a 1, a 2, a 3,..., a n,...

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "a 1, a 2, a 3,..., a n,..."

Transkrypt

1 III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a n }. Używamy zapisu a n = a(n). Ciąg {a n } można też zapisywać w postaci a 1, a 2, a 3,..., a n,... Liczbę a n nazywamy n-tym wyrazem ciągu {a n }. Przykłady określania ciągów liczbowych:. wzorem, np. a n = 3 n, b n = n 1 n, c n = n n ; rekurencyjnie, np. a 1 = 3, a n+1 = a n + 2 ciąg arytmetyczny, b 1 = 1, b n+1 = 3b n ciąg geometryczny; opisowo, np. a n - n-ta liczba pierwsza. 1

2 Przykłady ciągów liczbowych:. ciąg liczb parzystych dodatnich a n = 2n; ciąg liczb nieparzystych dodatnich a n = 2n 1; ciąg arytmetyczny a n = p + (n 1)d (p - pierwszy wyraz ciągu, d - różnica ciągu); ciąg geometyczny a n = pq n 1 (p - pierwszy wyraz ciągu, q - iloraz ciągu); ciąg stały a n = c (c - dowolna liczba); a n = ( n) n; 1, +1, 1, +1,..., ( 1) n ; 1, 2, 3 3, 4 4,..., n n. 2. Monotoniczność i ograniczoność ciągu liczbowego. Definicja 2.1. Mówimy, że ciąg {a n } jest: rosnący, jeżeli dla każdego n N a n < a n+1 niemalejący, jeżeli dla każdego n N malejący, jeżeli dla każdego n N a n a n+1 a n > a n+1 nierosnący, jeżeli dla każdego n N a n a n+1. 2

3 Ciągi rosnące, niemalejące, malejące i nierosnące nazywamy ciągami monotonicznymi. Można mówić o ciągach monotonicznych od pewnego miejsca tj. pewnego numeru n 0 N. Uwaga. Monotoniczność dowolnego ciągu {a n } można ustalić badając znak różnicy a n+1 a n, a ciągu {b n } o wyrazach dodatnich porównując iloraz z liczbą 1. b n+1 b n Przykład. Sprawdzimy, że ciąg a n = n 2 n jest rosnący. Otrzymujemy a n+1 a n = (n+1) 2 (n+1) (n 2 n) = n 2 +2n+1 n 1 n 2 +n = 2n > 0 dla wszystkich n N. Zatem a n < a n+1 dla n N. Przykład. Sprawdzimy, że ciąg b n = n! n n n N badamy iloraz b n+1 b n. Otrzymujemy b n+1 b n = jest malejący. Ponieważ b n > 0 dla wszystkich (n + 1)! nn (n + 1) (n+1) n! = dla wszystkich n N. Zatem b n+1 < b n dla n N. ( ) n n < 1, n + 1 Definicja 2.2. Ciąg {a n } nazywamy ograniczonym, jeżeli istnieją takie liczby m 1 i m 2, że dla wszystkich n N m 1 a n m 2, lub równoważnie, jeżeli istnieje taka liczba M > 0, że dla wszystkich n N a n M. 3

4 3. Granica ciągu liczbowego. Definicja 3.1. Liczbę g nazywamy granicą ciągu {a n }, jeżeli dla dowolnego ɛ > 0 można dobrać taką liczbę n 0 N, że dla każdego n > n 0 zachodzi nierówność zapisywana równoważnie w postaci a n g < ɛ, g ɛ < a n < g + ɛ. Mówimy, że ciąg {a n } jest zbieżny do granicy g, co zapisujemy lim a n = g. n Ciągi posiadające granicę nazywamy ciągami zbieżnymi. Twierdzenie 3.2. (o jednoznaczności granicy) Ciąg zbieżny nie może mieć dwóch różnych granic. Przykłady ważnych ciągów zbieżnych: lim n c = c; lim n 1 n = 0; lim n q n = 0 dla q < 1; lim n n a = 1 dla a > 0;; lim n n n = 1; lim n ( n) n = e 2,

5 Przykład. n (a) Wykażemy, że lim n n+1 = 1. Zgodnie z definicją należy pokazać, że n ɛ > 0 n 0 N N n > n 0 1 < ɛ. n + 1 Weźmy dowolny ɛ > 0. Nierówność epsilonową n względu na n. Otrzymujemy n+1 n n < ɛ n > 1 ɛ. ɛ 1 < ɛ rozwiązujemy ze Zatem przyjmując n 0 := [ 1 ɛ ɛ + 1], gdzie symbol [x] oznacza część całkowitą z liczby x, otrzymamy, że dla wszystkich n > n 0 zachodzi nierówność n 1 < ɛ. n + 1 (b) Rozważmy ciąg a n = 2 ( 1) n. Mamy a 2n = 2, a 2n 1 = 2 dla n N. Przypuśćmy, że ciąg {a n } ma granicę g < 2. Wtedy przyjmując ɛ = 2 g 2 otrzymujemy, że żaden wyraz a 2n nie spełnia nierówności a 2n g < ɛ, czyli g nie może być granicą ciągu {a n }. Podobnie pokazuje się, że granicą nie może być żadna liczba g 2. Zatem granica ciągu {a n } nie istnieje. 5

6 4. Twierdzenia o ciągach zbieżnych. Twierdzenie 4.1. (o jednoznaczności granicy) Ciąg zbieżny nie może mieć dwóch różnych granic. Twierdzenie 4.2. Ciąg zbieżny jest ograniczony. Twierdzenie 4.3. Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny. Twierdzenie 4.4. (o arytmetyce granic) Załóżmy, że ciągi {a n } i {b n } są zbieżne, tzn. lim n a n = a i lim n b n = b. Wówczas 1. lim n (a n + b n ) = lim n a n + lim n b n = a + b; 2. lim n (a n b n ) = lim n a n lim n b n = a b; 3. lim n (c a n ) = c lim n a n = c a; 4. lim n (a n b n ) = lim n a n lim n b n = a b; 5. lim n a n bn = lim n a n lim n b n = a b, o ile b n 0; 6. lim n (a n ) p = (lim n a n ) p, gdzie p Z \ {0}; 7. lim n k a n = k lim n a n, gdzie k N \ {1}. W dwóch ostatnich wzorach zakłada się, że wyrażenia po obu stronach równości mają sens. Przykład. ( Obliczymy lim n n n n 4 +5n 1 3n 4 2n + 4n +3 n 2 8 n +7 ). n 6

7 Twierdzenie 4.5. (o trzech ciągach) Jeżeli ciągi {a n }, {b n }, {c n } spełniają warunki: (i) a n b n c n dla n n 0 (n 0 - pewna liczba naturalna); (ii) lim n a n = lim n c n = g, to lim n b n = g. Przykład. Obliczymy lim n n 2 n + 3 n + 5 n. Twierdzenie 4.6. Jeżeli lim n a n = 0 i ciąg b n jest ograniczony, to lim (a n b n ) = 0. n Przykład. Obliczymy lim n n sin n n Twierdzenie 4.7. Ciąg e n = ( n) n jest rosnący i ograniczony z góry. Wniosek 4.7. Ciąg e n = ( n) n jest zbieżny. Definicja 4.8. Granicę ciągu {e n } oznaczamy przez e, tj. lim n ( n) n = e. 7

8 5. Ciągi rozbieżne do nieskończoności. Definicja 5.1. Mówimy, że ciąg {a n } jest rozbieżny do nieskończoności, co zapisujemy lim a n =, n jeżeli dla dowolnej liczby M można dobrać taką liczbę naturalną n 0, że dla wszystkich n > n 0 zachodzi nierówność a n > M. Mówimy, że ciąg {a n } jest rozbieżny do minus nieskończoności, co zapisujemy lim a n =, n jeżeli dla dowolnej liczby M można dobrać taką liczbę naturalną n 0, że dla wszystkich n > n 0 zachodzi nierówność a n < M. Jeżeli ciąg {a n } jest rozbieżny do + lub, to mówimy, że ciąg ten ma granicę niewłaściwą. Przykład. Pokażemy, że ciąg a n = n jest rozbieżny do +. Weźmy dowolną liczbę M. Należy tak dobrać n 0, aby dla n > n 0 zachodziła nierówność n > M. Mamy n n + 2 > M o ile n > M 2. Wystarczy więc przyjąć n 0 = [M 1] Twierdzenie Jeżeli a n 0 i a n > 0, to 1 a n 2. Jeżeli a n 0 i a n < 0, to 1 a n 3. Jeżeli a n ±, to 1 a n Jeżeli a n + i b n b > 0, to a n b n Jeżeli a n + i b n b < 0, to a n b n. 6. Jeżeli a n + i b n +, to a n + b n Jeżeli a n + i {b n } jest ograniczony, to a n + b n +. 8

9 Uwaga. Jeżeli c n = a n b n oraz a n 0 i b n +, to bezpośrednio z takiej postaci ciągu {c n } nie można nic wywnioskować na temat granicy tego ciągu. O ciągu {c n } mówimy, że jest ciągiem typu 0 lub nieoznaczonością typu 0. Wyróżniamy następujące symbole nieoznaczone : 0,,, 0 0, 00, 1, 0. Przykład. Obliczymy lim n ( n 2 + n n). Twierdzenie 5.3. (o dwóch ciągach) Załóżmy, że ciągi {a n } i {b n } spełniają nierówność a n b n dla n n 0, gdzie n 0 - pewna liczba naturalna. 1. Jeżeli lim n a n = +, to lim n b n = Jeżeli lim n b n =, to lim n a n =. Przykład. ( Wykażemy, że lim n ) n = +. Twierdzenie 5.4. Jeżeli a n > 0 dla n N i lim n a n = +, to lim n (1 + 1 a n ) an = e. Przykład. ( Obliczymy lim 3n+1 n. n 3n+4) 9

10 W poprzednim materiale proszę zwrócić uwagę na stronę 4, Twierdzenie 4.4 (o arytmetyce granic) i Przykład po nim następujący. Ważne jest też Twierdzenie 4.5 (o trzech ciągach) i Przykład oraz Twierdzenie 5.2 o symbolach nieoznaczonych i Uwaga po nim. O jednej z najważniejszych stałych w matematyce mówi Twierdzenie 5.4. A w następnej części pochodzącej z książki Mariana Gewerta i Zbigniewa Skoczylasa ten sam materiał jest jeszcze raz podany w Twierdzeniach o numerach 1.3.4, 1.3.7, , 1.4.3, 1.4.5,

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22 Ciagi liczbowe i ich własności. Ciagi liczbowe. Granica ciagu. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 1/30

23 Ciagi Ciagiem nazywamy każdą funkcjęf, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych N (lub zbiór N 0 = N {0}) (ciąg nieskończony) f: N A (lubf: N 0 A) lub skończony początkowy podzbiór zbioru liczb naturalnych {1,2,3,...,k} (ciąg skończony). f:{1,2,3,...,k} A Wartość funkcjif dla argumentun,f(n), nazywamyn-tym wyrazem ciagu i oznaczamy symbolema n : a n =f(n). AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 2/30

24 Ciagi liczbowe Ciąg o wyrazacha n zapisujemy symbolicznie jako(a n ). Wyrazami ciągu mogą być elementy dowolnego zbioru A. Jeśli zbiór A jest zbiorem liczb rzeczywistych, tj. A=R, (lub zespolonych, tj. A=C), to ciąg nazywamy ciagiem liczbowym. Jeżeli A=R, to a 2 a n a n AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 3/30

25 Sposoby opisu ciagów liczbowych: Wzór ogólny - podaje zależność międzyn-tym wyrazem ciągu a jego numeremn(wskaźnikiemn), np. a n = n+2 2 5n, b n =( 1) nn2 2 n, c n =2 n, d n =5+3n. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 4/30

26 Sposoby opisu ciagów liczbowych: Wzór rekurencyjny (indukcyjny) - wyraza n ciągu zostaje wyrażony przy pomocy poprzednich wyrazów tego ciągu, przy czym musi zostać podany wyraz pierwszya 1, np. a 1 =3 a n+1 =a n +2n+1 u 0 =0 u 1 =1 ciąg Fibonacciego. u n+2 =u n +u n+1, AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 5/30

27 Sposoby opisu ciagów liczbowych: Nie każdy ciąg liczbowy daje się przedstawić przy pomocy wzorów (ogólnych lub rekurencyjnych). Istnieją ciągi, które możemy określać opisowo, np.a n =n-ta liczba po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczbyπ. π=3, AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 6/30

28 Ciagi ograniczone Ciąg(a n ) jest ograniczony z dołu, jeżeli a n m R n N a n m. m n AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 7/30

29 Ciagi ograniczone Ciąg(a n ) jest ograniczony z góry, jeżeli M R n N a n M. M a n n AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 8/30

30 Ciagi ograniczone Ciąg(a n ) jest ograniczony, jeżeli m,m R n N m a n M. M a n m n Ciąg jest ograniczony def M R n N a n M. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 9/30

31 Ciag rosnacy Ciąg(a n ) nazywamy rosnacym, jeżeli n N a n+1 >a n tzn. każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego. a n n AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 10/30

32 Ciag niemalejacy Ciąg(a n ) nazywamy niemalejacym, jeżeli n N a n+1 a n każdy następny wyraz jest nie mniejszy od poprzedniego (większy bądź równy). a n n AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 11/30

33 Ciag malejacy Ciąg(a n ) nazywamy malejacy, jeżeli n N a n >a n+1 tzn. każdy następny wyraz jest mniejszy od poprzedniego. a n n AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 12/30

34 Ciag nierosnacy Ciąg(a n ) nazywamy nierosnacym, jeżeli n N a n a n+1 każdy następny wyraz jest nie większy od poprzedniego (mniejszy bądź równy). a n n AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 13/30

35 Ciag stały Ciąg(a n ) nazywamy stałym, jeżeli n N a n+1 =a n tzn. wszystkie wyrazy ciągu są takie same. a n n AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 14/30

36 Ciagi monotoniczne Ciąg stały jest nierosnący i niemalejący jednocześnie. Ciąg nierosnący lub niemalejący nazywamy monotonicznym, ciąg rosnący lub malejący nazywamy ściśle monotonicznym. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 15/30

37 Monotoniczność ciagu Aby zbadać monotoniczność ciagu wyznaczamy różnicę a n+1 a n i badamy jej znak. Ponadto monotoniczność ciągu(b n ) o wyrazach dodatnich możemy ustalić porównując znak ilorazu b n+1 b n z 1. a n+1 a n b n+1 b n Ciag >0 >1 rosnący <0 <1 malejący 0 1 niemalejący 0 1 nierosnący =0 =1 stały AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 16/30

38 Granica ciagu Liczbęg spełniającą dla danego ciągu nieskończonego(a n ) warunek: ε>0 n0 N n N [n>n 0 a n g <ε] nazywamy granica właściwa tego ciagu, co symbolicznie zapisujemy w postacilim n a n =g. lim a n n=g def ε>0 n0 N n N [n>n 0 a n g <ε] AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 17/30

39 Granica ciagu g+ε g g ε a n n Granica ciągu jest wyznaczona jednoznacznie. Z definicji wynika, że liczbag jest granicą ciągu(a n ), jeśli prawie wszystkie wyrazy tego ciągu (tzn. wszystkie wyrazy ciągu nieskończonego bez pewnej liczby jego początkowych wyrazów) należą do przedziału(g ε,g+ε). Mówiąc inaczej dla coraz większychn, różnica pomiędzy liczbąg, a wyrazem a n jest coraz mniejsza. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 18/30

40 Ciag rozbieżny do+ Ciąg nazywamy rozbieżnym do+ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczbym prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe odm. lim a n n=+ def M R n0 N n N [n>n 0 a n >M]. Z definicji wynika, że ciąg jest rozbieżny do nieskończoności, jeśli jego kolejne wyrazy są coraz większe. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 19/30

41 Ciag rozbieżny do+ a n M n AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 20/30

42 Ciag rozbieżny do Ciąg(a n ) nazywamy rozbieżnym do wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczbym prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są mniejsze odm. lim a n n= def M R n0 N n>n0 n N [n>n 0 a n <M]. Z definicji wynika, że ciąg jest rozbieżny do minus nieskończoności, jeśli jego kolejne wyrazy są coraz mniejsze i ujemne. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 21/30

43 Ciagi zbieżne i rozbieżne Ciag majacy granicę właściwa nazywamy ciagiem zbieżnym. Ciag nie majacy granicy właściwej nazywamy ciagiem rozbieżnym. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 22/30

44 Podciag ciagu Niech(a n ) będzie dowolnym ciągiem i(k n ) będzie rosnącym ciągiem liczb naturalnych. Podciągiem ciągu(a n ) nazywamy ciąg(b n ) określony wzorem def b n =a kn,n N. Twierdzenie: Każdy podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy. Każdy podciąg ciągu rozbieżnego do± jest rozbieżny do tej samej granicy. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 23/30

45 Twierdzenia o ciagach zbieżnych Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony. Każdy ciąg ograniczony i monotoniczny jest zbieżny. Granicą ciągu stałego o wyrazach równychajest liczbaa. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 24/30

46 Twierdzenia o ciagach zbieżnych Jeżeli ciągi(a n ) i(b n ) są zbieżne, przy czym lim a n=ai n + lim b n=b, to zbieżne są też ciągi(a n +b n ),(a n b n ), n + (a n b n ), a przy założeniu, żeb 0 ib n 0 jest zbieżny ciąg ( ) an b n i zachodzą związki: lim (a n+b n )=a+b. n + lim (a n b n )=a b. n + lim (a n b n )=a b. n + a n lim = a n + b n b. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 25/30

47 Twierdzenia o ciagach zbieżnych Dla dowolnej liczby rzeczywistejk R i ciągu(a n ) o granicy a zachodzi: lim k a n=k a. n + Twierdzenie o trzech ciagach: Jeżeli ciągi(a n ) i(b n ) są zbieżne do tej samej granicyg i jeśli(c n ) jest ciągiem, którego prawie wszystkie wyrazy spełniają zależność:a n c n b n, to ciąg(c n ) jest zbieżny do granicyg. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 26/30

48 Twierdzenia o ciagach zbieżnych Jeśli Ciąge n = lim a n=±, to n + lim n + 1 a n =0. ( 1+ 1 n) n jest rosnący i ograniczony z góry, a zatem zbieżny. Granicę tego ciągu oznaczamy przeze: ( e= lim 1+ 1 n. n + n) e 2, Jeżelilim n a n =0 oraza n 0dlan N, to lim (1+a n n) 1 an =e. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 27/30

49 Twierdzenia o ciagach zbieżnych Granice niektórych ciagów: 1. lim n + a=a. 2. lim n + 3. lim n + 4. lim n + 5. lim n + 6. lim n + 1 n =0. n a=1, dlaa>0. n n=1. a n =0, dlaa>0. n! a n nk=+, dlaa>1ik>1. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 28/30

50 Twierdzenia o ciagach zbieżnych Granice niektórych ciagów: ( 1+ n) 1 n =e. 7. lim n + 8. lim n + 9. lim n lim n + an = ( 1 1 n) n = 1 e. ( 1+ a n) n=e a, dlaa R. 0, gdya (0,1) 1, gdya=1. +, gdya>1 AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 29/30

51 Dziękuję za uwagę AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 30/30

52 Szeregi liczbowe Szeregi liczbowe i ich kryteria zbieżności Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 1/25 c Małgorzata Wyrwas

53 Szereg liczbowy Niech (a n ) będzie ciągiem liczbowym. SZEREGIEM liczbowym o wyrazach a n nazywamy wyrażenie postaci a 1 + a 2 + a 3 + = n=1 a n. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 2/25 c Małgorzata Wyrwas

54 Sumy Sumy częściowe szeregu S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2. S n = a 1 + a a n n=1 a n nazywamy sumami częściowymi szeregu n=1 a n. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 3/25 c Małgorzata Wyrwas

55 Sumy częściowe szeregu n=1 a n Liczbę a n nazywamy n-tym wyrazem szeregu, a sumę S n def = a 1 + a a n nazywamy n-ta suma częściowa szeregu a n. Ciąg n=1 (S n ) będziemy nazywać ciagiem sum częściowych powstałych z ciągu (a n ). Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 4/25 c Małgorzata Wyrwas

56 Przykład Weźmy następujący szereg ( 1 n=1 n 1 n + 1 Wypiszmy wybrane sumy częściowe tego szeregu ). S 1 = 1 2 S 2 = = 2 3. S n = n 1 n + 1 = 1 1 n + 1. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 5/25 c Małgorzata Wyrwas

57 Szereg zbieżny i rozbieżny Szereg liczbowy n=1 a n nazywamy zbieżnym, jeżeli jego ciąg sum częściowych (S n ) jest ciągiem zbieżnym (ma granicę skończoną), tzn. lim S n = S. n + Liczbę S nazywamy suma tego szeregu, tzn. n=1 a n = a 1 + a 2 + a 3 + = S. Jeżeli ciąg sum częściowych (S n ) jest rozbieżny (tzn. ma granicę niewłaściwą + lub albo nie ma granicy) to mówimy, że szereg jest rozbieżny. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 6/25 c Małgorzata Wyrwas

58 Reszta szeregu n-ta reszta szeregu zbieżnego n=1 a n nazywamy liczbę R n def = k=n+1 a k Uwaga. Zmiana skończonej liczby początkowych wyrazów szeregu nie ma wpływu na jego zbieżność. Uwaga. Jeżeli szereg ma wyrazy nieujemne, to jest zbieżny albo rozbieżny do +. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 7/25 c Małgorzata Wyrwas

59 Rozważmy szereg n=1 Przykład ( 1 n 1 ) n + 1 Wtedy n-ta suma częściowa tego szeregu ma postać (1) S n = n 1 n + 1 = 1 1 n + 1. ( Ponieważ n lim S n = n lim 1 1 ) = 1, więc ( n n 1 ) = 1, czyli szereg (1) jest zbieżny. n + 1 n=1 Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 8/25 c Małgorzata Wyrwas

60 Rozważmy szereg Przykład n=1 1 (2) Wtedy n-ta suma częściowa tego szeregu ma postać S n = = n. Ponieważ n lim S n = n lim n = +, więc szereg (2) jest rozbieżny. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 9/25 c Małgorzata Wyrwas

61 Warunek konieczny zbieżności szeregów liczbowych Jeżeli szereg liczbowy n=1 a n jest zbieżny, to lim a n n = 0. Uwaga. Jeżeli warunek konieczny nie jest spełniony, tzn. n lim a n 0 albo n lim a n nie istnieje, to szereg n=1 a n jest rozbieżny. Jeżeli warunek konieczny jest spełniony, to nie wiemy czy szereg jest zbieżny czy rozbieżny. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 10/25 c Małgorzata Wyrwas

62 Przykład Rozważmy szereg n=1 n 2n + 1. (3) n Wówczas n lim 2n + 1 = 1, więc warunek konieczny 2 nie jest spełniony, zatem szereg (3) jest rozbieżny. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 11/25 c Małgorzata Wyrwas

63 Przykład Rozważmy szereg n=1 1 n. (4) 1 Ponieważ n lim n = 0, więc warunek konieczny jest spełniony, ALE n-ta suma częściowa szeregu (4) ma postać S n = = n = n. 2 3 n n n n n Wówczas lim n S n = +, więc szereg (3) jest rozbieżny. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 12/25 c Małgorzata Wyrwas

64 Szereg geometryczny Szeregiem geometrycznym nazywamy szereg postaci n=1 a 1 q n 1. (5) Szereg geometryczny jest sumą wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie a 1 i ilorazie q. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 13/25 c Małgorzata Wyrwas

65 Zbieżność szeregu geometrycznego Jeżeli a 1 = 0, to szereg ma sumę równą 0. n=1 Jeżeli a 1 0 i q 1, to szereg rozbieżny. a 1 q n 1 jest zbieżny i n=1 Jeżeli a 1 0 i q < 1, to szereg zbieżny i n=1 a 1 q n 1 jest a 1 q n 1 jest S n = a 1 + a 1 q + a 1 q 2 + a 1 q n 1 = a 1 1 q n 1 q. 1 q n Wtedy n lim S n = n lim a 1 1 q gdy q <1 ===== a 1 1 q. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 14/25 c Małgorzata Wyrwas

66 Szereg harmoniczny Szereg harmoniczny to szereg postaci n=1 1 n. (6) Szereg harmoniczny rzędu p (szereg Dirichleta) to szereg postaci 1 n. (7) p n=1 Twierdzenie. Szereg harmoniczny rzędu p > 1 jest zbieżny. Twierdzenie. Szereg harmoniczny rzędu p 1 jest rozbieżny. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 15/25 c Małgorzata Wyrwas

67 Kryterium całkowe Niech funkcja f : n 0, + ) 0, + ) będzie nierosnąca, gdzie n 0 N. Wówczas szereg szereg n=n 0 f(n) jest zbieżny całka n=n 0 f(n) jest rozbieżny całka n 0 n 0 f(x)dx jest zbieżna. def Uwaga. Reszta tego szeregu, to jest wyrażenie R n = spełnia oszacowanie: n+1 f(x)dx R n f(x)dx jest rozbieżna. n f(x)dx. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 i=n+1 f(i), Szeregi liczbowe str. 16/25 c Małgorzata Wyrwas

68 Kryterium porównawcze zbieżności szeregów Jeżeli mamy dwa szeregi liczbowe szereg n=1 n=1 a n, n=1 b n i b n jest zbieżny oraz od pewnego miejsca n 0 dla każdego n N, takiego że n n 0 spełniona jest nierówność 0 a n b n, to szereg n=1 a n również jest zbieżny. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 17/25 c Małgorzata Wyrwas

69 Kryterium porównawcze rozbieżności szeregów Jeżeli mamy dwa szeregi liczbowe szereg n=1 n=1 a n, n=1 b n i a n jest rozbieżny oraz od pewnego miejsca n 0 dla każdego n N, takiego że n n 0 spełniona jest nierówność 0 a n b n, to szereg n=1 b n również jest rozbieżny. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 18/25 c Małgorzata Wyrwas

70 Kryterium d Alemberta Niech lim n a n+1 a n = g. Wtedy szereg n=1 a n jest zbieżny, jeżeli g < 1. jest rozbieżny, jeżeli g > 1. W przypadku, kiedy g = 1, to zbieżność szeregu należy badać za pomocą innego kryterium, ponieważ z tej informacji nie wynika zbieżność ani rozbieżność szeregu. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 19/25 c Małgorzata Wyrwas

71 Kryterium Cauchye go n Niech n lim an = g. Wtedy szereg liczbowy n=1 jest zbieżny, jeżeli g < 1. jest rozbieżny, jeżeli g > 1. Jeżeli g = 1, to kryterium nie rozstrzyga zbieżności lub rozbieżności. a n Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 20/25 c Małgorzata Wyrwas

72 Szereg naprzemienny Szereg liczbowy postaci n=1 ( 1) n a n, (8) gdzie dla każdego n N a n 0 nazywamy naprzemiennym. Przykład. Szereg postaci ( 1) n+1 = 1 1 n=1 n jest przykładem 4 szeregu naprzemiennego. Będziemy nazywać go szeregiem anharmonicznym. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 21/25 c Małgorzata Wyrwas

73 Kryterium Leibniza Jeżeli mamy dany szereg naprzemienny ( 1) n a n, taki że spełnione są warunki: ciąg (a n ) jest nierosnący, lim a n n = 0, to szereg jest zbieżny. n=1 Uwaga. Z kryterium Leibniza wynika, że szereg anharmonicznym ( 1) n+1 = 1 1 n jest zbieżny ponieważ 4 n=1 ciąg a n = 1 n jest ciągiem malejącym dążącym do zera. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 22/25 c Małgorzata Wyrwas

74 Zbieżność bezwzględna szeregów Szereg liczbowy n=1 a n nazywamy szeregiem bezwzględnie zbieżnym, jeżeli szereg (bezwzględnych wartości) n=1 a n jest zbieżny. Szereg liczbowy, który jest zbieżny a nie jest bezwzględnie zbieżny nazywamy warunkowo zbieżnym. Twierdzenie. Jeżeli dany szereg liczbowy jest bezwzględnie zbieżny, to jest zbieżny. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 23/25 c Małgorzata Wyrwas

75 Podsumowanie Szeregi liczbowe - definicje i podstawowe twierdzenia. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna szeregów. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 24/25 c Małgorzata Wyrwas

76 Dziękuję za uwagę Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 25/25 c Małgorzata Wyrwas

Szeregi liczbowe. Szeregi liczbowe i ich kryteria zbieżności. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Szeregi liczbowe. Szeregi liczbowe i ich kryteria zbieżności. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi liczbowe Szeregi liczbowe i ich kryteria zbieżności Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi liczbowe str. 1/25 Szereg liczbowy Niech(a n ) będzie

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

Krzysztof Rykaczewski. Szeregi

Krzysztof Rykaczewski. Szeregi Krzysztof Rykaczewski Spis treści 1 Definicja szeregu 2 Zbieżność szeregu 3 Kryteria zbieżności szeregów 4 Iloczyn Cauchy ego szeregów 5 Bibliografia 1 / 13 Definicja szeregu Niech dany będzie ciąg (a

Bardziej szczegółowo

SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE

SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE Mając dowolny ciąg można z niego utworzyć nowy ciąg sum częściowych: Ten nowy rodzaj ciągu nazywamy szeregiem liczbowym, a jeśli to mamy do czynienia z nieskończonym szeregiem liczbowym, który oznaczany

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1. Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. 1. Ciągi

Analiza matematyczna. 1. Ciągi Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk

Szeregi liczbowe. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk Analiza Matematyczna Szeregi liczbowe Alexander Denisjuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk

Bardziej szczegółowo

Ciągi liczbowe. - oznacza, że a(1) = a 1, a(2) = a 2, a(n) = a n a 1, a 2, a 3, a 4,... a n a(n) a n

Ciągi liczbowe. - oznacza, że a(1) = a 1, a(2) = a 2, a(n) = a n a 1, a 2, a 3, a 4,... a n a(n) a n Ciągi liczbowe Spis treści Ciąg liczbowy Ciąg liczbowy skończony Ciąg liczbowy nieskończony Przykłady i sposoby określania ciągu, suma n początkowych wyrazów ciągu Suma n początkowych, kolejnych wyrazów

Bardziej szczegółowo

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o

Bardziej szczegółowo

Ciąg monotoniczny. Autorzy: Katarzyna Korbel

Ciąg monotoniczny. Autorzy: Katarzyna Korbel Ciąg monotoniczny Autorzy: Katarzyna Korbel 07 Ciąg monotoniczny Autor: Katarzyna Korbel Ciągi, tak jak funkcje, mogą mieć różne własności, których znajomość może przyczynić się do dalszej analizy ich

Bardziej szczegółowo

granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N możemy wyrazić następująco: ε>0 N N

granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N możemy wyrazić następująco: ε>0 N N 14. Określenie ciągu i szeregu funkcyjnego, zbieżność punktowa i jednostajna. Własności zbieżności jednostajnej. Kryterium zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego. 1 Definicja Ciąg funkcyjny Niech

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

Zapisujemy to symbolicznie jako równość:. Mówimy też, że ciąg posiada granicę niewłaściwą (równą nieskończoności).

Zapisujemy to symbolicznie jako równość:. Mówimy też, że ciąg posiada granicę niewłaściwą (równą nieskończoności). Ciągi rozbieżne do Def. Mówimy, że ciąg jest rozbieżny do, jeśli Zapisujemy to symbolicznie jako równość:. Mówimy też, że ciąg posiada granicę niewłaściwą (równą nieskończoności). Można obrazowo powiedzieć,

Bardziej szczegółowo

Całki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych

Całki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział

Bardziej szczegółowo

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Ciągi liczbowe. Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny. Materiały merytoryczne do kursu

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Ciągi liczbowe. Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny. Materiały merytoryczne do kursu E-learning - matematyka - poziom rozszerzony Ciągi liczbowe Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny Materiały merytoryczne do kursu Ciągi arytmetyczne i ciągi geometryczne stanowią istotne klasy ciągów zarówno

Bardziej szczegółowo

Ciągi. Pojęcie granicy ciągu.

Ciągi. Pojęcie granicy ciągu. Rozdział 2 Ciągi. Pojęcie granicy ciągu. Definicja 2.. Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych. Będziemy rozważać ciągi o wyrazach rzeczywistych, czyli zgodnie z powyższą definicją

Bardziej szczegółowo

Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.

Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji. Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.. Ciągi Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze N lub jego podzbiorze. Z tego względu ciągi dziey na

Bardziej szczegółowo

Ciągi. Kurs matematyki w Oratorium (http://www.salezjanie.rumia.pl/math)

Ciągi. Kurs matematyki w Oratorium (http://www.salezjanie.rumia.pl/math) Ciągi Kurs matematyki w Oratorium (http://www.salezjanie.rumia.pl/math) Spis treści 1 Ciągi liczbowe 1 1.1 Podstawowe własności ciągów................... 2 1.2 Granica ciągu............................

Bardziej szczegółowo

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu E-learning - matematyka - poziom rozszerzony Funkcja wykładnicza Materiały merytoryczne do kursu Definicję i własności funkcji wykładniczej poprzedzimy definicją potęgi o wykładniku rzeczywistym. Poprawna

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ). Ciągi liczbowe.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym.

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2005/06, semestr 1. Tadeusz Rzeżuchowski

ANALIZA MATEMATYCZNA 2005/06, semestr 1. Tadeusz Rzeżuchowski ANALIZA MATEMATYCZNA 2005/06, semestr 1. Tadeusz Rzeżuchowski 1 Spis treści 1 Zbiory liczbowe 5 1.1 Krótka informacja o zbiorach liczb naturalnych, całkowitych i wymiernych 5 1.1.1 Liczby naturalne.........................

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN, ANALIZA 1A, , ROZWIĄZANIA

EGZAMIN, ANALIZA 1A, , ROZWIĄZANIA Zadanie 1. Podać kresy następujących zbiorów. Przy każdym z kresów napisać, czy kres należy do zbioru (TAK = należy, NIE = nie należy). infa = 0 NIE A = infb = 1 TAK { 1 i + 2 j +1 + 3 } k +2 : i,j,k N

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,

Bardziej szczegółowo

Dany jest ciąg określony wzorem dla. Oblicz i. Piąty wyraz ciągu określonego wzorem, gdzie jest równy A) 1 B) 5 C) 10 D) 0,5.

Dany jest ciąg określony wzorem dla. Oblicz i. Piąty wyraz ciągu określonego wzorem, gdzie jest równy A) 1 B) 5 C) 10 D) 0,5. Zadanie 1 Dany jest ciąg określony wzorem dla. Oblicz i. Zadanie 2 Piąty wyraz ciągu określonego wzorem, gdzie jest równy A) 1 B) 5 C) 10 D) 0,5. Zadanie 3 Dany jest ciąg o wzorze ogólnym, gdzie. Piąty

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n

Bardziej szczegółowo

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym

Bardziej szczegółowo

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Granice ciągów. Materiały merytoryczne do kursu

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Granice ciągów. Materiały merytoryczne do kursu E-learning - matematyka - poziom rozszerzony Granice ciągów Materiały merytoryczne do kursu N początku następnego: Przyjmiemy następujące oznaczenia: N - zbiór liczb naturalnych, N = {1, 2,..., }, Z -

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 201/15 (1) Nazwa Rachunek różniczkowy i całkowy I (2) Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot (3)

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 1 Jacek M. Jędrzejewski Wstęp W naszym konspekcie będziemy stosowali następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych dodatnich, N 0 zbiór liczb naturalnych (z zerem),

Bardziej szczegółowo

Uczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów

Uczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów Wymagania edukacyjne PRZEDMIOT: Matematyka KLASA: III Th ZAKRES: zakres podstawowy Poziom wymagań Lp. Dział programu Konieczny-K Podstawowy-P Rozszerzający-R Dopełniający-D Uczeń: 1. Ciągi liczbowe. -zna

Bardziej szczegółowo

Liczba godzin. Uczeń: wykres ciągu. K P 1 wyraz ciągu. wyznacza kolejne wyrazy ciągu, gdy danych jest kilka jego. początkowych wyrazów K P

Liczba godzin. Uczeń: wykres ciągu. K P 1 wyraz ciągu. wyznacza kolejne wyrazy ciągu, gdy danych jest kilka jego. początkowych wyrazów K P MATeMAtyka 3 Plan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony Oznaczenia: wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; wymagania wykraczające - dopuszczający;

Bardziej szczegółowo

O funkcjach : mówimy również, że są określone na zbiorze o wartościach w zbiorze.

O funkcjach : mówimy również, że są określone na zbiorze o wartościach w zbiorze. 1. Definicja funkcji f:x->y. Definicja dziedziny, przeciwdziedziny, zbioru wartości. Przykłady. I definicja: Funkcją nazywamy relację, jeśli spełnia następujące warunki: 1) 2) 1,2 [(1 2)=> 1=2] Inaczej

Bardziej szczegółowo

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów Drugą pochodną funkcji nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji. Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej; itd. Ogólnie, -ta

Bardziej szczegółowo

II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty.

II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. Definicja 1.1. Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie

Bardziej szczegółowo

n=0 W tym rozdziale, wyposażeni w wiedzę o zbieżności jednostajnej, omówimy ogólne własności funkcji, które można definiować wzorami typu (8.1).

n=0 W tym rozdziale, wyposażeni w wiedzę o zbieżności jednostajnej, omówimy ogólne własności funkcji, które można definiować wzorami typu (8.1). Rozdział 8 Szeregi potęgowe Szeregiem potęgowym o środku w punkcie z 0 C i współczynnikach a n C nazywamy szereg a n z z 0 ) n, 8.1) gdzie z C. Z szeregami tego typu mieliśmy już do czynienia, omawiając

Bardziej szczegółowo

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie

Bardziej szczegółowo

1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.

1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009. Szeregi potęgowe Definicja.. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie R nazywamy szereg postaci: gdzie x R oraz c n R dla n = 0,, 2,... c n (x ) n, Przyjmujemy, że 0 0 def =. Liczby c n nazywamy współczynnikami

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013 Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d

Matematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d C. Bagiński Materiały dydaktyczne 1 Matematyka Dyskretna /008 rozwiązania 1. W każdym z następujących przypadków podać jawny wzór na s n i udowodnić indukcyjnie jego poprawność: (a) s 0 3, s 1 6, oraz

Bardziej szczegółowo

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) 1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji

Bardziej szczegółowo

Ciąg Fibonacciego jako szczególny przykład ciągu określonego rekurencyjnie. Przykłady rekurencji w informatyce

Ciąg Fibonacciego jako szczególny przykład ciągu określonego rekurencyjnie. Przykłady rekurencji w informatyce SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH Autorzy scenariusza:

Bardziej szczegółowo

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości

Bardziej szczegółowo

Skrypt 16. Ciągi: Opracowanie L6

Skrypt 16. Ciągi: Opracowanie L6 Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 16 Ciągi: 1. Ciągi liczbowe.

Bardziej szczegółowo

Poziom wymagań. Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielomianu

Poziom wymagań. Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielomianu Plan wynikowy klasa 2g - Jolanta Pająk Matematyka 2. dla liceum ogólnokształcącego, liceum profilowanego i technikum. ształcenie ogólne w zakresie rozszerzonym rok szkolny 2015/2016 Wymagania edukacyjne

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna - 14. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe

Analiza matematyczna - 14. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe Analiza matematyczna - 4. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe Wstęp: zmienne ciągłe i zmienne dyskretne Podczas dotychczasowych wykładów rozważaliśmy przede wszystkim zależności funkcyjne

Bardziej szczegółowo

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne.

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 78. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 a) 4 2+log 27 = (2 2 ) log 27 4 = 28 2 = 784 29 listopada 2008

Bardziej szczegółowo

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe

Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje:

Bardziej szczegółowo

Matematyka podstawowa V. Ciągi

Matematyka podstawowa V. Ciągi Matematyka podstawowa V Ciągi Teoria ciąg arytmetyczny - pierwszy wyraz ciągu - różnica Kolejny wyraz ciągu arytmetycznego powstaje przez dodanie do poprzedniego różnicy. = + Np. =2,=3 :2,5,8,11 = 4,=2

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.)

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje i ich granice

1 Funkcje i ich granice Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub WYKŁAD 2 1 2. FUNKCJE. 2.1.PODSTAWOWE DEFINICJE. Niech będą dane zbiory i. Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru,, przyporządkujemy jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy

Bardziej szczegółowo

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi. Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:

Bardziej szczegółowo

Matura z matematyki na poziomie rozszerzonym

Matura z matematyki na poziomie rozszerzonym Tadeusz Socha Matura z matematyki na poziomie rozszerzonym tom V uzupełnienie do matury od 2015 roku o treści zwiększające wymagania maturalne Copyright by Socha Tadeusz, 2013 ISBN 978-83-936602-9-2 www.maturzysta.info

Bardziej szczegółowo

Wymagania dla kl. 1. Zakres podstawowy. podaje przykłady liczb pierwszych, parzystych i nieparzystych cechy podzielności liczb naturalnych

Wymagania dla kl. 1. Zakres podstawowy. podaje przykłady liczb pierwszych, parzystych i nieparzystych cechy podzielności liczb naturalnych Wymagania dla kl. 1 Zakres podstawowy Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. LICZBY RZECZYWISTE 1. Liczby naturalne definicja dzielnika liczby naturalnej definicja liczby pierwszej podaje przykłady

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Granice funkcji-pojęcie pochodnej

Granice funkcji-pojęcie pochodnej Granice funkcji-pojęcie pochodnej Oznaczenie S(x 0 ) = S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie funkcja określona przynajmniej na sasiedztwie S(x 0, r) dla pewnego

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony Na ocenę dopuszczającą, uczeń: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa I Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS /02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa I Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS /02 Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa I Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. Liczby naturalne definicja dzielnika

Bardziej szczegółowo

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji. 27 grudnia Granica funkcji

Granica funkcji. 27 grudnia Granica funkcji 27 grudnia 2011 Punkty skupienia Definicja Niech D R będzie dowolnym zbiorem. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli δ>0 x D\{x0 } : x x 0 < 0. Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające MATeMAtyka 1 lan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony Oznaczenia: wymagania konieczne; wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Temat lekcji

Bardziej szczegółowo

Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga

Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga RAP 412 21.01.2009 Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Łukasz Waszak 1 Wstęp Na ostatnim wykładzie przedstawiliśmy twierdzenie o zbieżności

Bardziej szczegółowo

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2014/15

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2014/15 Ćwiczenia 5/6, 10, 17.03.2015 (obie grupy) 33. Połączyć podane warunki w grupy warunków równoważnych dla dowolnej liczby naturalnej n. a) liczba n jest nieparzysta b) liczba n jest względnie pierwsza z

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

2 n, dlannieparzystego. 2, dla n parzystego

2 n, dlannieparzystego. 2, dla n parzystego 1. a) Podaj pięć wyrazów ciągu: a n = n 2 +n, b n = { 1 2 n, dlannieparzystego 2, dla n parzystego b)którezwyrazówciągu b n =(n 2 1)(n 2 5n+6) sąrównezero? c)danyjestciąg a n =n 2 6n. Którewyrazyciągusąmniejszeod10?

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne. Hasło z podstawy programowej 1. Liczby naturalne 1 Liczby naturalne, cechy podzielności. Liczba godzin

Wymagania edukacyjne. Hasło z podstawy programowej 1. Liczby naturalne 1 Liczby naturalne, cechy podzielności. Liczba godzin . Liczby rzeczywiste (3 h) PRZEDMIOT: Matematyka KLASA: I zasadnicza szkoła zawodowa Dział programowy Temat Wymagania edukacyjne Liczba godzin Hasło z podstawy programowej. Liczby naturalne Liczby naturalne,

Bardziej szczegółowo

1. ZBIORY PORÓWNYWANIE ZBIORÓW. WYKŁAD 1

1. ZBIORY PORÓWNYWANIE ZBIORÓW. WYKŁAD 1 WYKŁAD 1 1 1. ZBIORY. Pojęcie ZBIORU i NALEŻENIA do niego są pojęciami pierwotnymi(niedefiniowalnymi) w matematyce, reszta matematyki jest zdefiniowana lub opisana za pomocą tych pojęć. Można by, opierając

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I

Analiza Matematyczna I Analiza Matematyczna I Informatyka, WPPT, Politechnika Wrocławska Wprowadzenie (2 godziny ćwiczeń) Pokaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzą nierówności:. a b = a b, 2. a + b a + b, 3.

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego.

WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych,

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 1. Plan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 1. Plan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony MATeMAtyka 1 lan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony Oznaczenia: wymagania konieczne; wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające - dopuszczający;

Bardziej szczegółowo

zaznaczymy na osi liczbowej w ten sposób:

zaznaczymy na osi liczbowej w ten sposób: 1. Zagadnienia teoretyczne. 1.1. Przedział domknięty Przykład 1. Pisząc mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od -4 do 7, razem z -4 i 7. Jeśli napiszemy, będziemy mówić o zbiorze wszystkich liczb

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ REALIZOWANY PRZY POMOCY PODRĘCZNIKA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY VI I.

Bardziej szczegółowo

Temat: Ciągi i szeregi funkcyjne

Temat: Ciągi i szeregi funkcyjne Emilia Domińczyk Aleksandra Chrzuszcz Temat: Ciągi i szeregi unkcyjne 1.Co to jest ciąg unkcyjny? Co to jest szereg unkcyjny? Podać przykłady. Deinicja ciągu unkcyjnego Niech X c R, X Ø. Funkcję określoną

Bardziej szczegółowo