a 1, a 2, a 3,..., a n,...

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "a 1, a 2, a 3,..., a n,..."

Transkrypt

1 III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a n }. Używamy zapisu a n = a(n). Ciąg {a n } można też zapisywać w postaci a 1, a 2, a 3,..., a n,... Liczbę a n nazywamy n-tym wyrazem ciągu {a n }. Przykłady określania ciągów liczbowych:. wzorem, np. a n = 3 n, b n = n 1 n, c n = n n ; rekurencyjnie, np. a 1 = 3, a n+1 = a n + 2 ciąg arytmetyczny, b 1 = 1, b n+1 = 3b n ciąg geometryczny; opisowo, np. a n - n-ta liczba pierwsza. 1

2 Przykłady ciągów liczbowych:. ciąg liczb parzystych dodatnich a n = 2n; ciąg liczb nieparzystych dodatnich a n = 2n 1; ciąg arytmetyczny a n = p + (n 1)d (p - pierwszy wyraz ciągu, d - różnica ciągu); ciąg geometyczny a n = pq n 1 (p - pierwszy wyraz ciągu, q - iloraz ciągu); ciąg stały a n = c (c - dowolna liczba); a n = ( n) n; 1, +1, 1, +1,..., ( 1) n ; 1, 2, 3 3, 4 4,..., n n. 2. Monotoniczność i ograniczoność ciągu liczbowego. Definicja 2.1. Mówimy, że ciąg {a n } jest: rosnący, jeżeli dla każdego n N a n < a n+1 niemalejący, jeżeli dla każdego n N malejący, jeżeli dla każdego n N a n a n+1 a n > a n+1 nierosnący, jeżeli dla każdego n N a n a n+1. 2

3 Ciągi rosnące, niemalejące, malejące i nierosnące nazywamy ciągami monotonicznymi. Można mówić o ciągach monotonicznych od pewnego miejsca tj. pewnego numeru n 0 N. Uwaga. Monotoniczność dowolnego ciągu {a n } można ustalić badając znak różnicy a n+1 a n, a ciągu {b n } o wyrazach dodatnich porównując iloraz z liczbą 1. b n+1 b n Przykład. Sprawdzimy, że ciąg a n = n 2 n jest rosnący. Otrzymujemy a n+1 a n = (n+1) 2 (n+1) (n 2 n) = n 2 +2n+1 n 1 n 2 +n = 2n > 0 dla wszystkich n N. Zatem a n < a n+1 dla n N. Przykład. Sprawdzimy, że ciąg b n = n! n n n N badamy iloraz b n+1 b n. Otrzymujemy b n+1 b n = jest malejący. Ponieważ b n > 0 dla wszystkich (n + 1)! nn (n + 1) (n+1) n! = dla wszystkich n N. Zatem b n+1 < b n dla n N. ( ) n n < 1, n + 1 Definicja 2.2. Ciąg {a n } nazywamy ograniczonym, jeżeli istnieją takie liczby m 1 i m 2, że dla wszystkich n N m 1 a n m 2, lub równoważnie, jeżeli istnieje taka liczba M > 0, że dla wszystkich n N a n M. 3

4 3. Granica ciągu liczbowego. Definicja 3.1. Liczbę g nazywamy granicą ciągu {a n }, jeżeli dla dowolnego ɛ > 0 można dobrać taką liczbę n 0 N, że dla każdego n > n 0 zachodzi nierówność zapisywana równoważnie w postaci a n g < ɛ, g ɛ < a n < g + ɛ. Mówimy, że ciąg {a n } jest zbieżny do granicy g, co zapisujemy lim a n = g. n Ciągi posiadające granicę nazywamy ciągami zbieżnymi. Twierdzenie 3.2. (o jednoznaczności granicy) Ciąg zbieżny nie może mieć dwóch różnych granic. Przykłady ważnych ciągów zbieżnych: lim n c = c; lim n 1 n = 0; lim n q n = 0 dla q < 1; lim n n a = 1 dla a > 0;; lim n n n = 1; lim n ( n) n = e 2,

5 Przykład. n (a) Wykażemy, że lim n n+1 = 1. Zgodnie z definicją należy pokazać, że n ɛ > 0 n 0 N N n > n 0 1 < ɛ. n + 1 Weźmy dowolny ɛ > 0. Nierówność epsilonową n względu na n. Otrzymujemy n+1 n n < ɛ n > 1 ɛ. ɛ 1 < ɛ rozwiązujemy ze Zatem przyjmując n 0 := [ 1 ɛ ɛ + 1], gdzie symbol [x] oznacza część całkowitą z liczby x, otrzymamy, że dla wszystkich n > n 0 zachodzi nierówność n 1 < ɛ. n + 1 (b) Rozważmy ciąg a n = 2 ( 1) n. Mamy a 2n = 2, a 2n 1 = 2 dla n N. Przypuśćmy, że ciąg {a n } ma granicę g < 2. Wtedy przyjmując ɛ = 2 g 2 otrzymujemy, że żaden wyraz a 2n nie spełnia nierówności a 2n g < ɛ, czyli g nie może być granicą ciągu {a n }. Podobnie pokazuje się, że granicą nie może być żadna liczba g 2. Zatem granica ciągu {a n } nie istnieje. 5

6 4. Twierdzenia o ciągach zbieżnych. Twierdzenie 4.1. (o jednoznaczności granicy) Ciąg zbieżny nie może mieć dwóch różnych granic. Twierdzenie 4.2. Ciąg zbieżny jest ograniczony. Twierdzenie 4.3. Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny. Twierdzenie 4.4. (o arytmetyce granic) Załóżmy, że ciągi {a n } i {b n } są zbieżne, tzn. lim n a n = a i lim n b n = b. Wówczas 1. lim n (a n + b n ) = lim n a n + lim n b n = a + b; 2. lim n (a n b n ) = lim n a n lim n b n = a b; 3. lim n (c a n ) = c lim n a n = c a; 4. lim n (a n b n ) = lim n a n lim n b n = a b; 5. lim n a n bn = lim n a n lim n b n = a b, o ile b n 0; 6. lim n (a n ) p = (lim n a n ) p, gdzie p Z \ {0}; 7. lim n k a n = k lim n a n, gdzie k N \ {1}. W dwóch ostatnich wzorach zakłada się, że wyrażenia po obu stronach równości mają sens. Przykład. ( Obliczymy lim n n n n 4 +5n 1 3n 4 2n + 4n +3 n 2 8 n +7 ). n 6

7 Twierdzenie 4.5. (o trzech ciągach) Jeżeli ciągi {a n }, {b n }, {c n } spełniają warunki: (i) a n b n c n dla n n 0 (n 0 - pewna liczba naturalna); (ii) lim n a n = lim n c n = g, to lim n b n = g. Przykład. Obliczymy lim n n 2 n + 3 n + 5 n. Twierdzenie 4.6. Jeżeli lim n a n = 0 i ciąg b n jest ograniczony, to lim (a n b n ) = 0. n Przykład. Obliczymy lim n n sin n n Twierdzenie 4.7. Ciąg e n = ( n) n jest rosnący i ograniczony z góry. Wniosek 4.7. Ciąg e n = ( n) n jest zbieżny. Definicja 4.8. Granicę ciągu {e n } oznaczamy przez e, tj. lim n ( n) n = e. 7

8 5. Ciągi rozbieżne do nieskończoności. Definicja 5.1. Mówimy, że ciąg {a n } jest rozbieżny do nieskończoności, co zapisujemy lim a n =, n jeżeli dla dowolnej liczby M można dobrać taką liczbę naturalną n 0, że dla wszystkich n > n 0 zachodzi nierówność a n > M. Mówimy, że ciąg {a n } jest rozbieżny do minus nieskończoności, co zapisujemy lim a n =, n jeżeli dla dowolnej liczby M można dobrać taką liczbę naturalną n 0, że dla wszystkich n > n 0 zachodzi nierówność a n < M. Jeżeli ciąg {a n } jest rozbieżny do + lub, to mówimy, że ciąg ten ma granicę niewłaściwą. Przykład. Pokażemy, że ciąg a n = n jest rozbieżny do +. Weźmy dowolną liczbę M. Należy tak dobrać n 0, aby dla n > n 0 zachodziła nierówność n > M. Mamy n n + 2 > M o ile n > M 2. Wystarczy więc przyjąć n 0 = [M 1] Twierdzenie Jeżeli a n 0 i a n > 0, to 1 a n 2. Jeżeli a n 0 i a n < 0, to 1 a n 3. Jeżeli a n ±, to 1 a n Jeżeli a n + i b n b > 0, to a n b n Jeżeli a n + i b n b < 0, to a n b n. 6. Jeżeli a n + i b n +, to a n + b n Jeżeli a n + i {b n } jest ograniczony, to a n + b n +. 8

9 Uwaga. Jeżeli c n = a n b n oraz a n 0 i b n +, to bezpośrednio z takiej postaci ciągu {c n } nie można nic wywnioskować na temat granicy tego ciągu. O ciągu {c n } mówimy, że jest ciągiem typu 0 lub nieoznaczonością typu 0. Wyróżniamy następujące symbole nieoznaczone : 0,,, 0 0, 00, 1, 0. Przykład. Obliczymy lim n ( n 2 + n n). Twierdzenie 5.3. (o dwóch ciągach) Załóżmy, że ciągi {a n } i {b n } spełniają nierówność a n b n dla n n 0, gdzie n 0 - pewna liczba naturalna. 1. Jeżeli lim n a n = +, to lim n b n = Jeżeli lim n b n =, to lim n a n =. Przykład. ( Wykażemy, że lim n ) n = +. Twierdzenie 5.4. Jeżeli a n > 0 dla n N i lim n a n = +, to lim n (1 + 1 a n ) an = e. Przykład. ( Obliczymy lim 3n+1 n. n 3n+4) 9

10 W poprzednim materiale proszę zwrócić uwagę na stronę 4, Twierdzenie 4.4 (o arytmetyce granic) i Przykład po nim następujący. Ważne jest też Twierdzenie 4.5 (o trzech ciągach) i Przykład oraz Twierdzenie 5.2 o symbolach nieoznaczonych i Uwaga po nim. O jednej z najważniejszych stałych w matematyce mówi Twierdzenie 5.4. A w następnej części pochodzącej z książki Mariana Gewerta i Zbigniewa Skoczylasa ten sam materiał jest jeszcze raz podany w Twierdzeniach o numerach 1.3.4, 1.3.7, , 1.4.3, 1.4.5,

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22 Ciagi liczbowe i ich własności. Ciagi liczbowe. Granica ciagu. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 1/30

23 Ciagi Ciagiem nazywamy każdą funkcjęf, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych N (lub zbiór N 0 = N {0}) (ciąg nieskończony) f: N A (lubf: N 0 A) lub skończony początkowy podzbiór zbioru liczb naturalnych {1,2,3,...,k} (ciąg skończony). f:{1,2,3,...,k} A Wartość funkcjif dla argumentun,f(n), nazywamyn-tym wyrazem ciagu i oznaczamy symbolema n : a n =f(n). AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 2/30

24 Ciagi liczbowe Ciąg o wyrazacha n zapisujemy symbolicznie jako(a n ). Wyrazami ciągu mogą być elementy dowolnego zbioru A. Jeśli zbiór A jest zbiorem liczb rzeczywistych, tj. A=R, (lub zespolonych, tj. A=C), to ciąg nazywamy ciagiem liczbowym. Jeżeli A=R, to a 2 a n a n AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 3/30

25 Sposoby opisu ciagów liczbowych: Wzór ogólny - podaje zależność międzyn-tym wyrazem ciągu a jego numeremn(wskaźnikiemn), np. a n = n+2 2 5n, b n =( 1) nn2 2 n, c n =2 n, d n =5+3n. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 4/30

26 Sposoby opisu ciagów liczbowych: Wzór rekurencyjny (indukcyjny) - wyraza n ciągu zostaje wyrażony przy pomocy poprzednich wyrazów tego ciągu, przy czym musi zostać podany wyraz pierwszya 1, np. a 1 =3 a n+1 =a n +2n+1 u 0 =0 u 1 =1 ciąg Fibonacciego. u n+2 =u n +u n+1, AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 5/30

27 Sposoby opisu ciagów liczbowych: Nie każdy ciąg liczbowy daje się przedstawić przy pomocy wzorów (ogólnych lub rekurencyjnych). Istnieją ciągi, które możemy określać opisowo, np.a n =n-ta liczba po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczbyπ. π=3, AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 6/30

28 Ciagi ograniczone Ciąg(a n ) jest ograniczony z dołu, jeżeli a n m R n N a n m. m n AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 7/30

29 Ciagi ograniczone Ciąg(a n ) jest ograniczony z góry, jeżeli M R n N a n M. M a n n AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 8/30

30 Ciagi ograniczone Ciąg(a n ) jest ograniczony, jeżeli m,m R n N m a n M. M a n m n Ciąg jest ograniczony def M R n N a n M. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 9/30

31 Ciag rosnacy Ciąg(a n ) nazywamy rosnacym, jeżeli n N a n+1 >a n tzn. każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego. a n n AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 10/30

32 Ciag niemalejacy Ciąg(a n ) nazywamy niemalejacym, jeżeli n N a n+1 a n każdy następny wyraz jest nie mniejszy od poprzedniego (większy bądź równy). a n n AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 11/30

33 Ciag malejacy Ciąg(a n ) nazywamy malejacy, jeżeli n N a n >a n+1 tzn. każdy następny wyraz jest mniejszy od poprzedniego. a n n AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 12/30

34 Ciag nierosnacy Ciąg(a n ) nazywamy nierosnacym, jeżeli n N a n a n+1 każdy następny wyraz jest nie większy od poprzedniego (mniejszy bądź równy). a n n AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 13/30

35 Ciag stały Ciąg(a n ) nazywamy stałym, jeżeli n N a n+1 =a n tzn. wszystkie wyrazy ciągu są takie same. a n n AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 14/30

36 Ciagi monotoniczne Ciąg stały jest nierosnący i niemalejący jednocześnie. Ciąg nierosnący lub niemalejący nazywamy monotonicznym, ciąg rosnący lub malejący nazywamy ściśle monotonicznym. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 15/30

37 Monotoniczność ciagu Aby zbadać monotoniczność ciagu wyznaczamy różnicę a n+1 a n i badamy jej znak. Ponadto monotoniczność ciągu(b n ) o wyrazach dodatnich możemy ustalić porównując znak ilorazu b n+1 b n z 1. a n+1 a n b n+1 b n Ciag >0 >1 rosnący <0 <1 malejący 0 1 niemalejący 0 1 nierosnący =0 =1 stały AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 16/30

38 Granica ciagu Liczbęg spełniającą dla danego ciągu nieskończonego(a n ) warunek: ε>0 n0 N n N [n>n 0 a n g <ε] nazywamy granica właściwa tego ciagu, co symbolicznie zapisujemy w postacilim n a n =g. lim a n n=g def ε>0 n0 N n N [n>n 0 a n g <ε] AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 17/30

39 Granica ciagu g+ε g g ε a n n Granica ciągu jest wyznaczona jednoznacznie. Z definicji wynika, że liczbag jest granicą ciągu(a n ), jeśli prawie wszystkie wyrazy tego ciągu (tzn. wszystkie wyrazy ciągu nieskończonego bez pewnej liczby jego początkowych wyrazów) należą do przedziału(g ε,g+ε). Mówiąc inaczej dla coraz większychn, różnica pomiędzy liczbąg, a wyrazem a n jest coraz mniejsza. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 18/30

40 Ciag rozbieżny do+ Ciąg nazywamy rozbieżnym do+ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczbym prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe odm. lim a n n=+ def M R n0 N n N [n>n 0 a n >M]. Z definicji wynika, że ciąg jest rozbieżny do nieskończoności, jeśli jego kolejne wyrazy są coraz większe. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 19/30

41 Ciag rozbieżny do+ a n M n AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 20/30

42 Ciag rozbieżny do Ciąg(a n ) nazywamy rozbieżnym do wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczbym prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są mniejsze odm. lim a n n= def M R n0 N n>n0 n N [n>n 0 a n <M]. Z definicji wynika, że ciąg jest rozbieżny do minus nieskończoności, jeśli jego kolejne wyrazy są coraz mniejsze i ujemne. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 21/30

43 Ciagi zbieżne i rozbieżne Ciag majacy granicę właściwa nazywamy ciagiem zbieżnym. Ciag nie majacy granicy właściwej nazywamy ciagiem rozbieżnym. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 22/30

44 Podciag ciagu Niech(a n ) będzie dowolnym ciągiem i(k n ) będzie rosnącym ciągiem liczb naturalnych. Podciągiem ciągu(a n ) nazywamy ciąg(b n ) określony wzorem def b n =a kn,n N. Twierdzenie: Każdy podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy. Każdy podciąg ciągu rozbieżnego do± jest rozbieżny do tej samej granicy. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 23/30

45 Twierdzenia o ciagach zbieżnych Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony. Każdy ciąg ograniczony i monotoniczny jest zbieżny. Granicą ciągu stałego o wyrazach równychajest liczbaa. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 24/30

46 Twierdzenia o ciagach zbieżnych Jeżeli ciągi(a n ) i(b n ) są zbieżne, przy czym lim a n=ai n + lim b n=b, to zbieżne są też ciągi(a n +b n ),(a n b n ), n + (a n b n ), a przy założeniu, żeb 0 ib n 0 jest zbieżny ciąg ( ) an b n i zachodzą związki: lim (a n+b n )=a+b. n + lim (a n b n )=a b. n + lim (a n b n )=a b. n + a n lim = a n + b n b. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 25/30

47 Twierdzenia o ciagach zbieżnych Dla dowolnej liczby rzeczywistejk R i ciągu(a n ) o granicy a zachodzi: lim k a n=k a. n + Twierdzenie o trzech ciagach: Jeżeli ciągi(a n ) i(b n ) są zbieżne do tej samej granicyg i jeśli(c n ) jest ciągiem, którego prawie wszystkie wyrazy spełniają zależność:a n c n b n, to ciąg(c n ) jest zbieżny do granicyg. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 26/30

48 Twierdzenia o ciagach zbieżnych Jeśli Ciąge n = lim a n=±, to n + lim n + 1 a n =0. ( 1+ 1 n) n jest rosnący i ograniczony z góry, a zatem zbieżny. Granicę tego ciągu oznaczamy przeze: ( e= lim 1+ 1 n. n + n) e 2, Jeżelilim n a n =0 oraza n 0dlan N, to lim (1+a n n) 1 an =e. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 27/30

49 Twierdzenia o ciagach zbieżnych Granice niektórych ciagów: 1. lim n + a=a. 2. lim n + 3. lim n + 4. lim n + 5. lim n + 6. lim n + 1 n =0. n a=1, dlaa>0. n n=1. a n =0, dlaa>0. n! a n nk=+, dlaa>1ik>1. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 28/30

50 Twierdzenia o ciagach zbieżnych Granice niektórych ciagów: ( 1+ n) 1 n =e. 7. lim n + 8. lim n + 9. lim n lim n + an = ( 1 1 n) n = 1 e. ( 1+ a n) n=e a, dlaa R. 0, gdya (0,1) 1, gdya=1. +, gdya>1 AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 29/30

51 Dziękuję za uwagę AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. akad. 2009/2010 Ciagi liczbowe i ich własności. str. 30/30

52 Szeregi liczbowe Szeregi liczbowe i ich kryteria zbieżności Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 1/25 c Małgorzata Wyrwas

53 Szereg liczbowy Niech (a n ) będzie ciągiem liczbowym. SZEREGIEM liczbowym o wyrazach a n nazywamy wyrażenie postaci a 1 + a 2 + a 3 + = n=1 a n. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 2/25 c Małgorzata Wyrwas

54 Sumy Sumy częściowe szeregu S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2. S n = a 1 + a a n n=1 a n nazywamy sumami częściowymi szeregu n=1 a n. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 3/25 c Małgorzata Wyrwas

55 Sumy częściowe szeregu n=1 a n Liczbę a n nazywamy n-tym wyrazem szeregu, a sumę S n def = a 1 + a a n nazywamy n-ta suma częściowa szeregu a n. Ciąg n=1 (S n ) będziemy nazywać ciagiem sum częściowych powstałych z ciągu (a n ). Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 4/25 c Małgorzata Wyrwas

56 Przykład Weźmy następujący szereg ( 1 n=1 n 1 n + 1 Wypiszmy wybrane sumy częściowe tego szeregu ). S 1 = 1 2 S 2 = = 2 3. S n = n 1 n + 1 = 1 1 n + 1. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 5/25 c Małgorzata Wyrwas

57 Szereg zbieżny i rozbieżny Szereg liczbowy n=1 a n nazywamy zbieżnym, jeżeli jego ciąg sum częściowych (S n ) jest ciągiem zbieżnym (ma granicę skończoną), tzn. lim S n = S. n + Liczbę S nazywamy suma tego szeregu, tzn. n=1 a n = a 1 + a 2 + a 3 + = S. Jeżeli ciąg sum częściowych (S n ) jest rozbieżny (tzn. ma granicę niewłaściwą + lub albo nie ma granicy) to mówimy, że szereg jest rozbieżny. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 6/25 c Małgorzata Wyrwas

58 Reszta szeregu n-ta reszta szeregu zbieżnego n=1 a n nazywamy liczbę R n def = k=n+1 a k Uwaga. Zmiana skończonej liczby początkowych wyrazów szeregu nie ma wpływu na jego zbieżność. Uwaga. Jeżeli szereg ma wyrazy nieujemne, to jest zbieżny albo rozbieżny do +. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 7/25 c Małgorzata Wyrwas

59 Rozważmy szereg n=1 Przykład ( 1 n 1 ) n + 1 Wtedy n-ta suma częściowa tego szeregu ma postać (1) S n = n 1 n + 1 = 1 1 n + 1. ( Ponieważ n lim S n = n lim 1 1 ) = 1, więc ( n n 1 ) = 1, czyli szereg (1) jest zbieżny. n + 1 n=1 Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 8/25 c Małgorzata Wyrwas

60 Rozważmy szereg Przykład n=1 1 (2) Wtedy n-ta suma częściowa tego szeregu ma postać S n = = n. Ponieważ n lim S n = n lim n = +, więc szereg (2) jest rozbieżny. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 9/25 c Małgorzata Wyrwas

61 Warunek konieczny zbieżności szeregów liczbowych Jeżeli szereg liczbowy n=1 a n jest zbieżny, to lim a n n = 0. Uwaga. Jeżeli warunek konieczny nie jest spełniony, tzn. n lim a n 0 albo n lim a n nie istnieje, to szereg n=1 a n jest rozbieżny. Jeżeli warunek konieczny jest spełniony, to nie wiemy czy szereg jest zbieżny czy rozbieżny. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 10/25 c Małgorzata Wyrwas

62 Przykład Rozważmy szereg n=1 n 2n + 1. (3) n Wówczas n lim 2n + 1 = 1, więc warunek konieczny 2 nie jest spełniony, zatem szereg (3) jest rozbieżny. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 11/25 c Małgorzata Wyrwas

63 Przykład Rozważmy szereg n=1 1 n. (4) 1 Ponieważ n lim n = 0, więc warunek konieczny jest spełniony, ALE n-ta suma częściowa szeregu (4) ma postać S n = = n = n. 2 3 n n n n n Wówczas lim n S n = +, więc szereg (3) jest rozbieżny. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 12/25 c Małgorzata Wyrwas

64 Szereg geometryczny Szeregiem geometrycznym nazywamy szereg postaci n=1 a 1 q n 1. (5) Szereg geometryczny jest sumą wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie a 1 i ilorazie q. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 13/25 c Małgorzata Wyrwas

65 Zbieżność szeregu geometrycznego Jeżeli a 1 = 0, to szereg ma sumę równą 0. n=1 Jeżeli a 1 0 i q 1, to szereg rozbieżny. a 1 q n 1 jest zbieżny i n=1 Jeżeli a 1 0 i q < 1, to szereg zbieżny i n=1 a 1 q n 1 jest a 1 q n 1 jest S n = a 1 + a 1 q + a 1 q 2 + a 1 q n 1 = a 1 1 q n 1 q. 1 q n Wtedy n lim S n = n lim a 1 1 q gdy q <1 ===== a 1 1 q. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 14/25 c Małgorzata Wyrwas

66 Szereg harmoniczny Szereg harmoniczny to szereg postaci n=1 1 n. (6) Szereg harmoniczny rzędu p (szereg Dirichleta) to szereg postaci 1 n. (7) p n=1 Twierdzenie. Szereg harmoniczny rzędu p > 1 jest zbieżny. Twierdzenie. Szereg harmoniczny rzędu p 1 jest rozbieżny. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 15/25 c Małgorzata Wyrwas

67 Kryterium całkowe Niech funkcja f : n 0, + ) 0, + ) będzie nierosnąca, gdzie n 0 N. Wówczas szereg szereg n=n 0 f(n) jest zbieżny całka n=n 0 f(n) jest rozbieżny całka n 0 n 0 f(x)dx jest zbieżna. def Uwaga. Reszta tego szeregu, to jest wyrażenie R n = spełnia oszacowanie: n+1 f(x)dx R n f(x)dx jest rozbieżna. n f(x)dx. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 i=n+1 f(i), Szeregi liczbowe str. 16/25 c Małgorzata Wyrwas

68 Kryterium porównawcze zbieżności szeregów Jeżeli mamy dwa szeregi liczbowe szereg n=1 n=1 a n, n=1 b n i b n jest zbieżny oraz od pewnego miejsca n 0 dla każdego n N, takiego że n n 0 spełniona jest nierówność 0 a n b n, to szereg n=1 a n również jest zbieżny. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 17/25 c Małgorzata Wyrwas

69 Kryterium porównawcze rozbieżności szeregów Jeżeli mamy dwa szeregi liczbowe szereg n=1 n=1 a n, n=1 b n i a n jest rozbieżny oraz od pewnego miejsca n 0 dla każdego n N, takiego że n n 0 spełniona jest nierówność 0 a n b n, to szereg n=1 b n również jest rozbieżny. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 18/25 c Małgorzata Wyrwas

70 Kryterium d Alemberta Niech lim n a n+1 a n = g. Wtedy szereg n=1 a n jest zbieżny, jeżeli g < 1. jest rozbieżny, jeżeli g > 1. W przypadku, kiedy g = 1, to zbieżność szeregu należy badać za pomocą innego kryterium, ponieważ z tej informacji nie wynika zbieżność ani rozbieżność szeregu. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 19/25 c Małgorzata Wyrwas

71 Kryterium Cauchye go n Niech n lim an = g. Wtedy szereg liczbowy n=1 jest zbieżny, jeżeli g < 1. jest rozbieżny, jeżeli g > 1. Jeżeli g = 1, to kryterium nie rozstrzyga zbieżności lub rozbieżności. a n Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 20/25 c Małgorzata Wyrwas

72 Szereg naprzemienny Szereg liczbowy postaci n=1 ( 1) n a n, (8) gdzie dla każdego n N a n 0 nazywamy naprzemiennym. Przykład. Szereg postaci ( 1) n+1 = 1 1 n=1 n jest przykładem 4 szeregu naprzemiennego. Będziemy nazywać go szeregiem anharmonicznym. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 21/25 c Małgorzata Wyrwas

73 Kryterium Leibniza Jeżeli mamy dany szereg naprzemienny ( 1) n a n, taki że spełnione są warunki: ciąg (a n ) jest nierosnący, lim a n n = 0, to szereg jest zbieżny. n=1 Uwaga. Z kryterium Leibniza wynika, że szereg anharmonicznym ( 1) n+1 = 1 1 n jest zbieżny ponieważ 4 n=1 ciąg a n = 1 n jest ciągiem malejącym dążącym do zera. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 22/25 c Małgorzata Wyrwas

74 Zbieżność bezwzględna szeregów Szereg liczbowy n=1 a n nazywamy szeregiem bezwzględnie zbieżnym, jeżeli szereg (bezwzględnych wartości) n=1 a n jest zbieżny. Szereg liczbowy, który jest zbieżny a nie jest bezwzględnie zbieżny nazywamy warunkowo zbieżnym. Twierdzenie. Jeżeli dany szereg liczbowy jest bezwzględnie zbieżny, to jest zbieżny. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 23/25 c Małgorzata Wyrwas

75 Podsumowanie Szeregi liczbowe - definicje i podstawowe twierdzenia. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna szeregów. Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 24/25 c Małgorzata Wyrwas

76 Dziękuję za uwagę Automatyka i Robotyka, sem. I, Białystok, rok. akad. 2008/2009 Szeregi liczbowe str. 25/25 c Małgorzata Wyrwas

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk

Szeregi liczbowe. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk Analiza Matematyczna Szeregi liczbowe Alexander Denisjuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Ciągi. Pojęcie granicy ciągu.

Ciągi. Pojęcie granicy ciągu. Rozdział 2 Ciągi. Pojęcie granicy ciągu. Definicja 2.. Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych. Będziemy rozważać ciągi o wyrazach rzeczywistych, czyli zgodnie z powyższą definicją

Bardziej szczegółowo

Ciągi. Kurs matematyki w Oratorium (http://www.salezjanie.rumia.pl/math)

Ciągi. Kurs matematyki w Oratorium (http://www.salezjanie.rumia.pl/math) Ciągi Kurs matematyki w Oratorium (http://www.salezjanie.rumia.pl/math) Spis treści 1 Ciągi liczbowe 1 1.1 Podstawowe własności ciągów................... 2 1.2 Granica ciągu............................

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Matematyka podstawowa V. Ciągi

Matematyka podstawowa V. Ciągi Matematyka podstawowa V Ciągi Teoria ciąg arytmetyczny - pierwszy wyraz ciągu - różnica Kolejny wyraz ciągu arytmetycznego powstaje przez dodanie do poprzedniego różnicy. = + Np. =2,=3 :2,5,8,11 = 4,=2

Bardziej szczegółowo

n=0 W tym rozdziale, wyposażeni w wiedzę o zbieżności jednostajnej, omówimy ogólne własności funkcji, które można definiować wzorami typu (8.1).

n=0 W tym rozdziale, wyposażeni w wiedzę o zbieżności jednostajnej, omówimy ogólne własności funkcji, które można definiować wzorami typu (8.1). Rozdział 8 Szeregi potęgowe Szeregiem potęgowym o środku w punkcie z 0 C i współczynnikach a n C nazywamy szereg a n z z 0 ) n, 8.1) gdzie z C. Z szeregami tego typu mieliśmy już do czynienia, omawiając

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna - 14. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe

Analiza matematyczna - 14. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe Analiza matematyczna - 4. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe Wstęp: zmienne ciągłe i zmienne dyskretne Podczas dotychczasowych wykładów rozważaliśmy przede wszystkim zależności funkcyjne

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje i ich granice

1 Funkcje i ich granice Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

2 n, dlannieparzystego. 2, dla n parzystego

2 n, dlannieparzystego. 2, dla n parzystego 1. a) Podaj pięć wyrazów ciągu: a n = n 2 +n, b n = { 1 2 n, dlannieparzystego 2, dla n parzystego b)którezwyrazówciągu b n =(n 2 1)(n 2 5n+6) sąrównezero? c)danyjestciąg a n =n 2 6n. Którewyrazyciągusąmniejszeod10?

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ REALIZOWANY PRZY POMOCY PODRĘCZNIKA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY VI I.

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne. Hasło z podstawy programowej 1. Liczby naturalne 1 Liczby naturalne, cechy podzielności. Liczba godzin

Wymagania edukacyjne. Hasło z podstawy programowej 1. Liczby naturalne 1 Liczby naturalne, cechy podzielności. Liczba godzin . Liczby rzeczywiste (3 h) PRZEDMIOT: Matematyka KLASA: I zasadnicza szkoła zawodowa Dział programowy Temat Wymagania edukacyjne Liczba godzin Hasło z podstawy programowej. Liczby naturalne Liczby naturalne,

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy MATeMAtyka cz.1 Zakres podstawowy Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania (W). Wymienione

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Katarzyna Bereźnicka Zastosowanie arkusza kalkulacyjnego w zadaniach matematycznych. Opiekun stypendystki: mgr Jerzy Mil

Katarzyna Bereźnicka Zastosowanie arkusza kalkulacyjnego w zadaniach matematycznych. Opiekun stypendystki: mgr Jerzy Mil Katarzyna Bereźnicka Zastosowanie arkusza kalkulacyjnego w zadaniach matematycznych Opiekun stypendystki: mgr Jerzy Mil 1 Działania na ułamkach Wyłączanie całości z dodatnich ułamków niewłaściwych Formuła

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia.

ARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia. ARYTMETYKA BINARNA ROZWINIĘCIE DWÓJKOWE Jednym z najlepiej znanych sposobów kodowania informacji zawartej w liczbach jest kodowanie w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, w którym dla przedstawienia liczb

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

MATURA 2012. Przygotowanie do matury z matematyki

MATURA 2012. Przygotowanie do matury z matematyki MATURA 01 Przygotowanie do matury z matematyki Część V: Ciągi liczbowe ROZWIĄZANIA Powtórka jest organizowana przez redaktorów portalu MatmaNa6.pl we współpracy z dziennikarzami Gazety Lubuskiej. Witaj,

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Zakres materiału i wymagania edukacyjne, KLASA PIERWSZA. Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia. Uczeń:

Matematyka. Zakres materiału i wymagania edukacyjne, KLASA PIERWSZA. Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia. Uczeń: Matematyka Zakres materiału i wymagania edukacyjne, KLASA PIERWSZA Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. Liczby naturalne definicja dzielnika liczby naturalnej definicja liczby pierwszej cechy

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Wymagania eduka cyjne z matematyki

Wymagania eduka cyjne z matematyki Wymagania eduka cyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZ B Y I DZIAŁANIA porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej, zamieniać ułamki zwykłe na

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA:

WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA: WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę wymierną na osi liczbowej umie

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZBY I DZIAŁANIA Poziom konieczny - ocena dopuszczająca porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej,

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki. dla uczniów klasy Ia i Ib. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki. dla uczniów klasy Ia i Ib. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016 Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki dla uczniów klasy Ia i Ib Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie w roku szkolnym 2015/2016 DZIAŁ I: LICZBY zaznacza na osi liczbowej punkty odpowiadające

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

4. Granica i ciągłość funkcji

4. Granica i ciągłość funkcji 4. Granica i ciągłość funkcji W niniejszym rozdziale wprowadzamy pojęcie granicy funkcji, definiujemy funkcje ciągłe i omawiamy ich podstawowe własności. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale

Bardziej szczegółowo

Matematyka bankowa 1 1 wykład

Matematyka bankowa 1 1 wykład Matematyka bankowa 1 1 wykład Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna wykład 1: Indukcja i zależności rekurencyjne Gniewomir Sarbicki Literatura Kenneth A. Ross, Charles R. B. Wright Matematyka Dyskretna PWN 005 J. Jaworski, Z. Palka, J. Szymański Matematyka

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY /

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem powinny być opanowane przez każdego ucznia. Wymagania

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) (1+2+3+4) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki

DZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) (1+2+3+4) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki MATEMATYKA KLASA I I PÓŁROCZE -wyróżnia liczby naturalne, całkowite, wymierne -zna kolejność wykonywania działań -rozumie poszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne -porównuje liczby wymierne -zaznacza

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: Obowiązkowy w ramach treści wspólnych z kierunkiem Matematyka, moduł kierunku obowiązkowy Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia I KARTA PRZEDMIOTU CEL

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14 Wzory skróconego mnożenia, procenty, postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie - rozwiązywanie równań i nierówności. Szacowanie wyrażeń. W dniu 23/24 października

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM OCENA DOPUSZCZAJĄCA pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej, pojęcia: rozwinięcie dziesiętne skończone, nieskończone, okres, algorytm zaokrąglania

Bardziej szczegółowo

1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004

1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004 ANALIZA MATEMATYCZNA A dla I roku, 2004/2005 1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004 Obliczyć sumy (postępów arytmetycznych i goemetrycznych):

Bardziej szczegółowo

ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II ( zakres podstawowy)

ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II ( zakres podstawowy) 1 ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II ( zakres podstawowy) Program nauczania: Matematyka z plusem Liczba godzin nauki w tygodniu: 3 Planowana liczba godzin w ciągu roku:

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału nauczania

Rozkład materiału nauczania Dział/l.p. Ilość godz. Typ szkoły: TECHNIKUM Zawód: TECHNIK USŁUG FRYZJERSKICH Rok szkolny 2015/2016 Przedmiot: MATEMATYKA Klasa: III 2 godz/tyg 30 = 60 godzin Rozkład materiału nauczania Temat I. LOGARYTMY

Bardziej szczegółowo

PROPOZYCJA PLANU WYNIKOWEGOREALIZACJI PROGRAMU NAUCZANIA Matematyka przyjemna i pożyteczna W DRUGIEJ KLASIE SZKOŁY PONADGIMNAZJALNEJ

PROPOZYCJA PLANU WYNIKOWEGOREALIZACJI PROGRAMU NAUCZANIA Matematyka przyjemna i pożyteczna W DRUGIEJ KLASIE SZKOŁY PONADGIMNAZJALNEJ OOZYCJA LANU WYNIKOWEGOEALIZACJI OGAMU NAUCZANIA Matematyka przyjemna i pożyteczna W DUGIEJ KLASIE SZKOŁY ONADGIMNAZJALNEJ ZAKES OZSZEZONY DZIAŁ I: CIĄGI Tematyka jednostki lekcyjnej lub Liczba oziomy

Bardziej szczegółowo

CIĄGI LICZBOWE REALIZACJA METODĄ PROJEKTU

CIĄGI LICZBOWE REALIZACJA METODĄ PROJEKTU CIĄGI LICZBOWE REALIZACJA METODĄ PROJEKTU opracował dr Bronisław Pabich pabich@interklasa.pl www.pabich.interklasa.pl 1 Definicja ciągu liczbowego Sposoby określania ciągów liczbowych Sposoby prezentacji

Bardziej szczegółowo

Lista zadań nr 15 TERMIN ODDANIA ROZWIĄZANYCH ZADAŃ 9 marca 2015

Lista zadań nr 15 TERMIN ODDANIA ROZWIĄZANYCH ZADAŃ 9 marca 2015 Lista zadań nr 5 TERMIN ODDANIA ROZWIĄZANYCH ZADAŃ 9 marca 05 Liczby rzeczywiste a) planuję i wykonuję obliczenia na liczbach rzeczywistych; w szczególności obliczam pierwiastki, w tym pierwiastki nieparzystego

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. MATEMATYKA Z SENSEM Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Klasa I Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania konieczne (K)

Bardziej szczegółowo

Schemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej

Schemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Schemat rekursji 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Dla dowolnej liczby naturalnej a i dowolnej funkcji h: N 2 N istnieje dokładnie jedna funkcja f: N N spełniająca następujące warunki: f(0)

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a.

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a. Ćwiczenia 3032010 - omówienie zadań 1-4 z egzaminu poprawkowego Konwersatorium 3032010 - omówienie zadań 5-8 z egzaminu poprawkowego Ćwiczenia 4032010 (zad 445-473) Kolokwium nr 1, 10032010 (do zad 473)

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-R1A1P-062 POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 150 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 14

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania

Przedmiotowy system oceniania Przedmiotowy system oceniania gimnazjum - matematyka Opracowała mgr Katarzyna Kukuła 1 MATEMATYKA KRYTERIA OCEN Kryteria oceniania zostały określone przez podanie listy umiejętności, którymi uczeń musi

Bardziej szczegółowo

Test, dzień pierwszy, grupa młodsza

Test, dzień pierwszy, grupa młodsza Test, dzień pierwszy, grupa młodsza 1. Na połowinkach 60 procent wszystkich uczniów to dziewczyny. Impreza jest kiepska, bo tylko 40 procent wszystkich uczniów chce się tańczyć. Sytuacja poprawia sie odrobinę,

Bardziej szczegółowo

PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH

PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH OPRACOWANO NA PODSTAWIE PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM I PODRĘCZNIKA O NR DOP. 168/1/2015/z1

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1

Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1 Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1 Matematyka Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Klasa 1 Liceum i technikum Katalog

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KL. I

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KL. I WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KL. I Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: 1. Zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej 2. Rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne 3. Umie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM NA OCENĘ DOPUSZCZJĄCĄ UCZEN: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie

Bardziej szczegółowo

Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2015/2016 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody.

Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2015/2016 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody. Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 05/06 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody Przedmiot: MATEMATYKA Klasa I (60 godz) Rozdział. Liczby rzeczywiste Numer

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA I KLASY GIMNAZJUM

WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA I KLASY GIMNAZJUM WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA I KLASY GIMNAZJUM OPRACOWANO NA PODSTAWIE PLANU REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI Matematyka 1 Podręcznik do gimnazjum Nowa wersja, praca zbiorowa

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016 SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016 Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: (Liczby i działania) zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Bardziej szczegółowo

1. Systemy liczbowe. addytywne systemy w których wartośd liczby jest sumą wartości jej znaków cyfrowych.

1. Systemy liczbowe. addytywne systemy w których wartośd liczby jest sumą wartości jej znaków cyfrowych. 1. Systemy liczbowe 1.1. System liczbowy zbiór reguł jednolitego zapisu, nazewnictwa i działao na liczbach. Do zapisywania liczb zawsze używa się pewnego skooczonego zbioru znaków, zwanych cyframi. Cyfry

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM OCENA DOPUSZCZAJĄCA I DZIAŁ; LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby

Bardziej szczegółowo

Matematyka, kl. 6. Konieczne umiejętności

Matematyka, kl. 6. Konieczne umiejętności Matematyka, kl. 6 Liczby naturalne i ułamki Program Matematyka z plusem Odczytywanie liczb na osi liczbowej. Zapisywanie potęg w postaci iloczynu i obliczanie ich wartości. Sprawność rachunkowa w pisemnych

Bardziej szczegółowo

Wykład 3. Miara zewnętrzna. Definicja 3.1 (miary zewnętrznej) Funkcję µ przyporządkowującą każdemu podzbiorowi

Wykład 3. Miara zewnętrzna. Definicja 3.1 (miary zewnętrznej) Funkcję µ przyporządkowującą każdemu podzbiorowi Wykład 3 Miara zewnętrzna Definicja 3.1 (miary zewnętrznej Funkcję przyporządkowującą każdemu podzbiorowi A danej przestrzeni X liczbę (A [0, + ] (a więc określoną na rodzinie wszystkich podzbiorów przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Obliczenia naukowe Wykład nr 6

Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza

Bardziej szczegółowo

Matematyka bankowa 2

Matematyka bankowa 2 1. Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Łódzki 2. Instytut Nauk Ekonomicznych i Informatyki Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Płocku Matematyka bankowa 2 średnio- i

Bardziej szczegółowo

Wymagania przedmiotowe z matematyki w klasie I gimnazjum opracowane dla programu Matematyka z plusem GWO DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA

Wymagania przedmiotowe z matematyki w klasie I gimnazjum opracowane dla programu Matematyka z plusem GWO DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA Wymagania przedmiotowe z matematyki w klasie I gimnazjum opracowane dla programu Matematyka z plusem GWO POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna

Bardziej szczegółowo

20 zorganizowanych w Uczelni (ZZU) Liczba godzin całkowitego 150 nakładu pracy studenta (CNPS)

20 zorganizowanych w Uczelni (ZZU) Liczba godzin całkowitego 150 nakładu pracy studenta (CNPS) Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ELEKTRONIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA.3 A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli

Bardziej szczegółowo

4 Kilka klas procesów

4 Kilka klas procesów Marek Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 4 48 4 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzenie V,, loc Jak poprzednio niech (Ω, F, F, P ) będzie zupełną bazą stochastyczną. Definicja 4.1 Proces

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

VIII Wojewódzki Konkurs Matematyczny "W Świecie Matematyki im. Prof. Włodzimierza Krysickiego Etap drugi - 3 marca 2016 r.

VIII Wojewódzki Konkurs Matematyczny W Świecie Matematyki im. Prof. Włodzimierza Krysickiego Etap drugi - 3 marca 2016 r. VIII Wojewódzki Konkurs Matematyczny "W Świecie Matematyki im. Prof. Włodzimierza Krysickiego Etap drugi - 3 marca 2016 r. Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. 1. Drugi etap Konkursu składa się z

Bardziej szczegółowo

PLAN PRACY ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI W KLASIE I LO

PLAN PRACY ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI W KLASIE I LO Poziomy wymagań edukacyjnych: K konieczny ocena dopuszczający (2) P podstawowy ocena dostateczna (3) Projekt nr WND-POKL.09.01.02-10-104/09 tytuł Z dysleksją bez barier PLAN PRACY ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 1. OKNO - Ośrodek Kształcenia na Odległość Politechnika Warszawska. Krystyna Lipińska Dominik Jagiełło Rafał Maj

MATEMATYKA 1. OKNO - Ośrodek Kształcenia na Odległość Politechnika Warszawska. Krystyna Lipińska Dominik Jagiełło Rafał Maj MATEMATYKA 1 OKNO - Ośrodek Kształcenia na Odległość Politechnika Warszawska Krystyna Lipińska Dominik Jagiełło Rafał Maj 2010 Spis treści 1 Ciągi i szeregi liczbowe 9 1.1 Definicja i podstawowe własności........................

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM na rok szkolny 2014/2015 Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny: (na każdą wyższą ocenę obowiązują również wiadomości na oceny niższe oraz wiadomości

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 1) Liczby - zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane, - zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum

Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA HASŁO PROGRAMOWE WIADOMOŚCI I UMIEJĘTNOŚCI PODSTAWOWE WIADOMOŚCI

Bardziej szczegółowo

Wymogi edukacyjne z kryteriami na poszczególne oceny z matematyki dla uczniów klasy pierwszej Publicznego Gimnazjum nr 1 w Strzelcach Opolskich

Wymogi edukacyjne z kryteriami na poszczególne oceny z matematyki dla uczniów klasy pierwszej Publicznego Gimnazjum nr 1 w Strzelcach Opolskich Wymogi edukacyjne z kryteriami na poszczególne oceny z matematyki dla uczniów klasy pierwszej Publicznego Gimnazjum nr 1 w Strzelcach Opolskich Na ocenę dopuszczającą uczeń: zna pojęcie liczby naturalnej,

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W KLASIE VI

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W KLASIE VI KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W KLASIE VI Ocenę niedostateczną (1) otrzymuje uczeń, który nie spełnia wymagań na ocenę dopuszczającą, Wymagania na ocenę dopuszczającą (2) rozróżnia liczby pierwsze i

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

TEMAT 1. LICZBY I DZIAŁANIA 14 20. 1. Liczby 1-2. 2. Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych. 3. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników 1-2

TEMAT 1. LICZBY I DZIAŁANIA 14 20. 1. Liczby 1-2. 2. Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych. 3. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników 1-2 TEMAT 1. LICZBY I DZIAŁANIA 14 20 LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH 1. Liczby 1-2 2. Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych 3. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników 1 1-2 WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony

MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej Agnieszka Kamińska. MATeMAtyka. Plan wynikowy. Zakres podstawowy i rozszerzony

Dorota Ponczek, Karolina Wej Agnieszka Kamińska. MATeMAtyka. Plan wynikowy. Zakres podstawowy i rozszerzony Dorota onczek, arolina Wej Agnieszka amińska MATeMAtyka lan wynikowy Zakres podstawowy i rozszerzony Oznaczenia: wymagania konieczne; wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające;

Bardziej szczegółowo

Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach

Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach www.awans.net Publikacje nauczycieli Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach Program nauczania matematyki dla 3 letniego liceum ogólnokształcącego dla dorosłych (po zasadniczej szkole

Bardziej szczegółowo

mgr A. Piłat, mgr M. Małycha n 2 b n = (n 2 1)(n 2 5n+6)

mgr A. Piłat, mgr M. Małycha n 2 b n = (n 2 1)(n 2 5n+6) 1. a) Podaj pięć wyrazów ciągu: a n = n 2 +n, b n = n 2 { 1 (n+1)!, c n = 2, dla n nieparzystego n 2, dla n parzystego b)którezwyrazówciągusąrównezero: a n = 1+( 1)n 2n 1, b n = (n 2 1)(n 2 5n+) c)danyjestciąg

Bardziej szczegółowo

Dopuszczający. Opracowanie: mgr Michał Wolak 2

Dopuszczający. Opracowanie: mgr Michał Wolak 2 Dopuszczający zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie porównywać liczby wymierne proste przypadki umie zaznaczać liczbę wymierną na

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA ZESPÓŁ SZÓŁ OGÓLNOSZTAŁCĄCYCH ul. M.Curie-Skłodowskiej 58-400 amienna Góra tel.: (+48) 75-645-0-8 fax: (+48) 75-645-0-83 E-mail: zso@kamienna-gora.pl WWW: http://www.zso.kamienna-gora.pl PRZEDMIOTOWY SYSTEM

Bardziej szczegółowo

P 2.3. Plan wynikowy z rozkładem materiału klasa 3

P 2.3. Plan wynikowy z rozkładem materiału klasa 3 P 2.3. Plan wynikowy z rozkładem materiału klasa 3 W planie wynikowym wraz z rozkładem materiału dla klasy trzeciej uwzględniono zarówno nowy materiał, zawarty w programie nauczania Matematyka wokół nas

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo