Ciągi liczbowe wykład 3

Transkrypt

1 Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel 3 kwietnia 203 Definicja (ciągu liczbowego). Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowuja- ca zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych. Wartość tej funkcji dla liczby naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ciagu i oznaczamy przez a n, b n itp. Ciagi o takich wyrazach oznaczamy odpowiednio przez (a n ), (b n ) itp. Zbiór wyrazów ciagu (a n ) oznaczamy przez {a n }. Uwaga Niektórzy autorzy definiujemy ciąg jako funkcję określoną na dowolnym podzbiorze liczb naturalnych. Uwaga 2 W książce D. Wrzoska ciąg o wyrazach a n, n N oznaczany jest przez {a n } n=. Sposoby określania ciagu Ciągi liczbowe możemy określać: (i) wzorem: np. a n = 3 n. (ii) opisowo a n n-ta cyfra po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby π; (iii) rekurencyjnie: wyraz (n + ) szy jest określony jako funkcja początkowych n wyrazu ciągu; np. ciąg arytmetyczny (a n ), którego pierwszy wyraz jest równy i różnica r jest równa 2, może być określony rekurencyjnie w następujący sposób: por. [Wrz08, str. 09]. Ciag geometryczny Definicja 2. Ciag (a n ) określony przez a =, a n+ = a n + 2 a = a, a n+ = qa n, gdzie a i q sa danymi liczbami rzeczywistymi, nazywamy ciagiem geometrycznym o pierwszym wyrazie a i ilorazie q. Przykład. W chwili t = liczebność populacji bakterii wynosi 000. Po upływie czasu T liczebność populacji bakterii się podwaja. Przyjmujac T za jednostkę pomiaru czasu liczebność populacji a n w chwili t = n można określić wzorem: a = 000; a n+ = 2a n.

2 Definicja 3. Ciag (a n ) jest ograniczony z dołu, jeżeli zbiór {a n } jest ograniczony z dołu, tj. istnieje m R takie, że dla każdego n N a n m. Definicja 4 (ciągu ograniczonego z góry). Ciag (a n ) jest ograniczony z góry, jeżeli zbiór {a n } jest ograniczony z góry, tj. istnieje M R takie, że dla każdego n N a n M. Przykład Ciąg b n = n n+3 jest ograniczony z góry- ograniczeniem górnym jest np.. Definicja 5 (ciągu ograniczonego). Ciag (a n ) jest ograniczony, jeżeli zbiór {a n } jest ograniczony, tj. ma zarówno ograniczenie dolne jak i górne. Przykład Ciąg a n = n n 2 + jest ograniczony. Ograniczeniem dolnym jest np. 0 a ograniczeniem górnym np.. Definicja 6. Ciag (a n ) jest rosnacy, jeżeli a < a 2 < a 3 <..., tzn. dla każdego n N a n < a n+. Analogicznie definiujemy ciąg niemalejący: Definicja 7. Ciag (a n ) jest niemalejacy, jeżeli a a 2 a 3..., tzn. dla każdego n N a n a n+. Uwaga. Analogicznie definiuje się ciąg malejący i nierosnący. Ciąg nazywamy monotonicznym, jeżeli jest nierosnący lub niemalejący. Pojęcie granicy ciagu Rozważmy ciąg (a n ) określony przez a n = n. Dla dowolnego ε > 0 wszystkie, z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby, wyrazy tego ciągu należą do epsilonowego otoczenia zera (0 ε, 0 + ε). Zamiast wszystkie z wyjatkiem co najwyżej skończonej liczby będziemy często pisać prawie wszystkie. Definicja 8 (słowne określenie granicy właściwej ciągu). Ciag (a n ) jest zbieżny do granicy właściwej a R, jeśli w dowolnym otoczeniu epsilonowym a znajduja się prawie wszystkie wyrazy tego ciagu. Pojęcie granicy ciagu c.d. Definicja 9 (granicy właściwej ciągu). Ciag (a n ) jest zbieżny do granicy właściwej a R, co zapisujemy lim a n = a, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ε > 0 istnieje n 0 N takie, że dla każdego n naturalnego większego niż n 0 a n a < ε. 2

3 Równość lim a n = a często jest zapisywana krócej: lim a n = a lub a n a. Granica ciagu przykład Zadanie. Korzystając z definicji granicy uzasadnij, że lim n = 0. Rozw. Mamy pokazać, że dla każdego ε > 0 istnieje n 0 N takie,że dla n > n 0 n 0 < ε. Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Musimy znaleźć liczbę n 0 N taką, że dla każdego n > n 0 będzie spełniona nierówność n 0 < ε. Mamy n 0 = n < ε wtedy i tylko wtedy, gdy n > ε. Zatem za n 0 można przyjąć dowolną liczbę naturalną większą niż ε. Granica zastosowania geometryczne Problem. Chcemy obliczyć pole s figury S ograniczonej prostą y = 0, prostą x = i wykresem funkcji f(x) = x 2. Rozwiazanie przybliżone. Dzielimy odcinek [0, ] na n odcinków o równej długości: [ 0, n ), [ n, 2 n ),..., [ n n, Suma pól prostokątów, których podstawy są równe tym odcinkom a wysokości kwadratom ich lewych końców, oznaczana przez s n, jest sensownym przybliżeniem pola figury S. Pole figury S można zdefiniować jako lim s n. Przykład geometryczny c.d. Mamy n [ ( k ) 2 ] s n = n n k= wykorzystaliśmy równość: n 2 = ]. = (n )n(2n ) n 3 ; 6 n(n + )(2n + ). 6 Obliczenie granicy ciągu (s n ) bezpośrednio z definicji raczej trudne. 3

4 x^ x Rysunek : Przybliżony sposób obliczania pola figury S Twierdzenie (o arytmetyce granic ciągów). Jeżeli ciag (a n ) jest zbieżny do granicy właściwej a oraz ciag (b n ) jest zbieżny do granicy właściwej b, to lim n + b n ) = a + b, () lim n b n ) = a b, (2) lim n) = ca, gdzie c R, (3) lim nb n ) = ab, (4) lim a n b n = a/b, o ile b 0, (5) Przykład geometryczny c.d. Korzystając z twierdzenia o arytmetyce granic ciągów możemy obliczyć granicę ciagu (s n ) : lim s n = lim = lim = lim = lim = 3 lim (n )n(2n ) n 3 = 6 (6) (n )n(2n ) (n )(2n ) 6n 3 = lim 6n 2 = (7) 2n 2 3n + 6n 2 = (8) 2n 2 6n 2 lim 3n 6n 2 + lim 6n 2 = (9) 2n + lim 6n 2 = 3. (0) Przy obliczeniach zostało wykorzystane Twierdzenie o arytmetyce granic ciągów. Paradoks Zenona z Elei wersja uwspółcześniona 4

5 Zenek goni Andrzeja: prędkość Andrzeja v A = 0 m s, prędkość Zenka: v Z = 5 m s. W czasie: t 0 = 0 : s A (t 0 ) =0; s Z (t 0 ) = 0; t = : s A (t ) =0; s Z (t ) = 5; t 2 =,5 : s A (t 2 ) =5; s Z (t 2 ) = 7,5 To postępowanie można kontynuować w nieskończoność. Czy Zenek nigdy nie złapie Andrzeja?... Suma kolejnych wyrazów ciagu geometrycznego s A (t k ) = ( 2) k. Czy s A (t k ) dąży do nieskończoności? Mamy: lim s A(t k ) = lim k bo lim k ( 2) k = 0. k 0 2 ) k k = lim = 20, k ( 2 Granica ciagu geometrycznego dla ilorazu q (, 0) (0, ) Fakt. Niech q (, 0) (0, ). Wtedy 2 lim k qk = 0. Dowód. Weźmy dowolny ɛ > 0. Należy znaleźć n 0 N takie, że dla n > n 0 Mamy q n 0 < ɛ. q n 0 = q n = q n < ɛ wtedy i tylko wtedy, gdy n > log q ɛ, więc można za n 0 przyjąć najmniejszą liczbę całkowitą większą lub równą log q ɛ. Szeregi nieskończone definicje Dla ciągu (a n ), o wyrazach a, a 2, a 3,... utwórzmy następujący ciąg: s = a, s 2 = a + a 2, s 3 = a + a 2 + a 3,... Jeżeli ciąg (s n ) ma granicę, to granicę tę oznaczamy symbolem n= a n lim s n i nazywamy ją sumą szeregu nieskończonego a + a 2 + a

6 Przykłady Dla q (, ) i a R aq n = a q ; n= n= n(n+) = ; n= n = ; (szereg jest rozbieżny do granicy niewłaściwej ; dokładna definicja ciągu rozbieżnego do : [Kur08, str. 3]); n= ( )n = nie jest zbieżny do żadnej granicy (skończonej lub nieskończonej; jest rozbieżny). Przykłady c.d. Jesteśmy zainteresowani obliczeniem sumy n= Ciąg sum częściowych jest ograniczony, ponieważ Prawdziwe jest następujące twierdzenie: n 2. () n= n(n+) =. Twierdzenie 2. Ciag niemalejacy i ograniczony z góry jest zbieżny. Stąd suma () jest zbieżna do pewnej granicy g. Łatwo pokazać, że g < 2. Używając bardziej zaawansowanych metod można udowodnić, że g = π 2 /6 (por. [Kur08, str. 23]). Liczba e Rozważmy ciąg e n = ( + n) n. Można sprawdzić, że: e = 2; e 2 = 2,25; e 0 = 2,594; e 00 = 2,705. Fakt. Można pokazać, że ciąg (e n ) jest rosnący. Fakt. Dla każdego n zachodzi e n 3. Z powyższych faktów, oraz z twierdzenia, które mówi, że ciąg rosnący i ograniczony z góry jest zbieżny (por. G. Fichtenholz, rachunek różniczkowy i całkowy, t., rozdz. 34), wynika, że Twierdzenie 3. Ciag e n = ( + ) n n jest zbieżny. 6

7 Granicę tego ciągu będziemy oznaczać przez e (od matematyka szwajcarskiego L. Eulera ( )): ( e = lim + n. n) Liczba e z dokładnością do 0 cyfr po przecinku jest równa 2, Liczba e inna definicja e n=0 n!. Dowód równoważności tej definicji z podaną poprzednio: ćwiczenia. Obliczanie przybliżonej wartości liczby e Oznaczmy n s n k! = n. Mamy: więc k=0 e s n = (n + )! + (n + 2)! (2) (n + 3)! [ = + (n + )! n + + ] (n + ) = n!n, (3) 0 < e s n < n!n. Stąd np. s 7 przybliża liczbę e z błędem mniejszym niż 0 4 (ponieważ 7! 7 = 35280). Logarytm naturalny i funkcja eksponencjalna Logarytm przy podstawie e nazywamy logarytmem naturalnym i oznaczamy przez ln; ln x = log e x. Funkcję wykładniczą przy podstawie e nazywamy funkcją eksponencjalną i oznaczamy exp; exp x = e x. Funkcja eksponencjalna jako suma szeregu potęgowego Dla dowolnego x R e x x n = n! = + x + x (4) n=0 Dowód można znaleźć np. w [Kur08, str. 42]. Wniosek W otoczeniu ( ɛ, ɛ), gdzie ɛ jest odpowiednio małą liczbą dodatnią, wykres funkcji y = e x może być przybliżony ( sensownie ) przez wykres funkcji y = + x. W szczególności, wykres funkcji y = e x przecina oś OY pod kątem 45 stopni; funkcja wykładnicza dla y = a x, gdzie a e, nie posiada tej własności. Uwaga Równość (4) może być wykorzystana do zdefiniowania funkcji wykładniczej dla argumentu postaci z = a+bi, gdzie a, b R, a i = jest jednostką urojoną. 7

8 Szereg harmoniczny Definicja 0. Mówimy, że ciag (a n ) jest zbieżny do, jeżeli dla każdej liczby r istnieje takie n 0, że dla n > n 0 jest a n > r. Można pokazać, że ciąg sum częściowych (tzw. szereg harmoniczny) jest zbieżny do nieskończoności. Dowód ćwiczenia. H n = Wskazówki bibliograficzne Strona w encyklopedii Wikipedia poświęcona paradoksom Zenona z Elei: [Fich78] G. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom. PWN 978. [Kur08] K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy. Wydanie. PWN [Wrz08] D. Wrzosek, Matematyka dla biologów. Wyd. UW, 2008; wydanie 2-gie ukazało się w 200 r. n k= k 8