f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x"

Transkrypt

1 Iloraz różnicowy Niech x 0 R i niech funkcja y = fx) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Niech x oznacza przyrost argumentu x może być ujemny!). Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi: y = fx + x) fx). Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x 0 odpowiadającym przyrostowi argumentu x nazywamy: y fx + x) fx) =. x x Przykład Obliczyć ilorazy różnicowe dla następujących danych: a) fx) = x, x 0 =, x = 0, ; b) fx) = log x, x 0 =, x = 0, 9. Iloraz różnicowy ma prostą interpretację geometryczną. Jeśli przez dwa punkty x 0, fx 0 )), x 0 + x, fx 0 + x) należące do wykresu funkcji y = fx) poprowadzimy prostą nazywamy ją sieczną wykresu funkcji), to iloraz różnicowy jest równy tangensowi jej kąta nachylenia do osi Ox. Krócej: iloraz różnicowy jest współczynnikiem kierunkowym siecznej. Pochodna Definicja Niech x 0 R i niech funkcja y = fx) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Pochodną funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granicę: f x 0 ) = lim x 0 fx + x) fx). x Liczbę tę oznaczamy y x 0 ), df x dx 0), dy x dx 0), lub Dfx 0 ). Przykład Obliczyć z definicji pochodną: a) fx) = x, x 0 R; b) fx) = sin x, x 0 R. Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych c) = 0 x α ) = αx α, gdzie α R \ Z sin x) = cos x cos x) = sin x tg x) = cos x = + tg x ctg x) = sin x = ctg x a x ) = a x ln a gdzie 0 < a e x ) = e x log a x) = x ln a ln x) = x

2 arc sin x) = arc cos x) = x x arc tg x) = + x arc ctg x) = + x sinh x) = cosh x cosh x) = sinh x tgh x) = cosh x ctgh x) = sinh x Twierdzenie o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu) Jeżeli funkcje f i g mają pochodne w punkcie x 0, to. f + g) x 0 ) = f x 0 ) + g x 0 );. f g) x 0 ) = f x 0 ) g x 0 ); 3. cf) x 0 ) = cf x 0 ), gdzie c R; 4. fg) x 0 ) = f x 0 )gx 0 ) + fx 0 )g x 0 ); 5. ) f x0 ) = f x 0 )gx 0 fx 0 )g x 0 ) g g x 0, o ile gx 0 ) 0. Interpretacja geometryczna pochodnej Ponieważ: iloraz różnicowy jest współczynnikiem kierunkowym siecznej; sieczna dąży do stycznej do wykresu funkcji w punkcie x 0 gdy x 0); więc mamy wniosek: Pochodna funkcji w punkcie x 0 jest współczynnikiem kierunkowym stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie. Zatem równanie stycznej do wykresu funkcji y = fx) w punkcie x 0 ma postać: y = fx 0 ) + f x 0 )x x 0 ). Przykłady Napisać równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach: ) y = cos x, π/, 0); ) y = 4 x, 6, ). Z zagadnieniem wyznaczania stycznej wiąże się obliczanie kąta między krzywymi. Przez kąt przecięcia krzywych rozumiemy kąt ostry ϕ, jaki tworzą styczne do tych krzywych

3 w punkcie ich przecięcia. Niech krzywe y = fx) i y = gx) przecinają się w punkcie x 0, y 0 ). Jeśli α, β oznaczają kąty jakie tworzą styczne do tych krzywych w punkcie x 0, y 0 )) z osią Ox, to ze wzoru na tangens różnicy kątów mamy: tgα β) = tg α tg β + tg α tg β, Po uwzględnieniu, że tg α = f x 0 ), tg β = g x 0 ) otrzymamy wzór: f x 0 ) g x 0 tg ϕ = + f x 0 )g x 0. Wartość bezwzględna daje pewność, że wyznaczone z tego wzoru ϕ będzie miarą kąta ostrego. Przykłady Obliczyć kąty przecięcia krzywych: a) fx) = x, gx) = 4 x ; b) fx) = x, gx) = x 3. Interpretacja fizyczna pochodnej Załóżmy, że punkt materialny porusza się prostoliniowo, i droga przebyta w czasie t wynosi st). Przyrost drogi od czasu t 0 do czasu t 0 + t wynosi st 0 + t) st 0 ), a iloraz st 0+ t) st 0 ) t jest prędkością średnią. Granica tego ilorazu a więc pochodna s t 0 )) jest prędkością chwilową w momencie t 0. Ogólniej, w zastosowaniach fizycznych pochodna pojawia się wtedy, gdy mamy do czynienia ze zmianą jakiejś wielkości. Jeżeli tę zmianę potrafimy wyrazić jako funkcję czasu, to pochodną tej funkcji interpretujemy jako prędkość zmiany. Wyżej mieliśmy drogę jako funkcję czasu pochodna jest wtedy prędkością ruchu. Jeżeli mielibyśmy prędkość vt) jako funkcję czasu, to pochodna byłaby przyspieszeniem ruchu. Gdy Qt) oznacza ilość ładunku elektrycznego przepływającego przez przewodnik w czasie t, to Q t) jest natężeniem prądu it), i.t.d. Przykład Ropa z uszkodzonego tankowca wycieka ze stałą prędkością V = 0 m3 min i tworzy plamę kołową o grubości d = mm. Obliczyć z jaką prędkością będzie powiększała się średnica plamy ropy w chwili, gdy będzie miała średnicę D = 000 m. Twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej) Jeżeli. funkcja f ma pochodną w punkcie x 0,. funkcja g ma pochodną w punkcie fx 0 ), to g f)x 0 ) = g fx 0 )) f x 0 ). Przykłady.. 3. y = 3 x + cos x; y = 3x 3 + cos 3 x) 4 ; y = tgx 3x ). 3

4 Twierdzenie 3 o pochodnej funkcji odwrotnej) Jeżeli. funkcja f jest ciągła i ściśle monotoniczna na otoczeniu Ox 0 ) punktu x 0,. funkcja f ma pochodną f x 0 ) 0, to f ) y 0 ) = f x 0 ), gdzie y 0 = fx 0 ). Przykład Uzasadnić wzór arc sin x) = x. Pochodna logarytmiczna Jeżeli funkcja y = ln fx) jest różniczkowalna, to jej pochodną nazywamy pochodną logarytmiczną funkcji f. Mamy więc ln fx)) = f x) fx), f x) = fx) ln fx)). Ten ostatni wzór stosujemy, gdy pochodna logarytmiczna jest łatwiejsza do obliczenia niż zwykła, tj. gdy mamy skomplikowany iloczyn który przez logarytmowanie zamienia sie na sumę) lub potęgę, w której x występuje i w liczniku, i w mianowniku i wtedy nie ma żadnych bezpośrednich wzorów na pochodne). Przykłady. fx) = 4 x x + ) sin x cos 4 x;. fx) = x x. W przykładzie można również zastosować wzór: 3 Różniczka fx) gx) = e gx) ln fx). Definicja Niech funkcja fx) ma pochodną w punkcie x 0. Różniczką funkcji f w punkcie x 0 nazywamy funkcję df zmiennej x = x x 0 określoną wzorem df x) = f x 0 ) x. Różniczkę oznaczamy też symbolem dy. Uwaga. Przyjmujemy dx = x, więc wzór powyższy można zapisać także: df x) = f x 0 )dx. Przyrost y = fx 0 + x) fx 0 ) nie jest równy różniczce dy. Ale różnica między przyrostem a różniczką jest niewielka dla małych x, a nawet można wykazać, że dąży szybciej do zera niż x tzn. np. jeśli x jest rzędu setnych, to różnica y dy jest rzędu tysiącznych. Przykład Obliczyć przyrost i różniczkę funkcji y = x 3 w punkcie x 0 = dla x = 0, 4. Odp.: y = 5, 84) Gdy x = 0, 04, to y = 0, 4897, dy = 0, 48). 4

5 Zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych i szacowania błędów pomiarów Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie x 0, to fx 0 + x) fx 0 ) + f x 0 ) x. Ponadto błąd jaki popełniamy zastępując przyrost f różniczką df dąży szybciej do zera niż x, tzn. f df lim = 0. x 0 x Przykład Obliczyć przy pomocy różniczki ln, 004. Przypuśćmy teraz, że wielkość fizyczna y jest funkcją innej wielkości x, którą jesteśmy w stanie zmierzyć: y = fx). Pomiar jest zawsze związany z pewnym błędem, i należy oszacować jak wpływa on na błąd obliczeń wielkości y. Jeżeli błąd bezwzględny pomiaru wynosi x, to błąd bezwzględny obliczanej wielkości y wyraża się wzorem: y f x 0 ) x. Po obliczeniu błędów bezwzględnych można obliczyć błędy względne: δ x = x x, δ y = y y. Błędy względne wyrażamy najczęściej w procentach. Przykład Krawędź sześcianu zmierzono z dokładnością ± mm i otrzymano 5 mm. Z jaką dokładnością można obliczyć pole powierzchni całkowitej sześcianu, a z jaką jego objętość? Podać błędy bezwzględne i względne. 4 Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu n definiujemy indukcyjnie: y n) = y n ) ) dla n =, 3, 4,.... Przyjmuje się także oznaczenie y 0 = y pochodna rzędu 0 jest równa funkcji). Dla pochodnych niewielkich rzędów można pisać: y, y, y IV, y V, y V I, i.t.d. Przykład Obliczyć sin x) n). Obliczamy kolejno: sin x) = cos x = sinx + π/), i.t.d. Odgadujemy stąd wzór: sin x) = cos x) = sin x = sinx + π), sin x) = sin x) = cos x = sinx + 3π/), sin x) IV = cos x) = sin x = sinx + π), sin x) n) = sinx + nπ/). Formalny dowód wzoru można uzyskać stosując indukcję matematyczną. Podobnie można uzyskać wzory: cos x) n) = cosx + nπ/), 5

6 i inne. Zauważmy też, że e x ) n) = e x. ) n) = )n n!, x x n+ ln x) n) = )n n )! x n, 5 Twierdzenia o wartości średniej Twierdzenie 4 Rolle a) Jeżeli funkcja f spełnia warunki:. jest ciągła na [a, b],. ma pochodną na a, b), 3. fa) = fb), to istnieje punkt c a, b) taki, że f c) = 0. Geometryczny sens twierdzenia Rolle a jest taki, że na wykresie funkcji ciągłej, gładkiej, tzn. nie mającej kantów ) i przyjmującej na końcach przedziału jednakowe wartości, można znaleźć punkt, w którym styczna jest pozioma, tj. równoległa do osi Ox. Twierdzenie 5 Lagrange a) Jeżeli funkcja f spełnia warunki:. jest ciągła na [a, b],. ma pochodną na a, b), to istnieje punkt c a, b) taki, że f c) = fb) fa). b a W porównaniu z twierdzeniem Rolle a mamy jedno założenie mniej. Funkcja nie musi przyjmować na końcach przedziału jednakowych wartości, a skutek jest taki, że styczna nie musi już być równoległa do osi Ox. Teza twierdzenia Lagrange a głosi, że można znaleźć punkt, w którym styczna jest równoległa do siecznej przechodzącej przez punkty a, fa)), b, fb)). Przykłady Znaleźć liczbę c, o której mowa w twierdzeniu Lagrange a, gdy:. fx) = x x 3, x ;. fx) = arc cos x, x. Ważne wnioski z twierdzenia Lagrange a dotyczą badania monotoniczności funkcji. Wniosek Niech I oznacza dowolny przedział, na którym określona jest funkcja f. Jeżeli dla każdego x I:. f x) = 0, to f jest stała na przedziale I;. f x) > 0, to f jest rosnąca na przedziale I; 6

7 3. f x) < 0, to f jest malejąca na przedziale I. Przykład Znaleźć przedziały monotoniczności funkcji:. fx) = x. +x. fx) = x x Wniosek Niech funkcje f i g będą określone na przedziale I R oraz niech x 0 I. Wtedy, jeżeli:. fx 0 ) = gx 0 ),. x I f x) = g x), to f g na I. Przykłady Uzasadnić tożsamości dla x ): arc sin x + arc cos x = π/; sinarc cos x) = x. 6 Wzór Taylora Niech dana będzie funkcja f mająca w punkcie x 0 pochodne do rzędu k włącznie. Wtedy można utworzyć wielomian: P k x) = fx 0 ) + f x 0 )! x x 0 ) + f x 0 )! x x 0 ) + + f k) x 0 ) x x 0 ) k. k! Ten wielomian nazywamy wielomianem Taylora funkcji f. W szczególnym przypadku, gdy x 0 = 0, nazywa się go wielomianem Maclaurina. Przykład Napisać wielomiany P x), P x), P 3 x), P 4 x) dla funkcji fx) = sin x w punkcie x 0 = π/. Oblicamy kolejne pochodne: sin x) = cos x, sin x) = sin x, sin x) = cos x, sin x) IV = sin x, a następnie ich wartości w π/; są to kolejno 0,, 0,. Ponadto fx 0 ) = sin π =. Zatem P x) = + 0 x π ) =, P x) = + 0 x π ) x π ) =! P 3 x) = + 0 x π ) x π ) 0 +! 3! P 4 x) = +0 x π ) x π ) + 0 x π! 3! x π ) 3+ 4! Twierdzenie 6 wzór Taylora) Jeżeli funkcja f ma:. ciągłą pochodną rzędu n na [x 0, x], 7 x π ), ) 3 = x π ) 4 = x π ), x π ) + x π ) 4 4

8 . pochodną f n) na x 0, x), to istnieje punkt c x 0, x) taki, że fx) = fx 0 )+ f x 0 )! x x 0 )+ f x 0 )! x x 0 ) + + f n ) x 0 ) n )! x x 0 ) n + f n) c) x x 0 ) n. n! Ostatni wyraz nazywamy resztą wzoru Taylora i oznaczamy R n x). Zatem wzór Taylora można zapisać krócej: fx) = P n x) + R n x). Dla x 0 = 0 otrzymujemy wzór Maclaurina: fx) = f0) + f 0)! Przykłady Napisać wzór Taylora dla: ) fx) = e x, x 0 =, n = 4; ) fx) = x x, x 0 =, n = 4; 3) fx) = cos x, x 0 = π, n = 6. x) + f 0) x) + + f n ) 0)! Warto znać wzory Maclaurina następujących funkcji: n )! x)n + f n) c) x) n. n! e x = + x + x + x3 3! + + xn n )! + ec n! xn, sin x = x x3 3! + x5 5! + + sinc + n π) x n, n! cos x = x! + x4 4! + + cosc + n π) x n, n! ln + x) = x x + x3 3 x )n+ x n n + c) n. Dzięki wzorom tego typu można tworzyć rozmaite wzory przybliżone. Zasada jest taka: ponieważ reszta R n x) dąży do 0 gdy n, więc im większe jest n, tym lepiej wielomian P n x) przybliża wartość funkcji fx). Błąd jaki popełniamy wynosi R n x), i tę wielkość należy oszacować. Przykłady Oszacować dokładności wzorów przybliżonych:. sin x x x3 6 dla x < π 6 ;. ln + x) x x dla x < 0. Pierwszy wzór otrzymujemy ze wzoru Maclaurina dla funkcji sin x i n = 5: sin x = x x3 3! + cos c x 5. 5! 8

9 Wzór przybliżony otrzymujemy odrzucając ostatni wyraz. Oszacujemy jego wielkość: Analogicznie, ponieważ więc dokładność wzoru wynosi: 7 Reguła de l Hospitala cos c x 5 ) π 5 0, ! 0 6 ln + x) = x x x c) 3, x3 3 + c) = 0, 0005, 0 )3 37 fx) Granice funkcji postaci lim x x0, gdzie licznik i mianownik dążą jednocześnie do gx) 0 lub jednocześnie do ) nazywamy nieoznaczonymi. Wiele z nich można obliczyć metodami elementarnymi, np. 3x + x 4 lim x x + 8 = lim x x 3 + /x 4/x ) x + 8/x ) = 3, ale też wiele z nich jest nieelementarnych. Bardzo przydatna bywa w takich sytuacjach następująca reguła. Twierdzenie 7 reguła de l Hospitala) Jeżeli: to. lim x x0 fx) = lim x x0 gx) = 0 lub lim x x0 fx) = lim x x0 gx) =,. istnieje granica lim x x0 f x) g x) właściwa lub niewłaściwa), fx) lim x x 0 gx) = lim f x) x x 0 g x). Reguła jest prawdziwa również dla granic jednostronnych i granic w ±. fx) Należy zwrócić uwagę, że granica lim x x0 może istnieć nawet wtedy, gdy granica gx) f lim x) x x0 nie istnieje! g x) Przykłady Obliczyć. lim x x 50 x,. lim x x 3 e x, 3. lim x 0 cos x + x x 4. 9

10 Nie tylko granice postaci ) 0 0), czy są nieoznaczone. Inne symbole nieoznaczone to:, 0, 0 0, 0,. Jak widać powyższe symbole dotyczą granicy różnicy, iloczynu bądź potęgi. Stosując odpowiednie przekształcenia algebraiczne można te symbole sprowadzic do symbolu ) 0 0 lub ), a następnie zastosować regułę de l Hospitala. Przykład. Aby obliczyć granicę lim x 0 ) sin x x typu sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika; uzyskujemy wtedy nieoznaczoność ) 0 0 i stosujemy dwukrotnie regułę de l Hospitala: lim x 0 sin x ) x sin x = lim x x 0 x sin x = lim x 0 cos x sin x + x cos x = lim x 0 sin x cos x x sin x = 0 = 0. Przykład. Przy nieoznaczoności 0 należy iloczyn zamienić na iloraz, np.: lim x ln x x 0+ ln x = lim x 0+ x ln x x = lim x 0+ x ln x = lim x 0+ x = lim x 0+ x x = lim x 0+ x = 0. Przy nieoznaczonościach typu wykładniczego stosujemy tożsamość wynikającą z definicji logarytmu): fx) gx) = e gx) ln fx), i korzystamy z ciągłości funkcji wykładniczej, co pozwala nam przejść z granicą do wykładnika: lim x x 0 fx) gx) = e limx x 0 gx) ln fx). W wykładniku pojawi się wtedy symbol 0, i dalej należy postępować jak w przykładzie. Przykłady Obliczyć granice:. lim x 0+ x) x,. lim x x /x, 3. lim x 0 cos x) x. 8 Ekstremum funkcji Definicja 3 Funkcja f ma w punkcie x 0 minimum, jeżeli fx) fx 0 ). δ>0 x Sx 0,δ) Jeżeli powyższa nierówność jest ostra, to minimum nazywamy właściwym. Definicja 4 Funkcja f ma w punkcie x 0 maksimum, jeżeli fx) fx 0 ). δ>0 x Sx 0,δ) Jeżeli powyższa nierówność jest ostra, to maksimum nazywamy właściwym. 0

11 Minima i maksima funkcji nazywamy ekstremami. Pojęcia te odnoszą się do lokalnych własności funkcji, bo dotyczą pewnego sąsiedztwa punktu x 0. Funkcja może mieć więcej niż jedno maksimum i minimum w swojej dziedzinie, a nawet może mieć nieskończenie wiele ekstremów przykładem jest np. funkcja y = sin x, która ma minima równe -) w punktach x k = π + kπ, k Z, a maksima równe ) w punktach x l = π + lπ, l Z. Przykład Posługując się wykresem funkcji wskazać punkty w których występuje ekstremum:. fx) x ;. fx) = sgn sin x. Twierdzenie 8 Fermata; warunek konieczny istnienia ekstremum) Jeżeli funkcja f ma:. ekstremum w punkcie x 0,. pochodną f x 0 ), to f x 0 ) = 0. Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa. Przykładem może służyć funkcja fx) = x 3, dla której f 0) = 0, ale nie ma ekstremum dla x 0 = 0; jak wiadomo, funkcja ta jest stale rosnąca. Warto też zwrócić uwagę na fakt, że funkcja może mieć ekstremum, ale nie mieć pochodnej. Przykładem takiej funkcji jest fx) = x ; dla x = 0 jest minimum, ale pochodna w tym punkcie nie istnieje. Zapamiętanie następującej uwagi ułatwi praktyczne poszukiwanie ekstremów. Funkcja może mieć ekstrema tylko w tych punktach, w których jej pochodna równa jest 0 albo w punktach, w których jej pochodna nie istnieje. Następne dwa twierdzenia podają warunki dostateczne istnienia ekstremum funkcji. Twierdzenie 9 I warunek dostateczny istnienia maksimum) Jeżeli funkcja f spełnia warunki:. f x 0 ) = 0,. w pewnym sąsiedztwie lewostronnym punktu x 0 jest f x 0 ) > 0, 3. w pewnym sąsiedztwie prawostronnym punktu x 0 jest f x 0 ) < 0, to w punkcie x 0 funkcja f ma maksimum właściwe. Analogiczne twierdzenie obowiązuje dla minimum. Twierdzenie 0 I warunek dostateczny istnienia minimum) Jeżeli funkcja f spełnia warunki:. f x 0 ) = 0,. w pewnym sąsiedztwie lewostronnym punktu x 0 jest f x 0 ) < 0,

12 3. w pewnym sąsiedztwie prawostronnym punktu x 0 jest f x 0 ) > 0, to w punkcie x 0 funkcja f ma minimum właściwe. Ten warunek jest najczęściej wykorzystywany. Jak widać należy obliczyć pochodną, znaleźć jej miejsca zerowe, przeanalizować znak pochodnej w pobliżu podejrzanych punktów i wyciągnąć prawidłowe wnioski. Przykład Znaleźć ekstrema funkcji:. fx) = x e /x ;. fx) = x ; +x 3. fx) = +x+x. x+x Gdyby analiza znaku pochodnej była kłopotliwa, można posłużyć się następującym twierdzeniem. Twierdzenie II warunek dostateczny istnienia ekstremum) Jeżeli funkcja f spełnia warunki:. f x 0 ) = 0,. f x 0 ) < 0 f x 0 ) > 0), to w punkcie x 0 funkcja f ma maksimum minimum) właściwe. Powyższe twierdzenie wymaga jednak obliczenia drugiej pochodnej. Wartość największa i najmniejsza funkcji na zbiorze Eksremum funkcji jest pojęciem lokalnym; jeżeli natomiast rozpatrujemy funkcję na konkretnym zbiorze np. przedziale), to wówczas określony jest zbiór jej wartości na tym zbiorze). Jeśli zbiór wartości ma element największy i najmniejszy, to te liczby nazywamy największą i najmniejszą wartością funkcji na tym zbiorze. Z twierdzenia Weierstrassa: Twierdzenie Funkcja ciągła na przedziale domkniętym osiąga kres dolny i kres górny swojego zbioru wartości, wynika, że jeśli funkcję rozpatrujemy na przedziale domkniętym, to istnieje wartość największa i najmniejsza. Wartości te znajdujemy według następującego schematu.. Znajdujemy punkty c, c,..., c n zerowania się pochodnej funkcji f na [a, b] oraz punkty d, d,..., d m, w których pochodna nie istnieje.. Obliczamy wartości funkcji w wyżej znalezionych punktach oraz w końcach przedziału a, b. 3. Spośród liczb fa), fb), fc ), fc ),..., fc n ), fd ), fd ),..., fd m ) wybieramy najmniejszą i największą. Będą to odpowiednio wartości najmniejsza m i największa M funkcji f na przedziale [a, b]. Przykład Znaleźć wartość najmniejszą i największą funkcji w przedziale:. fx) = x 5 5x, [, 3];. fx) = x, [0, 4]. x+

13 9 Funkcje wypukłe i wklęsłe Definicja 5 Funkcją f jest wypukła na przedziale a, b), jeżeli a<x <x <b 0<λ< fλx + λ)x ) λfx ) + λ)fx ). Oznacza to, że wartość funkcji w każdym punkcie między x i x leży poniżej siecznej wykresu przechodzącej przez punkty x, fx )) i x, fx )). Definicja 6 Funkcją f jest wklęsła na przedziale a, b), jeżeli a<x <x <b 0<λ< fλx + λ)x ) λfx ) + λ)fx ). Oznacza to, że wartość funkcji w każdym punkcie między x i x leży powyżej siecznej wykresu przechodzącej przez punkty x, fx )) i x, fx )). Jeżeli w powyższych definicjach założymy nierówności ostre, to funkcję nazwiemy odpowiednio ściśle wypukłą i ściśle wklęsłą. Twierdzenie 3 warunek dostateczny wypukłości i wklęsłości) Jeżeli f x) > 0 f x) < 0) dla dowolnego x a, b), to funkcja jest ściśle wypukła ściśle wklęsła) na a, b). Przykład Wyznaczyć przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji;. fx) = x 4 6x 6x + ;. fx) = x x ) 3 Obliczenia: y = x +x, y = x +8x+; x ) 4 x ) 5 3. y = x+)3 = x + 3 x+. x +x+4 x +x+4 Pochodne wynoszą: y = x + ) x + x + 0) x + x + 4), y = 6x + )x + x 8) x + x + 4) 3. Punkty, w których następuje zmiana z wypukłości na wklęsłość lub odwrotnie) nazywamy punktami przegięcia wykresu funkcji. Twierdzenie 4 warunek konieczny istnienia punktu przegięcia) Jeżeli funkcja f ma:. punkt przegięcia w punkcie x 0,. pochodną f x 0 ), to f x 0 ) = 0. Twierdzenie 5 warunek dostateczny istnienia punktu przegięcia) Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 3

14 . f x 0 ) = 0,. w pewnym sąsiedztwie lewostronnym punktu x 0 jest f x 0 ) > 0 lub f x 0 ) < 0), 3. w pewnym sąsiedztwie prawostronnym punktu x 0 jest f x 0 ) < 0 lub f x 0 ) > 0), to w punkcie x 0 funkcja f ma punkt przegięcia. Przykład Wyznaczyć punkty przegięcia:. y = e x odp.: ± );. y = 3 x 3 x odp.: ±). Dość trudne rachunki: y = 3 x 3 3 xx ) 3, y = 4 9 x 3 x ) 5 3 [ x ) 5 3 x )) 5 ] 3 3x 4 3 4

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na

Bardziej szczegółowo

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39 Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale

Bardziej szczegółowo

Granice funkcji-pojęcie pochodnej

Granice funkcji-pojęcie pochodnej Granice funkcji-pojęcie pochodnej Oznaczenie S(x 0 ) = S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie funkcja określona przynajmniej na sasiedztwie S(x 0, r) dla pewnego

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania

Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Definicja pochodnej Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu f (x x 0 jeśli istnieje

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznyc wykład XI dr ab. Krzysztof Barański, prof. UW dr Waldemar Pałuba Uniwersytet Warszawski rok akad. 0/3 semestr zimowy Racunek różniczkowy Pocodna funkcji

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji wykład 4

Granica funkcji wykład 4 Granica funkcji wykład 4 dr Mariusz Grządziel 27 października 2008 Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t: s = gt2 2, gdzie

Bardziej szczegółowo

Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce

Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce Wykład 6, pochodne funkcji Siedlce 20.12.2015 Definicja pochodnej funkcji w punkcie Niech f : (a; b) R i niech x 0 ; x 1 (a; b), x0 x1. Wyrażenie nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f między punktami

Bardziej szczegółowo

11. Pochodna funkcji

11. Pochodna funkcji 11. Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f:x >R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Mówimy,

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,

Bardziej szczegółowo

Ekstrema globalne funkcji

Ekstrema globalne funkcji SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością

Bardziej szczegółowo

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego:

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego: Podstawowe definicje Iloraz różnicowy funkcji Def. Niech funkcja będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt. Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie dla przyrostu nazywamy funkcję Pochodna

Bardziej szczegółowo

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0. Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 (5.11.07) Funkcja logistyczna Rozważmy funkcję logistyczną y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Funkcja f może być wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren kukurydzy (zmienna

Bardziej szczegółowo

Funkcje dwóch zmiennych

Funkcje dwóch zmiennych Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ). Ciągi liczbowe.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym.

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje

Bardziej szczegółowo

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów Drugą pochodną funkcji nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji. Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej; itd. Ogólnie, -ta

Bardziej szczegółowo

Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.

Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji. Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.. Ciągi Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze N lub jego podzbiorze. Z tego względu ciągi dziey na

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Zastosowania pochodnych

Zastosowania pochodnych Zastosowania pochodnych Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIAROWEJ Przykład: objętość kuli Kulka z łożyska tocznego ma średnicę 2,3 mm, co oznacza, że objętość

Bardziej szczegółowo

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej.

Bardziej szczegółowo

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami

Analiza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 4 4 Granice funkcji, ciągłość 5 5 Rachunek różniczkowy

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji. 0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}.

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}. CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW

Analiza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW Drugą pochodną nazywamy pochodną funkcji pochodnej f () i zapisujemy f () = [f ()] W ten sposób możemy też obliczać pochodne n-tego rzędu. Obliczmy wszystkie pochodne wielomianu

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Niech f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że

Pochodna funkcji. Niech f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że Niec f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że (a α, a + α) A. Niec f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że (a α, a + α) A. Definicja Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie a nazywamy

Bardziej szczegółowo

4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji

4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji 4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji Definicja 4.6. Wykres funkcji różniczkowalnej w punkcie Xo nazywamy wypukłym (odpowiednio wklęsłym) w punkcie xo, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo

Bardziej szczegółowo

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:

Bardziej szczegółowo

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a.

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a. Ćwiczenia 3032010 - omówienie zadań 1-4 z egzaminu poprawkowego Konwersatorium 3032010 - omówienie zadań 5-8 z egzaminu poprawkowego Ćwiczenia 4032010 (zad 445-473) Kolokwium nr 1, 10032010 (do zad 473)

Bardziej szczegółowo

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C, Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,

Bardziej szczegółowo

1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P)

1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P) Wymagania edukacyjne dla klasy IIIc technik informatyk 1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE rok szkolny 2014/2015 zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyznacza wartości

Bardziej szczegółowo

Lista 1 - Kilka bardzo prostych funkcji. Logarytm i funkcja wykładnicza

Lista 1 - Kilka bardzo prostych funkcji. Logarytm i funkcja wykładnicza Lista - Kilka bardzo prostych funkcji Logarytm i funkcja wykładnicza Naszkicuj wykresy funkcji: y = sgn x oraz y = x sgn x; b) y = x oraz y = x ; c) y = x x Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

na egzaminach z matematyki

na egzaminach z matematyki Błędy studentów na egzaminach z matematyki W opracowaniu omówiłem typowe błędy popełniane przez studentów na kolokwiach i egzaminach z algebry oraz analizy. Ponadto podaję błędy rzadziej spotykane, które

Bardziej szczegółowo

II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty.

II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. Definicja 1.1. Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013 Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne pierwszego rzędu

1 Pochodne pierwszego rzędu Pocodne pierwszego rzędu. Podstawowe definicje Def. Niec funkcja f będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt a. Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie a dla przyrostu nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki (4 godz.)

Elementy logiki (4 godz.) Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji: definicja, podstawowe własności wykład 6

Pochodna funkcji: definicja, podstawowe własności wykład 6 Pochodna funkcji: definicja, podstawowe własności wykład 6 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu r. akad. 2016/2017 Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga

Bardziej szczegółowo

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień. Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna

Analiza matematyczna Analiza matematyczna Stanisław Jaworski Katedra Ekonometrii i Statystyki Zakład Statystyki Funkcje Podstawowe pojęcia Funkcje Definicja (Funkcja) Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze

Bardziej szczegółowo

I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x

I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,

Bardziej szczegółowo

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE zakres podstawowy dla poszczególnych klas

WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE zakres podstawowy dla poszczególnych klas WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE zakres podstawowy dla poszczególnych klas - klasy pierwsze kolor zielony + gimnazjum - klasy drugie kolor zielony + kolor czerwony + gimnazjum, - klasy maturalne cały materiał 1.

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne

IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystywanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje

Bardziej szczegółowo

( ) Pochodne. Załómy, e funkcja f jest okrelona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Liczb

( ) Pochodne. Załómy, e funkcja f jest okrelona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Liczb Pocodne Załómy, e unkcja jest okrelona w pewnym otoczeniu punktu. Liczb ( + ) ( ) nazywamy ilorazem rónicowym unkcji w punkcie dla przyrostu. Pocodn ( ) unkcji w punkcie nazywamy granic ilorazu rónicowego,

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki dla klasy M+ (zakres rozszerzony) Klasa II

Kryteria oceniania z matematyki dla klasy M+ (zakres rozszerzony) Klasa II Funkcja liniowa Kryteria oceniania z matematyki dla klasy M+ (zakres rozszerzony) Klasa II Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry - rozpoznaje funkcję liniową na podstawie wzoru - zna postać

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. rozszerzonym. dla uczniów technikum. część III

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. rozszerzonym. dla uczniów technikum. część III Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie rozszerzonym dla uczniów technikum część III Granica ciągu liczbowego 1 Pojęcie granicy ciągu i ciągi zbieżne do zera sporządzać

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

ZAKRES PODSTAWOWY CZĘŚĆ I. Liczby rzeczywiste

ZAKRES PODSTAWOWY CZĘŚĆ I. Liczby rzeczywiste CZĘŚĆ I ZAKRES PODSTAWOWY W nawiasach proponowane oceny: 2 poziom konieczny wymagań edukacyjnych 3 poziom podstawowy wymagań edukacyjnych 4 poziom rozszerzający wymagań edukacyjnych 5 poziom dopełniający

Bardziej szczegółowo

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.)

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.) IV etap edukacyjny Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.01 r.) Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń

Bardziej szczegółowo

Poziom wymagań. Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielomianu

Poziom wymagań. Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielomianu Plan wynikowy klasa 2g - Jolanta Pająk Matematyka 2. dla liceum ogólnokształcącego, liceum profilowanego i technikum. ształcenie ogólne w zakresie rozszerzonym rok szkolny 2015/2016 Wymagania edukacyjne

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym.

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym. Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Spis treści WSTĘP 5 ROZDZIAŁ 1. Matematyka Europejczyka. Program nauczania matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych

Bardziej szczegółowo

1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.

1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009. Szeregi potęgowe Definicja.. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie R nazywamy szereg postaci: gdzie x R oraz c n R dla n = 0,, 2,... c n (x ) n, Przyjmujemy, że 0 0 def =. Liczby c n nazywamy współczynnikami

Bardziej szczegółowo

Liczba godzin. Uczeń: wykres ciągu. K P 1 wyraz ciągu. wyznacza kolejne wyrazy ciągu, gdy danych jest kilka jego. początkowych wyrazów K P

Liczba godzin. Uczeń: wykres ciągu. K P 1 wyraz ciągu. wyznacza kolejne wyrazy ciągu, gdy danych jest kilka jego. początkowych wyrazów K P MATeMAtyka 3 Plan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony Oznaczenia: wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; wymagania wykraczające - dopuszczający;

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA IV etap edukacyjny. I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.

MATEMATYKA IV etap edukacyjny. I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Cele kształcenia wymagania ogólne MATEMATYKA IV etap edukacyjny I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje otrzymany wynik. Uczeń

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h) Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony (według podręczników z serii MATeMAtyka) Klasa I (90 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15

Bardziej szczegółowo

Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala

Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala November 12, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Oblicz pochodne nastȩpuj

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN, ANALIZA 1A, , ROZWIĄZANIA

EGZAMIN, ANALIZA 1A, , ROZWIĄZANIA Zadanie 1. Podać kresy następujących zbiorów. Przy każdym z kresów napisać, czy kres należy do zbioru (TAK = należy, NIE = nie należy). infa = 0 NIE A = infb = 1 TAK { 1 i + 2 j +1 + 3 } k +2 : i,j,k N

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki - Granica funkcji

Wykłady z matematyki - Granica funkcji Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Granica funkcji Otoczenie punktu 0 to przedział ( 0 ɛ, 0 + ɛ) dla każdego ɛ > 0 Sąsiedztwo punktu 0 to jego otoczenie bez punktu 0. Jeżeli funkcja jest określona w

Bardziej szczegółowo

K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Wymagania edukacyjne z matematyki lasa 2 a lo Zakres rozszerzony Oznaczenia: *OZNACZONE ZOSTAŁY TEMATY REALIZOWANE NA OZIOMIE ROZSZERZONYM wymagania konieczne; wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające;

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne Liczby niewymierne Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej Pierwiastek

Bardziej szczegółowo

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA

Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Szkoła: Liceum Ogólnokształcące Klasa: pierwsza Poziom nauczania: podstawowy Numer programu: DPN-5002-31/08 Podręcznik: MATEMATYKA Anna Jatczak, Monika Ciołkosz,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego.

WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych,

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń używa języka matematycznego

Bardziej szczegółowo

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego 1. Liczby rzeczywiste P1.1. Przedstawianie liczb rzeczywistych w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego,

Bardziej szczegółowo