2. Charakterystyki geometryczne przekroju

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "2. Charakterystyki geometryczne przekroju"

Transkrypt

1 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1.. Charakterystyki geometryczne przekroju.1 Podstawowe definicje Z przekrojem pręta związane są trzy wielkości fizyczne nazywane charakterystykami geometrycznymi przekroju. Służą one na przykład do wyznaczenia naprężeń w prętach poddanych działaniu siły osiowej, momentu zginającego, siły tnącej oraz momentu skręcającego. Rysunek.1 przedstawia dowolny przekrój pręta wraz ze związanym z nim układem współrzędnych YZ. Elementarne pole powierzchni d posiada współrzędne y oraz z. Y z d y Z Rys..1. Przekrój pręta. Pierwszą wielkością charakteryzującą przekrój pręta jest pole powierzchni. Definicja tej wielkości ma postać d. (.1) Jednostką pola powierzchni w układzie SI jest m. W budownictwie najczęściej używa się cm. Pole powierzchni jest zawsze większe od zera. Drugą wielkością charakteryzującą przekrój pręta jest moment statyczny. Definicje momentu statycznego względem osi Y S Y oraz względem osi Z S Z mają postać S Y z d, S Z (.) y d. (.) Jednostką momentu statycznego jest m. W budownictwie najczęściej używa się cm. Moment statyczny może przyjmować wartości dodatnie, ujemne oraz zero. W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater

2 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU Trzecią wielkością charakteryzującą przekrój pręta jest moment bezwładności. Definicje momentów bezwładności względem osi Y I Y oraz względem osi Z I Z (są to tak zwane osiowe momenty bezwładności) mają postać I Y z d, I Z (.4) y d. (.5) Oprócz osiowych momentów bezwładności istnieje jeszcze moment dewiacyjny. Jego definicja ma postać I YZ y z d. (.6) Jednostką momentu bezwładności jest m 4. W budownictwie najczęściej używa się cm 4. Osiowe momenty bezwładności przyjmują zawsze wartości dodatnie, natomiast moment dewiacyjny może być dodatni, ujemny lub równy zero. Osiowe momenty bezwładności są pewną miarą rozproszenia przekroju względem danej osi. Im osiowy moment bezwładności jest większy tym rozproszenie przekroju jest większe. Wartość bezwzględna momentu dewiacyjnego jest miarą asymetrii przekroju względem przyjętego układu współrzędnych. Łatwo zauważyć, że jeśli jedna z osi układu współrzędnych jest osią symetrii to moment dewiacyjny względem tego układu wynosi zero. Przedstawia to rysunek.. Y Oś symetrii d d z y -y Rys... Przekrój pręta z jedną osią symetrii. Z Oś środkowa jest to oś, względem której moment statyczny wynosi zero. Środek ciężkości jest to punkt przecięcia dwóch dowolnych osi środkowych. W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater

3 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU Chcąc wyznaczyć współrzędne y C, z C środka ciężkości SC obieramy dowolny układ współrzędnych YZ. Przedstawia to rysunek.. Y d z 0 z C SC Z z y 0 y C y Rys... Wyznaczenie środka ciężkości przekroju. Współrzędne elementarnego pola powierzchni d w układzie osi środkowych wynoszą y 0 = y y C, (.7) z 0 =z z C. (.8) Momenty statyczne względem osi oraz wynoszą (y C oraz z C traktujemy jako stałą) S Y0 S Z0 z 0 d z z c d y 0 d y y c d z d z C d, (.9) y d y C d. (.10) Wzory.9 i.10 po przekształceniu i uwzględnieniu faktu, że moment statyczny względem osi środkowej wynosi zero będą miały postać S Y0 =S Y z C =0, (.11) S Z0 =S Z y C =0. (.1) Ostatecznie współrzędne środka ciężkości wynoszą W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater

4 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 4 z C = S Y, (.1) y C = S Z. (.14) Jeżeli przekrój składa się z n części o znanych polach powierzchni i oraz współrzędnych środków ciężkości y i i z i to współrzędne środka ciężkości oblicza się ze wzorów z C = S i z i Y = i=1 n i i=1 n, (.15) y C = S i y i Z = i=1 n i i=1 n. (.16) Oczywiście jeżeli przekrój posiada oś symetrii to środek ciężkości musi znajdować się na niej. W przekroju posiadającym dwie osie symetrii środek ciężkości znajduje się w punkcie ich przecięcia.. Momenty bezwładności przy przesunięciu układu współrzędnych Załóżmy, że znane są momenty bezwładności w układzie osi środkowych. Poszukujemy momentów bezwładności w dowolnym układzie YZ. Współrzędne środka ciężkości przekroju w układzie YZ wynoszą y P oraz z P. Przedstawia to rysunek.4. Moment bezwładności względem osi Y zgodnie z definicją wyrażoną przez wzór (.4) wynosi I Y Po rozwinięciu wyrażenia w nawiasie wzór.17 będzie miał postać z d z 0 z P d. (.17) I Y z 0 z 0 z P z P d. (.18) W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater

5 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 5 Całkę z sumy zamieniamy na sumę całek. Wzór.18 będzie miał postać (z P traktujemy jako stałą) I Y z 0 d z P z 0 d z P d. (.19) Y d z 0 z P SC Z z y 0 y P y Rys..4. Wyznaczenie momentów bezwładności przy przesunięciu układu współrzędnych.. Interpretując poszczególne całki otrzymano I Y =I Y0 z P S Y0 z P. (.0) Ponieważ oś jest osią środkową więc moment statyczny względem tej osi S Y0 wynosi zero. Ostatecznie wzór na obliczenie momentu bezwładności I Y będzie miał postać I Y =I Y0 z P. (.1) nalogicznie wzór na obliczenie momentu bezwładności I Z będzie miał postać I Z =I Z0 y P, (.) W celu wyznaczenia momentu dewiacyjnego wykorzystano definicję według wzoru (.6). I YZ y z d y 0 y P z 0 z P d. (.) W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater

6 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 6 Po rozwinięciu wyrażeń w nawiasach wzór. będzie miał postać I YZ y 0 z 0 y 0 z P z 0 y P y P z P d. (.4) Całkę z sumy zamieniamy na sumę całek. Wzór.4 będzie miał postać (y P oraz z P taktujemy jako stałe) I YZ y 0 z 0 d z P Interpretując poszczególne całki otrzymano y 0 d y P z 0 d y P z P d. (.5) I YZ =I Y0Z0 z P S Z0 y P S Y0 y P z P. (.6) Ponieważ osie oraz są osiami środkowymi więc momenty statyczne względem tych osi S Y0 oraz S Z0 wynoszą zero. Ostatecznie wzór na obliczenie momentu bezwładności I YZ będzie miał postać I YZ =I Y0Z0 y P z P. (.7) Wzory.1,. oraz.7 noszą nazwę wzorów Steinera i są podstawowymi wzorami służącymi do obliczania momentów bezwładności dowolnego przekroju względem dowolnego układu współrzędnych.. Momenty bezwładności przy obrocie układu współrzędnych Zakładamy, że znamy momenty bezwładności w układzie YZ. Szukamy momentów bezwładności w układzie Y`Z` obróconym o kąt a. Dodatni kąt jest zgodny z obrotem osi Y w kierunku osi Z. Przedstawia to rysunek.5. Współrzędne elementarnego pola powierzchni d w układzie Y`Z` opisują wzory transformacyjne, które mają znaną postać y '= y cos z sin, (.8) z '= y sin z cos. (.9) Korzystając z definicji momentu bezwładności względem osi Y` otrzymano I Y ' z ' d y sin z cos d. (.0) W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater

7 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 7 Y y` a z` z Y` d y Z Z` Rys..5. Przekrój z obróconym układem współrzędnych Y`Z`. Rozwijając wyrażenie w nawiasie wzór (.0) będzie miał postać I Y ' y sin y z sin cos z cos d. (.1) Ponieważ sinus i cosinus kąta a są stałe możemy wyciągnąć je przed znak całki. Zapisując całkę sumy jako sumę całek wzór (.1) przybierze postać I Y ' =sin y d sin cos y z d cos z d. (.) Interpretując poszczególne całki wzór (.) będzie miał postać I Y ' =sin I Z sin cos I YZ cos I Y. (.) Wprowadzając funkcje kąta a, które mają postać sin = 1 1 cos, (.4) cos = 1 1 cos, (.5) sin cos =sin, (.6) otrzymano ostateczną postać wzoru transformacyjnego. W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater

8 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 8 I Y ' = I I Y Z I I Y Z cos I YZ sin. (.7) Postępując analogicznie otrzymano następujące wzory transformacyjne I Z ' = I I Y Z I I Y Z cos I YZ sin, (.8) I Y ' Z ' = I Y I Z sin I YZ cos. (.9).4 Główne momenty bezwładności Istnieje pewien wyróżniony układ współrzędnych, w którym osiowe momenty bezwładności przyjmują wartości ekstremalne, a moment dewiacyjny znika. Taki układ nazywamy układem głównych osi bezwładności, a momenty osiowe w tym układzie głównymi momentami bezwładności. Kąt, który określa położenie głównych osi bezwładności wyznacza się ze wzoru tg gl = I YZ I Y I Z. (.40) Wstawiając wartość kąta a gl do wzorów transformacyjnych (.7) i (.8) otrzymamy wzory na obliczenie momentów głównych w postaci I Ygl = I I Y Z I I Y Z cos gl I YZ sin, gl (.41) I Zgl = I I Y Z I I Y Z cos gl I YZ sin. gl (.4) Główne momenty możemy uporządkować tak aby I I =max{ I Ygl I Zgl, (.4) I II =min{ I Ygl I Zgl. (.44) Momenty I I oraz I II można wyznaczyć także z następujących wzorów ( można je wykorzystać do sprawdzenia obliczeń głównych momentów bezwładności) W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater

9 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 9 I I = I I Y Z I I Y Z, I YZ (.45) I I = I I Y Z I I Y Z. I (.46) YZ.5 Niezmienniki Niezmiennikiem nazywamy taką wielkość fizyczną, która nie zmienia swojej wartości przy obrocie układu współrzędnych. W przypadku charakterystyk geometrycznych mamy dwie takie wielkości. Pierwszy niezmiennik ma postać sumy momentów osiowych. Wynosi on odpowiednio w dowolnym układzie współrzędnych i w układzie osi głównych J 1 =I Y I Z =I Ygl I Zgl. (.47) Drugi niezmiennik w dowolnym układzie współrzędnych oraz w układzie osi głównych wynosi (moment dewiacyjny w układzie osi głównych równa się zero) J =I Y I Z I YZ =I Ygl I Zgl. (.48).6 Momenty bezwładności prostokąta Jako przykład zostanie wyznaczony moment bezwładności względem osi przekroju prostokątnego o szerokości b i wysokości h. Oczywiście środek ciężkości znajduje się w środku wysokości i szerokości prostokąta. Przedstawia to rysunek.6. b b h d z 0 dz 0 h h b Rys..6. Przekrój prostokątny. W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater

10 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 10 Elementarne pole d wynosi d=b dz 0. (.49) Moment bezwładności względem osi zgodnie z definicją będzie wynosił I Y0 h z 0 d z 0 b dz 0 =b z 0 dz. 0 (.50) h h h Ostatecznie wartość momentu bezwładności będzie miał wartość I Y0 =b [ z h 0 =b ] [ h h 4 4] h = b h 1. (.51) nalogicznie moment bezwładności względem osi będzie wynosił I Z0 = h b 1. (.5) Ogólnie osiowe momenty bezwładności prostokąta względem osi środkowych będą miały postać wymiarrównoległydo osi wymiar prostopadły do osi I oś = 1. (.5) Ponieważ osie oraz są osiami symetrii to moment dewiacyjny prostokąta będzie wynosił zero..7 Momenty bezwładności innych figur Położenie środka ciężkości trójkąta prostokątnego o wymiarach przyprostokątnych b i h przedstawia rysunek.7. Momenty osiowe bezwładności trójkąta prostokątnego wynoszą I Y0 = b h 6, (.54) I Z0 = h b 6. (.54) W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater

11 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 11 h h h b b b Rys..7. Przekrój w formie trójkąta prostokątnego. Ogólnie osiowe momenty bezwładności trójkąta prostokątnego względem osi środkowych będą miały postać wymiarrównoległydo osi wymiar prostopadły do osi I oś = 6. (.56) Osie i nie są osiami głównymi dla trójkąta prostokątnego więc moment dewiacyjny będzie różny od zera. Jego wartość bezwzględną oblicza się ze wzoru I Y0Z0 = b h 7. (.57) h h h b b b Rys..8. Trójkąt prostokątny z zaznaczonym większym polem powierzchni w ćwiartkach ujemnych. W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater

12 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1 Znak momentu dewiacyjnego ustala się na podstawie położenia trójkąta prostokątnego w układzie współrzędnych. Na rysunku.8 została zaznaczona większa część przekroju trójkąta. Część ta znajduje się w ćwiartkach, w których wyrażenie y 0z 0d jest ujemne (będą to tak zwane ćwiartki ujemne) więc moment dewiacyjny trójkąta ma wartość ujemną. W przypadku innego usytuowania trójkąta w układzie współrzędnych znak momentu dewiacyjnego należy ustalić w zależności od położenia większej części przekroju. W przypadku przekroju kołowego o promieniu R środek ciężkości znajduje się oczywiście w środku koła. Osiowe momenty bezwładności w układzie osi środkowych wynoszą I Y0 =I Z0 = R4 4. (.58) Moment dewiacyjny przekroju kołowego wynosi oczywiście zero. R Rys..9. Przekrój kołowy..10. W przypadku przekroju będącego połową koła położenie środka ciężkości zostało pokazane na rysunku Oś symetrii R 4 R Rys..10. Przekrój będący połową koła. Osiowe momenty bezwładności wynoszą W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater

13 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1 I Y0 = R4 =0,1098 R 4, (.59) I Z0 = R4 =0,97 R 4. (.60) 8 Moment dewiacyjny wynosi oczywiście zero. Położenie środka ciężkości w przekroju będącego ćwiartką koła o promieniu R przedstawione zostało na rysunku.11. R 4 R 4 R Rys..11. Przekrój będący ćwiartką koła. Osiowe momenty bezwładności wynoszą I Y0 =I Z0 =0,05488 R 4. (.61) Wartość bezwzględna momentu dewiacyjnego wynosi I Y0Z0 =0,01647 R 4. (.6) 4 R 4 R Rys..1. Przekrój będący ćwiartką koła z zaznaczonym większym polem powierzchni w ćwiartkach dodatnich. W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater

14 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 14 Znak momentu dewiacyjnego ustala się podobnie jak dla przekroju trójkątnego. Większą część przekroju przedstawia rysunek.1. W tym przypadku większa część przekroju znajduje się w ćwiartkach dodatnich więc moment dewiacyjny będzie dodatni..8 Przekroje walcowane Osobną grupę prętów stanowią pręty wykonane z kształtowników walcowanych. Charakterystyki tego typu przekrojów znajdują się w Tablicach do projektowania konstrukcji metalowych. Istnieje wiele rodzajów tego typu przekrojów. Poniżej zostaną przedstawione podstawowe typy. 1. Dwuteownik. Wygląd przekroju oraz wielkości potrzebne do wyznaczenia charakterystyk geometrycznych przedstawia rysunek.1. Rys..1. Przekrój dwuteowy. Poziome elementy nazywamy półkami natomiast pionowy element nazywany jest środnikiem..połówka dwuteownika. Wygląd przekroju oraz wielkości potrzebne do wyznaczenia charakterystyk geometrycznych przedstawia rysunek.14..ceownik. Wygląd przekroju oraz wielkości potrzebne do wyznaczenia charakterystyk geometrycznych przedstawia rysunek Kątownik równoramienny. Wygląd przekroju oraz wielkości potrzebne do wyznaczenia charakterystyk geometrycznych przedstawia rysunek.16. Dla grubości półki,0 mm odczytąc należy wartości górne a dla 4,0 mm dolne. 5.Kątownik nierównoramienny. Wygląd przekroju oraz wielkości potrzebne do wyznaczenia charakterystyk geometrycznych przedstawia rysunek.17. Dla grubości półki 5,0 mm odczytując należy wartości górne a dla 6,0 mm dolne. W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater

15 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 15 Rys..14. Połówka dwuteownika. Rys..15. Przekrój ceowy. Rys..16. Kątownik równoramienny. W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater

16 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 16 Rys..17. Kątownik nierównoramienny..9 Momenty bezwładności w klasycznym układzie XY W wielu podręcznikach charakterystyki geometryczne są wyznaczone w układzie XY, który został przedstawiony na rysunku.18. Y d y X x Rys..18. Przekrój w klasycznym układzie współrzędnych XY. Definicje momentu statycznego względem osi X i Y mają postać S X y d, (.6) S Y x d. (.64) W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater

17 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 17 Definicje momentu bezwładności mają postać I X y d, I Y x d, (.65) (.66) I YZ x y d. (.67) Położenie środka ciężkości oblicza się ze wzorów x C = S Y, (.68) y C = S X. Jeżeli przekrój składa się z n części o znanych polach powierzchni i oraz współrzędnych środków ciężkości x i i y i to współrzędne środka ciężkości oblicza się ze wzorów x C = S i x i Y = i=1 n i i=1 n, (.69) y C = S i y i X = i=1 n i i=1 n. (.70) Twierdzenie Steinera będzie miało postać I X =I X0 y P, (.71) I Y =I Y0 x P, (.7) I XY =I X0Y0 x P y P. (.7) W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater

18 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 18 We wzorach (.71), (.7) i (.7) I X0, I Y0 i I X0Y0 oznaczają momenty względem osi środkowych, x P i y P oznaczają współrzędne środka ciężkości w układzie XY. Wzory transformacyjne będą miały postać I X ' = I I X Y I I X Y cos I XY sin, I Y ' = I I X Y I I X Y cos I XY sin, (.74) (.75) I X ' Y ' = I X I Y sin I XY cos. (.76) Kąt nachylenia osi głównych oblicza się ze wzoru tg gl = I XY I X I Y. (.77) Wartości głównych momentów bezwładności oblicza sięze wzorów I Xgl = I I X Y I I X Y cos gl I XY sin, gl (.78) I Ygl = I I X Y I I X Y cos gl I XY sin. gl (.79) Do sprawdzenia obliczeń można zastosować następujące wzory I I = I I X Y I I X Y, I XY (.80) I I = I I X Y I I X Y. I (.81) XY Wartości niezmienników w dowolnym układzie współrzędnych oraz w układzie osi głównych będą wynosiły J 1 =I X I Y =I Xgl I Ygl (.8) W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater

19 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 19 J =I X I Y I XY =I Xgl I Ygl (.8).10 Przykłady liczbowe.10.1 Przekrój blachownicowy - dwuteowy Wyznaczyć główne momenty bezwładności I Ygl oraz I Zgl przekroju pokazanego na rysunku.19. Wszystkie wymiary są podane w centymetrach. 1,0 8,0,0 9,0,0 Rys..19. Przekrój blachownicowy dwuteowy. Ponieważ przekrój dwuteowy posiada dwie osie symetrii środek ciężkości znajduje się w punkcie przecięcia się obu osi symetrii. Przedstawia to rysunek.0. W celu wyznaczenia środka ciężkości przekrój został podzielony na trzy figury składowe. Wszystkie figury są prostokątami. Zostało to przedstawione na rysunku.1. Współrzędne środków ciężkości poszczególnych figur składowych wynoszą y 01 =0,0 cm y 0 =0,0 cm y 0 =0,0 cm z 01 = 15,0 cm z 0 =0,0 cm z 0 = 15,0 cm. (.84) W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater

20 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 0 1,0 16,0,0 16,0 8,0 9,0,0 4,5 4,5 Rys..0. Położenie środka ciężkości przekroju dwuteowego.,0 1 1,0 15,0 = 15,0 8,0 =1 = = 9,0,0 Rys..1. Podział dwuteownika na figury składowe. W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater

21 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1 Momenty bezwładności względem osi oraz wynoszą 9,0,0 I Y0 = 15,0 9,0,0 1 1,0 8,0 0,0 1,0 8,0 1 9,0,0 15,0 9,0,0=9941 cm 4 1, (.85),0 9,0 I Z0 = 0,0 9,0,0 1 8,0 1,0 0,0 1,0 8,0 1,0 9,0 0,0 9,0,0=45, cm 4 1. (.86) Ze względu na to, że osie oraz są osiami symetrii przekroju dwuteowego moment dewiacyjny wynosi zero. Skoro więc moment dewiacyjny równa się zero to można wyciągnąć wniosek, że osie i są głównymi osiami bezwładności..10. Przekrój blachownicowy - teowy Wyznaczyć główne momenty bezwładności I Ygl oraz I Zgl przekroju pokazanego na rysunku.. Wszystkie wymiary są podane w centymetrach. 9,0,0 1,0 8,0 Rys... Przekrój blachownicowy teowy. W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater

22 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU Ponieważ przekrój teowy posiada jedną oś symetrii środek ciężkości znajduje się na tej osi. W ten sposób znamy współrzędną y C środka ciężkości. Chcąc wyznaczyć współrzędną z C środka ciężkości został obrany układ współrzędnych YZ. Przedstawia to rysunek.. Przekrój został podzielony na dwie figury składowe. Obie figury są prostokątami. Y 9,0 1,0,0 1 1,0 16,0 8,0 Z= =1 = Rys... Położenie środków ciężkości poszczególnych figur. Współrzędne środków ciężkości poszczególnych figur w układzie YZ wynoszą y 1 =0,0 cm z 1 =1,0 cm y =0,0 cm z =16,0 cm. (.87) Współrzędna z C środka ciężkości wynosi z C = 9.0,0 1,0 8,0 1,0 16,0 =10,1 cm 9.0,0 8,0 1,0. (.88) Rysunek.4 przedstawia przekrój z zaznaczonym układem osi środkowych. Współrzędne środków ciężkości poszczególnych figur w układzie wynoszą y 01 =0,0 cm z 01 = 9,1 cm y 0 =0,0 cm z 0 =5,87 cm. (.89) W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater

23 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 9,0,0 1 9,1 5,87 8,0 1,0 =1 = Rys..4. Przekrój teowy z zaznaczonym układem osi środkowych. Momenty bezwładności w układzie wynoszą 9,0,0 I Y0 = 9,1 9,0,0 1 1,0 8,0 5,87 1,0 8,0=401 cm 4 1, (.90),0 9,0 I Z0 = 0,0 9,0,0 1 8,0 1,0 0,0 1,0 8,0=1,8 cm 4 1. (.91) Ze względu na to, że oś jest osią symetrii przekroju teowego moment dewiacyjny wynosi zero. Skoro więc moment dewiacyjny równa się zero to można wyciągnąć wniosek, że osie i są głównymi osiami bezwładności..10. Zastosowanie twierdzenia Steinera Dany jest moment bezwładności przekroju będącego ćwiartką koła względem osi Y 1. Wyznaczyć moment bezwładności względem osi Y. Przekrój został przedstawiony na rysunku.5. W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater

24 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 4 I 1 = R4 8 (.9) Y R 4 R Y 1 =Z 1 =Z Rys..5. Przekrój będący ćwiartką koła. Zgodnie z twierdzeniem Steinera moment bezwładności względem osi Y 1 wynosi I Y1 =I Y0 z 1 (.9) Współrzędna z 1 środka ciężkości przekroju w układzie Y 1Z 1 wynosił z 1 = 4 R (.94) Ostatecznie moment bezwładności względem osi Y 1 wynosi I Y1 = R4 8 =I R Y0 4 R (.95) Moment bezwładności względem osi środkowej wynosi I Y0 = R4 (.96) Moment bezwładności względem osi Y wynosi (z jest współrzędną środka ciężkości przekroju w układzie Y Z ) I Y =I Y0 z = R 9 R4 R R (.97) W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater

25 . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 5 W. Bernat,. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki,. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak, lmamater

2. Charakterystyki geometryczne przekroju

2. Charakterystyki geometryczne przekroju . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1.. Charakterystyki geometryczne przekroju.1 Podstawowe definicje Z przekrojem pręta związane są trzy wielkości fizyczne nazywane charakterystykami geometrycznymi

Bardziej szczegółowo

Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym

Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym Przykład 4.1. Ściag stalowy Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym rysunku jeśli naprężenie dopuszczalne wynosi 15 MPa. Szukana siła P przyłożona jest

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204 1 DZIAŁ PROGRAMOWY V. PODSTAWY STATYKI I WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

Bardziej szczegółowo

9. Mimośrodowe działanie siły

9. Mimośrodowe działanie siły 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 1 9. 9. Mimośrodowe działanie siły 9.1 Podstawowe wiadomości Mimośrodowe działanie siły polega na jednoczesnym działaniu w przekroju pręta siły normalnej oraz dwóc momentów zginającyc.

Bardziej szczegółowo

Przykład 4.2. Sprawdzenie naprężeń normalnych

Przykład 4.2. Sprawdzenie naprężeń normalnych Przykład 4.. Sprawdzenie naprężeń normalnych Sprawdzić warunki nośności przekroju ze względu na naprężenia normalne jeśli naprężenia dopuszczalne są równe: k c = 0 MPa k r = 80 MPa 0, kn 0 kn m 0,5 kn/m

Bardziej szczegółowo

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A Przykład 1.4. Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, kołowy, ze ściągiem. Łuk obciążony jest obciążeniem stycznym do łuku, o stałej gęstości na jednostkę długości

Bardziej szczegółowo

PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU

PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU PROGRAM PROP3 (06.91) Autor programu: Zbigniew Marek Michniowski Program do wyznaczania charakterystyki geometryczno-wytrzymałościowej przekroju złożonego z kształtowników walcowanych oraz elementów o

Bardziej szczegółowo

Tra r n a s n fo f rm r a m c a ja a na n p a rę r ż ę eń e pomi m ę i d ę zy y uk u ł k a ł d a am a i m i obr b ó r cony n m y i m

Tra r n a s n fo f rm r a m c a ja a na n p a rę r ż ę eń e pomi m ę i d ę zy y uk u ł k a ł d a am a i m i obr b ó r cony n m y i m Wytrzymałość materiałów Naprężenia główne na przykładzie płaskiego stanu naprężeń 1 Tensor naprężeń Naprężenia w stanie przestrzennym: τ τxz τ yx τ yz τzx τzy zz Układ współrzędnych jest zwykle wybrany

Bardziej szczegółowo

TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA SKIEROWANEGO

TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA SKIEROWANEGO TRYGONOMETRIA Trygonometria to dział matematyki, którego przedmiotem badań są związki między bokami i kątami trójkątów oraz tzw. funkcje trygonometryczne. Trygonometria powstała i rozwinęła się głównie

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW (POWYM)

PODSTAWY WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW (POWYM) PODSTAWY WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW (POWYM) Automatyka i Robotyka Sem. 3 Dr inŝ. Anna DĄBROWSKA-TKACZYK (4,, 8, 5) X; (8, 3,, 9) XI; (6, 3, 0), XII; (3, 0, 7, 4) I 3 XI (wtorek) zamiast 5 XI (czwartek) Dzień

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM Zespól Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych w Ciechanowcu 23 czerwca 2017r. Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM Strona 1 z 9 1. Geometria płaska trójkąty zna

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI. Do Nauczyciela Regulamin konkursu Zadania

SPIS TREŚCI. Do Nauczyciela Regulamin konkursu Zadania SPIS TREŚCI Do Nauczyciela... 6 Regulamin konkursu... 7 Zadania Liczby i działania... 9 Procenty... 14 Figury geometryczne... 19 Kąty w kole... 24 Wyrażenia algebraiczne... 29 Równania i nierówności...

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM LICZBY, WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE umie obliczyć potęgę o wykładniku naturalnym; umie obliczyć

Bardziej szczegółowo

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,

Bardziej szczegółowo

Stożkiem nazywamy bryłę obrotową, która powstała przez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z jego przyprostokątnych.

Stożkiem nazywamy bryłę obrotową, która powstała przez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z jego przyprostokątnych. 1.4. Stożek W tym temacie dowiesz się: jak obliczać pole powierzchni bocznej i pole powierzchni całkowitej stożka, jak obliczać objętość stożka, jak wykorzystywać własności stożków w zadaniach praktycznych.

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

4. Czyste zginanie. 4.1 Podstawowe definicje M P. Rys. 4.1. Moment statyczny siły względem punktu.

4. Czyste zginanie. 4.1 Podstawowe definicje M P. Rys. 4.1. Moment statyczny siły względem punktu. 4. CZYSTE ZGINNIE 1 4. 4. Czyste zginanie 4.1 odstawowe definicje Momentem M siły względem punktu O nazywamy iloczyn wektorowy wektora wodzącego r oraz wektora siły. M= r. (4.1) Wektor r jest promieniem

Bardziej szczegółowo

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie

Bardziej szczegółowo

Charakterystyki geometryczne figur płaskich. dr hab. inż. Tadeusz Chyży Katedra Mechaniki Konstrukcji

Charakterystyki geometryczne figur płaskich. dr hab. inż. Tadeusz Chyży Katedra Mechaniki Konstrukcji Charakterstki geometrczne figur płaskich dr hab. inż. Tadeusz Chż Katedra Mechaniki Konstrukcji Wielkości geometrczne charakterzujące przekrój pod względem wtrzmałościowm to: pole przekroju (A), (ang.

Bardziej szczegółowo

Informacje ogólne. Rys. 1. Rozkłady odkształceń, które mogą powstać w stanie granicznym nośności

Informacje ogólne. Rys. 1. Rozkłady odkształceń, które mogą powstać w stanie granicznym nośności Informacje ogólne Założenia dotyczące stanu granicznego nośności przekroju obciążonego momentem zginającym i siłą podłużną, przyjęte w PN-EN 1992-1-1, pozwalają na ujednolicenie procedur obliczeniowych,

Bardziej szczegółowo

str 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE ( ) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk

str 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE ( ) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk str 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE (2017-2018) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk Klasa 3e: wpisy oznaczone jako: (T) TRYGONOMETRIA, (PII) PLANIMETRIA II, (RP) RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, (ST)

Bardziej szczegółowo

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 2 6 + 3 1. Oblicz 3. 3 x 1 3x 2. Rozwiąż nierówność > x. 2 3 3. Funkcja f przyporządkowuje każdej

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste

Bardziej szczegółowo

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2). 1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego

Bardziej szczegółowo

Mechanika i Budowa Maszyn. Przykład obliczeniowy geometrii mas i analiza wytrzymałości

Mechanika i Budowa Maszyn. Przykład obliczeniowy geometrii mas i analiza wytrzymałości Mechanika i Budowa Maszyn Materiały pomocnicze do laboratorium Przykład obliczeniowy geometrii mas i analiza wytrzymałości Środek ciężkości Moment bezwładności Wskaźnik wytrzymałości na zginanie Naprężenia

Bardziej szczegółowo

Uczeo spełnia wymagania poziomu koniecznego oraz umie: porównywać liczby zapisane w różny sposób, obliczyć potęgę o wykładniku całkowitym,

Uczeo spełnia wymagania poziomu koniecznego oraz umie: porównywać liczby zapisane w różny sposób, obliczyć potęgę o wykładniku całkowitym, szacować wyniki działań, zaokrąglać liczby do podanego rzędu, zapisywać i odczytywać liczby naturalne w systemie rzymskim, podać rozwinięcie dziesiętne ułamka zwykłego, odczytać współrzędną punktu na osi

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne klasa trzecia.

Wymagania edukacyjne klasa trzecia. TEMAT Wymagania edukacyjne klasa trzecia. WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Lekcja organizacyjna System dziesiątkowy System rzymski Liczby wymierne i niewymierne

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURA

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURA NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURA DLA KLAS TRZECICH POZIOM PODSTAWOWY GRUPA I 1 STYCZNIA 011 CZAS PRACY: 170 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT.) Liczba

Bardziej szczegółowo

REALIZACJA TREŚCI PODSTAWY PROGRAMOWEJ PRZEZ PROGRAM MATEMATYKA Z PLUSEM

REALIZACJA TREŚCI PODSTAWY PROGRAMOWEJ PRZEZ PROGRAM MATEMATYKA Z PLUSEM REALIZACJA TREŚCI PODSTAWY PROGRAMOWEJ PRZEZ PROGRAM MATEMATYKA Z PLUSEM Treści nauczania wg podstawy programowej Podręcznik M+ Klasa I Klasa II Klasa III 1. Liczby wymierne dodatnie. Uczeń: 1) odczytuje

Bardziej szczegółowo

8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO.

8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. WYKŁAD 6 1 8. TRYGONOMETRIA. 8.1. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. SINUSEM kąta nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym : =. COSINUSEM

Bardziej szczegółowo

Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. Matematyka na czasie Gimnazjum, klasa 3 Rozkład materiału i plan wynikowy

Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. Matematyka na czasie Gimnazjum, klasa 3 Rozkład materiału i plan wynikowy Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek Matematyka na czasie Gimnazjum, klasa Rozkład materiału i plan wynikowy I. FUNKCJE 1 1. Pojęcie funkcji zbiór i jego elementy pojęcie przyporządkowania pojęcie funkcji

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3. Belki statycznie wyznaczalne. Dla belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych. na rysunkach rys.a, rys.b, wyznaczyć:

Zadanie 3. Belki statycznie wyznaczalne. Dla belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych. na rysunkach rys.a, rys.b, wyznaczyć: adanie 3. elki statycznie wyznaczalne. 15K la belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych na rysunkach rys., rys., wyznaczyć: 18K 0.5m 1.5m 1. składowe reakcji podpór, 2. zapisać funkcje sił przekrojowych,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA na poszczególne oceny-klasa I Gimnazjum

WYMAGANIA na poszczególne oceny-klasa I Gimnazjum WYMAGANIA na poszczególne oceny-klasa I Gimnazjum Oceny z plusem lub minusem otrzymują uczniowie, których wiadomości i umiejętności znajdują się na pograniczu wymagań danej oceny głównej. (Znaki + i -

Bardziej szczegółowo

1. LICZBY DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA L.P. NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia

1. LICZBY DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA L.P. NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia L.P. DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia 1. LICZBY 1. Znam pojęcie liczby naturalne, całkowite, wymierne, dodatnie, ujemne, niedodatnie, odwrotne, przeciwne. 2. Potrafię zaznaczyć

Bardziej szczegółowo

I. LICZBY RZECZYWISTE I/1 1 Liczby naturalne, całkowite, wymierne i niewymierne.

I. LICZBY RZECZYWISTE I/1 1 Liczby naturalne, całkowite, wymierne i niewymierne. Dział/l.p. Ilość godz. Typ szkoły: TECHNIKUM Zawód: TECHNIK USŁUG FRYZJERSKICH Rok szkolny 2016/2017 Przedmiot: MATEMATYKA Klasa: I 80 godzin numer programu T5/O/5/12 Rozkład materiału nauczania Temat

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) (1+2+3+4) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki

DZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) (1+2+3+4) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki MATEMATYKA KLASA I I PÓŁROCZE -wyróżnia liczby naturalne, całkowite, wymierne -zna kolejność wykonywania działań -rozumie poszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne -porównuje liczby wymierne -zaznacza

Bardziej szczegółowo

Wymagania z matematyki na poszczególne oceny Klasa 2 gimnazjum

Wymagania z matematyki na poszczególne oceny Klasa 2 gimnazjum Wymagania z matematyki na poszczególne oceny Klasa 2 gimnazjum Stopień celujący może otrzymać uczeń, który spełnia kryteria na stopień bardzo dobry oraz: posiada wiadomości i umiejętności znacznie wykraczające

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych

Bardziej szczegółowo

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień. Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań MTMTYK Przed próbną maturą. Sprawdzian. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań Zadanie. ( pkt) P.. Uczeń używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b) oraz a b. Zapisujemy równość w postaci (a b) + (c d)

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE

WYMAGANIA EDUKACYJNE GIMNAZJUM NR 2 W RYCZOWIE WYMAGANIA EDUKACYJNE niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z MATEMATYKI w klasie I gimnazjum str. 1 Wymagania edukacyjne niezbędne

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze 15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: mechatronika systemów energetycznych Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

Bardziej szczegółowo

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii. Trójkąty. Trójkąt dowolny. Wielokąty trygonometria 1.

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii. Trójkąty. Trójkąt dowolny. Wielokąty trygonometria 1. Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Wielokąt wypukły miara każdego kąt wewnętrznego jest mniejsza od 180 o. Liczba przekątnych: n*(n-2) Suma kątów wewnętrznych wielokąta

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KL I NA POSZCZEGÓLNE OCENY W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ RUDKACH Marzena Zbrożyna

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KL I NA POSZCZEGÓLNE OCENY W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ RUDKACH Marzena Zbrożyna WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KL I NA POSZCZEGÓLNE OCENY W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ RUDKACH Marzena Zbrożyna DOPUSZCZAJĄCY: Uczeń potrafi: odczytywać informacje przedstawione w tabelach

Bardziej szczegółowo

RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ

RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 7 2012/2013, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY III GIMNAZJUM W ZSPiG W CZARNYM DUNAJCU NA ROK SZKOLNY 2016/2017 ROCZNE

WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY III GIMNAZJUM W ZSPiG W CZARNYM DUNAJCU NA ROK SZKOLNY 2016/2017 ROCZNE WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY III GIMNAZJUM W ZSPiG W CZARNYM DUNAJCU NA ROK SZKOLNY 2016/2017 ROCZNE Przekształcenia algebraiczne Równania i układy równań Pojęcie funkcji. Własności funkcji. WYRAŻENIA

Bardziej szczegółowo

Kryteria ocen z matematyki w klasie I gimnazjum

Kryteria ocen z matematyki w klasie I gimnazjum 1. Zbieranie, porządkowanie i prezentowanie danych 1. Liczby naturalne 1. Cechy podzielności 1. Działania na liczbach naturalnych 1. Algorytmy działań pisemnych odczytywać informacje przedstawione w tabelach

Bardziej szczegółowo

Wymagania przedmiotowe dla klasy 3as i 3b gimnazjum matematyka

Wymagania przedmiotowe dla klasy 3as i 3b gimnazjum matematyka Wymagania przedmiotowe dla klasy 3as i 3b gimnazjum matematyka TEMAT 5. Przekątna kwadratu. Wysokość trójkąta równobocznego 6. Trójkąty o kątach 90º, 45º, 45º oraz 90º, 30º, 60º 1. Okrąg opisany na trójkącie

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy GEOMETRIA ANALITYCZNA Poziom podstawowy Zadanie (4 pkt.) Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym x + y 6. a) napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej. b) podaj współczynnik kierunkowy prostej

Bardziej szczegółowo

Podstawy działań na wektorach - dodawanie

Podstawy działań na wektorach - dodawanie Podstawy działań na wektorach - dodawanie Metody dodawania wektorów można podzielić na graficzne i analityczne (rachunkowe). 1. Graficzne (rysunkowe) dodawanie dwóch wektorów. Założenia: dane są dwa wektory

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016 SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016 Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: (Liczby i działania) zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej

Bardziej szczegółowo

SPORZĄDZANIE LINII WPŁYWU WIELKOŚCI STATYCZNYCH SPOSOBEM KINEMATYCZNYM

SPORZĄDZANIE LINII WPŁYWU WIELKOŚCI STATYCZNYCH SPOSOBEM KINEMATYCZNYM LINIE WŁYWU przykład sposób kinematyczny SORZĄDZNIE LINII WŁYWU WIELKOŚCI STTYCZNYCH SOSOBEM KINEMTYCZNYM Sposób kinematyczny sporządzania linii wpływu wielkości statycznych polega na wykorzystaniu twierdzenia

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) =. x x I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania

Przedmiotowy system oceniania Przedmiotowy system oceniania gimnazjum - matematyka Opracowała mgr Katarzyna Kukuła 1 MATEMATYKA KRYTERIA OCEN Kryteria oceniania zostały określone przez podanie listy umiejętności, którymi uczeń musi

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA I KL. GIMNAZJUM do podręcznika GWO Matematyka z plusem. PODSTAWOWE Uczeń zna:

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA I KL. GIMNAZJUM do podręcznika GWO Matematyka z plusem. PODSTAWOWE Uczeń zna: Ewa Koralewska LP... OGÓLNA PODSTA- WA PROGRA MOWA b c PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA I KL. GIMNAZJUM do podręcznika GWO Matematyka z plusem TEMATYKA LEKCJI LICZBA GODZIN Lekcja organizacyjna. Liczby.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej. rozumie rozszerzenie

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa III program Matematyka z plusem Dział: LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE POZIOM KONIECZNY - ocena dopuszczająca Uczeń umie: szacować wyniki działań, zaokrąglać liczby

Bardziej szczegółowo

2012/13. Mechanika Płynów (studia dzienne rok II, semestr 3) Praca domowa nr 1. http://www.ip.simr.pw.edu.pl

2012/13. Mechanika Płynów (studia dzienne rok II, semestr 3) Praca domowa nr 1. http://www.ip.simr.pw.edu.pl 2012/13 Mechanika Płynów (studia dzienne rok II, semestr 3) Praca domowa nr 1 http://www.ip.simr.pw.edu.pl Studia Inżynierskie Mechanika płynów Praca domowa 1 Zadanie nr 1 Wyprowadzić równanie równowagi

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA:

WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA: WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę wymierną na osi liczbowej umie

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia przedmiotowe

Osiągnięcia przedmiotowe 1. Zbieranie, porządkowanie i prezentowanie danych przedstawione w tabelach przedstawione na przedstawiać dane w tabelach przedstawiać dane na przedstawione w tabelach przedstawione na porównywać informacje

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. rozszerzonym. dla uczniów technikum. część III

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. rozszerzonym. dla uczniów technikum. część III Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie rozszerzonym dla uczniów technikum część III Granica ciągu liczbowego 1 Pojęcie granicy ciągu i ciągi zbieżne do zera sporządzać

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY. Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik

Rozwiązania zadań. Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY. Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik Rozwiązania zadań Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1 (5pkt) Równanie jest kwadratowe, więc Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik /:4 nierówności

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM NA OCENĘ DOPUSZCZJĄCĄ UCZEN: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne dla uczniów posiadających orzeczenie PPPP kl. I

Wymagania edukacyjne dla uczniów posiadających orzeczenie PPPP kl. I Wymagania edukacyjne dla uczniów posiadających orzeczenie PPPP kl. I Liczby zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej (k) rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne (p) umie zaznaczać

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM OCENA DOPUSZCZAJĄCA pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej, pojęcia: rozwinięcie dziesiętne skończone, nieskończone, okres, algorytm zaokrąglania

Bardziej szczegółowo

Tematy próbnego pisemnego egzaminu dojrzałości z matematyki

Tematy próbnego pisemnego egzaminu dojrzałości z matematyki Tematy próbnego pisemnego egzaminu dojrzałości z matematyki Zadanie Rozwiąż nierówność: [ +log 0, ( x- )] + [ +log 0, ( x- )] + [ +log 0, ( x- )] ++ + [ + log 0, ( x- )] Zadanie Odcinek AB, gdzie A = (,

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI DLA KLASY III A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ w Publicznym Gimnazjum Integracyjnym nr 47 w Łodzi

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI DLA KLASY III A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ w Publicznym Gimnazjum Integracyjnym nr 47 w Łodzi ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI DLA KLASY III A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ w Publicznym Gimnazjum Integracyjnym nr 47 w Łodzi Rozkład materiału nauczania został opracowany na podstawie programu

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. III GIMNAZJUM LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. III GIMNAZJUM LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. III GIMNAZJUM OCENA DOPUSZCZAJĄCA LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE - pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej, niewymiernej, rzeczywistej; - sposób zaokrąglania

Bardziej szczegółowo

Oto przykłady przedmiotów, które są bryłami obrotowymi.

Oto przykłady przedmiotów, które są bryłami obrotowymi. 1.3. Bryły obrotowe. Walec W tym temacie dowiesz się: co to są bryły obrotowe, jak rozpoznawać walce wśród innych brył, jak obliczać pole powierzchni bocznej i pole powierzchni całkowitej walca, jak obliczać

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę

Bardziej szczegółowo

Ć w i c z e n i e K 3

Ć w i c z e n i e K 3 Akademia Górniczo Hutnicza Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wydział Górnictwa i Geoinżynierii Grupa

Bardziej szczegółowo

trygonometria Trygonometria to dział matematyki, który bada związki między bokami i kątami trójkątów.

trygonometria Trygonometria to dział matematyki, który bada związki między bokami i kątami trójkątów. Trygonometria to dział matematyki, który bada związki między bokami i kątami trójkątów. Funkcje trygonometryczne dla kątów ostrych to stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prostokątnego.

Bardziej szczegółowo

Autor: mgr inż. Robert Cypryjański METODY KOMPUTEROWE

Autor: mgr inż. Robert Cypryjański METODY KOMPUTEROWE METODY KOMPUTEROWE PRZYKŁAD ZADANIA NR 1: ANALIZA STATYCZNA KRATOWNICY PŁASKIEJ ZA POMOCĄ MACIERZOWEJ METODY PRZEMIESZCZEŃ Polecenie: Wykonać obliczenia statyczne kratownicy za pomocą macierzowej metody

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki. dla uczniów klasy Ia i Ib. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki. dla uczniów klasy Ia i Ib. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016 Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki dla uczniów klasy Ia i Ib Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie w roku szkolnym 2015/2016 DZIAŁ I: LICZBY zaznacza na osi liczbowej punkty odpowiadające

Bardziej szczegółowo

2 cos α 4. 2 h) g) tgx. i) ctgx

2 cos α 4. 2 h) g) tgx. i) ctgx ZESTAW I - FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE - powtórzenie. Znajdź wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, jeśli: sin α b). Oblicz wartość wyrażenia: tg ctg 77 = b) sin 0 (cos ) = c) sin = d) [( sin 0

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM OCENA DOPUSZCZAJĄCA I DZIAŁ; LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby

Bardziej szczegółowo

w najprostszych przypadkach, np. dla trójkątów równobocznych

w najprostszych przypadkach, np. dla trójkątów równobocznych MATEMATYKA - klasa 3 gimnazjum kryteria ocen według treści nauczania (Przyjmuje się, że jednym z warunków koniecznych uzyskania danej oceny jest spełnienie wszystkich wymagań na oceny niższe.) Dział programu

Bardziej szczegółowo

1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P)

1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P) Wymagania edukacyjne dla klasy IIIc technik informatyk 1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE rok szkolny 2014/2015 zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyznacza wartości

Bardziej szczegółowo

na postać kanoniczną, podaj współrzędne wierzchołka paraboli i określ czy jej ramiona są skierowane w górę czy w dół.

na postać kanoniczną, podaj współrzędne wierzchołka paraboli i określ czy jej ramiona są skierowane w górę czy w dół. Zadania na poprawkę dla sa f x x 1x na postać kanoniczną, podaj współrzędne wierzchołka paraboli i określ czy jej ramiona są skierowane w górę czy w dół. 1. Zamień postać ogólną funkcji kwadratowej 5.

Bardziej szczegółowo

Całka oznaczona zastosowania (wykład 9; ) Definicja całki oznaczonej dla funkcji ciagłej

Całka oznaczona zastosowania (wykład 9; ) Definicja całki oznaczonej dla funkcji ciagłej Całka oznaczona zastosowania (wykład 9;26.11.7) Definicja całki oznaczonej dla funkcji ciagłej Definicja 1 Załózmy, że funkcja f jest ciagła na przedziale [a, b]. Całkę oznaczona z funkcji ci b a f(x)dx

Bardziej szczegółowo

PG im. Tadeusza Kościuszki w Kościerzycach Przedmiot

PG im. Tadeusza Kościuszki w Kościerzycach Przedmiot KARTA MONITOROWANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ KSZTAŁCENIA OGÓLNEGO III etap edukacyjny PG im. Tadeusza Kościuszki w Kościerzycach Przedmiot matematyka Klasa......... Rok szkolny Imię i nazwisko nauczyciela

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania dla uczniów z obowiązkiem dostosowania wymagań edukacyjnych z matematyki w kl.ii

Przedmiotowy system oceniania dla uczniów z obowiązkiem dostosowania wymagań edukacyjnych z matematyki w kl.ii Matematyka klasa II kryteria oceniania dla uczniów z obowiązkiem dostosowania wymagań edukacyjnych opracowano na podstawie programu MATEMATYKA Z PLUSEM DZIAŁ 1. POTĘGI zna i rozumie pojęcie potęgi o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Tematy: zadania tematyczne

Tematy: zadania tematyczne Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Bardziej szczegółowo

Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum)

Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Cele kształcenia wymagania ogólne: I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje i tworzy teksty o

Bardziej szczegółowo

2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH

2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH dam Bodnar: Wtrzmałość Materiałów. Charakterstki geometrczne figur płaskich.. CHRKTERSTKI GEOMETRCZNE FIGUR PŁSKICH.. Definicje podstawowch charakterstk geometrcznch Podczas zajęć z wtrzmałości materiałów

Bardziej szczegółowo

POZIOM PODSTAWOWY - GR 1 Czas pracy 170 minut

POZIOM PODSTAWOWY - GR 1 Czas pracy 170 minut POZIOM PODSTAWOWY - GR 1 Czas pracy 170 minut Klasa Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron.. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.. W zadaniach

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI

WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI 13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 1 13. 13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 13.1. TORIA PLASTYCZNOŚCI Teoria plastyczności zajmuje się analizą stanów naprężeń ciał, w których w wyniku działania obciążeń powstają

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza

1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza 1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza Tematyka zajęć: WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY KL. 3 POZIOM PODSTAWOWY Potęga o wykładniku rzeczywistym powtórzenie Funkcja wykładnicza i jej własności

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 DEFINICJE PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 Czworokąt to wielokąt o 4 bokach i 4 kątach. Przekątną czworokąta nazywamy odcinek łączący przeciwległe wierzchołki. Wysokością czworokąta nazywamy

Bardziej szczegółowo