Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Transkrypt

1 Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

2 1. Ciągi 1. Ciąg liczbowy. Ciągiem liczb rzeczywistych nazywamy dowolną funkcję a: N R. Zamiast a(n), piszemy a n. Ciąg oznaczamy następująco: (a n ) R, (a n ) n=1 R lub {a n} n=1 R.. Monotoniczność ciągu. a) Ciąg (a n ) n=1 R nazywamy rosnącym, jeśli a n a n+1 dla n N. b) Ciąg (a n ) n=1 R nazywamy silnie rosnącym, jeśli a n < a n+1 dla n N. c) Ciąg (a n ) n=1 R nazywamy malejącym, jeśli a n+1 a n dla n N. d) Ciąg (a n ) n=1 R nazywamy silnie malejącym, jeśli a n+1 < a n dla n N. e) Ciąg (a n ) n=1 R nazywamy stałym, jeśli a n+1 = a n dla n N. f) Ciąg rosnący lub malejący nazywamy monotonicznym, a ciąg silnie rosnący lub silnie malejący nazywamy silnie monotonicznym.. Ograniczoność. a) Ciąg (a n ) n=1 nazywamy ograniczonym od góry, jeśli istnieje M R takie, że a n M dla każdego n N. b) Ciąg (a n ) n=1 nazywamy ograniczonym od dołu, jeśli istnieje M R takie, że M a n dla każdego n N. c) Ciąg (a n ) n=1 nazywamy ograniczonym, jeśli istnieje M R takie, że a n M dla każdego n N. Łatwo zauważyć, że jeśli ciąg jest ograniczony od dołu i od góry, to jest on ograniczony i na odwrót: jeśli jest ograniczony, to jest ograniczony od góry i od dołu. 4. Ciąg arytmetyczny. Ciąg arytmetyczny to ciąg (a n ), dla którego a n+1 a n = const dla każdego n N, czyli r R n N a n+1 = a n + r S n = (a 1 + a n ) n a n+1 = a 1 + (n 1)r n ty wyraz ciągu arytmetycznego = [a 1 + (n 1)r] n a n = a n 1 + a n+1 suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego średnia arytmetyczna 5. Ciąg geometryczny. Ciąg geometryczny to ciąg (a n ), dla którego a n+1 a n q R n N = const dla każdego n N, czyli a n+1 = a n q a n+1 = a 1 q n 1 n ty wyraz ciągu geometrycznego { n an dla q = 1, S n = suma npoczątkowych wyrazów ciągu geometrycznego a 1 n dla q 1. a n = a n 1 a n+1 średnia geometryczna 57

3 Ciąg sum częściowych ciągu geometrycznego (S n ) n=1, S n = a 1 n wtedy i tylko wtedy, gdy q < 1, tzn. jest zbieżny i ma granicę S 6. Granica ciągu. S = S n = a 1 1 q Liczba g jest granicą ciągu nieskończonego (a n ) n=1, jeśli dla każdego otoczenia liczby g należą prawie wszystkie wyrazy ciągu (tzn. wszystkie poza skończoną liczbą wyrazów), tzn. a n = g ε>0 M R n>m a n a < ε. Ciąg (a n ), który ma granicę właściwą nazywamy zbieżnym. Ciąg (a n ) n=1 jest zbieżny do + wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby M prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od M, tzn. a n = + M R m R n>m a n > M. Ciąg (a n ) n=1 jest zbieżny do wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od M, tzn. 7. Ważne twierdzenia. Twierdzenie o trzech ciągach a n = M R m R n>m a n < M. Jeżeli a n = b n = g oraz jeśli (c n ) n=1 jest ciągiem, którego prawie wszystkie wyrazy spełniają nierówność a n c n b n, to ciąg (c n ) n=1 jest zbieżny oraz c n = g. Twierdzenie Każdy podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy. Twierdzenie Jeżeli a n = a, b n = b, to a) (a n ± b n ) = a ± b, b) (a n b n ) = a b, a c) n bn = a b, jeśli b n 0, b 0. Twierdzenie Jeżeli a n = a, b n = b i prawie wszystkie wyrazy ciągów (a n ) i (b n ) spełniają nierówność a n b n, to a b. Twierdzenie o ciągu monotonicznym Każdy ciąg malejący i ograniczony od dołu jest zbieżny. Każdy ciąg rosnący i ograniczony od góry jest zbieżny. 58

4 8. Różne granice. 1 n = 0 a 1 n = = a n = 0 ( ) n N a n > 0 a 1 n = 0 = a n = + an = 0, gdy a < 1, 1, gdy a = 1, +, gdy a > 1. n n = 1 n a = 1, gdy a > 0 ( n ( = e 1 n) 1 ) n = 1 n e ( 1 + a ) n = e a n Przykładowe zadania a n a > 1, k > 1 = n k = + 1. Zbadać monotoniczność ciągu a n = 1 1 n. Badamy różnicę a n+1 a n a n+1 a n = 1 1 (n+1) (1 1 n ) = 1 n 1 (n+1) = (n+1) n n (n+1) = n+1 n (n+1) Odpowiedź: Ciąg a n jest silnie rosnący. > 0 dla każdego n N. W ciągu arytmetycznym a = 4, a 8 = 14. Obliczyć a 1, r. Korzystamy ze wzoru na n ty wyraz ciągu arytmetycznego a n = a 1 + (n 1)r Zatem a = a 1 + r = 4, zaś a 8 = a 1 + 7r = 14. Stąd r =, a 1 = 7. Odpowiedź: r =, a 1 = 7.. W ciągu arytmetycznym a 1 = 0, r = 0, 7. Obliczyć S 11. Korzystamy ze wzoru na n ty wyraz ciągu arytmetycznego a n = a 1 + (n 1)r Zatem a 1 = a 1 + 0r = a , 7 = 0, stąd a 1 = 16 Korzystamy ze wzoru na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego S n = [a 1+(n 1)r] n S 11 = ( ,7) 11 = (+7)11 = 14, Odpowiedź: S 11 = 14,. 59

5 4. Dla jakich wartości x liczby x, x, 4 tworzą ciąg arytmetyczny? Korzystamy ze wzoru na średnią arytmetyczną a = a 1+a x = x+4, zatem x x 1 = 0, czyli x 1 =, x = 4 Odpowiedź: x 1 =, x = Zbadać, czy ciąg a n = n + jest arytmetyczny. Ciąg jest arytmetyczny, gdy jest stała różnica pomiędzy wyrazem następnym a poprzednim. a n+1 a n = (n + 1) + (n + ) = n + + n = Odpowiedź: Ciąg jest arytmetyczny. 6. W ciągu geometrycznym a 5 =, a 10 = 64. Obliczyć a 1 i q. Korzystamy ze wzoru na n ty wyraz ciągu geometrycznego Zatem a 5 = a 1 q 4 =, zaś a 10 = a 1 q 9 = 64. Stąd q =, a 1 = 1 8. Odpowiedź: q =, a 1 = W ciągu geometrycznym S n = 11 16, a 4 = 1 54, q = 1. Obliczyć n. a n = a 1 q n 1 Korzystamy ze wzoru na n ty wyraz ciągu geometrycznego a n = a 1 q n 1 Zatem a 4 = a 1 ( 1 ) = 1 54, stąd a 1 = 1. Korzystamy ze wzoru na sumę n wyrazów ciągu geometrycznego S n = a n 1 S n = a n 1 = 1 1 ( 1 ( ( )n = ( 1 )n) = 4 1 ( 1 )n). Stąd 4 (1 ( 1 )n ) = 11 16, zatem 1 ( 1 )n = , czyli 1 ( 1 )n = 4 4 ( 1 )n = 1 4 = ( 1 )5, czyli n = 5 Odpowiedź: n = Zbadać, czy ciąg a n = n jest geometryczny. Ciąg jest geometryczny, gdy iloraz pomiędzy dowolnym wyrazem a wyrazem go poprzedzającym jest stały (niezależny od n). Obliczmy = (n+1) n = n+1 n = n a n+1 a n jest zależne od n Odpowiedź: Ciąg nie jest geometryczny. 9. Dla jakich wartości x liczby 5, x, 5 4 tworzą ciąg geometryczny? Korzystamy ze wzoru na średnią geometryczną a = a 1 a Zatem x = 5 5 4, stąd x = ± 5 4, czyli x = ± 5 Odpowiedź: x = ± 5. 60

6 10. Obliczyć sumę ciągu Jest to nieskończony ciąg geometryczny, w którym a 1 = 1 oraz q = 1. Korzystamy ze wzoru S = a 1 S = = 1 1 = 1 = Odpowiedź: S = 1 ( + ). 9n 11. Obliczyć +n+1 n n+. ( +1) ( +1)( = ( +1) 1) 1 = ( + 1) = 1 ( + ) Dziey każdy składnik licznika i mianownika przez n w najwyższej potędze z mianownika, czyli przez n. Zatem 9+ n + 1 n 1 n +. 1 n Skoro n, to 1 1 n 0, n Stąd n + 1 n 1 n + = 9 1 n = Odpowiedź:. 1. Obliczyć ( n + n n n ). Korzystając ze wzoru a b = a b a+b (n +n) (n n) n +n+ = n n n n +n+, dzie- n n = 1. y każdy składnik przez n, stąd Odpowiedź: 1., otrzymujemy 1+ 1 n n 1. Obliczyć 1 n n +5n. Korzystając ze wzoru 1 a b = a+b = n + n +5n 5n, dziey każdy składnik przez n, stąd Odpowiedź: 1 5. a b, otrzymujemy 1 1+ n + 5 n n + n +5n n (n +5n) n +5 = 1 5 = Obliczyć n +4 n 5 n +. n Dziey licznik i mianownik przez 5 n (, zatem 5 )n +( 4 5 )n = 0, bo jeśli q (0, 1), to q n 0 1+( 5 )n Odpowiedź: Obliczyć n+1 +5 n 8 4 n n+1 +5 n 8 4 n 1 7 = 4 n 4+5 n 8 4 n = 4 n 4+5 n 4 n 7, dziey każdy wyraz przez 4n 4+5 (, stąd 4 )n = 7 ( 1 4 )n Odpowiedź:. 61

7 16. Obliczyć (1 + 5 n )n (1 + 5 n )n = Odpowiedź: e Obliczyć (1 n ) 5n (1 n ) 5n = Odpowiedź: e Obliczyć ( n+ n )10n ( n+ n Odpowiedź: e Obliczyć ( n+1 n+ )n [ ( n 5 [ ( n ) n 5 ] 10 = e 10 )10n = (1 + n )10n = ( n+1 n+ )n (1+ = 1 n )n = (1+ n )n Odpowiedź: e. 0. Obliczyć n n + 5 n + 8 n. Zachodzi następująca nierówność: ] ) n 15 = e 15 (1+ [ 1 n )n (1+ n 1 ) n [ ( n ] = e e ) n ] 0 = e 0 = e 8 n n + 5 n + 8 n 8 n + 8 n + 8 n = 8 n Obliczamy pierwiastek n tego stopnia dla każdego ze składników nierówności. Jest to funkcja rosnąca, zatem znak nierówności nie zmieni się. Stąd 8 = n 8 n n n + 5 n + 8 n n 8 n n 8 Ponieważ n 1, więc skrajne ciągi są zbieżne do 8. Stosujemy twierdzenie o trzech ciągach, stąd n n + 5 n + 8 n = 8 Odpowiedź: 8. Zadania Napisać 5 pierwszych wyrazów ciągu o wyrazie ogólnym: 1. b n = sin( nπ 6 ).. d n = n n!.. W ciągu arytmetycznym a = 6, a 8 = 54. Obliczyć a 1 i r. 6

8 4. Znaleźć ciąg arytmetyczny o a 1 = 1, jeśli suma czterech pierwszych wyrazów jest razy większa od sumy czterech następnych wyrazów. 5. Dla jakich wartości x liczby log, log( x 1), log( x + ) tworzą ciąg arytmetyczny? 6. Cztery liczby tworzą ciąg geometryczny. Wyznaczyć ten ciąg, jeśli suma wyrazów skrajnych wynosi 6, zaś suma wyrazów środkowych wynosi Dla jakiego a suma 4a + a + a +... wynosi 1? 8. Podać wzór na ogólny wyraz ciągu 1, 1 4, 1 9, 1 16, Zbadać monotoniczność ciągu a n = n n W ciągu arytmetycznym a 5 = 1, a 8 = 15. Obliczyć a 1 i r. 11. W ciągu geometrycznym a = 9, a 5 = 81. Obliczyć a 1 i q. 1. Znaleźć ciąg geometryczny o wyrazach, w którym suma wyrazów wynosi 7, a iloczyn wyrazów Zbadać, czy ciąg a n = n jest geometryczny. 14. Dla ciągu o wyrazie ogólnym a n = n + n obliczyć wartość wyrażenia a 1 + a a. 15. Wyznaczyć wszystkie wyrazy ciągu a n = n 5n + 9 mniejsze od Obliczyć sumę liczb naturalnych parzystych od 0 do Wyznaczyć a 1 i q w ciągu geometrycznym, w którym a = 4, a 5 = 64. Obliczyć granicę ciągu: 18. a n = 5n6 n n a n = n + 4n n. 0. a n = 8n 5 n +6 n. 1. a n = (1 + n ) 5n.. a n = ( n 1 n+ )n+1.. a n = 1 n ln(n + e n + π n ). 6