Linje wpływowe. D r. in ż. P ro fe so r S ta n is ła w B elzeck i, W a rsza w a. (Artykuł nadesłany przez inż. Władysława Wachniewskiego, Chorzów).

Transkrypt

1 Str. 30 T E C H N I K Nr. 2. Linje wpływowe. D r. in ż. P ro fe so r S t n is ł w B ezeck i, W rsz w. (Artykuł ndesły przez inż. Włdysłw Wchniewskiego, Chorzów). D dowonego pręt płskiej krtownicy (rys. ). Tk hk ± Mi = 0...() W tem równiu oznczją: Tk sił w pręcie k, hk odegłość punktu i od osi pręt k, i biegun, wzgędem którego bierzemy momenty, M i moment sił, przyłożonych z prwej ub z ewej strony od pręt k, wzgędem biegun i. Przy sie ruchomej moment M, zmieni się ze zmią położeni siły ruchomej. Oznczmy odciętą punktu i przez it odciętą punktu przyłożeni ruchomej siły P przez odciętą ewego końc przedziłu, w którym znjduje się pręt k, przez b, prwego końc przez c. W njogóniejszym wypdku możemy mieć nie jedną siłę P, ecz ukłd sił P t P 2, P 3..,P połączonych niezmiennie, jk np. pociąg, wóz, wec drogowy itp. Poniewż sum momentów sił skłdowych równ jest momentowi siły wypdkowej, przeto, w niczem nie zmniejszjąc ogóności zgdnieni, możemy rozptrywć jedną tyko siłę równą wypdkowej i odegłość jej od ewej podpory oznczć będziemy przez. W prktyce kierunek ruchomych sił skłdowych połączonych niezmiennie jest prwie zwsze wspóny (kierunek pionu), więc wypdkow tych sił będzie sumą gebriczną X P sił skłdowych. gdzie jest sumą gebriczną (wypdkową) ukłdu sił, / ( ) jest pewną funkcją chrkteryzującą położenie wypdkowej wzgędem biegun i. Po podstwieniu otrzymmy: Tk = S P f hk Przyjmując oznczenie: = Yjk, otrzymmy: Tk = X P vjk Z tej osttniej równości widzimy, że funkcj r\k dje wiekość 7* przy = /. Skąd wynik, że jeżei obiczymy szereg koejnych wrtości r^. d rozmitych położeń siły 2 P =, to d otrzymi rzeczywistej siły T t w pręcie k, przy okreśonem położeniu ukłdu sił, neży rzędną i\k, odpowidjącą położeniu wypdkowej ukłdu pomnożyć przez wiekość wypdkowej 2 P. Funkcje tj* noszą nzwę funkcyj wpływowych, wykresy tych funkcyj inij wpływowych. W njogóniejszy sposób możemy zznczyć, że tj* jest funkcją, b, c tj. ij* = / (ź, en, b, c). Rozptrzmy terz płską krtownicę mostową n podporch A i B (rys. 2 ). Podpor A stł, podpor B ruchom. Poniewż krtownic znjduje się w równowdze, więc i kżd jej część wydzieon dowonie pomyśym przekrojem znjduje się w równowdze pod dziłiem sił do niej przyłożonych. Siły te będą się skłdły z sił zewnętrznych i sił zstępczych, tj. tkich, które trzeb przyłożyć do osi przeciętych prętów, by niemi zstąpić dziłie prwej odciętej części krtownicy n ewą i odwrotnie. Obiermy ukłd współrzędnych i t). Od osi odmierzć będziemy rzędne rj funkcji, którą okreśimy w sposób nstępujący: Z równi () mmy: T Mi k L, ht W njogóniejszym wypdku, gdy mmy ukłd sił połączonych niezmiennie, M; = Pf(i),

2 Nr. 2. T E C H N I K Str. 3 Zjmiemy się okreśeniem siły osiowej w pręcie czwrtym. Prowdzimy przekrój mn. Obiermy biegun w węźe II. Z wrunków równowgi ewej części krtownicy, npiszemy równie momentów: T4 + Mn + [* = 0 W równiu tem jest to sum momentów beek podłużnych i szyn jezdni. Beki podłużne i szyny są to beki ciągłe wieoprzęsłowe i przy 4 = n } i* =j= 0. Jk widomo z teorji beek ciągłych n jest funkcją trzeciego stopni w zgędem, więc ceem uproszczeni wzorów wprowdzmy złożenie, że = 0 tj., że szyny i beki podłużne skłdją się z szeregu beek wonopodprtych w węzłch A -II-IV - VI- V I/I-X -B. Przy tkiem złożeniu momenty będą funkcjmi injowemi odciętej, czyi njprostszemi ze wszystkich funkcyj wpływowych. Kik uwg wystrczy, by okreśić te funkcje d dowonego pręt dowonej płskiej krtownicy. Powróćmy do okreśeni siły osiowej w pręcie czwrtym. Zdie zwsze możemy sprowdzić do tkiego przypdku, że w równie momentów wejdzie moment jednej tyko siły zewnętrznej, miowicie, moment rekcji prwej ub ewej podpory. Rzeczywiście, jk już zznczyiśmy, ukłd sił połączonych niezmiennie sprowdzić możemy do jednej siły wypdkowej, jeżei sił t jest z ewej strony przekroju m n, to npiszemy równie momentów d prwej części krtownicy, n którą dziłją siły zstępcze w przeciętych prętch i rekcj prwej podpory. Poniewż biegun obriśmy w węźe II, w krórym przecinją się kierunki dwuch zstępczych sił w prętch $ i #, przeto w równie wejdą momenty tyko dwuch sił, z których jedn jest niewidomą siłą zstępczą w pręcie 4, drug rekcją prwej podpory. T4 Rp (/ ) = 0 Rekcj RP jest funkcją zeżną od położeni P. Biorąc sumę momentów d cłej krtownicy wzgędem ewej podpory A, otrzymmy : Rp L - P = 0 R skąd Rp = - j po podstwieniu Zkłdjąc P Y ]4 = T4 = - P hk (2) Jeżei sił jest z prwej strony przekroju m n, to npiszemy równie momentów d ewej części krtownicy: T4 + R/ = 0 Z równi momentów d cłej krtownicy wzgędem podpory B : R; + P (/ ) = 0; R/ = P ( _ --J Po podstwieniu Zkłdjąc P = 7]4 - T4 = - ii! - T Wzór 2 przy = 0 i wzór 3 przy = dją d t\4 wrtość r\4 = 0. Przy i = u ob równi dją d i\4 jedną i tę smą wrtość: Y j4 = (3) skąd wypływ wżny wniosek, że obie głęzie inji wpływowej przecinją się zwsze pod biegunem. Możemy więc zrobić wykres tej inji wpływowej (rys. 2 b). Z trójkątów inji wpływowej mmy: tg = = tg P =»]4 - tg + tgp = Otrzymiśmy osttecznie nstępujące wzory inji wpływowej: d ewej części krtownicy v = ~ T i7 _ d prwej części krtownicy»]4 Z tych wzorów widocznem jest, że przy di > 0 i, < wrtości są zwsze ujemne, skąd wniosek, że wzór ten jest słuszny d prętów I, 4, 8, 2, 6, 9 i 23 ps górnego krtownicy. Jeżei złożymy, że, < 0, czyi że,- przyjmuje wrtość ujemną,-, to z poprzednich wzorów otrzymmy: /. ^, ^ T d ewej części krtownicy < 0 /

3 Str. 32 T E C H N I K Nr. 2. d prwej części krtownicy yj* > O czyi, że funkcj wpływow zmieni znk. Nprzykłd yj* zmieni znk d pręt 5. Jeżei sił jest wewo od przekroju, to: Z + T5 h5 Rp (0 + /) d ewej części krtownicy: r h = + 2 d V + Z d prwej części krtownicy: yjt + 2 d ( -4 ) (4) (5) ' = ( ' + J r ) > Jeżei sił jest wprwo od przekroju, to: T- h. ^5 =. łu R/ = V I < 0-4 -) D dowonego krzyżuc zero funkcji yj* m odciętą, którą możemy okreśić z zeżności geometrycznej trójkątów (rys. 2 c), K, Yjb d b ( + Z) Zj = b + z; z = i ; t\b = *}b +?jc Zh (Z b-d) K V r' = T h ; z = b T ~ ' L K + b - d 0 /j = b + Z+ b d D D przypdku oc, tj. gdy dw pozostłe pręty w przekroju są równoegłe, czyi przecinją się w punkcie niewłściwym: Po okreśeniu punktu zerowogo inji wpływowej, możemy dodtnią i ujemną część inji wpływowej rozptrywć jko dwie oddziene inje wpływowe o przęsłch Zj i Z2 = Z Zt. Jk widzimy z powyższych rozwżń, gdy, znjduje się w przedzie o <, < Z, tj* zchowuje znk, gdy, znjduje się poz przedziłem 0 Z, czyi, < 0 ub, > Z, fik wogóe zmieni znk. Jeżei chcemy uniknąć prętów o zmiennym znku, musimy ndć krtownicy tki ksztłt, żeby d dowonego pręt 0 < cii < Z. Rozptrzmy terz krtownicę pokzą n Z Wykres inji wpływowej ptrz rys. 3b. Jeżei mmy już inję wpływową krzyżuc 9, to m o żemy inję wpływową słupk r 7 okreśić również z równowgi węzł IV. Biorąc sumę rzutów n oś pionową otrzymmy: gdy sił stoi w węźe IV T;) sin + T7 =, rys. 3. D okreśeni siły osiowej w słupku, np. T7, możemy zrobić przekrój pochyły «mn. obrć z biegun 0. Z równi momentów więc z wykresu inji wpływowej krzyżuc T9 wzgędem punktu 0 otrzymmy: (rys. 3 c), mnożąc jej rzędne zgodnie z równ- skąd więc T7 = T sin, yj7 = Yjn sin...(6) gdy sił znjduje się zewnątrz przedziłu II VI skąd więc d prwej Tr, sin + T7 = 0, T7 T0 sin, t]7 = Y]0 sin... (7) Poniewż d ewej części krtownicy % -) Z/ - hg + z / h

4 Nr. 2. T E C H N I K Str. 33 niem (7) przez sin, otrzymmy wykres inji wpływowej słupk T7 (rys. 3d), którą trzeb jeszcze skoregowć w przedzie II VI zgodnie z równiem (6) i dodć do rzędnej t)9 sin pod węzłem IV. Poniewż przy przesuwiu się siły = I od węzł II do IV ub od VI do IV sił w węźe IV wzrst injowo od zer do jedności, przeto prowdząc proste e f i f g otrzymmy ostteczny ksztłt inji wpływowej słupk Tj. Nie trudno udowodnić, źe punkt / eży n przedłużeniu prostej B g. Proste przeksztłcenie wykzuje identyczność tej inji wpływowej z inją wpływową otrzymą z równi momentów; rzeczywiście, np. d ewej części krtownicy: = poniewż więc sin = + sin, ho + 2 d + 2 d co jest identyczne z równiem (4) Powróćmy jeszcze do krtownicy pokzej n rys. 2. Obierjąc biegun w węźe III, otrzymmy równie momentów d pręt Tó. T6 h6 + Mm = 0, z którego d ewej części krtownicy %= d prwej części krtownicy %= m h«m' Poniewż sił = / nie może stąć w węźe III (przy urządzeniu jezdni dołem), więc łącząc inją prostą rzędne odpowidjące odciętym węzłów II i I V (rys. 2 d), otrzymmy inję wpływową pręt Tó w postci łmej A e f B. Widzimy więc, że gdy rzut biegun i eży między węzłmi jezdni, to inj wpływow nie m wierzchołk pod tkim biegunem. Odwrotnie, gdy rzut biegun eży w węźe jezdni, to inj wpływow posid wierzchołek pod biegunem, jk to mieiśmy np. d pręt T4, d którego biegunem był węzeł II neżący do jezdni. W rozptrzonych powyżej przypdkch, miowicie w pierwszym i czwrtym biegun był w gricch rzutu poziomego pręt, w drugim i trzecim biegun był poz gricmi rzutu poziomego krtownicy, neży więc jeszcze rozptrzeć przypdek, gdy biegun jest w gricch rzutu poziomego krtownicy ecz poz gricmi rzutu pręt. rp z \ / \ > r ^ 7 \ 3? rz ---- \ / \ ) JłĄ; fe 2 J V /, b) c) ^ i i P e P f f e rfłfitfujf -H4 MifUT Mmmmmm*^ R us. 4 D pręt T7 krtownicy pokzej n rys. 4 równie inji wpływowej będzie: d ewej części krtownicy d prwej części krtownicy = ht - ~ Poniewż pręt 6 jezdni jest przecięty, więc równie ewej części inji wpływowej będzie słuszne w przedzie A II, prwej w przedzie IV B. Łącząc punkty e /, otrzymmy osttecznie inję wpływową pręt T7 (rys. 4 b). Widzimy więc, że gdy biegun eży wewo od rzutu poziomego pręt, to wierzchołek inji wpływowej eży n przecięciu ewej części inji wpływowej z pionem poprowdzonym przez ewy węzeł tego pzedziłu jezdni, który zostł przecięty odpowiednim przekrojem. Gdy biegun eży wprwo od rzutu poziomego pręt, to wierzchołek będzie n przecięciu prwej części inji wpływowej z pionem poprowdzonym przez prwy węzeł przeciętego przedziłu jezdni (rys. 4 c). Neży jeszcze zwżyć, że bieguny d wszystkich prętów stowiących kontur zewnętrzny krtownicy eżą zwsze w przedzie ^ ^ o, czyi w gricch rzutu poziomego krtownicy. D prętów krty bieguny eżą R us. 5

5 Str. 34 T E C H N I K Nr. 2. wogóe poz gricmi przedłu o, ub nwet w nieskończoności, chociż mogą być wypdki, że bieguny prętów krty eżą w gricch ^ ^ o, jk to jest pokze n rys. 5. Jeżei chodzi o inję wpływową d momentu gnącego w dowonym przekroju beki wonopodprtej, to, poniewż biegun obry w tym przekroju eży w gricch rzutu beki, więc wierzchołek inji wpływowej eży pod biegunem i inj wpływow m zwsze postć trójkąt (rys. 6). m Te b0 T5 h5 + Mi 0; T- = (Te h6 - Mi) h s Nstępnie obierzemy biegun w węźe III. Te h 6 + Mm = 0; T0 po podstwieniu T, = - *)5 = h,-. Mm III hę h 6 he h «Mm h MiJ; ^MI Linję wpływową t\s otrzymmy jko różnicę rzędnych dwuch inij wpływowych h6. (\m iii i f\mi pomnożoną przez u p=/... i /,. / - Rzędn wierzchołkow: -f f) fuftw -r-r-mthnt _4 = Gdybyśmy zmienii w sposób ciągły, to mximum rj = będzie przy = Wierzchołki inji wpływowej d momentu gnącego, eżą n prboi drugiego stopni. Gdy biegun eży poz gricmi krtownicy, możemy zdie sprowdzić do tkiego przypdku, że biegun pozostie w gricch / ^ ^ o. "SLI ]Tt I I I ILL!XUX" B H i i r ó TrTT7TTnTrmTn^_ Rus. 8. Rozptrzmy jeszcze przypdek, że długość beki jest większą od odegłości pomiędzy podpormi. Beki tkie noszą nzwę beek wspornikowych, części, i 3 wsporników (rys. 8 ). Jeżei zmieni się w gricch ^ i ^ o, to d dowonego pręt krtownicy funkcje tj* są nm widome. Poniewż wsporniki stowią jedną cłość ze środkową częścią beki, yj* jest injową funkcią i, więc by otrzymć inję wpływową beki wspornikowej wystrczy przedłużyć skrjne odcinki inji wpływowej do przecięci się z injmi prostopdłerni poprowdzonemi przez końce wsporników. Jest zupełnie oczywistem, że d otrzymi rzędnych inji wpływowej n wspornikch będziemy korzystć ze wzorów otrzymych d beki zwykłej o rozpiętości /. D przykłdu rozptrzmy inję wpływową momentu gnącego i dowonego pręt beki dwuwspornikowej. Równie inji wpływowej momentu gnącego M i będzie: wewo od przekroju i Nprzykłd d okreśeni t\s (rys. 7) obierzemy biegun w węźe I. ^]m

6 Nr. 2. T E C H N I K Str. 35 wprwo od przekroju i "fjm Przy ukłdzie złożonym z kiku beek, jk np. jednej beki dwuwspornikowej i dwuch przy? = / przy i = t + U, k]m = iqm = /i j j U ~ T Ten sm rezutt otrzymmy obiczjąc moment gnący d przekroju i w złożeniu że ruchom sił = stoi w punkcie C, czyi przy = Rzeczywiście: *)mc = (/t + ) + R ; RA - - Ł - + I _, + 4, co zresztą odrzu jest widocznem z wykresu inji wpływowej d rekcji R (rys. 8 c). podstwieniu, otrzymmy ' + 4 = - k i m Po -Z L_ ka K y s j nnm^ beek podwieszonych (rys. 0), dosttecznie połączyć punkty d e i / g, by otrzymć inję wpływową d cłego ukłdu. I min^ 5 ti s ł s? J j ^ < / P T. -A irtiiiwrimn i: -^nmtttimnmff Rus //. Anogicznie, gdy sił = stie w punkcie D : f]md = L Równie inji wpływowej pręt k w złożeniu że < 0 : d części krtownicy w prwo od przekroju m ti?jk przy i = t = /j + T /, przy i = + /2, Tjk = p -, d dowonego d d części krtownicy w ewo od przekroju nin odcinki e f i g h są przedłużeniem inji wpływowej w przedzie /4 5. N rys. pokze są inje wpływowe trzech prętów przęsł środkowego tkiego ukłdu złożonego. Pręt 4. Pręt 5. Pręt 6. Tu hł4 Rp (/ vm) = 0 i < ri; >),. = - jf- I - v ' n 4 / Tu h,4 + R/ vm = 0 e > v,n; i,. = - U r Tis h6 Rp (/ ) = 0 f ^ * «< ; iis = u t 6 5 hni5 + R/ = 0 > ; ^5 = his Tio h6 Rp (/ yn) = 0 < Vn; nj5 = r - nie i vn T,g h0 + R/ vn = 0

7 Str. 36 T E C H N I K Nr. 2. > Vn; V]6 vn fiie Przytoczone rozwżi i przykłdy wyczerpują zgdnienie o injch wpływowych njprostszych ukłdów sttycznie wyznczych. Rozptrywiśmy powyżej przypdek obciążeni siłą skupioną, obecnie weźmiemy pod uwgę obciążenie ciągłe nierównomierne, które jest pewną funkcją odciętej x, p = f (x). Moment w przekroju i w odegłości od ewej podpory (rys. 2) będzie: Mi = R x) d x - '«< ( gdzie w poe inji wpływowej. Ciężr włsny krtownicy jest funkcią ;, więc może być ujęty wzorem (8). W prktyce ciężr włsny krtownicy przyjmują równomiernie rozłożony. / 2, ft S i! * 7 ^ i. i " ^ * i R3 ł* * i i ' T : * Rus. 3.? 3 / c t * Przy okreśeniu sił w prętch ub momentów gnących zpomocą inij wpływowych, trzeb ruchomy ukłd sił ustwić w sposób njbrdziej niekorzystny. jest, że T = i! Pk % = ^ Ri Z rys. 3 widocznem Przy przesunięciu ukłdu sił o A X sił T otrzymuje przyrost i T = R[ i 7]) + R2 i % + R3 A vj3 + R4 A yj4 Rekcję R okreśimy z równi momentów wzgędem prwej podpory B. R ^ f (x) (/ x) d x = 0; R = 4 ~ J Po podstwieniu: M ^ ~ x) d x Mi = - J f ( x ) ( /- x ) d x ^ f(x )( x) dx = = [ f ( Z ) - f () - f ~\ - { (x)(2z x) dx + + ^ f (x) (2 - x) y d x.,.. (8) Jeżei p = const., czyi obciążenie jest równomierne, to / (x ) = 0 p Mi = Z = pro, A Tji = A x tg s A T = A x [Rj tg x + R2 tg, - R8 tg 3 - R4 tg j A T = A x 2 Ri tg ; kryterjum njniekorzystniejszego ustwieni jest zmi znku przyrostu A T, co jest możiwe tyko nskutek zmi wiekości Ri. Siły osiowe w prętch krtownicy, potrzebne do okreśeni przekrojów prętów, obiczmy zpomocą wzoru: S = p (Wx w 2) + T p obciążenie równomierne n jednostkę długości w, dodtnie poe inji wpływowej W ujemne poe inji wpływowej T sił od obciążeni ruchomym ukłdem sił skupionych.