Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 3

Transkrypt

1 Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 3

2 Ciągi liczbowe Definicja Dowolną funkcję a: N R nazywamy ciągiem liczbowym. Uwaga Ze względu na tradycję tym razem N = {1, 2, }. Będziemy stosować oznaczenie (a n ), co oznacza {a n : n N}.

3 Wykres ciągu liczbowego a n = ( 1) n ma następujący wykres:

4 Różne sposoby przedstawiania ciągu wzór jawny a n = 5 + 4(n 1) ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie 5 i różnicy 4 a n = a 1 + r(n 1) ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie a 1 i różnicy r a n = 3 2 n 1 ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie 3 i ilorazie 2 a n = a 1 q n 1 ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie a 1 i ilorazie q a n = 2 n n 2

5 Różne sposoby przedstawiania ciągu wzór rekurencyjny a 1 = 5, a n+1 = a n + 4 dla n 1 a 1 = 3, a n+1 = 2 a n dla n 1 a 1 = 1, a 2 = 1, a n = a n 1 + a n 2 dla n 3 (ciąg Fibonacciego)

6 Różne sposoby przedstawiania ciągu opisowo a n przybliżenie z niedomiarem do n-tego miejsca po przecinku liczby 2; a 1 = 1,4, a 2 = 1,41, a n n-ta z kolei liczba pierwsza, a 1 = 2, a 2 = 3,

7 Własności ciągów ograniczoność Ciąg (a n ) nazywamy ograniczonym, jeśli istnieją takie liczby m oraz M, że m a n M dla dowolnego n N. Na przykład ciąg a n = sin n jest ograniczony ( 1 sin n 1), a ciąg b n = 2 n nie jest ograniczony.

8 Własności ciągów monotoniczność Ciąg (a n ) nazywamy rosnącym (malejącym), jeśli dla dowolnego n N zachodzi nierówność a n+1 a n (a n+1 a n ). Na przykład ciąg a n = 2 n jest rosnący, ciąg b n = ( 1 2 )n jest malejący, a ciąg c n = ( 1) n nie jest ani rosnący ani malejący.

9 Jak sprawdzić, czy ciąg jest monotoniczny (rosnący lub malejący)? Przykład : a n = Trzy metody: n n+1

10 Granice ciągów a n = 1 n

11 Definicja Ciąg (a n ) jest zbieżny do liczby rzeczywistej a wtedy i tylko wtedy, gdy ε>0 N ε n>n ε a n a < ε Zbieżność ciągu (a n ) do liczby a zapisujemy: lim n a n = a. Inne spojrzenie na definicję: a n a < ε ε < a n a < ε a ε < a n < a + ε

12 Twierdzenie 1 Jeśli ciągi (a n ) oraz b n mają granice właściwe, to: lim n a n ± b n = lim n a n ± lim n b n lim n a n b n = lim n a n lim n b n lim n a n /b n = lim n a n /lim n b n, lim n b n 0

13 Twierdzenie 2 (o trzech ciągach) Jeśli dla każdego n n 0 zachodzą nierówności a n b n c n oraz lim n a n = lim n c n = g, to lim n b n = g. Dowód Przykład: lim n n 2 n + 3 n = 3

14 Twierdzenie 3 Każdy ciąg ograniczony i monotoniczny jest zbieżny.

15 Definicja liczby e a n = (1 + 1 n )n lim n a n = e ograniczoność ciągu (a n ): 1 a n 3 monotoniczność ciągu (a n ): a n+1 a n > 1

16 Matematyka I BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Ćwiczenia 3

17 Sprawdzian nr 1 1. Naszkicuj wykres funkcji: A. f x = ( 1 2 )x 1 B. f x = log 2 4x 2. Oblicz wartości: A. log 2 sin( π 6 ), log 2 cos(π 4 ) B. arctg 3/3, arcctg 1, arcsin 1

18 Ciąg arytmetyczny Znajdź wzór ogólny ciągu arytmetycznego, w którym a 2 = 5, a 9 = 26. Uzasadnij, że w ciągu arytmetycznym dowolny wyraz, począwszy od drugiego, jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich.

19 Ciąg geometryczny Znajdź wzór ogólny ciągu geometrycznego, w którym a 2 = 10, a 4 = 250. Uzasadnij, że w ciągu geometrycznym o wyrazach nieujemnych dowolny wyraz, począwszy od drugiego, jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich.

20 Wyraz ogólny ciągu Znajdź wyraz ogólny ciągu: 1, 1/2, 1/4, -1, 1, -1, 1, 1/2, 2/3, 3/4, 4/5,

21 Zastosowanie funkcji wykładniczej Czas połowicznego rozpadu, okres połowicznego rozpadu (zaniku) czas, w ciągu którego liczba nietrwałych obiektów lub stanów zmniejsza się o połowę. Zadanie Okres połowicznego rozkładu dla pewnej radioaktywnej substancji wynosi 20 dni. Początkowa masa tej substancji wynosi 5 g. Po jakim czasie pozostanie 1 g tej substancji? Odp. Około 46 dni i 10 godzin.

22 Ograniczoność ciągu Sprawdź, czy następujące ciągi są ograniczone: a n = 1 ( 1 2 )n b n = n+2 n c n = 2n+1 n

23 Monotoniczność ciągu Sprawdź, czy następujące ciągi są monotoniczne: a n = 1 ( 1 2 )n b n = n+2 n c n = 2n+1 n

24 Przykłady Podaj przykład ciągu: ograniczonego i monotonicznego nieograniczonego i monotonicznego ograniczonego i niemonotonicznego nieograniczonego i niemonotonicznego

25 Ciąg rekurencyjny Oblicz 6-ty wyraz ciągu określonego rekurencyjnie: a 1 = 2, a n+1 = a n

26 Zadanie domowe Znajdź wzór ogólny ciągu arytmetycznego, w którym a 3 = 4, a 9 = 34. Oblicz sumę pierwszych 50 wyrazów tego ciągu. Suma n początkowych wyrazów pewnego ciągu wyraża się wzorem S n = n2 +7n. Uzasadnij, że ciąg 2 ten jest arytmetyczny. (zadanie dla chętnych ) Zbadaj ograniczoność i monotoniczność ciągu a n = n 2 + 3n + 2. Podaj przykład ciągu, który jednocześnie jest geometryczny i arytmetyczny. Zadanie ze slajdu nr 25.