji f (x) jest równa polu pod krzywą będącą wykresem funkcji f (x) ograniczoną wartościami x a i x b. Przy rozwiązywaniu konkretnych problemów fizycznych często korzysta się z gotowych wzorów na obliczanie pochodnych i całek, niekiedy konieczne jest stosowanie metod przybliżonych. Sformułowanie podstaw rachunku różniczkowego i całkowego zawdzięczmy Isaacowi Newtonowi i niezależnie Gottfiedowi Wilhelmowi Leibnizowi (XVII w.). Rachunek ten stanowi niezwykle potężne narzędzie fizyki współczesnej i można śmiało powiedzieć, że bez niego fizyka byłaby po prostu niemożliwa. Przedstawione w niniejszym wprowadzeniu matematycznym elementy matematyki mechaniki kwantowej są wystarczające do zrozumienia na podstawowym poziomie postulatów mechaniki kwantowej, a następnie do dyskusji jej filozoficznych zagadnień. 6

8 7