MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe"

Transkrypt

1 MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ). Ciągi liczbowe.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym. Będziemy oznaczać : a n (b n, c n itd.) - n-ty wyraz ciągu (wyraz o numerze n), (a n ) 0 n=, (b n ) n= (lub krócej (a n ), (b n )...) cały ciąg. Sposoby określania ciągów liczbowych. Przez wypisanie wszystkich wyrazów (tylko dla ciągu skończonego), np. 2, 5, 5 2, 3, 6, 3, 2, 5 (czyli: a = 2, a 2 = 5,..., a 8 = 5 ). 2. Przez podanie wzoru na wyraz ogólny, np. a n = n 2 6 więc w tym przypadku a = 5, a 2 = 2, a 3 = 3,... a 0 = Przez podanie wzoru rekurencyjnego, np. lub (ciąg Fibonacciego). b =, b n+ = (n + ) b n czyli b n = n! a = a 2 =, a n+ = a n + a n dla n = 2, 3,...

2 .2. CIĄGI MONOTONICZNE Ciąg (a n ) jest: rosnący jeżeli każdy jego wyraz jest większy od poprzedniego: n a n > a n np. a n = n, b n = n 2 6 ; malejący jeżeli każdy jego wyraz jest mniejszy od poprzedniego, n np. a n = n 2, b n = n ; a n < a n niemalejący jeżeli żaden jego wyraz nie jest mniejszy od poprzedniego, n np. a n = [ n], b n = 2n + ( ) n ; każdy ciąg rosnący; a n a n nierosnący jeżeli żaden jego wyraz nie jest większy od poprzedniego, n a n a n stały jeżeli wszystkie jego wyrazy są jednakowe np. n a n = 4. Jeśli ciąg spełnia którykolwiek z tych warunków, to jest monotoniczny. Przykłady ciągów które nie są monotoniczne: c n = ( ) n ; d n = sin nπ 2.3. CIĄGI OGRANICZONE I NIEOGRANICZONE Ciąg (a n ) jest: ograniczony z dołu jeżeli istnieje liczba m R (ograniczenie dolne) nie większa od każdego wyrazu ciągu m : n a n m, np. a n = n, b n = n 2 56, c n = 5 n ; ograniczony z góry jeżeli istnieje liczba M R (ograniczenie górne) nie mniejsza od każdego wyrazu ciągu : a n M, M n np. a n = n, b n = n+2 n ;

3 ograniczony jeżeli jest ograniczony z góry i z dołu np. b n = n+2 n, c n = ( ) n, każdy ciąg skończony ; nieograniczony jeżeli nie jest ograniczony (z góry lub z dołu) np. a n = n, b n = n 2 999, c n = n. Uwaga.. Każdy ciąg niemalejący jest ograniczony z dołu, a każdy ciąg nierosnący z góry. 2. Ciąg będący sumą (różnicą, iloczynem) ciągów ograniczonych jest ograniczony. 3. Ciąg będący sumą lub różnicą ciągu ograniczonego i nieograniczonego jest nieograniczony..4. Szczególny przypadek: CIĄGI ARYTMETYCZNE I GEOMETRYCZNE Ciąg arytmetyczny: (r - różnica ciągu arytm.) a n = a + (n ) r Np. 5, 2,, 4, 7,... ; 2, 6,, 6,, 4, 9. Wzór na sumę ciągu arytmetycznego: m n= a n = m (a + (n ) r) = m n= n= = ma + r m (n ) = ma + r n= a + m (n ) r = n= m(m ) 2.

4 Ciąg geometryczny: b n = b q n (q - iloraz ciągu geom. dowolna liczba różna od 0 i ). Np., 2, 4, 8, 6, ;,,,,,... ; 8, 6, 2, 2 3, 2 9, 2 27 Wzór na sumę ciągu geometrycznego: m n= b n = b qm q. Uwaga.. Ciąg arytmetyczny jest rosnący jeżeli r > 0, a malejący jeżeli r < Nieskończony ciąg arytmetyczny jest nieograniczony (z góry gdy r > 0, a z dołu gdy r < 0). 3. Ciąg geometryczny jest rosnący jeżeli a 0 > 0 i q > oraz jeżeli a 0 < 0 i 0 < q <, malejący jeżeli a 0 > 0 i 0 < q < oraz jeżeli a 0 < 0 i q >, a nie jest monotoniczny jeżeli q < Nieskończony ciąg geometryczny jest ograniczony gdy < q <, a nieograniczony gdy q >. Uwaga. Ciągi arytmetyczne i geometryczne można określić także przy użyciu wzorów rekurencyjnych (jak?)

5 .5. CIĄGI ROZBIEŻNE ( = o granicy nieskończonej) Dotyczy tylko ciągów nieskończonych! Ciąg (a n ) n= jest rozbieżny do nieskończoności (ma granicę równą ) jeżeli M R K N takie że n K a n > M. Czyli : każde ewentualne ograniczenie górne (M) zostanie przekroczone przez pewien (K-ty) wyraz ciągu i wszystkie dalsze. Inaczej: dla każdej liczby M prawie wszystkie wyrazy ciągu (tj. wszystkie z wyjątkiem skończonej ilości) są większe od M. Zapisujemy to: a n n =. Przykłady: a n = n ; b n = n ; c n = n!, Uwaga. każdy rosnący ciąg arytmetyczny,.... Każdy ciąg rozbieżny do nieskończoności jest nieograniczony z góry. 2. Każdy ciąg niemalejący i nieograniczony z góry jest rozbieżny do. 3. Odwrotnie niekoniecznie: ciąg może być rozbieżny do, ale nie monotoniczny. Ciąg (b n ) n= jest rozbieżny do minus nieskończoności (ma granicę równą ) gdy ciąg ( b n ) jest rozbieżny do. Na przykład: b n = n ; c n = n2 n Uwaga. Każdy ciąg monotoniczny i nieograniczony jest rozbieżny (do jeśli jest niemalejący, do jeśli jest nierosnący).

6 .6. CIĄGI ZBIEŻNE ( = o granicy skończonej) Także dotyczy tylko ciągów nieskończonych! Ciąg (a n ) n= jest zbieżny do liczby a (ma granicę równą a) jeżeli ɛ>0 K N takie że n K a ɛ < a n < a + ɛ. Czyli : w każdym otoczeniu granicy a (przedziale ]a ɛ, a + ɛ[ ) znajdzie się pewien (K-ty) wyraz ciągu i wszystkie dalsze. Inaczej: w każdym otoczeniu granicy znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu (tj. wszystkie z wyjątkiem skończonej ilości). Zapisujemy to: a n n = a. Jeśli ciąg nieskończony ma skończoną granicę, to tylko jedną. Przykłady: n n n + =, n n = 0, każdy nieskończony ciąg stały jest zbieżny (do czego?) 5 n = n n n 5 = (nietrywialne!) każdy ciąg geometryczny o ilorazie q takim że q < jest zbieżny do zera... Uwaga.. Każdy nieskończony ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny do skończonej granicy 2. Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony. Działania na granicach ciągów Jeżeli ciągi (a n ), (b n ) są zbieżne i n a n = a, n b n = b, to :. n (a n + b n ) = a + b ( granica sumy = suma granic ) ;

7 2. n (a n b n ) = a b ; 3. dla każdej liczby rzeczywistej c n (c a n ) = ca ; 4. n (a n b n ) = ab ( granica iloczynu = iloczyn granic ) ; 5. jeżeli b n nie ma wyrazów równych zeru i b 0, to n b n = b oraz a n = a n b n b. Ponadto jeżeli ciąg (a n ) jest ograniczony (w szczególności gdy jest zbieżny), a (b n ) rozbieżny, to (a a n n n + b n ) = n (b n a n ) = n b n, zaś n = 0. b n Natomiast jeżeli a n = b n = 0 lub a n = b n =, to ciąg a n b n może mieć granicę skończoną albo nieskończoną, albo żadnej ( nieoznaczoność typu 0 0 i ). Zasada zachowania nierówności przy przejściu granicznym: Jeżeli ciągi (a n ), (b n ) są zbieżne i dla każdego n a n b n, to n a n n b n. (W szczególności : jeżeli n N Twierdzenie o trzech ciągach: a n a i ciąg (a n ) jest zbieżny, to n a n a). Jeżeli n a n = n c n = z i dla każdego n a n b n c n, to n b n = z. Na przykład: n n z = dla każdej liczby dodatniej z bo dla z > : < n z < + z n, a = i + z = + 0 = ; n n n dla 0 < z < : n n z = n n /z = n n /z = ;

8 n n 3 n + 5 n + 2 n = 5 bo n 5 = n 5 n n < n 3 n + 5 n + 2 n n < n 5 n + 5 n + 5 n n = n 3 5 n n = n n 3 n 5 n = 5. Granice typowych rodzajów ciągów: funkcji potęgowych zmiennej n : n nt = wielomianów zmiennej n (stopnia k): t > 0 0 t < 0 (a n kn k + a k n k a n + a 0 ) = ilorazów wielomianów: a k n k + a k n k a n + a 0 = n b l n l + b l n l b n + b 0 a k > 0 a k < 0 a k n k l + a k n k l a n l + a 0 n l = n b l + b l n b n l + b 0 n l n (a k n k l + a k n k l a n l + a 0 n l ) = n... ; n (b l + b l n b n l + b 0 n l ) b l licznik = 0 gdy l > k, a k gdy l = k, lub gdy k > l (zależnie od znaku a k ), więc = 0, a k /b l lub ±. Parę szczególnie ważnych granic: n n n =, n + n n =? Ten ciąg ( a n = ( + n )n ) jest rosnący: + n + ograniczony z góry: n n+ > + n + n n n < 3,,

9 więc jest zbieżny do skończonej granicy. Granicę tę oznaczamy przez e ; e 2, 78. Stąd: ( n) + a nb ( n = n + a )n a ab ( == n n + a n )n ab a = e ab..7. ZASTOSOWANIE CIĄGÓW LICZBOWYCH PIENIĄDZ W CZASIE Procent prosty (o%owanie proste) ze stopą r w pojedynczym okresie o%owania: odsetki nie są oprocentowane, kapitał K daje w każdym okresie odsetki r K, stany konta w kolejnych okresach tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy rk, po n okresach kapitał wraz z odsetkami wynosi K ( + nr). Procent składany ze stopą r w pojedynczym okresie oprocentowania: odsetki są doliczane do kapitału, a więc oprocentowane, kapitał K daje w każdym okresie odsetki r K, stany konta w kolejnych okresach tworzą ciąg geometryczny o ilorazie (r + ), po n okresach kapitał wraz z odsetkami wynosi K ( + r) n. Wartość bieżąca przyszłych płatności Wartość bieżąca płatności w wysokości X otrzymanej po t okresach oprocentowania przy o%waniu składanym i stopie procentowej r za okres: PV(X, t) = ( + r) t X równowartość tej płatności w pieniądzach dziś. (Gdyby tę wielkość umieścić w banku na (00r)%, to po t okresach oprocentowania na koncie byłoby dokładnie ( + r) t PV(X, t) = X).

10 Typowe schematy spłacania kredytu Kredyt w wysokości K na procent składany (00r)% na czas T okresów oprocentowania spłaca się zwykle w ratach malejących co okres jednakowa rata kapitałowa ( K T ) plus odsetki od jeszcze nie spłaconej części kredytu; rata za okres numer t R(t) = K t + r T t + T raty tworzą wtedy ciąg arytmetyczny malejący, albo K, w ratach równych jednakowej wysokości R() = R(2) =... R(T ) = R dobranej tak, by ich łączna wartość bieżąca PV = T t= PV(R, t) = R T t= była równa wielkości kredytu, K. δt = Rδ ( + r) t δ, gdzie δ = + r Zwiększona częstość naliczania odsetek : np. przy oprocentowaniu składanym ze stopą r w skali rocznej po roku na lokacie będzie przy naliczaniu odsetek raz do roku: K ( + r) ( przy naliczaniu odsetek co kwartał: K + r ) 4 4 ( co miesiąc: K + r ) 2 (, co dzień: K + r ) 365 e r przy naliczaniu ciągłym : e r.

11 2. Granica i ciągłość funkcji 2.. OKREŚLENIE Granica funkcji w nieskończoności f(x) = takie że f(x) > M x M Z x>z granica nieskończona w nieskończoności. Np. x = x x x + 9 =, x (4x x 2 ) =. f(x) = a takie że a ɛ < f(x) < a + ɛ x ɛ>0 Z x>z granica skończona w nieskończoności. Np. x Równoważna definicja ciągowa: x = ( x + 2x 9 x) = 0, x x x + 3 = 2. f(x) = dla każdego ciągu (x x n) rozbieżnego do ciąg y n = f(x n ) jest rozbieżny do nieskończoności, f(x) = a dla każdego ciągu (x x n) rozbieżnego do ciąg y n = f(x n ) jest zbieżny do a. Nie istnieją np. granice: x cos x, x x(x x ). Granica funkcji w punkcie x 0 f(x) = takie że x x 0 M δ x x 0 (x 0 δ < x < x 0 + δ) f(x) > M granica nieskończona w punkcie. Np. x 0 x 2 = x Π 2 tg x =.

12 f(x) = a takie że x x 0 ɛ δ x x 0 (x 0 δ < x < x 0 + δ) a ɛ < f(x) < a + ɛ granica skończona w punkcie. Np. x 2 Równoważne definicje ciągowe: x = 2, x = 4, x 3 x 4 x x = 3. f(x) = dla każdego ciągu (x x x n ) o wyrazach różnych od x 0 zbieżnego 0 do x 0 ciąg y n = f(x n ) jest rozbieżny do nieskończoności, f(x) = a dla każdego ciągu (x x x n ) o wyrazach różnych od x 0 zbieżnego 0 do x 0 ciąg y n = f(x n ) jest zbieżny do a. Nie istnieją np. granice: bo x 0 x x =, x = (granice lewo- i prawostronna są różne); x 0 + x 0 x z tego samego powodu, sin x 5 x 0 x CIĄGŁOŚĆ Definicja: Funkcja f jest ciągła w punkcie x 0 jeżeli jest w nim określona i x x0 f(x) = f(x 0 ), ciągła w zbiorze A gdy jest ciągła w każdym punkcie x 0 A. Wszystkie funkcje: potęgowe (f(x) = x k ) wielomiany wymierne (ilorazy wielomianów) wykładnicze (f(x) = a x ) logarytmiczne (log a x) trygonometryczne są ciągłe w każdym punkcie swego zbioru określoności a więc obliczanie ich granic w tych punktach często jest łatwe.

13 Punkty nieciągłości funkcji najczęściej takie w których nie istnieje granica: np f(x) = x jest nieciągła w każdym punkcie x 0 Z (w liczbach całkowitych), a ciągła w każdym innym. NAJWAŻNIEJSZE WŁASNOŚCI funkcji ciągłych. Twierdzenie Weierstrassa Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym [a, b], to osiąga w nim minimum i maximum tzn. istnieją m, m [a, b] takie że dla każdego x [a, b] f(m) f(x) f(m). 2. Własność Darboux Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale [a, b], to dla każdego y [f(a), f(b)] istnieje takie x [a, b] że f(x) = y OBLICZANIE GRANIC Działania na granicach funkcji podobnie jak na granicach ciągów: Jeżeli istneją skończone granice x x0 f(x) = a, x x0 g(x) = b (przy czym dopuszczalne jest też x 0 = lub ), to :. x x0 (f(x) + g(x)) = a + b ( granica sumy = suma granic ) ; 2. x x0 (f(x) g(x)) = ab ( granica iloczynu = iloczyn granic ) ; 3. x x0 (f(x) g(x)) = a b ; 4. dla każdej liczby rzeczywistej c x x0 (c f(x)) = ca ; 5. jeżeli g(x) 0 w otoczeniu punktu x 0 oraz b 0, to x x 0 g(x) = b oraz x x 0 f(x) g(x) = a b.

14 Ponadto jeżeli x x0 f(x) jest skończona, a x x0 g(x) nieskończona ( lub ), to (f(x) + g(x)) = x x 0 x x0 (g(x) f(x)) = x x0 g(x), zaś f(x) x x0 g(x) = 0. Natomiast jeżeli x x0 f(x) = x x0 g(x) = 0 lub x x0 f(x) = x x0 g(x) =, to funkcja f(x) g(x) może mieć w punkcie x 0 granicę skończoną albo nieskończoną, albo żadnej ( nieoznaczoność typu 0 0 i ). Zasada zachowania nierówności przy przejściu granicznym: Jeżeli funkcje f, g mają skończone granice w x 0 i w otoczeniu x 0 f(x) g(x), to x x0 f(x) x x0 g(x). (W szczególności : jeżeli dla każdego x w otoczeniu x 0 f(x) c oraz granica f(x) istnieje, to x x 0 x x0 f(x) c). Parę szczególnie ważnych granic: x e x x 0 x sin x x 0 x x + x a x x x 0 x = = = e = ln a ln x x = x 0 ln(x + ) x =. Uwaga: od teraz na zawsze ln x = log e x (logarytm naturalny liczby x).

15 Przykłady x 2 x x + = x (x 2 ) x (x + ) = 0 2 = 0 ; x 0 x x 0 4x x 2 2x + x x 3 x x 2 + x x 0 + x x + x x (2x3 + 3x 2 5x + 2) = x x 0 x 2 x = x x 2 x (x + ) = 2 = x 0 x 4 = 4 = x x x 2 + x + = 0 = x 0 + x x + x 0 + = = ; x x = ; x 3 x 2x3 ( + 3 2x + 5 x x x 2 3x 3x = x 7x + 2 2x 2 = x + 3 x = 3 x 2 7 x + 2 x 2 2 x 2 = 0 2 = 0 6x 3 4 4x = 3x 2 x 2 x = 2 = x 2 x 2 x x 0 sin 6x sin 3x = x 0 x 5 2x 2 + 6x = x x = x x 5 2x 2 + 6x = x 2 x 5 x 2 (2x 2 + 6x) =, 6 sin 2x 3x = sin 2x x 0 2x 2x = 2 3x 3 sin 6x 6x 6x 3x 3x = 2 sin 3x sin x = sin a x a x a x 2 x + = = x = 2 2x 2 + x 3) = sin x bo x 0 x = dla a 0 x 2x3 =

16 3. Pochodna funkcji 3.. OKREŚLENIE Iloraz różnicowy funkcji f w punkcie x 0 dla przyrostu h : y x = f(x 0 + h) f(x 0 ) = f(x 0 + h) f(x 0 ). x 0 + h x 0 h Pochodna funkcji f w punkcie x 0 : f (x 0 ) = h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h granica ilorazów różnicowych f w x 0 przy przyrostach dążących do zera, y dy x 0 x (i dlatego bywa też oznaczana dx ). Uwaga: istnieje tylko wtedy gdy f jest ciągła w punkcie x 0 funkcji nieciągłej nie można zróżniczkować, tj. obliczyć jej pochodnej (bo jeżeli f nie jest ciągła w x 0, to h 0 (f(x 0 + h) f(x 0 )) nie istnieje lub jest nieskończona, a h 0 h =). Przykłady:. f(x) = 5x, x 0 = 3 : f (3) = h 0 5 (3 + h) 5 3 h = i ogólnie dla tej funkcji i dowolnego x 0 f (x 0 ) = h 0 5(x 0 + h) 5 x 0 h 3. f(x) = x 2, x 0 = 4 : f (4) = h 0 (4 + h) h = 8. = INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA Iloraz różnicowy w x 0 dla przyrostu h = nachylenie prostej przecinającej wykres funkcji f w punktach (x 0, f(x 0 )) i (x 0 + h, f(x 0 + h)) (siecznej wykresu) ; Pochodna w punkcie x 0 (jeśli istnieje) = nachylenie prostej stycznej do wykresu f w punkcie (x 0, f(x 0 ))

17 3.3. Pożytki z pochodnej : RÓWNANIE STYCZNEJ I RÓŻNICZKA FUNKCJI Ponieważ prosta styczna do wykresu (różniczkowalnej) funkcji f w punkcie (x 0, f(x 0 )) ma nachylenie f (x 0 ), jej równaniem jest y = f(x 0 ) + (x x 0 )f (x 0 ). Np. styczna do paraboli o równaniu y = f(x) = x w punkcie x 0 = 2 (czyli w (2, ) = (2, 7)) ma równanie y = f(2) + (x 2) f (2) = (x 2) (2 2) = 4x a styczna do tej samej paraboli w x 0 = (czyli w (, 4)) y = f( ) + (x ( ))f ( ) = ( ) (x + ) (2 ) = 2x + 2. Linearyzacja funkcji różniczkowalnej przybliżanie przy pomocy różniczki Wartości różniczkowalnej funkcji f w pobliżu punktu x 0 można dobrze przybliżać przez wartości funkcji liniowej g, której wykresem jest prosta styczna do wykresu f w x 0 : f(x 0 + h) g(x 0 + h) = f(x 0 ) + h f (x 0 ). Na przykład: (3, 0) , 0 (2 3) = 3, 06 (f(x) = x 2, x 0 = 3, h = 0, 0) 3 3 7, ( 0, 06) 3 8 2/3 =, 995 (f(x) = 3 x, x 0 = 8, h = 0, 06) e 0,03 e 0 + 0, 03 e 0 =, 03 (f(x) = e x, x 0 = 0, h = 0, 03) Wielkość hf (x 0 ) to różniczka funkcji f w punkcie x 0 dla przyrostu h, oznaczana df(x 0, h).

18 3.4. POCHODNA JAKO FUNKCJA Ponieważ f (x) w oczywisty sposób zależy od x, f jest funkcją zmiennej x (jednoznacznie wyznaczoną przez f). np. gdy f(x) = 5x, f (x) = 5 (funkcja stała), gdy f(x) = x 2, f (x + h) 2 x 2 (x) = = 2x ostatnia praca domowa, h 0 h gdy f(x) = e x, f e x+h e x (x) = = e x jw. h 0 h (Oczywiście nachylenie stycznej do wykresu w punkcie x zależy od x z wyjątkiem funkcji liniowych dla których jest stałe, i dlatego pochodna funkcji liniowej jest f. stałą) POCHODNE NAJWAŻNIEJSZYCH FUNKCJI Pochodne funkcji potęgowych: Gdy f(x) = x n, f (x) = nx n np. f(x) = x 5 f (x) = 5x 4, f(x) = x 2 = x 2 f (x) = 2x 3 = 2 x 3, f(x) = x = x /2 f (x) = 2 x /2 = 2 x. Pochodne funkcji wykładniczych: Gdy f(x) = a x (a > 0), f (x) = a x ln a np. f(x) = 2 x f (x) = 2 x ln 2, f(x) = e x f (x) = e x (uwaga: f(x) = e x jest prawie jedyną funkcją taką że x f (x) = f(x) ). Pochodne funkcji logarytmicznych: Gdy f(x) = log a x (a > 0, a ), f (x) = x ln a np. f(x) = ln x f (x) = x, f(x) = log x f (x) = x ln 0. Pochodne funkcji trygonometrycznych: f(x) = sin x f (x) = cos x, f(x) = cos x f (x) = sin x.

19 3.6. REGUŁY RÓŻNICZKOWANIA (obliczania pochodnej). Pochodna sumy i różnicy: h(x) = f(x) + g(x) h (x) = f (x) + g (x) ; h(x) = f(x) g(x) h (x) = f (x) g (x) np. h(x) = x x h (x) = 2x + 3 x ln 3 ; h(x) = x 4 x h (x) = 4x 3 2 x. 2. Wyciąganie stałej przed pochodną : h(x) = c f(x) (gdzie c jest liczbą) h (x) = cf (x) np. h(x) = 3x 2 h (x) = 3 2x = 6x. 3. Pochodna iloczynu: h(x) = f(x) g(x) h (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) np. h(x) = x 2 sin x h (x) = 2x sin x + x 2 cos x ; h(x) = x e x h (x) = ( 2 x + x ) e x. 4. Pochodna ilorazu: h(x) = f(x) g(x) np. h(x) = x2 + sin x h(x) = ex x 2 h (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) (g(x)) 2 (g(x) 0) h (x) = 2x sin x (x2 +) cos x sin 2 x ; h (x) = (x2 2x)e x x Funkcja odwrotna i jej pochodna: Gdy f jest monotoniczną i różnowartościową funkcją różniczkowalną w przedziale [a, b], to funkcja odwrotna funkcji f na przedziale [f(a), f(b)] (bądź [f(b), f(a)] gdy f malejąca na [a, b]) jest określona tak: f (y) = jedyne takie x [a, b] dla którego f(x) = y i jej pochodna jest równa (f ) (y) = f (x) gdzie x = f (y).

20 Np: f(x) = x 2 (dla x 0), f (y) = y ; (f ) (y) = 2x = 2 y, g(x) = e x, g (y) = ln y ; (g ) (y) = g (x) = e x = y 6. Funkcja złożona i jej pochodna: Gdy y = f(x) i z = g(y) = g(f(x)) = h(x), h jest złożeniem funkcji wewnętrznej f i funkcji zewnętrznej g, oznaczanym g f i jej pochodną jest h (x) = g (y)f (x) = g (f(x)) f (x). (Wygodny zapis: dz dx = dz dy dy dx ). Przykład : f(x) = x 2, g(y) = sin y, h(x) = sin(x 2 ), h (x) = cos(x 2 ) 2x Przykład 2 : f(x) = sin x, g(y) = y 2, h(x) = sin 2 x, h (x) = 2 sin x cos x Przykład 3 : h(x) = x 2 3x + ; h (x) = (f(x) = x 2 3x +, g(y) = y). 2x 3 2 x 2 3x+ Stąd np. pochodna funkcji 4x 3 7x + 3 x 2ex jest równa 4 3x ( x 2 ) 2e x = 2x x 2 2ex a pochodna funkcji ln(x2 +9) 2x 3 jest równa 4x 2 6x x ln(x2 + 9) (2x 3) Pożytki z pochodnej 2: BADANIE MONOTONICZNOŚCI FUNKCJI Intuicja: Jeżeli pochodna funkcji f w punkcie x 0 jest dodatnia: f (x 0 ) = h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h > 0, to dla h dostatecznie bliskich zeru też f(x 0+h) f(x 0 ) h > 0, czyli : h > 0 f(x 0 + h) > f(x 0 ), h < 0 f(x 0 + h) < f(x 0 )

21 a zatem funkcja f jest rosnąca w pewnym otoczeniu punktu x 0. Inaczej: Jeżeli f (x 0 ) > 0, to styczna do wykresu f w x 0 ma dodatnie nachylenie, więc funkcja f jest (jak wyżej). Twierdzenie o związkach monotoniczności ze znakiem pochodnej: Gdy funkcja f jest różniczkowalna w przedziale otwartym ]t, u[, to : (a) jeżeli (b) jeżeli x ]t,u[ x ]t,u[ f (x) > 0 (f (x) 0), to f jest rosnąca (niemalejąca) w ]t, u[, f (x) < 0 (f (x) 0), to f jest malejąca (nierosnąca) w ]t, u[, (c) odwrotnie: jeśli f jest niemalejąca w ]t, u[, to x ]t,u[ f (x) 0, a jeżeli dodatkowo f rosnąca w ]t, u[, to w prawie każdym punkcie przedziału f (x) > 0, (d) odwrotnie: jeśli f jest nierosnąca w ]t, u[, to x ]t,u[ f (x) 0, a jeżeli dodatkowo f malejąca w ]t, u[, to w prawie każdym punkcie przedziału f (x) < 0, (e) funkcja f jest stała w ]t, u[ x ]t,u[ f (x) = 0. Przykłady:. Funkcja liniowa f(x) = ax + b : f (x) = a, f rosnąca a > 0, malejąca a < 0, stała gdy a = 0 2. Funkcja kwadratowa f(x) = ax 2 + bx + c ; f (x) = 2ax + b porównać znak pochodnej ze szkolną wiedzą o funkcji kwadratowej 3. f(x) = x 3 jest rosnąca w ], [ i f (x) = 3x 2 0 (ale f (0) = 0) 4. f(x) = sin x jest rosnąca w przedziałach w których cosinus jest dodatni, malejąca w tych w których cos x < 0.

22 5. Funkcja g(x) = x2 jest rosnąca w przedziale ]0, 2[, a malejąca w przedziałach ], 0[ i ]2, [ ex bo g (x) = x(2 x) e x jest dodatnia w ]0,2[, a ujemna w ], 0[ i ]2, [ Pożytki z pochodnej 3: ZNAJDOWANIE EKSTREMÓW FUNKCJI Punkt x 0 jest : maksimum globalnym funkcji f jeżeli dla każdego innego x D(f) zachodzi nierówność f(x) f(x 0 ) czyli f osiąga w x 0 największą wartość w całej swej dziedzinie; minimum globalnym funkcji f jeżeli dla każdego x D(f) f(x) f(x 0 ) czyli f osiąga w x 0 najmniejszą wartość w całej dziedzinie; maksimum lokalnym funkcji f, jeżeli istnieje h > 0 takie że dla każdego x ]x 0 h, x 0 + h[ zachodzi nierówność f(x) f(x 0 ) czyli f osiąga w x 0 wartość największą w pewnym otoczeniu punktu x 0 ; minimum lokalnym funkcji f, jeżeli istnieje h > 0 takie że dla każdego x ]x 0 h, x 0 + h[ f(x) f(x 0 ) czyli f osiąga w x 0 wartość najmniejszą w pewnym otoczeniu x 0. Ekstremum lokalne funkcji = minimum lub maksimum lokalne tej funkcji. Twierdzenie o ekstremach funkcji różniczkowalnej: Jeżeli funkcja f różniczkowalna w punkcie x 0 ma w tym punkcie ekstremum lokalne, to f (x 0 ) = 0. Odwrotnie niekoniecznie: f(x) = x 3 nie ma ekstremów w ogóle (jest rosnąca na całym zbiorze R), ale f (0) = 0.

23 Jednak szukając ekstremów funkcji różniczkowalnej możemy ograniczyć się do tych punktów w których pochodna jest równa 0 (punktów stacjonarnych). Ponadto: Jeżeli pochodna funkcji f w punkcie x 0 zmienia znak tzn. wykres pochodnej przecina oś OX w punkcie x 0 to x 0 jest ekstremum lokalnym funkcji f (minimum lokalnym gdy f zmienia znak z ujemnego na dodatni, max. lokalnym gdy f zmienia znak z dodatniego na ujemny ). Przykłady:. Funkcja kwadratowa f(x) = ax 2 + bx + c ma jedyne ekstremum (lokalne i globalne) w punkcie x 0 = b 2a jedynym w którym f (x) = 2ax + b = 0 i jest to maksimum jeżeli a < 0 (wtedy f rosnąca w ], b 2a [ a malejąca w ] b 2a, [, zaś minimum jeżeli a > f(x) = sin x ma ekstrema lok. we wszystkich punktach w których cos x = 0, a g(x) = cos x we wszystkich punktach x w których sin x = Funkcja g(x) = x2 ma ekstrema lokalne w x = 0 i x = 2 tam gdzie ex g (x) = x(2 x) e x = 0. W punkcie 0 funkcja ma minimum lokalne i globalne, gdyż g przyjmuje tylko wartości nieujemne, a g(0) = 0 ; w punkcie 2 ma maksimum lokalne, ale nie globalne (dlaczego?)

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznyc wykład XI dr ab. Krzysztof Barański, prof. UW dr Waldemar Pałuba Uniwersytet Warszawski rok akad. 0/3 semestr zimowy Racunek różniczkowy Pocodna funkcji

Bardziej szczegółowo

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0. Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty.

II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. Definicja 1.1. Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania

Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Definicja pochodnej Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu f (x x 0 jeśli istnieje

Bardziej szczegółowo

Ekstrema globalne funkcji

Ekstrema globalne funkcji SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2. 2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na

Bardziej szczegółowo

Granice funkcji-pojęcie pochodnej

Granice funkcji-pojęcie pochodnej Granice funkcji-pojęcie pochodnej Oznaczenie S(x 0 ) = S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie funkcja określona przynajmniej na sasiedztwie S(x 0, r) dla pewnego

Bardziej szczegółowo

11. Pochodna funkcji

11. Pochodna funkcji 11. Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f:x >R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Mówimy,

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.

Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji. Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.. Ciągi Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze N lub jego podzbiorze. Z tego względu ciągi dziey na

Bardziej szczegółowo

Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21

Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

Matematyka ZLic - 2. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych.

Matematyka ZLic - 2. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych. Matematyka ZLic -. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych. Granica ciągu Ciąg a n ma granicę właściwą g R i piszemy jeśli lim n a n g lub a n g gdy n NN n N a n g

Bardziej szczegółowo

f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x

f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x Iloraz różnicowy Niech x 0 R i niech funkcja y = fx) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Niech x oznacza przyrost argumentu x może być ujemny!). Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi: y =

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji wykład 4

Granica funkcji wykład 4 Granica funkcji wykład 4 dr Mariusz Grządziel 27 października 2008 Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t: s = gt2 2, gdzie

Bardziej szczegółowo

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

Modelowanie wybranych pojęć matematycznych. semestr letni, 2016/2017 Wykład 10 Własności funkcji cd.

Modelowanie wybranych pojęć matematycznych. semestr letni, 2016/2017 Wykład 10 Własności funkcji cd. Modelowanie wybranych pojęć matematycznych semestr letni, 206/207 Wykład 0 Własności funkcji cd. Ciągłość funkcji zastosowania Przybliżone rozwiązywanie równań Znajdziemy przybliżone rozwiązanie równania

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w

Bardziej szczegółowo

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39 Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje

Bardziej szczegółowo

Podstawy analizy matematycznej II

Podstawy analizy matematycznej II Podstawy analizy matematycznej II Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań

Bardziej szczegółowo

1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P)

1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P) Wymagania edukacyjne dla klasy IIIc technik informatyk 1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE rok szkolny 2014/2015 zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyznacza wartości

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje i ich granice

1 Funkcje i ich granice Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji. 0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()

Bardziej szczegółowo

Materiały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej

Materiały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej Materiały do ćwiczeń z matematyki Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej 3.1 Podstawowe wzory i metody różniczkowania Definicja. Niech funkcja

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Zastosowania

Pochodna funkcji. Zastosowania Pochodna funkcji Zastosowania Informatyka (sem.1 2015/16) Analiza Matematyczna Temat 3 1 / 33 Niektóre zastosowania pochodnych 1 Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości 2 Pochodna jako narzędzie

Bardziej szczegółowo

DEFINICJA. E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa

DEFINICJA. E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa 2015 Spis treści Pochodna funkcji w punkcie. Pochodna jednostronna, niewłaściwa i funkcji

Bardziej szczegółowo

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego

Bardziej szczegółowo

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,

Bardziej szczegółowo

Granice ciągów liczbowych

Granice ciągów liczbowych Granice ciągów liczbowych Obliczyć z definicji granicę ciągu o wyrazie, gdzie jest pewną stałą liczbą. Definicja: granicą ciągu jest liczba, jeśli Sprawdzamy, czy i kiedy granica rozpatrywanego ciągu wynosi

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,

Bardziej szczegółowo

Liczba godzin. Uczeń: wykres ciągu. K P 1 wyraz ciągu. wyznacza kolejne wyrazy ciągu, gdy danych jest kilka jego. początkowych wyrazów K P

Liczba godzin. Uczeń: wykres ciągu. K P 1 wyraz ciągu. wyznacza kolejne wyrazy ciągu, gdy danych jest kilka jego. początkowych wyrazów K P MATeMAtyka 3 Plan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony Oznaczenia: wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; wymagania wykraczające - dopuszczający;

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a

Bardziej szczegółowo

Funkcje dwóch zmiennych

Funkcje dwóch zmiennych Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach

Bardziej szczegółowo

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej.

Bardziej szczegółowo

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów Drugą pochodną funkcji nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji. Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej; itd. Ogólnie, -ta

Bardziej szczegółowo

Elementy matematyki, wykład 5. Pochodna funkcji. Daniel Wójcik Szymon Łęski.

Elementy matematyki, wykład 5. Pochodna funkcji. Daniel Wójcik Szymon Łęski. Elementy matematyki, wykład 5 Pochodna funkcji Daniel Wójcik Szymon Łęski d.wojcik@nencki.gov.pl s.leski@nencki.gov.pl http://www.neuroinf.pl/members/szleski/swps/ http://www.neuroinf.pl/members/danek/homepage/swps/matematyka_wyklad_html/

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Poziom wymagań. Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielomianu

Poziom wymagań. Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielomianu Plan wynikowy klasa 2g - Jolanta Pająk Matematyka 2. dla liceum ogólnokształcącego, liceum profilowanego i technikum. ształcenie ogólne w zakresie rozszerzonym rok szkolny 2015/2016 Wymagania edukacyjne

Bardziej szczegółowo

7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :

7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady : WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne. Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I

Analiza Matematyczna I Analiza Matematyczna I Informatyka, WPPT, Politechnika Wrocławska Wprowadzenie (2 godziny ćwiczeń) Pokaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzą nierówności:. a b = a b, 2. a + b a + b, 3.

Bardziej szczegółowo

< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:

< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia: Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że

Bardziej szczegółowo

K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Wymagania edukacyjne z matematyki lasa 2 a lo Zakres rozszerzony Oznaczenia: *OZNACZONE ZOSTAŁY TEMATY REALIZOWANE NA OZIOMIE ROZSZERZONYM wymagania konieczne; wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające;

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie

Bardziej szczegółowo

Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko

Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e)

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji odwrotnej

Pochodna funkcji odwrotnej Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

Roksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych

Roksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych Temat. Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych.twierdzenia o wartosci sredniej w rachunku różniczkowalnym i ich zastosowania. Roksana Gałecka 20..204 Spis treści Okreslenie

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013 Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a

Bardziej szczegółowo

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego:

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego: Podstawowe definicje Iloraz różnicowy funkcji Def. Niech funkcja będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt. Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie dla przyrostu nazywamy funkcję Pochodna

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI

FUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI FUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI Niech i oznaczają dwa dowolne niepuste zbiory. DEFINICJA (odwzorowanie zbioru (funkcja)) Odwzorowaniem zbioru w zbiór nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru dokładnie

Bardziej szczegółowo

Ciągi liczbowe. - oznacza, że a(1) = a 1, a(2) = a 2, a(n) = a n a 1, a 2, a 3, a 4,... a n a(n) a n

Ciągi liczbowe. - oznacza, że a(1) = a 1, a(2) = a 2, a(n) = a n a 1, a 2, a 3, a 4,... a n a(n) a n Ciągi liczbowe Spis treści Ciąg liczbowy Ciąg liczbowy skończony Ciąg liczbowy nieskończony Przykłady i sposoby określania ciągu, suma n początkowych wyrazów ciągu Suma n początkowych, kolejnych wyrazów

Bardziej szczegółowo

Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp

Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp Katarzyna Kluzek i Adrian Silesian Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 58 33 adrian.silesian@amu.edu.pl katarzyna.kluzek@amu.edu.pl Pokój 1.117

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Fakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych) Przy czym błąd, jaki popełniamy zastępując przyrost funkcji

Fakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych) Przy czym błąd, jaki popełniamy zastępując przyrost funkcji Wykład 5 De.5 (różniczka unkcji Niech unkcja ma pochodną w punkcie. Różniczką unkcji w punkcie nazywamy unkcję d zmiennej określoną wzorem. Fakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych Jeżeli

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 (5.11.07) Funkcja logistyczna Rozważmy funkcję logistyczną y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Funkcja f może być wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren kukurydzy (zmienna

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Pochodna funkcji jednej zmiennej Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa 4 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

Matematyka I dla DSM zbiór zadań

Matematyka I dla DSM zbiór zadań I Sumowanie skończone W zadaniach -4 obliczyć podaną sumę. Matematyka I dla DSM zbiór zadań do użytku wewnętrznego dr Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski Wydział Zarządzania. 5 i. i= 4 i 3. i= 5 ( ) i

Bardziej szczegółowo

Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce

Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce Wykład 6, pochodne funkcji Siedlce 20.12.2015 Definicja pochodnej funkcji w punkcie Niech f : (a; b) R i niech x 0 ; x 1 (a; b), x0 x1. Wyrażenie nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f między punktami

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.)

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2 wymagania edukacyjne

Matematyka 2 wymagania edukacyjne Matematyka wymagania edukacyjne Zakres podstawowy POZIOMY WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI

FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI DEFINICJA (funkcji elementarnych) Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe wykładnicze logarytmiczne trygonometryczne Funkcje, które można

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne pierwszego rzędu

1 Pochodne pierwszego rzędu Pocodne pierwszego rzędu. Podstawowe definicje Def. Niec funkcja f będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt a. Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie a dla przyrostu nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

Uczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów

Uczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów Wymagania edukacyjne PRZEDMIOT: Matematyka KLASA: III Th ZAKRES: zakres podstawowy Poziom wymagań Lp. Dział programu Konieczny-K Podstawowy-P Rozszerzający-R Dopełniający-D Uczeń: 1. Ciągi liczbowe. -zna

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j), ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki (4 godz.)

Elementy logiki (4 godz.) Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik

Bardziej szczegółowo

Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014

Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014 Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), Analiza Matematyczna I W rozwiązaniach prosimy formułować lub nazywać wykorzystywane twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski oraz

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania

Bardziej szczegółowo